人教B版高二数学必修四《 向量的正交分解与向量的直角坐标运算》单元测试

向量的正交分解与向量的直角坐标运算（自学自测）【学习目标】 1掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算。

【重点】 用坐标表示向量的运算。

【难点】正交分解的意义【自主学习】1.两个基向量1e ，2e 互相垂直的基底叫做_______，在正交基底下分解向量，叫做 。

2.在直角坐标系xoy 内，分别取与x 轴和y 轴正方向相同的两个单位向量1e ，2e ，这时，就在坐标平面内建立了一个正交基底｛1e ，2e ｝，1e ，2e 分别是与x 轴和y 轴______ ，这个基底也叫做直角坐标系xoy 的基底。

3. 在坐标平面xoy 内，任作一向量（用有向线段表示），由平面向量基本定理可知，存在惟一的有实数对),(21a a ，使得1122a a e a e =+，),(21a a 就是向量在基底｛1e ，2e ｝下的 即= ,其中1a 叫做向量在x 轴上的 ，2a 叫做在y 轴上的 。

（记忆）4.符号),(y x 在直角坐标系中具有双重意义，它既可以表示一个固定的 ，又可以表示一个 ，为了加以区分，在叙述中，就常说点),(y x 或向量),(y x .5. 向量的坐标运算（1）若12(,)a a a =，12(,)b b b =，则b += ,a b - = .（2）设1122(,),(,),A x y B x y AB =则 （3）若12(,)a a a =,λ R ，则a l =【自我检测】1.已知向量＝（6,1），＝（x,y ）,=(－2,－3)，则等于（） A ．（4－x,y －2） B ．（4+x,y-2） C ．（－4－x,－y+2） D ．(4+x,y+2)2.已知=（－3,4），＝（2,1），则+与4+3的坐标分别是（） A ．（－1,5），（6,19） B ．（－1,5），（6，－19）C ．（－1，5），（－6,19）D ．（－1,－5），（－6,19）3.点A 的坐标为（1，－3），的坐标为（3，7），则点B 的坐标为（）A ．（4，4）B ．（－2,4）C ．（2,10）D ．（－2，－10）向量的正交分解与向量的直角坐标运算（自研自悟）例1:已知平行四边形ABCD 的三个顶点)1,2(-A ，)3,1(-B ，)4,3(C ，求顶点D 的坐标。

课时达标检测（二十） 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算一、选择题1．已知向量OA ＝(1，－2)，OB ＝(－3,4)，则12AB 等于( ) A ．(－2,3)B ．(2，－3)C ．(2,3)D ．(－2，－3)答案：A2．已知a ＝(－5,6)，b ＝(－3,2)，c ＝(x ，y )，若a －3b ＋2c ＝0，则c 等于( )A ．(－2,6)B ．(－4,0)C ．(7,6)D ．(－2,0) 答案：D3．已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb ＝(10,0)(m ，n ∈R)，则( )A ．m ＝2，n ＝4B ．m ＝3，n ＝－2C ．m ＝4，n ＝2D ．m ＝－4，n ＝－2 答案：C4．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC ＝2CB ，则实数a 等于( )A ．2B ．1 C.45 D.53答案：A5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6) 答案：D二、填空题6．已知A (2,3)，B (1,4)，且12AB ＝(sin α，cos β)，α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 答案：π6或－π27．已知e 1＝(1,2)，e 2＝(－2,3)，a ＝(－1,2)，试以e 1，e 2为基底，将a 分解成λ1e 1＋λ2e 2的形式为________．答案：a ＝17e 1＋47e 28．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4.设OC ＝λOA ＋OB (λ∈R)，则λ＝ ________.答案：23三、解答题9．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC ＝13AB ，DA ＝－13BA ，求点C ，D 和CD 的坐标． 解：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由题意可得AC ＝(x 1＋1，y 1－2)，AB ＝(3,6)，DA ＝(－1－x 2,2－y 2)， BA ＝(－3，－6)．∵AC ＝13AB ，DA ＝－13BA ， ∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)， (－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)． 则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0. ∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，因此CD ＝(－2，－4)．10．已知三点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)，点P 满足AP ＝AB ＋λAC (λ∈R)．(1)λ为何值时，点P 在正比例函数y ＝x 的图象上？(2)设点P 在第三象限，求λ的取值范围．解：设P 点坐标为(x 1，y 1)，则AP ＝(x 1－2，y 1－3)． AB ＋λAC ＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)，即AB ＋λAC ＝(3＋5λ，1＋7λ)，由AP ＝AB ＋λAC ，可得(x 1－2，y 1－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－2＝3＋5λ，y 1－3＝1＋7λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝5＋5λ，y 1＝4＋7λ. ∴P 点的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)．(1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝12， ∴当λ＝12时，P 点在函数y ＝x 的图象上． (2)因为点P 在第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ＜0，4＋7λ＜0，解得λ＜－1， ∴λ的取值范围是{λ|λ＜－1}．