数值分析与计算方法

数值计算方法与算法
数值计算方法与算法是一种将实际的科学问题转换成数学模型的工具，以便使用数值方法进行数学计算。

它也被称为“数值分析”或“计算分析”。

数值计算方法与算法以多种方式结合计算机科学和数学，以及物理，化学，工程学和社会科学，可以用于日常生活和工作中的数学和实际操作。

数值计算方法与算法可以结合传统的数学方法，如数据分析和概率论，为解决复杂的实际问题提供帮助。

这种方法以计算和数值分析为主，通过使用计算机，可以同时处理大量的数据集，且求取问题的结果更加准确快捷。

由于数值计算如此准确、快捷，它已经被大量应用于工业设计，工程分析等领域。

数值计算方法与算法可以帮助计算机应用程序使用数据运算，以便快速解决问题。

它们可以通过使用数学算法和实际的数据，将复杂的现实问题转换为可以使用计算机求解的数学模型，从而提供高精度的结果。

此外，数值计算方法与算法也可以用于提高计算机计算的抗干扰性，这样就可以更好地在可能存在极大误差的情况下，仍能满足客户要求求得有效结果。

1第二章 解线性方程组的直接法解线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b+++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪⎩或写成矩阵式Ax b =其中()1212,(,,,),(,,,)T Tij n n n nA a x x x x b b b b ⨯=== Gauss 消去法（矩阵行变换法）第k 次消元公式()()(1)()()(1)()()/(1,,)(,1,,)(1,,)k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k i i ik k m a a i k n a a m a i j k n b b m b i k n ++==+=-=+=-=+计算中，中间结果不必保留，进行一次变换后原来存放(1)k A -的单元存放()k A，(1)k b-的单元存放()k b。

因此，我们得到Gauss消去法的算法：2循环：1,2,,k = n-1何时可行？即第k 步 Gauss 消去法可实行，易见充要条件是()0k kk a ≠若A 的各阶顺序主子式 *det()0ij k k a ≠ 1,,1k n =- ，则有：()**()()()1122()det()det() ||k ij k k ij k kk k k kk k kk a a a a a a =⇔≠ 消元过程可进行到 1k n =-。

因此，可以用Gauss 消去法解线性方程组的充要条件是系数矩阵的各阶顺序主子式不为0。

最后得到()()() n n n A x b A =是上三角阵()()k k A x b =与Ax b =同解2,,k n =解()()n n A x b=只需递推（回代过程）2211112()/, ,,1(0 = 1)nk k kjj kk j k k k i i i k i k x b ax a k n k k a a =+===-=>=∑∑∏ 当时，规定：3计算量 第k 步消元计算ik m 用(n-k )次除法，算诸()k ij a 用2(-)n k 乘法和2(-) n k 次加减法， 对1,,1k n =- 相加，可得消元过程共需2(1)/3n n -⨯÷次(1)(21)/6n n n -- 右端 (1)()n bb →(1)/2 n n -⨯÷ (1)/2 +n n -－(1)/2 (1)/2 +-n n n n -⨯÷-回代3233 /3/3 /3(1)(25)/6 /3n n n n n n n n +-≈-+≈总数：乘除法加减法矩阵的三角分解（用矩阵乘法分解的观点看Gauss 消去法）对A 作行变换相当于左乘初等矩阵，例如(1)(2)AA →(2)1A L A =其中421131110-1 -01-001n m L m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭＝ 类似的讨论易知：()()1111 ,,n n n n AL L A b L L b --==1,,100001 00000001 k k k n k L m m k +⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭＝第列令()1111111121313212,1= := 110=11n n n n n n n U A A L L U L L L m m m m m m -------=⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上三角阵则单位下三角阵5定理：**(),det()0 1,,1ij n n ij k k A a a k n =≠=- ，则A 可表示为A=LU L ：单位下三角阵，U 上三角阵，且分解唯一。

数值分析复习试题第一章 绪论 一. 填空题 1.*x为精确值x 的近似值；()**x f y =为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂ 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。

3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有6 位和7 位；又取 1.73≈-211.73 10 2≤⨯。

4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为0.0055 。

5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为0.01 。

6、 已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为0.0000204 .7、递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3位和 4 位有效数字。

9、若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5。

10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差0.02n11、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 13、为了使计算 ()()2334610111y x x x =++---- 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。

