角的平分线的性质习题精选

12.3角的平分线的性质—2023-2024学年人教版数学八年级上册堂堂练1.如图,OP平分,于点A,,点Q是射线OM上的一个动点,则下列结论正确的是( )A. B. C. D.2.如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若，，则的面积是( )A.15B.30C.45D.603.角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求.角平分线的作法依据的是( )A.SSSB.SASC.AASD.ASA4.如图，在中，，AD平分，交BC于点D．已知，，则的面积为( )A.80B.40C.20D.105.如图，的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于( )A. B. C. D.6.如图，，，若，，则D到AB的距离为________。

7.如图，直线a，b，c表示3条互相交叉的公路.若要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的站址有______________处.8.如图，，M是BC的中点，DM平分，求证：AM平分.答案以及解析1.答案：C解析:平分,于点A,点P到OM的距离等于线段PA的长度,当时,PQ有最小值,的最小值,,即,故选C2.答案：C解析：如图，作于点E，由题意知AD是的角平分线，，，，的面积，故选C.3.答案：A解析：如下图所示：连接CP、DP，在与中，由作图可知：，，故选A.4.答案：B解析：如图，作于E，，，，故选B.5.答案：C解析：过点O作于D，于E，于F，点O是内心，，，故选C.6.答案： 4.解析：作于E，，，，，，，，故答案为：4．7.答案：4解析：如图，根据角平分线的性质定理，可知内部有1个点，另外与的平分线的交点、与的平分线的交点、与的平分线的交点，共4处站址可供选择.8.解析：如图，过点M作于F，，DM平分，，M是BC的中点，，，又，点M在的平分线上，AM平分.。

角平分线的性质练习题一、选择题1. 在三角形ABC中，BD是角B的平分线，若AB=5，BC=7，AC=6，那么BD的长度为：A. 4B. 6C. 8D. 无法确定2. 如果角平分线将三角形分成两个面积相等的部分，那么这两个部分的底边分别是：A. 相等B. 不相等C. 一个底边是另一个的两倍D. 底边长度无法确定3. 在三角形ABC中，角A的平分线与BC相交于点D，若AD=4，AC=8，那么AB的长度可能是：A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题4. 在三角形ABC中，如果角A的平分线将BC分为BD和DC两段，BD=DC，那么三角形ABD与三角形ACD的面积之比为________。

5. 若角平分线定理告诉我们，在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，则AB：AC=______：______。

6. 在三角形ABC中，如果角A的平分线与BC相交于点D，且AD垂直于BC，那么角B和角C的度数之和为________。

三、简答题7. 描述角平分线定理的内容，并给出一个应用此定理的几何问题。

8. 解释为什么在三角形中，角平分线可以将对边分成的两段长度与相邻两边成比例。

四、计算题9. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD与BC相交于点D，且BD=3，DC=4，AB=6，求AC的长度。

10. 在三角形ABC中，角B的平分线BE与AC相交于点E，已知AE=4，EC=6，AB=5，求BC的长度。

五、证明题11. 证明：在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，那么AB/AC = BD/DC。

12. 证明：如果点D在三角形ABC的边BC上，且AD是角A的平分线，那么三角形ABD与三角形ACD的面积相等。

六、综合题13. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD与BC相交于点D，且AD=2，BD=3，DC=4，AB=5，求BC的长度，并证明你的结论。

14. 给定三角形ABC，其中角A的平分线AD与BC相交于点D，角B的平分线BE与AC相交于点E。

专题4 角的平分线的性质和判定常考题型（原卷版）题型一 角的平分线的作法1．（2022•资阳）如图所示，在△ABC 中，按下列步骤作图：第一步：在AB 、AC 上分别截取AD 、AE ，使AD ＝AE ；第二步：分别以点D 和点E 为圆心、适当长（大于DE 的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F ； 第三步：作射线AF 交BC 于点M ；第四步：过点M 作MN ⊥AB 于点N ．下列结论一定成立的是（ ）A ．CM ＝MNB ．AC ＝AN C ．∠CAM ＝∠BAMD ．∠CMA ＝∠NMA2．（2023春•西城区校级期中）已知：钝角△ABC ．分别画出AC 边上的高BD 、BC 边上的中线AE 及△ABC 中∠ACB 的平分线CF ．3．（2022春•来宾期末）在平面直角坐标系中，在x 轴，y 轴上分别截取OA ＝OB ，再分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点P ，若点P 的坐标为（a ，2），则a 的值是 ． 题型二 利用角的平分线的性质求线段的长、角度度数、面积等4．如图，已知∠AOB ＝60°，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于D ，OP ＝6cm ，点E 是射线OB 上的动点，则PE 的最小值为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm5．（2020秋•朝阳期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，DE平分∠ADB，则∠DBA等于（）A．22.5°B．30°C．25°D．40°6．（2023•王益区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB 于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm7．（2021秋•古冶区期中）如图，已知△ABC的周长是34，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC 于D，且OD＝4，则△ABC的面积是（）A．17B．34C．38D．688．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30、40、15，点P是三条角平分线的交点，将△ABC分成三个三角形，则S△APB：S△BPC：S△CP A等于（）A．1：1：1B．6：8：3C．5：8：3D．4：5：39．如图，△ABC中，∠B＝30°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC的度数为．题型三角平分线的判定10．（2023秋•武城县期末）△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A＝40°，则∠BOC＝（）A．110°B．120°C．130°D．140°11．（2021秋•新城区校级月考）如图所示，平面内三条直线a、b、c两两相交，在平面内找出一点P，使得点P到三条直线的距离相等，那么符合条件的点P有处．题型四角平分线的性质和判定的综合运用12．（2023春•永州期末）如图，AB∥CD，BP和CP平分∠ABC和∠DCB，AD过点P且与直线AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（）A．8B．6C．4D．213．（2022秋•大兴区期末）如图，在△ABC中，AB＜AC，∠BAC的平分线与外角∠BCD的平分线相交于点M，作AB的延长线得到射线AE，作射线BM，有下面四个结论：①∠MCD＞∠MAB；②BM＝CM；③射线BM是∠EBC的角平分线；④∠BMC＝90°−12∠BAC．所有正确结论的序号是．14．（2022秋•忠县校级月考）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．（1）求∠APB的度数为；（2）证明：AH+BD＝AB．15．（2020秋•饶平县校级期末）在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB．误点警示：易错点：忽视点的位置有两种情况而导致漏解16．（2021秋•齐河县期末）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点．已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为．。

