高中数学 第三章 函数的应用 3.4.1 第1课时 函数的零点学案 苏教版必修1

3.4。

2 函数模型及其应用学习目标1。

理解函数模型的概念和作用。

2.能用函数模型解决简单的实际问题。

3.了解建立拟合函数模型的思想和步骤，并了解检验和调整的必要性．知识点一函数模型思考自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，说说什么是函数模型？它怎么来的？有什么用？梳理设自变量为x，函数为y,并用x表示各相关量,然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．知识点二用函数模型解决实际问题（1）解答应用问题的基本思想(2）解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型;②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识,建立相应的数学模型；③求模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将数学结论还原为实际应用问题的结论．知识点三数据拟合思考1 我们知道不同的身高需要坐不同高度的桌椅，但你知道任一确定的身高对应的桌椅的最佳高度吗？如何解决?梳理现实世界中的事物都是相互联系、相互影响的，反映事物变化的变量之间就存在着一定的关系．这些关系的发现，通常是通过试验或实验测定得到一批数据，再经过分析处理得到的．数据拟合就是研究变量之间这种关系，并给出近似的数学表达式的一种方法，根据拟合模型，我们还可以对某变量进行预测或控制．此类题的解题过程一般有如下五步：(1）作图：即根据已知数据,画出散点图;(2）选择函数模型:一般是根据散点图的特征,联想哪些函数具有类似图象特征，找几个比较接近的函数模型尝试；（3）求出函数模型：求出(2）中找到的几个函数模型的解析式;(4）检验：将(3）中求出几个函数模型进行比较、验证，得出最合适的函数模型；（5）利用所求出的函数模型解决问题．思考2 数据拟合时，得到的函数为什么要检验？类型一利用已知函数模型求解实际问题例1 某列火车从北京西站开往石家庄,全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程．反思与感悟在实际问题中,有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型,这时可借助待定系数法求出函数解析式．再根据解题需要研究函数性质．跟踪训练1 如图是抛物线形拱桥,当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．类型二自建确定性函数模型解决实际问题命题角度1 非分段函数模型例2 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元)与年产量x （吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y＝错误!－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少?反思与感悟自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么,列什么，限制什么”．求什么就是弄清楚要解决什么问题,完成什么任务．设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中,除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．跟踪训练2 有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝错误!x，Q2＝错误!错误!。

函数与方程-----函数的零点问题一、教学目标：1、函数的零点概念〔理解〕2、函数零点存在性定理〔掌握〕二、知识梳理：1．函数零点的定义1对于函数＝f∈D，把使__ __成立的实数叫做函数＝f ∈D的零点．2函数零点与方程根的关系：方程f＝0有实数根⇔函数＝f的图象与有交点⇔函数＝f有．2．函数零点的判定零点存在性定理如果函数＝f在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数＝f在区间内有零点，即存在c∈a，b，使得，这个也就是方程f＝0的根0,那么函数=f在区间[a，b]上无零点2〔1〕f是定义在R上的奇函数，当时，，那么函数的零点集合是_____________________________〔2〕函数f＝2-3-18在区间[1,8]上填“存在〞或“不存在〞零点〔3〕函数那么函数的零点个数是_______________四、课堂导学：〔含参问题〕例：函数f＝－2＋2e＋m－1，g＝＋＞0．（1）假设函数f在R上有零点，求m的取值范围；（2）假设g＝m有实数根，求m的取值范围；（3）确定m的取值范围，使得g－f＝0有两个相异实根．变式：〔1〕函数f＝2-3a在区间2，3内有零点，求实数a的取值范围．〔2〕设函数f＝og3错误!－a在区间1，2内有零点，求实数a的取值范围〔3〕函数f满足f＋1＝f－1，且f是偶函数，当∈[0，1]时，f＝，假设在区间[－1，3]上函数g＝f－－有4个零点，求实数的取值范围．〔4〕假设f﹣4=f0,f﹣2=﹣2,求关于的方程f=的解的个数五、课堂小结：函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；2别离参数法：先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决；3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．。