11．已知向量u ＝(x ，y )与向量v ＝(y,2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示．(1)证明：对任意向量a ，b 及常数m ，n ，恒有f (ma ＋nb )＝mf (a )＋nf (b )成立；(2)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )及f (b )的坐标；(3)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 是常数)的向量c 的坐标．解：(1)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则ma ＋nb ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，∴f (ma ＋nb )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，mf (a )＋nf (b )＝m (a 2,2a 2－a 1)＋n (b 2,2b 2－b 1)＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，∴f (ma ＋nb )＝mf (a )＋nf (b )成立．(2)f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(3)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )，∴y ＝p,2y －x ＝q ，∴x ＝2p －q ，即向量c ＝(2p －q ，p )．附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。

双基达标 (限时20分钟)1．已知A (3,1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是 ( )．A ．(－2，－1)B ．(2,1)C ．(1,2)D ．(－1，－2)解析 BA →＝(3,1)－(2，－1)＝(3－2,1＋1)＝(1,2)． 答案 C2．若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是 ( )．A ．(5,3)B ．(4,3)C ．(8,3)D ．(0，－1)解析 3a ＋2b ＝3(2,1)＋2(1,0)＝(6,3)＋(2,0)＝(8,3)． 答案 C3．已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，则下列结论正确的是 ( )．A ．向量a 的终点坐标为(－2,3)B ．向量a 的起点坐标为(－2,3)C ．向量a 与b 互为相反向量D ．向量a 与b 关于原点对称 解析 ∵a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)． ∴a ＋b ＝(－2,3)＋(2，－3)＝(0,0)＝0， ∴a ＝－b . 答案 C4．已知AB →＝(2，－1)，AC →＝(－4,1)则BC →＝________. 解析 BC →＝AC →－AB →＝(－4,1)－(2，－1)＝(－4－2,1＋1)＝(－6,2)． 答案 (－6,2)5．已知a ＝(－1,1)且a ＝x i ＋y j ，则x ＝________，y ＝________. 解析 由于a ＝x i ＋y j ＝(x ，y )．∴x ＝－1，y ＝1. 答案 －1 16．已知A (2,0)，a ＝(x ＋3，x －3y －5)，O 为原点，若a ＝OA →，求x ，y 的值． 解 ∵a ＝(x ＋3，x －3y －5)＝(2,0)， ∴⎩⎨⎧ x ＋3＝2，x －3y －5＝0，∴⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2， ∴x ＝－1，y ＝－2.综合提高 (限时25分钟)7．给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应． 其中正确说法的个数是 ( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误． 答案 C8．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12 C ．(－8,1)D ．(8,1)解析 AB →＝OB →－OA →＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1)， ∴12AB →＝12(－8,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12.答案 A9．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP →＝12MN →，则P 点的坐标为________．解析 设P (x ，y )，则由MP →＝12MN →得，(x －3，y ＋2)＝12(－8，1)，所以P 点的坐标为(－1，－32)．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32 10．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量之间的一个运算为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q ＝________.解析 设q ＝(x ，y )，则由题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，所以q ＝(－2,1)．答案 (－2,1)11．如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，O 为对角线AC ，BD 的交点，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)．求OB →的坐标．解 DB →＝AB →－AD →＝(－2,1)－(3,7)＝(－5，－6)， ∴OB →＝12DB →＝12(－5，－6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－3.12．(创新拓展)已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋t ·AB →，求： (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值？若不能，请说明理由． 