13.3 角的均分线的性质一、选择题 1．如图 1 所示 ，∠ 1=∠ 2，PD ⊥ OA ，PE ⊥ OB ，垂足分别为 D ，E ，则以下结论中错误的选项是 （ ）．A ． PD=PEB ．OD=OE C．∠ DPO=∠ EPO D ． PD=ODBEACPDEFOD ABDCA E B（ 1） (2) (3)2．如图 2 所示，在△ ABC 中， AB=AC ， AD 是△ ABC 的角均分线， DE ⊥AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别是 E ，F ，则以下四个结论：① AD 上随意一点到C ，B 的距离相等；② AD 上随意一点到 AB ，AC 的距离相等；③ BD=CD ， AD ⊥ BC ；④∠ BDE=∠ CDF ，此中正确的个数是（ ）． A ．1个 B．2个 C ．3个 D． 4 个3．如图 3 所示，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=BC=1， AB=2 ，AD 在∠ BAC?的均分线上，DE ⊥ AB 于点 E ，则△ DBE 的周长为（ ）．A ．2B ．1+2C ． 2D．没法计算AAAEDC EFPOEBOFB BDC(4)(5)(6)4．如图 4 所示，已知∠ AOB ，求作射线 OC ，使 OC 均分∠ AOB ， ?作法的合理次序是（）．（ 1）作射线 OC ；（ 2）在 OA 和 OB 上，分别截取 OD ， OE ，使 OD=OE ； （ 3）分别以 D ， E 为圆心，大于1DE 的长为半径作弧，在∠ AOB 内，两弧交于点 C ．2A ．（ 1）（ 2）（ 3）B ．（ 2）（ 1）（ 3）C ．（ 2）（ 3）（ 1）D ．（ 3）（ 2）（ 1） 二、填空题1．（ 1）若 OC 为∠ AOB 的均分线，点 P 在 OC 上， PE ⊥OA ， PF ⊥ OB ，垂足分别为 E ，F ，则PE=________，依据是 ________________ ．（ 2）如图 5 所示，若在∠ AOB 内有一点 P ，PE ⊥ OA ，PF ⊥ OB ，垂足分别为 E ，F ，且 PE=PF ，则点 P 在 _______，依据是 ____________ ．2．△ ABC 中，∠ C=90°， AD均分∠ BAC，已知 BC=8cm，BD=5cm，则点 D?到 AB?的距离为 _______．3．如图 6 所示， DE⊥AB 于 E，DF⊥ AC 于点 F，若 DE=DF，只要O 增添一个条件， ?这个条件是 __________ ．4．以下图，∠ AOB=40°， OM均分∠ AOB， MA⊥ OA于 A， MB?⊥OB?于 B， ?则∠ MAB的度数为 ________．三、解答题1．以下图，AD是∠ BAC的均分线， DE⊥ AB 于 E， DF⊥ AC于 F，且 BD=CD，那么相等吗？为何？AN M BBE与 CFEBDA F C2．以下图，∠ B=∠ C=90°， M是 BC中点， DM均分∠ ADC，判断 AM?能否均分∠ DAB，说明原因．M DCA B3．以下图，已知 PB⊥ AB，PC⊥ AC，且 PB=PC，D是 AP 上一点，由以上条件能够获得∠BDP= ∠ CDP吗？为何？ADCBP研究应用拓展性训练1．（与现实生活联系的应用题）以下图，在一次军事演习中，?红方侦探员发现蓝方指挥部设在 A 区，到公路、铁路的交错处 B 点 700m．假如你是红方指挥员，?请你以下图的作图地图上标出蓝方指挥部的地点．BA区比率尺 1:200002．（研究题）已知：在△ABC中， AB=AC．（1）依据以下要求画出图形：①作∠BAC的均分线交 BC于点 D；②过 D作 DE⊥ AB，垂足为点 E；③过点 D作 DF⊥ AC，垂足为点 F ．（2）依据上边所画的图形，能够获得哪些相等的线段（AB=AC除外）？说明原因．3．以下图，在△ ABC中， P， Q?分别是 BC， AC上的点，作 PR⊥ AB， PS⊥ AC，垂足分别是R，S．若 AQ=PQ， PR=PS， ?下边三个结论① AS=AR，② QP∥ AR，③△ BRP≌△ CSP中，正确的是（）．A ．①和③B．②和③C．①和② C ．①，②和③BRPA Q S C、、答案 :一、1． D 分析：∵∠ 1=∠ 2， PD ⊥ OA 于 E ， PE ⊥ OB 于 E ，∴ PD=PE ．又∵ OP=OP ，∴△ OPE ≌△ OPD ．∴ OD=OE ，∠ DPO=∠ EPO ．故 A ，B ， C 都正确．