3.4.2 函数模型及其应用1．了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想．(难点)2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用(重点)．[基础·初探]教材整理 函数模型及其应用 阅读教材P 98至P 100，完成下列问题． 1．常见的函数模型(1)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； (2)反比例函数模型：f (x )＝k x＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； (3)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (4)指数函数模型：f (x )＝ab x＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b ＞0，b ≠1)； (5)对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a ＞0，a ≠1)； (6)幂函数模型：f (x )＝ax n＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)． (7)分段函数模型．2．用函数模型解决实际问题的基本步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．1．某商店每月利润的平均增长率为2%，若12月份的利润是当年1月份利润的k 倍，则k ＝________.【解析】 设1月份利润为x ，则12月份的利润y ＝x (1＋2%)11＝kx ，∴k ＝1.0211. 【答案】 1.02112．在一定范围内，某种产品的购买量y t 与单价x 元之间满足一次函数关系，如果购买1 000 t ，每吨为800元；购买2 000 t ，每吨为700元，一客户购买400 t ，单价应该是________元．【解析】 依题意，可设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ， 由x ＝800，y ＝1 000及x ＝700，y ＝2 000， 可得k ＝－10，b ＝9 000， 即y ＝－10x ＋9 000， 将y ＝400代入得x ＝860(元)． 【答案】 860[小组合作型]1.通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力(f (x )值越大，表示接受的能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0<x ≤10，59，10<x ≤16，－3x ＋107，16<x ≤30.(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5 min 与开讲后20 min 比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min 时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？【精彩点拨】 精读题目，理解题意及分段函数的意义进行求解． 【自主解答】 (1)当0<x ≤10时，f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9.故f (x )在(0,10]上单调递增，最大值为f (10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；当16<x ≤30时，f (x )单调递减，f (x )<－3×16＋107＝59.因此，开讲后10 min ，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min. (2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9 ＝59.9－6.4＝53.5，f (20)＝－3×20＋107＝47<53.5＝f (5)．因此，开讲后5 min 学生的接受能力比开讲后20 min 强一些． (3)当0<x ≤10时，令f (x )＝55， 则－0.1×(x －13)2＝－4.9，(x －13)2＝49. 所以x ＝20或x ＝6，但0<x ≤10， 故x ＝6.当16<x ≤30时，令f (x )＝55， 则－3x ＋107＝55. 所以x ＝1713.因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为1713－6＝1113≤13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题． [再练一题]1．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件．经试销调查发现，销售量y (件)与销售单价x (元/件)近似满足一次函数y ＝kx ＋b 的关系(图象如图3­4­3所示)．(1)根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b 的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S 元，求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．图3­4­3【解】 (1)由题图可知所求函数图象过点(600,400)，(700,300)，得⎩⎪⎨⎪⎧400＝k ×600＋b ，300＝k ×700＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1 000，所以y ＝－x ＋1 000(500≤x ≤800)．(2)由(1)可知S ＝xy －500y ＝(－x ＋1 000)(x －500) ＝－x 2＋1 500x －500 000＝－(x －750)2＋62 500(500≤x ≤800)， 故当x ＝750时，S max ＝62 500.即销售单价为750元/件时，该公司可获得最大毛利润为62 500元． 2．利用指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？【精彩点拨】 第(1)问知v 求Q ，直接求得；第(2)问知Q 求v ，也是直接代入． 【自主解答】 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题中给出的公式可得：0＝5log 2Q10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入题中给出的公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s. [再练一题]2．某学校为了预防甲型H1N1流感，对教室采用药熏消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a (a 为常数)，如图3­4­4所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：图3­4­4(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．【解析】 药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比，则设函数为y ＝kt (k ≠0)，将点⎝⎛⎭⎪⎫110，1代入可得k ＝10，则y ＝10t ；将点⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1代入y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a，得a ＝110.1．应用已知函数模型解题，有两种题型： (1)直接依据题中的函数解析式解决相关问题；(2)若函数解析式中含有参数，将题中相应数据代入解析式，求得参数，从而确定函数解析式，并解决问题，这时用到的是待定系数法．2．信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等．3．有些实际问题，可能需要多个函数模型，这时应注意分段函数模型的使用，在写分段函数时必须注意区间端点值不能重复，也不能遗漏．[探究共研型]探究1 【提示】 数据拟合是研究变量之间相互影响、相互联系，并给出近似的数学表达式的一种方法．探究2 用数据拟合法如何建立函数模型？【提示】 一般是先做出散点图，近而根据散点趋势选择相关模型予以拟合．某人对西红柿市场做了一次调查，通过调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ， Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 【精彩点拨】 根据这四种函数增长速度的特点选择适合表中数据函数模型，然后再用该模型解决问题．【自主解答】 (1)做出散点图，如图，根据散点图，应选取二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ×502＋b ×50＋c ＝150，a ×1102＋b ×110＋c ＝108，a ×2502＋b ×250＋c ＝150.解得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.∴Q ＝1200t 2－32t ＋4252.(2)由(1)知，Q＝1200(t－150)2＋100.∴当t＝150天时，西红柿的种植成本是最低100元/102 kg.根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．[再练一题]3．有一组实验数据如下表所示：①y＝log a x(a＞1)；②y＝ax＋b(a＞1)；③y＝ax2＋b(a＞0)；④y＝log a x＋b(a＞1)．【解析】通过所给数据结合散点图可知y随x增大，其增长速度越来越快，而①④中的函数增长速度越来越慢，而②中的函数增长速度保持不变．【答案】 ③1．用长度为20的铁丝围成一个长方形场地，使其一边靠墙，若靠墙的一边长设为x ，则长方形的面积为________．【解析】 因为靠墙的一边长为x ， 则另一边长为20－x 2＝10－x2，则长方形的面积为y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x 2(0<x <20)．【答案】 y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x 2(0<x <20)2．已知：号)(1)y ＝a ＋bx；(2)y ＝a ＋bx ；(3)y ＝a ＋log b x ；(4)y ＝a ·b x.【解析】 由表知x 可以取“0”，排除(1)、(3)， 对于(2)：当x ＝0时，y ＝a ＝1，∴a ＝1， 当x ＝1时，y ＝a ＋b ＝2.02.b 可以取1， 当x ＝2时，y ＝1＋2＝3；当x ＝3时，y ＝1＋3＝4与表中各数据相差较大，可知只有(4)正确． 【答案】 (4)3．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图3­4­5中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元．图3­4­5【解析】 由题意可知，收入y 是销售量x 的一次函数，设y ＝ax ＋b ，将(1,800)，(2,1 300)代入得a ＝500，b ＝300.当销售量为x ＝0时，y ＝300. 【答案】 3004．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升．直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．各图能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是________．(填序号)【解析】 从亮亮的体温变化可以看出图象应为：早晨37 ℃以上――→降上午37 ℃(中午)――→升下午晚上――→降半夜37 ℃. 【答案】 (3)5．某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，每生产100台，需要增加成本(即另增加投入)0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售收入函数为R (x )＝5x －0.5x 2(0≤x ≤5，单位：万元)，其中x 是产品出售的数量(单位：百台)．求年产量是多少时，工厂所得利润最大？【解】 ∵市场对此产品的年需求量为5百台，∴当x ≤5时，产品能售出x 台，x ＞5时只能售出5百台，故利润函数为：L (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －0.5x 2－＋0.25x ，0≤x ≤5，⎝⎛⎭⎪⎫5×5－522－＋0.25x ，x ＞5＝⎩⎪⎨⎪⎧4.75x －0.5x 2－0.5，0≤x ≤5，12－0.25x ，x ＞5，当0≤x ≤5时，L (x )＝4.75x －0.5x 2－0.5， 当x ＝4.75时，得L (x )max ＝L (4.75)＝10.8万元；当x＞5时，L(x)＝12－0.25x，利润在12－0.25×5＝10.75万元以下，故生产475台时利润最大．。