解 设P (x ，y )，则由OP →＝OA →＋t ·AB →得， (x ，y )＝(1,2)＋t (3,3)＝(3t ＋1,3t ＋2)．(1)当3t ＋2＝0，即t ＝－23时，点P 在x 轴上； 当3t ＋1＝0，即t ＝－13时，点P 在y 轴上；当⎩⎨⎧3t ＋1<0，3t ＋2>0，即－23<t <－13时，点P 在第二象限． (2)若四边形OABP 能成为平行四边形，则OP →＝AB →， 即(1＋3t,2＋3t )＝(3,3)，无解， 故四边形OABP 不能成为平行四边形．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算基础巩固 新人教B 版必修4一、选择题1．(2014·广东文，3)已知向量a ＝(1,2)、b ＝(3,1)，则b －a ＝( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0) D ．(4,3)[答案] B[解析] ∵a ＝(1,2)、b ＝(3,1)，∴b －a ＝(3－1,1－2)＝(2，－1)． 2．若向量BA →＝(2,3)、CA →＝(4,7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(－6，－10)[答案] A[解析] BC →＝BA →＋AC →＝BA →－CA →＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．3．(2014·北京文，3)已知向量a ＝(2,4)、b ＝(－1,1)，则2a －b ＝( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7) D ．(3,9)[答案] A[解析] 2a －b ＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)4．已知AB →＝(5，－3)、C (－1,3)、CD →＝2AB →，则点D 的坐标是( ) A ．(11,9) B ．(4,0) C ．(9,3) D ．(9，－3)[答案] D[解析] ∵AB →＝(5，－3)，∴CD →＝2AB →＝(10，－6)， 设D (x ，y )，又C (－1,3)， ∴CD →＝(x ＋1，y －3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝10y －3＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝－3.5．已知△ABC 中，点A (－2,3)、点B (－3，－5)，重心M (1，－2)，则点C 的坐标为( ) A ．(－4,8)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－43C ．(8，－4)D ．(7，－2)[答案] C[解析] 设点C 的坐标为(x ，y )， 由重心坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝－2＋－3＋x3－2＝3＋－5＋y 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝－4.6．已知i 、j 分别是方向与x 轴正方向、y 轴正方向相同的单位向量，O 为原点，设OA →＝(x 2＋x ＋1)i －(x 2－x ＋1)j (其中x ∈R)，则点A 位于( )A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] ∵x 2＋x ＋1>0，－(x 2－x ＋1)<0， ∴点A 位于第四象限． 二、填空题7．若点O (0,0)、A (1,2)、B (－1,3)，且OA ′→＝2OA →，OB ′→＝3OB →，则点A ′的坐标为________．点B ′的坐标为________，向量A ′B ′→的坐标为________．[答案] (2,4) (－3,9) (－5,5) [解析] ∵O (0,0)，A (1,2)，B (－1,3)， ∴OA →＝(1,2)，OB →＝(－1,3)，OA ′→＝2×(1,2)＝(2,4)，OB ′→＝3×(－1,3)＝(－3,9)．∴A ′(2,4)，B ′(－3,9)，A ′B ′→＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．8．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________. [答案] (－3，－5)[解析] AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)． 三、解答题9．(1)设向量a 、b 的坐标分别是(－1,2)、(3，－5)，求a ＋b ，a －b,2a ＋3b 的坐标； (2)设向量a 、b 、c 的坐标分别为(1，－3)、(－2,4)、(0,5)，求3a －b ＋c 的坐标． [解析] (1)a ＋b ＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3，2－5)＝(2，－3)；a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)；2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(－2＋9,4－15)＝(7，－11)．(2)3a －b ＋c ＝3(1，－3)－(－2,4)＋(0,5) ＝(3，－9)－(－2,4)＋(0,5) ＝(3＋2＋0，－9－4＋5) ＝(5，－8)．一、选择题1．已知a ＝(5，－2)、b ＝(－4，－3)、c ＝(x ，y )，且2a ＋b －3c ＝0，则c 等于( ) A ．(－2，73)B ．(2，73)C ．(2，－73)D ．(－2，－73)[答案] C[解析] 2a ＋b －3c ＝(10，－4)＋(－4，－3)－(3x,3y )＝(6－3x ，－7－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0－7－3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－73.2．已知两点A (4,1)、B (7，－3)，则与向量AB →同向的单位向量是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35[答案] A[解析] AB →＝(3，－4)，∴与AB →同向的单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45，即选A.3．原点O 为正六边形ABCDEF 的中心，OA →＝(－1，－3)、OB →＝(1，－3)，则OC →等于( )A ．