2． D 分析：如答图，设点 P 为 AD 上随意一点，连接PB ，PC ．∵ AD 均分∠ BAC ，∴∠ BAD=∠ CAD ．又∵ AB=AC ， AP=AP ，∴△ ABP ≌△ ACP ，∴ PB=PC ． A故①正确．由角的均分线的性质知②正确．∵ AB=AC ，∠ BAD=∠ CAD ，AD=AD ，P∴△ ABD ≌△ ACD ．E F∴ BD=CD ，∠ ADB=∠ ADC ．BDC又∵∠ ADB+∠ ADC=180°， ∴∠ ADB=∠ ADC=90°， ∴ AD ⊥BC ，故③正确．由△ ABD ≌△ ACD 知，∠ B=∠ C ．又∵ DE ⊥ AB 于点 E ， DF ⊥AC 于点 F ，∴∠ BED=∠ CFD=90°，∴∠ BDE=∠ CDF ．故④正确．4． C 分析：∵ AD 均分∠ CAB ， AC ⊥ BC 于点 C ，DE ⊥ AB 于 E ，∴ CD=DE ．又∵ AD=AD ，∴ Rt △ACD ≌ Rt △ AED ，∴ AC=AE ． 又∵ AC=BC ，∴ AE=BC ，∴△ DBE 的周长为 DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB= 2 ．提示：想法将 DE+BD+EB 转成线段 AB ．5． C二、 1．（ 1） PF 角均分线上的点到角的两边的距离同样（ 2）∠ AOB 的均分线上 到角的两边距离相等的点在角的均分线上2．分析：以下图，AD 均分∠ CAB ， DC ⊥ AC 于点 C ， DM ⊥AB 于点 M ．∴ CD=DM ，∴ DM=CD=BC-BD=8-5=3．答案： 3C提示：利用角的均分线的性质．D3． AD 均分∠ BAC ．4．分析：∵ OM 均分∠ AOB ，∴∠ AOM=∠ BOM=AOB=20°．AMB2又∵ MA ⊥ OA 于 A ， MB ⊥ OB 于 B ，∴MA=MB．∴Rt △OAM≌ Rt△ OBM，∴∠ AMO=∠ BMO=70°，∴△ AMN≌△ BMN，∴∠ ANM=∠ BNM=90°，∴∠ MAB=90° -70 ° =20°．答案： 20°三、 1．分析： BE=CF．∵AD均分∠ BAC， DE⊥ AB于点 E， DF⊥ AC于点 F，∴DE=DF．又∵ BD=DC，∴ Rt△ BDE≌Rt △ CDF，∴ BE=CF．提示：由角的均分线的性质可知DE=DF，进而为证△ BDE≌△ CDF供给了条件．2．分析： AM均分∠ DAB．原因：如答图13-9 所示，作 MN⊥ AD于点 N，∵ DM均分∠ CDA，MC ⊥ DC于点 C，MN⊥ AD于点 N，∴MC=MN．又∵ M是 BC的中点，∴ CM=MB，∴MN=BM，∴ AM均分∠ DAB．3．分析：能够．∵ PB⊥AB于点 B， PC⊥ AC于点 C，且 PB=PC，D CNM A B∴AP均分∠ BAC，∴∠ BAP=∠CAP．在 Rt△ ABP和 Rt△ ACP中，PB=PC ， AP=AP，∴Rt △ABP≌ Rt△ ACP，∴ AB=AC．在△ ABD与△ ACD中，AB=AC ，∠ BAP=∠CAP， AD=AD，∴△ ABD≌△ ACD，∴∠ ADB=∠ ADC，∴∠ BDP=∠ CDP．研究应用拓展性训练1．如答图所示．分析：由题意可知，蓝方指挥部P 应在∠MBN的均分线上．又∵比率尺为1： 20000，∴ P 离 B 为 3． 5cm．提示：到角的两边距离相等的点在角的均分线上．2．（ 1）分析：按题意绘图，如答图13-11 ．（2）能够获得 ED=FD， AE=AF， BE=CF，BD=CD．原因以下：∵ AB=AC，∠ 1=∠ 2， AD=AD，∴△ ABD≌△ ACD，∴ BD=DC．∵∠ 1=∠2， DE⊥AB 于点 E， DF⊥ AC于点 F，∴DE=DF．A1 2E F BD C又∵ AD=AD，∴Rt △AED≌ Rt△ AFD，∴ AE=AF，∴AB-AE=AC-AF，即 BE=CF．提示：正确地画出图形是解决问题的重点，另三角形全等来找寻相等的线段．3． C分析：如答图所示，连接AP．∵PR⊥AB于点 R， PS⊥ AC于点 S， PR=PS，∴ AP均分∠ BAC，∴∠ 1=∠2．又∵ AQ=QP，∴∠ 2=∠ 3，∴∠ 1=∠ 3，∴ PQ∥ AR．在 Rt △APR和 Rt△ APS中，外此题主要应用角的均分线的性质及BRP312PR=PS ， AP=AP，A Q S C ∴Rt △APR≌ Rt△ APS，∴ AR=AS．而△ BRP与△ CSP不具备三角形全等的条件，故①②正确．提示：此题的打破口是判断出点P 在∠ BAC的均分线上．。