[学业水平训练]一、填空题1.函数y ＝x －1x的零点是________． 解析：令y ＝x －1x ＝0，得x 2－1x＝0， ∴x 2－1＝0，∴x ＝±1.答案：1，－12.若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0，1)内，则b 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0，1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＜0f （1）＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＜01＋b ＞0， ∴－1＜b ＜0.答案：(－1，0)3.若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：令x 2＋2x ＋a ＝0，由Δ＜0，即22－4a ＜0，解得a ＞1，所以a ＞1时，方程f (x )＝0无解，即函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点．答案：a ＞14.方程x 2＋x ＋1－a ＝0有两个异号的实根，则a 应满足的条件是________．解析：Δ>0且x 1x 2<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－4（1－a ）>01－a <0，∴a >1. 答案：a >15.已知方程x 2＋x ＋4－2m ＝0的两实根α，β满足α<2<β，则m 的取值范围是________． 解析：∵(α－2)(β－2)＝αβ－2(α＋β)＋4＝(4－2m )＋2＋4＝10－2m <0，∴m >5，又Δ＝1－4(4－2m )>0，m >158，综合得m >5. 答案：m >56.已知函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则该函数的所有零点之和等于________．解析：偶函数关于y 轴对称，故函数f (x )与x 轴4个交点所形成的零点之和为0.答案：0二、解答题7.求下列函数的零点．(1)f (x )＝2x －1；(2)f (x )＝2x 2＋4x ＋2；(3)f (x )＝x 3－2x 2－3x ；(4)f (x )＝x 3－4x 2＋4x －1.解：(1)令f (x )＝0，即2x －1＝0，2x ＝1，∴x ＝0，∴f (x )有一个零点0.(2)令f (x )＝0，即2x 2＋4x ＋2＝0，x 2＋2x ＋1＝0，∴x ＝－1，∴f (x )有一个零点－1.(3)令f (x )＝0，即x 3－2x 2－3x ＝0，x (x 2－2x －3)＝0，x (x －3)(x ＋1)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝3，∴f (x )有三个零点－1，0，3.(4)令f (x )＝0，即x 3－4x 2＋4x －1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－4x (x －1)＝(x －1)(x 2－3x ＋1)＝0，∴x 1＝1，x 2＝3＋52，x 3＝3－52， ∴f (x )有三个零点1，3＋52，3－52. 8.求函数f (x )＝ln (x －1)＋0.01x 的零点的个数．解：因为f (3)＝ln 2＋0.03＞0，f (1.5)＝－ln 2＋0.015＜0，所以f (3)·f (1.5)＜0，说明函数f (x )＝ln (x －1)＋0.01x 在区间(1.5，3)内有零点．又y ＝ln (x －1)与y ＝0.01x 在(1，＋∞)上都是增函数，所以该函数只有一个零点．[高考水平训练]一、填空题1.已知f (x )是二次函数，当x ＝1时有最大值1，f (0)＝－1，则f (x )的零点为________． 解析：设f (x )＝a (x －1)2＋1(a <0)．由f (0)＝－1，得a (0－1)2＋1＝－1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －1)2＋1，由f (x )＝0，得－2(x －1)2＋1＝0，即(x －1)2＝12，∴x 1＝1－22，x 2＝1＋22，故f(x)的零点是1－22，1＋22.答案：1±2 22.若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是________(填序号)．①若f(a)·f(b)＜0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0；②若f(a)·f(b)＜0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0；③若f(a)·f(b)＞0, 不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0；④若f(a)·f(b)＞0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0.解析：由零点存在性定理可知①不正确；②可通过反例f(x)＝x(x－1)·(x＋1)在区间[－2，2]上满足f(－2)·f(2)＜0，但其存在三个零点：－1，0，1；③可通过反例f(x)＝(x－1)(x＋1)在区间[－2，2]上满足f(－2)·f(2)＞0，但其存在两个零点：－1，1.答案：④二、解答题3.函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示．(1)写出方程f(x)＝0的根；(2)求a，b，c的值．解：(1)方程f(x)＝0的根是x1＝－3，x2＝－1.(2)设f(x)＝a(x＋3)(x＋1)，将点(0，－3)代入得－3＝a(0＋3)(0＋1)，∴a＝－1，∴f(x)＝－(x＋3)(x＋1)＝－x2－4x－3.所求a＝－1，b＝－4，c＝－3.4.(1)关于x的方程x2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于1，一个小于1，求m的取值范围；(2)关于x的方程x2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，分别在(0，1)和(3，4)之间，求m的取值范围．解：(1)令f(x)＝x2＋2(m＋3)x＋2m＋14，∵对应抛物线开口向上，又方程有两实根，且一个大于1，一个小于1，1 ∴f (1)＜0，即m ＜－214.(2)令f (x )＝x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，由图知，原命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （3）＜0，f （4）＞0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－7，m ＜－214，m ＜－418，m ＞－275，∴－275＜m ＜－214.。