(2,0)B ．(－2,0)C ．(0，－23)D ．(0，3)[答案] A[解析] OABC 为平行四边形，∴OC →＝OB →－OA →＝(2,0)．4．已知向量a ＝(1,2)、b ＝(2,3)、c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1、λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,2[答案] D[解析] ∵c ＝λ1a ＋λ2b ∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3) ＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ1＋2λ24＝2λ1＋3λ2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1λ2＝2.故选D.二、填空题5．设点A (2,0)、B (4,2)，点P 在直线AB 上，且|AB →|＝2|AP →|，则点P 的坐标为________． [答案] (3,1)或(1，－1)[解析] ∵点P 在直线AB 上，且|AB →|＝2|AP →|， 当点P 在线段AB 上时，P 为线段AB 的中点， ∴P (2＋42，0＋22)，即P (3,1)．当点P 在线段BA 的延长线上时， AB →＝－2AP →，设P (x ，y )，∴－2AP →＝(4－2x ，－2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝4－2x 2＝－2y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1.∴P (1，－1)．6．(2014·安徽合肥市撮镇中学高一月考)设a ＝(－1,2)、b ＝(1，－1)、c ＝(3，－2)，用a 、b 作基底可将c 表示为c ＝pa ＋qb ，则实数p 、q 的值为________．[答案] p ＝1、q ＝4[解析] c ＝pa ＋qb ＝(－p ＋q,2p －q )＝(3，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－p ＋q ＝32p －q ＝－2，解得⎝⎛p ＝1q ＝4.三、解答题7．已知△ABC 的两个顶点A (3,7)和B (－2,5)，求C 点坐标，使AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上．[解析] 设C 点坐标为(x ，y )，根据中点坐标公式，可得AC 的中点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x 2，y ＋72.又∵AC 的中点在x 轴上，∴y ＋72＝0，∴y ＝－7，同理可得BC 中点为⎝⎛⎭⎪⎫－2＋x 2，5＋y 2.∵BC 的中点在y 轴上， ∴－2＋x2＝0，∴x ＝2，∴C (2，－7)． 8．若向量|a |＝|b |＝1，且a ＋b ＝(1,0)，求向量a 、b 的坐标． [解析] 设a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝1p 2＋q 2＝1m ＋p ＝1n ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝p ＝12q ＝－32n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝p ＝12q ＝32n ＝－32.故a ＝(12，32)、b ＝(12，－32)或a ＝(12，－32)、b ＝(12，32)．9．已知直线上三点P 1、P 、P 2满足|P 1P →|＝23|PP 2→|，且P 1(2，－1)、P 2(－1,3)，求点P的坐标．[解析] ∵|P 1P →|＝23|PP 2→|，∴P 1P →＝23PP 2→或P 1P →＝－23PP 2→，设P (x ，y )，则(x －2，y ＋1)＝±23(－1－x,3－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝23－1－x y ＋1＝233－y，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－23－1－x y ＋1＝－233－y.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45y ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝－9.4 5，35)或(8，－9)．故点P的坐标为(。

课时跟踪检测（十八） 向量的正交分解与向量的直角坐标运算层级一 学业水平达标1．如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且A (2,3)，B (4,2)，以表示为( )A ．2i ＋3jB ．4i ＋2jC ．2i －jD ．－2i ＋j解析：选C 记O 为坐标原点，2i ＋3j 4i ＋2j ，＝2i －j .2a ，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，2，又λ＝12，则λa 等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫18，1 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－3解析：选A ∵a ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－2，∴λa ＝12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，－1.3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6)D ．(2,0)解析：选A b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．4．在平行四边形ABCD 中，AC (2,4)(1,3)( )A ．(2,4)B ．(3,5)C ．(1,1)D ．(－1，－1)解析：选C ＝(1,1)．5．已知M (－2,7)，N (10，－2)，点P 是线段MN P 点的坐标为( )A ．(－14,16)B ．(22，－11)C ．(6,1)D ．(2,4)解析：选D 设P (x ，y )(10－x ，－2－y )(－2－x,7－y )，⎩⎪⎨⎪⎧10－x ＝4＋2x ，－2－y ＝－14＋2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.6．