13.3 角的平分线的性质一、选择题1．如图1所示，∠1=∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，则下列结论中错误的是（ ）．A ．PD=PEB ．OD=OEC ．∠DPO=∠EPOD ．PD=OD（1） (2) (3)2．如图2所示，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，则下列四个结论：①AD 上任意一点到C ，B 的距离相等；②AD 上任意一点到AB ，AC 的距离相等；③BD=CD ，AD ⊥BC ；④∠BDE=∠CDF ，其中正确的个数是（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图3所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=1，AB=2，AD 在∠BAC•的平分线上，DE ⊥AB 于点E ，则△DBE 的周长为（ ）．A ．2B ．1+2C ．2D ．无法计算(4) (5) (6)4．如图4所示，已知∠AOB ，求作射线OC ，使OC 平分∠AOB ，•作法的合理顺序是（ ）．（1）作射线OC ；（2）在OA 和OB 上，分别截取OD ，OE ，使OD=OE ；（3）分别以D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C ． A ．（1）（2）（3） B ．（2）（1）（3） C ．（2）（3）（1） D ．（3）（2）（1）二、填空题1．（1）若OC 为∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为E ，F ，则PE=________，根据是________________．（2）如图5所示，若在∠AOB 内有一点P ，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为E ，F ，且PE=PF ，则点P 在_______，根据是____________．2．△AB C 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，已知BC=8cm ，BD=5cm ，则点D•到AB•的距离为_______．3．如图6所示，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于点F ，若DE=DF ，只需添加一个条件，•这个条件是__________．4．如图所示，∠AOB=40°，OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于A ，MB•⊥OB•于B ，•则∠MAB 的度数为________．三、解答题1．如图所示，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥A B 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BD=CD ，那么BE 与CF 相等吗？为什么？2．如图所示，∠B=∠C=90°，M 是BC 中点，DM 平分∠ADC ，判断AM•是否平分∠DAB ，说明理由．3．如图所示，已知PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB=PC ，D 是AP 上一点，由以上条件可以得到∠BDP=∠CDP 吗？为什么？探究应用拓展性训练1．（与现实生活联系的应用题）如图所示，在一次军事演习中，•红方侦察员发现蓝方指挥部设在A 区，到公路、铁路的交叉处B 点700m ．如果你是红方指挥员，•请你如图所示的作图地图上标出蓝方指挥部的位置．A B O M N2．（探究题）已知：在△ABC 中，AB=AC ．（1）按照下列要求画出图形：①作∠BAC 的平分线交BC 于点D ；②过D 作DE ⊥AB ，垂足为点E ；③过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ．（2）根据上面所画的图形，可以得到哪些相等的线段（AB=AC 除外）？说明理由．3．如图所示，在△ABC 中，P ，Q•分别是BC ，AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R ，S ．若AQ=PQ ，PR=PS ，•下面三个结论①AS=AR ，②QP ∥AR ，③△BRP ≌△CSP 中，正确的是（ ）．A ．①和③B ．②和③C ．①和② C ．①，②和③答案:一、1．D 解析：∵∠1=∠2，PD ⊥OA 于E ，PE ⊥OB 于E ，∴PD=PE ．又∵OP=OP ，∴△OPE ≌△OPD ．∴OD=OE ，∠DPO=∠EPO ．故A ，B ，C 都正确．2．D 解析：如答图，设点P 为AD 上任意一点，连结PB ，PC ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠CAD ．又∵AB=AC ，AP=AP ，∴△ABP ≌△ACP ，∴PB=PC ． 故①正确．由角的平分线的性质知②正确．∵AB=AC ，∠BAD=∠CAD ，AD=AD ， ∴△ABD ≌△ACD ． ∴BD=CD ，∠ADB=∠ADC ．又∵∠ADB+∠ADC=180°， ∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD ⊥BC ，故③正确．由△ABD ≌△ACD 知，∠B=∠C ．又∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠BED=∠CFD=90°，∴∠BDE=∠CDF ．故④正确．4．C 解析：∵AD 平分∠CAB ，AC ⊥BC 于点C ，DE ⊥AB 于E ，∴CD=DE ． 又∵AD=AD ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，∴AC=AE ．又∵AC=BC ，∴AE=BC ，∴△DBE 的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=2．提示：设法将DE+BD+EB 转成线段AB ．5．C二、1．（1）PF 角平分线上的点到角的两边的距离相同（2）∠AOB 的平分线上 到角的两边距离相等的点在角的平分线上2．解析：如图所示，AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC 于点C ，DM ⊥AB 于点M ．∴CD=DM ，P FACE B∴DM=CD=BC-BD=8-5=3．答案：3 提示：利用角的平分线的性质．3．AD 平分∠BAC ．4．解析：∵OM 平分∠AOB ，∴∠AOM=∠BOM=2AOB =20°． 又∵MA ⊥OA 于A ，MB ⊥OB 于B ，∴MA=MB ．∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ，∴∠AMO=∠BMO=70°，∴△AMN ≌△BMN ，∴∠ANM=∠BNM=90°，∴∠MAB=90°-70°=20°．答案：20°三、1．解析：BE=CF ．∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE=DF ．又∵BD=DC ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴BE=CF ．提示：由角的平分线的性质可知DE=DF ，从而为证△BDE ≌△CDF 提供了条件．2．解析：AM 平分∠DAB ．理由：如答图13-9所示， 作MN ⊥AD 于点N ，∵DM 平分∠CDA ，MC ⊥DC 于点C ，MN ⊥AD 于点N ， ∴MC=MN ．又∵M 是BC 的中点，∴CM=MB ，∴MN=BM ，∴AM 平分∠DAB ． 3．解析：可以．∵PB ⊥AB 于点B ，PC ⊥AC 于点C ，且PB=PC ，∴AP 平分∠BAC ，∴∠BAP=∠CAP ．在Rt △ABP 和Rt △ACP 中，PB=PC ，AP=AP ，∴Rt △ABP ≌Rt △ACP ，∴AB=AC ．在△ABD 与△ACD 中，AB=AC ，∠BA P=∠CAP ，AD=AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠ADB=∠ADC ，∴∠BDP=∠CDP ．探究应用拓展性训练1．如答图所示．解析：由题意可知，蓝方指挥部P 应在∠MBN 的平分线上．又∵比例尺为1：20000，∴P 离B 为3．5cm ．提示：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．2．（1）解析：按题意画图，如答图13-11．D A C B M N D A C BM（2）可以得到ED=FD ，AE=AF ，BE=CF ，BD=CD ． 理由如下：∵AB=AC ，∠1=∠2，AD=AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴BD=DC ． ∵∠1=∠2，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE=DF ．又∵AD=AD ，∴Rt △AED ≌Rt △AFD ，∴AE=AF ， ∴AB-AE=AC-AF ，即BE=CF ．提示：正确地画出图形是解决问题的关键，另外本题主要应用角的平分线的性质及三角形全等来寻找相等的线段．3．C 解析：如答图所示，连结AP ． ∵PR ⊥AB 于点R ，P S ⊥AC 于点S ，PR=PS ，∴AP 平分∠BAC ，∴∠1=∠2． 又∵AQ=QP ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴PQ ∥A R ． 在Rt △APR 和Rt △APS 中，PR=PS ，AP=AP ， ∴Rt △APR ≌Rt △APS ，∴AR=AS ． 而△BRP 与△CSP 不具备三角形全等的条件，故①②正确． 提示：本题的突破口是判断出点P 在∠BAC 的平分线上．D F A CE B 12S PA C B3R12Q。