数值分析简述及求解应用数值分析是数学中的一个重要分支，它研究如何通过数值计算方法来求解各种数学问题。

数值分析的基本任务是通过近似方法，利用计算机或其他计算设备来对数学问题进行求解。

它广泛应用于科学计算、工程技术、金融投资、物理模拟等领域，对现代科学技术的发展起到了重要的推动作用。

数值分析主要包括数值逼近、数值微积分、数值代数和数值方程等几个方面。

数值逼近是指用函数逼近方法来接近所求函数值，主要包括插值多项式、最小二乘拟合、傅里叶级数等。

数值逼近可以用来对实际问题进行模拟和预测，比如天气预报、大气污染预测、经济增长预测等。

数值微积分是数值分析中的重要内容，主要包括数值积分和数值解微分方程。

数值积分是通过数值方法来计算函数积分值，可以应用于对函数面积、体积、积分方程求解等问题的求解。

数值解微分方程则是通过数值方法来求解各种微分方程，可以用来模拟各种实际问题，比如天体力学、流体力学、传热传质等。

数值代数是数值分析的另一个重要分支，主要研究线性代数和矩阵计算的数值方法。

线性方程组的求解、特征值和特征向量的计算、最小二乘问题的求解等都是数值代数的研究内容。

数值代数广泛应用于科学计算、工程计算和金融计算等领域，为实际问题的求解提供了数值计算的手段。

数值方程是数值分析中的另一个重要领域，主要研究非线性方程、微分方程和偏微分方程的数值求解方法。

非线性方程的数值求解是一个非常重要的研究方向，广泛应用于各种实际问题。

微分方程和偏微分方程的数值求解则可以用来模拟各种科学和工程问题，包括天气预报、地震模拟、流体力学模拟等。

数值分析的应用非常广泛，几乎涵盖了所有科学和工程领域。

比如在物理学中，可以用数值方法求解各种物理方程，包括力学方程、热力学方程、电磁学方程等。

在工程学中，可以用数值方法求解各种工程问题，包括结构分析、流体力学、电磁场分布等。

在金融学中，可以用数值方法计算各种金融模型，包括期权定价、风险评估等。

在计算机科学中，可以用数值方法来进行图像处理、数据挖掘等。

第一章1霍纳（horner）方法：输入=c+bn*c bn?1*c b3*c b2*c b1*c an an?1 an?2 ……a2 a1 a0 bn bn?1 bn?2 b2 b1 b0 answer p（x）=b0 该方法用于解决多项式求值问题=anxn+an?1xn?1+an?2xn?2+……+a2x2+a1x+a0 ?2 注：p为近似值p（x）绝对误差：?|ep?|p?p ?||p?prp?|p| 相对误差：?|101?d|p?prp??|p|2 有效数字: （d为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 big oh(精度的计算)：o(h?)+o(h?)=o(h?);o(hm)+o(hn)=o(hr) [r=min{p,q}]; o(hp)o(hq)=o(hs) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法用迭代规则，可得到序列值｛｝。

设函数g 满足y 定义在得。

如果对于所有x ，则函数g 在，映射y=g(x)的范围内有一个不动点;此外，设，存在正常数k<1，使内，且对于所有x，则函数g 在内有唯一的不动点p。

，（ii）k是一个正常数，。

如果对于所有定理2.3 设有（i）g，g ’（iii ）如果对于所有x在这种情况下，p成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。

波理尔查. 诺二分法(二分法定)<收敛速度较慢>试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线l与x轴的交点(c,0)>应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法. f(pk?1)其中k=1,2,……证明：用f(pk?1)牛顿—拉夫森迭代函数：pk?g(pk?1)?pk?1?泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法对于给定的解线性方程组ax=b a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1nxn ?b1 a21x1 ? a22x2 ? ? ? a2nxn ? b2 ? an1x1 ? an2x2 ? ? ? annxn ? bn 一gauss elimination （高斯消元法第一步forward elimination 第二步substitution二lu factorization第一步 a = lu 原方程变为lux=y ；第二步令ux=y,则ly = b由下三角解出y；第三步 ux=y,又上三角解出x ；三iterative methods（迭代法）a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1nxn ? b1 a21x1 ? a22x2 ? ? ? a2nxn ? b2?）back 初始值0,x0,?,x0x1n2四 jacobi method1.选择初始值2.迭代方程为0,x0,?,x0x1n2k?1? x1k?1 ? x2k? ? ? axk)b1?(a12x1nna11k? ? ? axk)b2?(a21x2nna22k ? axk ? ? ? ak)bn?(an1xxn2nn?1? k?1xn ? ann五gauss seidel method1.迭代方程为kkb?(ax? ? ? axk?111221nn)x1? a11k?1kb?(ax? ? ? axk?122112nn)x2 ? a22?k?1k?1k?1 2.选择初始值判断是否能用0,x0,?,x0x1n2jacobi method或者gaussseidel method的充分条件（绝对对角占优原则）第四章插值与多项式逼近·第一节泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1 for篇二：如何学好数值分析怎样学好数值分析课程？提几点意见供参考：一、树立信心，克服怕的思想。