(江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3.答案：－37．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)________. 解析：∵A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，(2,3)(－3,3)．(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)． 答案：(－4,9)8．已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，＝6，∠xOA 为________．解析：设点A (x ，y )，则x ＝33，y ＝3，即A (－33，3)(－33，3)．答案：(－33，3)9．已知a B 点坐标为(1,0)，b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，且a ＝3b －2c ，求点A 的坐标．解：∵b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，∴3b －2c ＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，即a ＝(－7,10)又B (1,0)，设A 点坐标为(x ，y )，(1－x,0－y )＝(－7,10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－7，0－y ＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－10，即A 点坐标为(8，－10)．10(4,3)(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标．(2)若点P (2，y )λλ∈R)，求λ与y 的值． 解：(1)设B (x 1，y 1)，(4,3)，A (－1，－2)， 所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，所以B (3,1)．同理可得D (－4，－3)， 设BD 的中点M (x 2，y 2)，则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.(2)(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )，(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，λλ∈R)，所以(1,1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－17，y ＝37.层级二 应试能力达标1(2,4)(0,2)( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(1,1)D ．(－1，－1)解析：选D＝12(＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D. 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,2解析：选D ∵c ＝λ1a ＋λ2b ， ∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)顶点D 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3,2)D ．(1,3)解析：选 A 设点D (m ，n )，则由题意得(4,3)＝2(m ，n －2)＝(2m,2n －4)，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝72，即点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72，故选A.4．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算为mn ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算为m n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设f ＝(p ，q )，若f ＝(5,0)，则f等于( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－4)解析：选B 由(1,2)⊗f ＝(5,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2，所以f ＝(1，－2)，所以f ＝，－2)＝(2,0)．5．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中，正确结论有________个．解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．答案：16．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4.λλ∈R)，则λ＝ ________.解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π4知，|OE |＝|CE |＝2，所以λλ所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.答案：237．在△ABC 中，已知A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F解：∵A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，(3－7,5－8)＝(－4，－3)，(4－7,3－8)＝(－3，－5)．∵D 是BC 的中点，＝12(＝12(－4－3，－3－5)＝12(－7，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－4.∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴F 为AD 的中点．＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2.8．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，(1)0(2)m ，n ∈R)，且点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，求m －n .解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，0，(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.所以点P 的坐标为(2,2)，(2,2)．(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，(2,3)－(1,1)＝(1,2)，(3,2)－(1,1)＝(2,1)，所以(x 0，y 0)＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝m ＋2n ，y 0＝2m ＋n ，两式相减得m －n ＝y 0－x 0，又因为点P 在函数y ＝x ＋1的图象上， 所以y 0－x 0＝1， 所以m －n ＝1.。

