数值分析课件第八章-数值积分.ppt

b n (x x j ) dx a j0 (xk x j )
jk
n n t j
h
dt
0 j0 k j
jk
b a n n t j dt n 0 j0 k j jk
(b a) (1)nk
nn
(t j)dt
n k!(n k)! 0 j0
jk
记
c(n) k
(1)nk n k!(n k)!
插值型数值微分公式
8.2 数值积分
基本思想：利用积分区间上一些离散点的函数值的线性 组合计算定积分的近似值。无需寻求原函数。
lim 由定积分的定义
b
n
a f (x)dx x0 i1 f (i )xi
知，定积分是和的极限，若用和式近似，则可表示为
b
n
f ( x)dx
1
0 2
1
xdx 0
1
0 2
1 x2dx 2
1
3
解得
0
1 3
,1
4 3
,2
1 3
故该求积公式应为
1
1
4
1
f ( x)dx f (1) f (0) f (1)
1
3
3
3
对 f (x) x3 有
1 x3dx 1
1 4
x4
|11
0
1 f (1) 4 f (0) 1 f (1) 1 (1)3 4 03 113 0
n 0
n j0
(t
j)dt
Cotes系数为
C0(1)
1
(t
0
1)dt
1 2
jk
求积公式为
C1(1)
1
tdt
0
1 2
1
I1( f ) (b a)
C (1) k
f
( xk
)
k 0
b
2
a
[
f
( x0
)
f (x1 )]
即
ba
I1( f )
[ f (a) f (b)] 2
上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为
前一次课内容回顾
1. 最小二乘逼近 2. 矛盾方程组的解法
第八章 数值微分和数值积分
数值微分 数值积分（Newton-Cotes求积公式） 复合求积公式 龙贝格（Romberg）方法
8.1 数值微分
b
对于积分 I( f ) f (x)dx a
如果知道f(x)的原函数F(x)，则由Newton-Leibniz公式有
则称该求积公式具有m次的代数精度。
代数精度也称 代数精确度
例 设有求积公式
1
1 f (x)dx 0 f (1) 1 f (0) 2 f (1)
试确定系数 0 ,1,2
使其代数精度尽量高，并指出其代数精度。
解： 令公式依次对 f (x) 1, x, x2
都精确成立，即
0 1 2
1
1dx 2
b
f (x)dx
F(x)b
F(b) F(a)
a
a
但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:
（1）f(x)的解析式根本不存在,只给出了f(x)的一些数值;
（2）f(x)的原函数F(x)求不出来,如F(x)不是初等函数;
（3）f(x)的表达式结构复杂,求原函数较困难。
以上这些现象，Newton-Leibniz公式很难发挥作用， 只能建立积分的近似计算方法。
定义1. 若求积公式
b
f (x)dx
a
n
i f (xi )
i0
对所有次数不超过 m次的代数多项式 Pk (x)(k m)都准确成立 ,即
b
n
a Pk (x)dx i Pk (xi )
i0
k 0,1,, m
但对m 1次多项式却不能准确成立,即只要
n
b xm1dx i xim1
a
i0
jk
则
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )－－插值型求积公式
k0
Ak为求积系数。
余项：
R
b
a [ f (x) Ln (x)]dx
b a
f (n1) ( )
(n 1)!
n
(x x j )dx
j0
注：
（1）当f(x)取次数≤n的多项式时，R≡0，即含n+1个节 点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。
由插值型求积公式
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
知
Ak
b
a lk (x)dx
b n (x x j ) dx a j0 (xk x j )
jk
引进变换x=a+th，则有dx=hdt， xk- xj=(k-j)h ， x- xj=(t-j)h ，
可得
Ak
b
a lk (x)dx
（2）特别地，当f(x) ≡1时，有
n
Ak b a
k0
Newton-Cotes公式的导出
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值 多项式建立的数值求积公式。
设函数f(x)∈C[a,b]，将积分区间[a,b]n等分，步长
h=(b-a)/n，节点xk=a+kh为等距节点。
3
3
3
3
33
即对 f (x) x3 也精确成立，
但对 f (x) x4 不能精确成立，
因此该求积公式具3次代数精度。
插值型求积公式
若已知函数f(x)在[a,b]上一组节点值a≤x0 <x1<…<xn≤b
以及函数值 f(x0)，f(x1) ,…, f(xn)，构造f(x)的n次 Lagrange插值多项式：
n
Ln (x) lk (x) f (xk )
k 0
(lk (x)
n j0
(x xj) ) (xk x j )
jk
则
b
b
n
b
a f (x)dx a Ln (x)dx f (xk ) a lk (x)dx
k 0
若记
Ak
b
a lk (x)dx
b n (x x j ) dx a j0 (xk x j )
a
i f (xi )
i0
上式称数值求积公式。
i－－求积系数 xi－－求积节点
n
Q＝ i f (xi )－－求积算式
i0
R
b f (x)dx－ n
a
i f (xi )－－求积公式的余项
i0
为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实
际计算意义，就要求它对尽可能多的被积函数都准确 地成立。因此定义代数精度的概念:
n 0
n j0
(t
j)dt
jk
所以插值型求积公式化为
n
In (b a)
c(n) k
f
(
xk
)
k0
称Newton-cotes公式，式中ck(n) 称柯特斯系数。
2.梯形(trapezia)公式及其余项
取n 1,则x a , x b , h b a 0
1
c(n) k
(1)nk n k!(n k)!
T I1( f )
(b a)[ f (a) f (b)] 2
几何意义如右图：
梯形公式的余项为
4.5Biblioteka 43.53
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
0.5
1
1.5