同步习题及讲解一、选择题．1．如图6，AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是（）．A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC>AD2．如图7：△ABC中，∠C=90°，E是AB中点，D在∠B的平分线上，DE⊥AB，则（）． A．BC>AE B．BC=AE C．BC<AE D．以上全不对3．下列命题正确的是（）．A．三角形的一个外角等于两个内角和 B．三角形的一个外角大于任何一个内角C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．有两边对应相等的两个直角三角形全等二、证明题．4．如图，AD是∠BAC的角的平分线，DB⊥AB，DC⊥AC，B、C是垂足，那么EB与EC•的关系是怎样的呢？请证明你的结论．5．如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线交于F，那么点F是否在∠DAE的平分线上？请证明你的结论．三、探索题:6．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是角的平分线，探索：在AB上是否存在点E，DE•不与AB垂直，而△BDE之周长等于AB的长．若点E存在，请你出证明；若点E不存在，请说明理由．四、聚焦中考:7．下面是一个正确的命题：在下图中，如果BD⊥AC，CE⊥AB，CE与BD相交于点O，并且BO=CO，那么∠1=∠2，如果把上面的命题中的“BO=CO”改为结论，把“∠1=∠2”移入条件，所得到的命题是正确的命题，还是不正确的命题？请给出证明：如果是不正确的命题，则举出反例．答案:一、1．B 2．B 3．D二、4．提示：∵∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠DBA=∠DCA，∴△ABD≌△ACD，∴∠ADB=∠ADC，BD=DC，又∵DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴BE=EC5.过F作FM⊥AD于M，作FN⊥AE于N，作FP⊥BC于P，∵BF是∠DBC平分线，•∴FM=FP，同理FN=FP，∴FM=FN，∴F在∠DAE平分线上．三、6.不存在，作DH⊥AB于H，设点F在AB上，且AF=BD，点E是HB上任一点，有FE=FH+HE，又可证得DH=DC，△BDE的周长等于AB的长，由三角形三边关系得FE=•EH+•DH>DE，所以“周长”BD+DE+EB<EB+AF+DH+HE=AB，同样可证：AH•上任一点也不满足题目要求．四、7．是正确命题，可先用“AAS”证△AOE≌△AOD，再证△DEG≌△DFH．。