向量的正交分解与向量的直角坐标运算课时过关 ·能力提高1.已知= (2,3),A(-1,2),则点 B 的坐标是 ()A.(1,1)B.(5,5)C.(1,5)D.(1,3)分析 :设 B( x,y),则有= (x+ 1,y-2),所以 x+1= 2,y-2= 3,得 x= 1,y= 5.即 B(1,5).答案 :C2.已知 M(3,-2),N(-5,-1), 且,则点 P 的坐标为 ()A.( -8,-1)B.C. D.(8, -1)分析 :由已知得=( -8,1),于是.设 P(x,y),则有 x-3=- 4,y+ 2= ,于是 x=- 1,y=- ,故 P.答案 :B3.若向量 a= (1,1), b= (1,-1),c= (-1,2),则 c 等于()A. - a+ bB. a- bC. a- bD. - a+ b分析 :设 c=xa+y b,于是有即 c= a- b .答案 :B4.已知在 ?ABCD 中 , = (3,7),= (-2,3),对角线 AC,BD 交于点 O,则的坐标为()A. B.C. D.分析 :以下图 ,= (-2,3)+ (3,7) = (1,10),∴.∴.答案 :C5.已知点 A(3,-4),B( -1,2),点 P 在直线 AB 上 ,且 | |= 2||,则点 P 的坐标为 ()A. B.( -5,8)C.或 (-4,7)D.或(-5,8)分析 :当点 P 在线段 AB 上时 ,由| |= 2||可得=2,设 P(x,y),则 (x-3,y+ 4)= 2(-1-x,2-y),所以于是P.当点 P 在线段 AB 的延伸线上时 ,由 | |= 2||可得.设 P(x,y),则 (-4,6)= (x+ 1,y-2),解得 x=- 5,y= 8,于是 P(-5,8).答案 :D6.设点 A,B,C,D 的坐标挨次为 (-1,0),(3,1),(4,3),(0,2), 则四边形ABCD 的形状为.分析 :以下图 , = (0,2)-(-1,0)= (1,2),= (4,3)-(3,1) =(1,2),∴.又||=,| |=,∴||≠| |,∴四边形 ABCD 为平行四边形.答案 :平行四边形7.已知正方形ABCD 的边长为1.若点 A 与坐标原点重合,边 AB,AD 分别落在x 轴、 y 轴的正方向上 ,则向量 4-3的坐标为.分析 :如图 ,各极点的坐标为A(0,0),B(1,0),C(1,1), D(0,1),∴= (1,0),= (0,1),= (1,1) .∴4-3= (1,- 2).答案 :(1,-2)8.已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10), 若+ λ(λ∈ R),则当λ=时,点P在第一、三象限的角均分线上;当λ时,点P在第三象限内.分析 :设点 P 的坐标为 (x,y),则 = (x,y)-(2,3) =( x-2,y-3),+λ = [(5,4) -(2,3)] + λ[(7,10) -(2,3)]= (3,1) + λ(5,7) = (3+ 5λ,1+7λ).∵+ λ,∴∴若点 P 在第一、三象限的角均分线上,则 5+5λ= 4+ 7λ,∴λ= .若点 P 在第三象限内,则∴λ<- 1.∴当λ= 时 ,点 P 在第一、三象限的角均分线上;当λ<- 1 时 ,点 P 在第三象限内.答案 :<-19.(1) 已知 2a+ b=(-4,3),a-2b= (3,4), 求向量 a,b 的坐标 .(2)已知 x 轴的正方向与向量 a 的夹角为 60°,且 |a|= 2,求向量 a 的坐标 .解:(1)①×2+ ②,得 5a= (-8+ 3,6+ 4)= (-5,10),则 a=( -1,2),故 b= (-4,3)-2(-1,2)= (-4,3)-(- 2,4)=(-2,-1).(2)设 a= (x,y).∵x=| a|cos 60 °=2× = 1,y= ±|a|sin 60 =°±2×=±,∴a= (1,±).10.已知平面上四点A(-2,2),B(0,4), C(1,3),D (-1,1),判断四边形ABCD 能否为平行四边形?假如 ,请赐予证明 ;若不是 ,请说明原因 .解 : 四边形 ABCD 为平行四边形.证明以下 :∵A(-2,2),B(0,4), C(1,3), D (-1,1),∴= (0,4)-(-2,2)= (2,2),= (1,3) -(-1,1)= (2,2),∴,∴四边形 ABCD 为平行四边形.★11.已知 O 是△ ABC 内一点 ,∠ AOB= 150°,∠ BOC= 90°,设= a,= b,= c,且 |a|= 2,|b|= 1,|c|= 3,试用 a 和 b 表示 c.解 : 以 O 为坐标原点 ,OA 所在直线为x 轴成立以下图的坐标系.由 | |= 2,得= (2,0).设点 B 的坐标为 (x1,y1),点 C 的坐标为 (x2,y2).由∠ AOB= 150°,依据三角函数的定义可求出点 B 的坐标 x1= 1·cos 150 =°- ,y1= ,则 B,即.同理 ,点 C 的坐标为,即.设=m+n,则=m(2,0) +n,即故=-3 -3,即 c=- 3a-3 b.★12.如图 ,四边形 ABCD 是正方形 ,延伸 CD 至 E,使得 DE=CD ,连结 AE.若动点 P 从点 A 出发 ,按如下路线运动 :A→ B→C→ D→ E→ A→ D,此中=λ+ μ,(1)当点 P 为 BC 的中点时 ,求λ+ μ的值 ;(2)知足λ+ μ= 1 的点 P 有几个 ?解 :(1)连结 AC,由于点 P为 BC的中点,所以,①由于 DE=CD ,所以= 2,所以+2-2.由于= λ+ μ,所以= ( λ-2μ) + μ.②由于不共线 ,由①②可得解得所以λ+ μ= 2.(2)若λ+ μ= 1,则λ= 1-μ.由于= λ+ μ,所以= (1 -μ) + μ,所以= μ(),所以= μ,所以 B,P,E 三点共线 ,所以动点 P 运动至点B,E,以及 BE 与边 AD 的交点时知足条件,即知足λ+ μ= 1 的点 P 有 3个.。