3．2 函数与方程、不等式之间的关系第1课时 函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 内 容 标 准学 科 素 养1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．数学抽象 数学运算 直观想象2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式．3.了解高次不等式的解法。

授课提示:对应学生用书第53页[教材提炼]知识点一 函数零点的概念一般地,如果函数y ＝f (x )在实数α处的函数值等于零,即f (α）＝0,则称α为函数y ＝f （x )的零点．知识点二 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系函数y＝x2－2x－3y＝x2－2x＋1y＝x2－2x＋3函数的图像方程的实数根x1＝－1，x2＝3x1＝x2＝1无实数根不等式的解集y＞0的解集（－∞，－1)∪(3,＋∞)y＞0的解集（－∞，1）∪(1，＋∞）y＞0的解集R y＜0的解集(－1,3）y<0的解集∅y〈0的解集∅［自主检测]1．函数f（x)＝2 020x－2 019的零点是()A。

错误!B．2 020C．－2 019D。

错误!答案：D2．不等式x2－4x＋3＜0的解集为()A．（1,3) B．(－∞,1］∪[3，＋∞) C．(－3，－1) D．(－∞，－3]∪[－1,＋∞)解析:作出函数y＝x2－4x＋3的图像，由图可知选A。

答案：A3．已知某函数f(x)的图像如图所示,则函数y＝f(x）的最大零点所在的区间是________（取整数区间，区间长度为1)．解析:在函数f（x）与x轴所有的交点中，最右边的那个交点所对应的横坐标就是函数的最大零点，故此函数的最大零点所在的区间为（6,7)．答案：(6，7）授课提示：对应学生用书第53页探究一函数的零点[例1]求函数f（x)＝x3－7x＋6的零点．［解析]令f（x）＝0,即x3－7x＋6＝0，∴x3－x－(6x－6)＝0，∴x(x－1）(x＋1）－6(x－1）＝0，∴(x－1）（x－2)(x＋3)＝0，解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，∴函数f（x）＝x3－7x＋6的零点是1，2，－3。