第1课时角的平分线的性质(1)一、能力提升1.如图,尺规作图作∠AOB的平分线的方法如下:以O为圆心,任意长为半径CD长为半径画弧分别交OA,OB于点C,D,再分别以点C,D为圆心,以大于12画弧,两弧交于点P,作射线OP,由作法得△OCP≌△ODP的根据是()A.SASB.ASAC.AASD.SSS2.(2020·湖南怀化中考)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC,交BC 于点D,DE⊥AC,垂足为点E,若BD=3,则DE的长为()A.3B.3C.2D.623.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F.若S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是()A.4B.3C.6D.54.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,垂足为E,S△ABC=36 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,求DE的长.5.如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M为BC边上的一点,且AM 平分∠BAD,DM平分∠ADC.求证:M为BC的中点.6.如图,已知AC平分∠BAD,CD=CB,AB>AD.求证:∠B+∠D=180°.7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于点D,问能否在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长?8.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E,F分别为AB,AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°.求证:DE=DF.二、创新应用9.如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边PC,PD分别与OA,OB相交于点C,D,PC和PD 有怎样的数量关系?请说明理由.答案: 一、能力提升 1.D 2.A 3.B4.解 如图,过点D 作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F.∵BD 平分∠ABC ,DE ⊥AB ,DF ⊥BC . ∴DE=DF.∵S △ABC =S △ABD +S △BDC , ∴12·AB ·DE+12·BC ·DF=36,∴12×18DE+12×12DE=36,∴DE=125 cm .5.证明:如图,作MN ⊥AD 于点N.∵AM 平分∠BAD ,∠B=90°,MN ⊥AD . ∴BM=MN.∵AB ∥CD ,∠B=90°, ∴∠C=90°.∵DM 平分∠CDA ,∠C=90°,MN ⊥AD . ∴MC=MN.∴BM=MC.即M 为BC 的中点.6.证明:如图,过点C 作CE ⊥AB 于点E ,CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F.因为AC 平分∠BAD , 所以CE=CF.在Rt △CBE 和Rt △CDF 中,因为CE=CF ,CB=CD ,所以Rt △CBE ≌Rt △CDF . 所以∠B=∠1.因为∠1+∠ADC=180°, 所以∠B+∠ADC=180°.7.分析:由于题目中存在AD 平分∠CAB ,且DC ⊥AC 的条件,联想到角的平分线上的点到角的两边的距离相等,故过点D 作DE ⊥AB ,便可找到所求作的点.解:能在AB 上确定一点E ,使△BDE 的周长等于AB 的长,即过点D 作DE ⊥AB 于点E ,则点E 就是所要确定的点. 证明:∵AD 平分∠CAB ,CD ⊥AC ,DE ⊥AB .∴DC=DE.在Rt △ACD 与Rt △AED 中,{AD =AD ,DC =DE ,∴Rt △ACD ≌Rt △AED (HL). ∴AC=AE.∵AC=BC , ∴△BDE 的周长为BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB. 8.证明:如图,过点D 作DM ⊥AB 于点M ,DN ⊥AC 于点N.∵AD 平分∠BAC ,∴DM=DN.∵∠AMD+∠MDN+∠AND+∠NAM=360°,∠AMD+∠AND=180°. ∴∠MDN+∠NAM=180°. ∵∠EDF+∠EAF=180°, ∴∠MDN=∠EDF , ∴∠MDE=∠NDF.在△EDM 和△FDN 中,{∠EMD =∠FND ,DM =DN ,∠MDE =∠NDF ,∴△EDM ≌△FDN (ASA). ∴DE=DF.二、创新应用 9.解 PC=PD.理由如下:如图,过点P 分别作PE ⊥OB 于点E ,PF ⊥OA 于点F ,∴∠CFP=∠DEP=90°.∵OM 是∠AOB 的平分线,∴PE=PF.由四边形内角和定理知∠FPE=90°.∵∠1+∠FPD=90°,∠2+∠FPD=90°, ∴∠1=∠2.在△CFP 和△DEP 中,{∠CFP =∠DEP ,PF =PE ,∠1=∠2,∴△CFP ≌△DEP (ASA). ∴PC=PD.第2课时角的平分线的性质(2)一、能力提升1.如图,点D在BC上,若DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则对于∠1和∠2的大小关系,下列说法正确的是()A.一定相等B.一定不相等C.当BD=CD时相等D.当DE=DF时相等2.一块三角形草坪如图所示,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在()A.△ABC的三条中线的交点处B.边BC的中点处C.△ABC三条角平分线的交点处D.△ABC三条高所在直线的交点处3.如图,三条公路两两相交,交点分别为A,B,C.现计划修一个油库,要求到这三条公路的距离相等,可供选择的地址有()A.一处B.两处C.三处D.四处4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,AC=6 cm,点O是△ABC三条角平分线的交点,OD⊥BC于点D,OE⊥AC于点E,OF⊥AB于点F,则点O到三边AB,AC,BC的距离分别是()A.2 cm,2 cm,2 cmB.4 cm,4 cm,4 cmC.5 cm,5 cm,5 cmD.2 cm,3 cm,5 cm5.如图,AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距离相等,则∠P=.6.如图,在△ABC中,BP,CP分别是△ABC的外角的平分线.求证:点P在∠BAC的平分线上.二、创新应用7.小明发现了一种画角的平分线的方法:如图,在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于点C.小明过点O,C画射线OC,就得到OC是∠AOB的平分线.请你证明这一结论的正确性.答案: 一、能力提升 1.D 2.C3.D △ABC 的两个内角平分线的交点,以及三个外角两两平分线的交点都满足要求.4.A 如图,连接OA ,OB ,OC , 则S △ABC =S △OAB +S △OBC +S △OCA . 而S △ABC =12×6×8,S △OAB =12×10·OF ,S △OBC =12×8·OD ,S △OCA =12×6·OE.因为点O 是△ABC 三条角平分线的交点, 所以OD=OE=OF. 设OD=x cm,则10x+6x+8x=48,解得x=2.5.90° 由题意可知点P 是∠ABC 和∠BCD 的平分线的交点. 又因为AB ∥CD ,所以∠ABC+∠BCD=180°.所以∠PBC+∠PCB=90°,即∠P=90°.6.证明:如图,过点P 作PE ⊥AB 于点E ,PF ⊥AC 于点F ,PD ⊥BC 于点D.∵点P 在∠EBC 的平分线上,PE ⊥AB ,PD ⊥BC . ∴PE=PD.同理PD=PF ,∴PE=PD=PF.又PE ⊥AB ,PF ⊥AC ,∴点P 在∠BAC 的平分线上.二、创新应用7.证明:过点C 作CG ⊥OA 于点G ,CF ⊥OB 于点F.如图,在△MOE 和△NOD 中,OM=ON ,∠MOE=∠NOD ,OE=OD .∴△MOE ≌△NOD (SAS).∴S △MOE =S △NOD ,∴S △MOE -S 四边形ODCE =S △NOD -S 四边形ODCE .即S △MDC =S △NEC .∵OM=ON ,OD=OE , ∴MD=NE.由三角形面积公式得12DM ·CG=12EN ·CF ,∴CG=CF.又CG ⊥OA ,CF ⊥OB ,∴点C 在∠AOB 的平分线上,即OC 是∠AOB 的平分线.。

角平分线性质练习题一、选择题1. 在三角形ABC中，角A的平分线交BC于点D，以下哪个说法是正确的？A. AD是角A的角平分线B. 角BAD等于角CADC. 角BAC等于角DACD. AD是BC的垂直平分线2. 如果在三角形ABC中，角A的平分线和边BC的垂直平分线重合，那么三角形ABC是什么三角形？A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 不规则三角形3. 在三角形ABC中，角A的平分线交BC于点D，若角B等于角C，那么角BAD和角CAD的大小关系是什么？A. 相等B. 角BAD大于角CADC. 角BAD小于角CADD. 不能确定二、填空题4. 在三角形ABC中，若角A的平分线将角A平分为两个相等的角，那么角BAD等于______。

5. 如果角A的平分线AD交BC于点D，且BD等于DC，那么三角形ABC是一个______三角形。

6. 在三角形ABC中，角A的平分线交BC于点D，若角A等于60度，角B等于40度，则角ADC等于______度。

三、计算题7. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD交BC于点D，且BD等于3厘米，DC等于4厘米，求BC的长度。

8. 在三角形ABC中，角A的平分线AD交BC于点D，已知角A等于70度，角B等于50度，求角BAD的度数。

四、证明题9. 证明：在三角形ABC中，如果角A的平分线AD交BC于点D，那么角BAD等于角CAD。

10. 证明：如果三角形ABC中角A的平分线AD交BC于点D，并且AB 等于AC，那么三角形ABC是一个等腰三角形。

五、应用题11. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD交BC于点D，且角A等于60度，角B等于角C，求角B和角C的度数。

12. 在三角形ABC中，角A的平分线AD交BC于点D，已知BD等于2厘米，DC等于3厘米，且角A等于40度，求AD的长度。

六、开放性问题13. 如果在三角形ABC中，角A的平分线AD交BC于点D，且角A等于90度，讨论三角形ABC的性质。

12.3角的平分线的性质一、选择题（本大题共10小题，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，点P到AE，AD，BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点．其中正确的是( )A. ①②③④B. ①②③C. ④D. ②③2.如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的是( )A. ④B. ②③C. ①②③D.①②③④3.到三角形的三边距离相等的点是( )A. 三角形三条高的交点B. 三角形三条内角平分线的交点C. 三角形三条中线的交点D. 无法确定4.如图所示，∠B=∠C=90∘，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC =110∘，则∠MAB= ( )A. 30∘B. 35∘C. 45∘D. 60∘5.三角形内部到三边距离相等的点是( )A. 三边中线的交点B. 三边垂直平分线的交点C. 三内角平分线的交点D. 三边上高的交点6.如图，AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD=8，则点P到BC的距离是( )A. 8B. 6C. 4D. 27.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是．( )A. 点CB. 点DC. 点ED. 点F8.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( )A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q9.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为( )A. 3B. 10C. 12D. 1510.如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P.若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小）11.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等.若∠A=60∘，则∠BOC=°．12.如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=30°，则∠AOB=________．13.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC与BC边交于点D，BD=2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为cm．14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，大于12若CD=3，AB=10，则△ABD的面积是________．三、解答题（本大题共3小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AP平分∠BAC．16.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.求证：AM平分∠DAB．17.如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB=AC，DE=DF.求证：BD=CD．参考答案1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】A9.【答案】D10.【答案】C11.【答案】12012.【答案】60°13.【答案】1514.【答案】1515.【答案】证明：过P作PQ⊥AB于Q，PN⊥BC于N，PM⊥AC于M，∵∠1=∠2.∠3=∠4，∴PQ=PN，PN=PM，∴PQ=PM，∵PQ⊥AB，PM⊥AC，∴AP平分∠BAC．16.【答案】证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E，∵∠B=∠C=90°，∴MC⊥CD，MB⊥AB，∵DM平分∠ADC，∴∠CDM=∠EDM，又∵MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME=MC，又∵MC=MB，∴ME=MB，又∵MB⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB．17.【答案】证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中AB=AC∠BAD=∠CAD，AD=AD∴△ABD≌△ACD，(SAS)，∴BD=CD．。

角的平分线的性质一、选择题1．如图1所示，∠1=∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，则下列结论中错误的是（ ）． A ．PD=PE B ．OD=OE C ．∠DPO=∠EPO D ．PD=ODPDA EB O DF ACEBD ACEB（1） (2) (3)2．如图2所示，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，则下列四个结论：①AD 上任意一点到C ，B 的距离相等；②AD 上任意一点到AB ，AC 的距离相等；③BD=CD ，AD ⊥BC ；④∠BDE=∠CDF ，其中正确的个数是（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．如图3所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=1，AD 在∠BAC•的平分线上，DE ⊥AB 于点E ，则△DBE 的周长为（ ）．A ．2B ．．无法计算D AEBOPF AC EB ODFACEB(4) (5) (6)4．如图4所示，已知∠AOB ，求作射线OC ，使OC 平分∠AOB ，•作法的合理顺序是（ ）． （1）作射线OC ；（2）在OA 和OB 上，分别截取OD ，OE ，使OD=OE ； （3）分别以D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C ． A ．（1）（2）（3） B ．（2）（1）（3） C ．（2）（3）（1） D ．（3）（2）（1） 二、填空题1．（1）若OC 为∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为E ，F ，则PE=________，根据是________________．（2）如图5所示，若在∠AOB 内有一点P ，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为E ，F ，且PE=PF ，则点P 在_______，根据是____________．2．△AB C 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，已知BC=8cm ，BD=5cm ，则点D•到AB•的距离为_______．3．如图6所示，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于点F ，若DE=DF ，只需添加一个条件，•这个条件是__________．4．如图所示，∠AOB=40°，OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于A ，MB•⊥OB•于B ，•则∠MAB 的度数为________． 三、解答题1．如图所示，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥A B 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BD=CD ，那么BE 与CF 相等吗？为什么？DF CE B2．如图所示，∠B=∠C=90°，M 是BC 中点，DM 平分∠ADC ，判断AM•是否平分∠DAB ，说明理由．DACBM3．如图所示，已知PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB=PC ，D 是AP 上一点，由以上条件可以得到∠BDP=∠CDP 吗？为什么？PDACB探究应用拓展性训练1．（与现实生活联系的应用题）如图所示，在一次军事演习中，•红方侦察员发现蓝方指挥部设在A 区，到公路、铁路的交叉处B 点700m ．如果你是红方指挥员，•请你如图所示的作图地图上标出蓝方指挥部的位置．A BOMN比例尺1:20000A 区B2．（探究题）已知：在△ABC 中，AB=AC ． （1）按照下列要求画出图形： ①作∠BAC 的平分线交BC 于点D ； ②过D 作DE ⊥AB ，垂足为点E ； ③过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ．（2）根据上面所画的图形，可以得到哪些相等的线段（AB=AC 除外）？说明理由．3．如图所示，在△ABC 中，P ，Q•分别是BC ，AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R ，S ．若AQ=PQ ，PR=PS ，•下面三个结论①AS=AR ，②QP ∥AR ，③△BRP ≌△CSP 中，正确的是（ ）．A ．①和③B ．②和③C ．①和② C ．①，②和③PCB R答案: 一、1．D 解析：∵∠1=∠2，PD ⊥OA 于E ，PE ⊥OB 于E ，∴PD=PE ． 又∵OP=OP ，∴△OPE ≌△OPD ． ∴OD=OE ，∠DPO=∠EPO ． 故A ，B ，C 都正确．2．D 解析：如答图，设点P 为AD 上任意一点，连结PB ，PC ． ∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠CAD ． 又∵AB=AC ，AP=AP ， ∴△ABP ≌△ACP ，∴PB=PC ． 故①正确．由角的平分线的性质知②正确． ∵AB=AC ，∠BAD=∠CAD ，AD=AD ，P DF ACE∴△ABD ≌△ACD ． ∴BD=CD ，∠ADB=∠ADC ． 又∵∠ADB+∠ADC=180°， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∴AD ⊥BC ，故③正确． 由△ABD ≌△ACD 知，∠B=∠C ． 又∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ， ∴∠BED=∠CFD=90°， ∴∠BDE=∠CDF ．故④正确．4．C 解析：∵AD 平分∠CAB ，AC ⊥BC 于点C ，DE ⊥AB 于E ，∴CD=DE ． 又∵AD=AD ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，∴AC=AE ． 又∵AC=BC ，∴AE=BC ，∴△DBE 的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB= 提示：设法将DE+BD+EB 转成线段AB ． 5．C二、1．（1）PF 角平分线上的点到角的两边的距离相同（2）∠AOB 的平分线上 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 2．解析：如图所示，AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC 于点C ，DM ⊥AB 于点M ． ∴CD=DM ，∴DM=CD=BC-BD=8-5=3． 答案：3提示：利用角的平分线的性质． 3．AD 平分∠BAC ． 4．解析：∵OM 平分∠AOB ， ∴∠AOM=∠BOM=2AOB=20°． 又∵MA ⊥OA 于A ，MB ⊥OB 于B ， ∴MA=MB ．∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ， ∴∠AMO=∠BMO=70°， ∴△AMN ≌△BMN ， ∴∠ANM=∠BNM=90°， ∴∠MAB=90°-70°=20°． 答案：20° 三、1．解析：BE=CF ．∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE=DF ． 又∵BD=DC ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ， ∴BE=CF ．提示：由角的平分线的性质可知DE=DF ，从而为证△BDE ≌△CDF 提供了条件． 2．解析：AM 平分∠DAB ．DACBM理由：如答图13-9所示， 作MN ⊥AD 于点N ， ∵DM 平分∠CDA ，MC ⊥DC 于点C ，MN ⊥AD 于点N ， ∴MC=MN ．又∵M 是BC 的中点，∴CM=MB ， ∴MN=BM ，∴AM 平分∠DAB ． 3．解析：可以．∵PB ⊥AB 于点B ，PC ⊥AC 于点C ，且PB=PC ， ∴AP 平分∠BAC ，∴∠BAP=∠CAP ． 在Rt △ABP 和Rt △ACP 中， PB=PC ，AP=AP ，∴Rt △ABP ≌Rt △ACP ，∴AB=AC ． 在△ABD 与△ACD 中，AB=AC ，∠BA P=∠CAP ，AD=AD ， ∴△ABD ≌△ACD ，∴∠ADB=∠ADC ，∴∠BDP=∠CDP ．探究应用拓展性训练1．如答图所示．解析：由题意可知，蓝方指挥部P 应在∠MBN 的平分线上． 又∵比例尺为1：20000，∴P 离B 为3．5cm ． 提示：到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 2．（1）解析：按题意画图，如答图13-11． （2）可以得到ED=FD ，AE=AF ，BE=CF ，BD=CD ． 理由如下：∵AB=AC ，∠1=∠2，AD=AD ， ∴△ABD ≌△ACD ，∴BD=DC ．∵∠1=∠2，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ， ∴DE=DF ． 又∵AD=AD ，∴Rt △AED ≌Rt △AFD ，∴AE=AF ， ∴AB-AE=AC-AF ，即BE=CF ．提示：正确地画出图形是解决问题的关键，另外本题主要应用角的平分线的性质及三角形全等来寻找相等的线段． 3．C 解析：如答图所示，连结AP ．∵PR ⊥AB 于点R ，P S ⊥AC 于点S ，PR=PS ， ∴AP 平分∠BAC ，∴∠1=∠2． 又∵AQ=QP ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴PQ ∥A R ． 在Rt △APR 和Rt △APS 中， PR=PS ，AP=AP ，∴Rt △APR ≌Rt △APS ，∴AR=AS ．DF ACE B12S PCB 3R12D A CBMN而△BRP与△CSP不具备三角形全等的条件，故①②正确．提示：本题的突破口是判断出点P在∠BAC的平分线上．。