2017年秋人教八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解14.1.2 幂的乘方同步练习及答案1

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点题库单选题1、要使多项式(x+p)(x−q)不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．乘积为−1答案：A分析：计算乘积得到多项式，因为不含x的一次项，所以一次项的系数等于0，由此得到p-q=0，所以p与q 相等.解：(x+p)(x−q)=x2+(p−q)x−pq∵乘积的多项式不含x的一次项∴p-q=0∴p=q故选择A.小提示：此题考查整式乘法的运用，注意不含的项即是该项的系数等于0.2、下列分解因式正确的是（）A．a3−a=a(a2−1)B．x3+4x2y+4xy2=x(x+2y)2C．−x2+4xy−4y2=−(x+2y)2D．16x2+16x+4=(4x+2)2答案：B分析：根据分解因式的方法进行分解，同时分解到不能再分解为止；A、a3−a=a(a2−1)=a(a+1)(a−1)，故该选项错误；B、x3+4x2y+4xy2=x(x2+4xy+4y2)=x(x+2y)2，故该选项正确；C、−x2+4xy−4y2=−(x2−4xy+4y2)=−(x−2y)2，故该选项错误；D、16x2+16x+4=4(4x2+4x+1)=4(2x+1)2，故该选项错误；故选：B．小提示：本题考查了因式分解，解决问题的关键是掌握因式分解的几种方法，注意因式分解要分解到不能再分解为止；3、若x 2+ax ＝（x +12）2+b ，则a ，b 的值为（ ） A ．a ＝1，b ＝14B ．a ＝1，b ＝﹣14 C ．a ＝2，b ＝12D ．a ＝0，b ＝﹣12答案：B分析：根据完全平方公式把等式右边部分展开，再比较各项系数，即可求解．解：∵x 2+ax ＝（x +12）2+b =x 2+x +14+b ， ∴a =1，14+b =0， ∴a ＝1，b ＝﹣14，故选B ．小提示：本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．4、下列因式分解正确的是（ ）A ．a 4b ﹣6a 3b ＋9a 2b ＝a 2b （a 2﹣6a ＋9）B ．x 2﹣x ＋14＝（x ﹣12）2C ．x 2﹣2x ＋4＝（x ﹣2）2D ．x 2﹣4＝（x ＋4）（x ﹣4）答案：B分析：直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．解：A 、a 4b ﹣6a 3b ＋9a 2b ＝a 2b （a 2﹣6a ＋9）＝a 2b （a ﹣3）2，故此选项错误；B 、x 2﹣x ＋14＝（x ﹣12）2，故此选项正确；C 、x 2﹣2x ＋4，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误；D 、x 2﹣4＝（x ＋2）（x ﹣2），故此选项错误；故选：B ．小提示：本题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法进行解题．5、如下列试题，嘉淇的得分是（）姓名：嘉淇得分：将下列各式分解因式（每题20分，共计100分）①2xy−4xyz=2xy(1−2z)；②−3x−6x2=−3x(1−2x)；③a2+2a+1=a(a+2)；④m2−4n2= (m−2n)2；⑤−2x2+2y2=−2(x+y)(x−y)A．40分B．60分C．80分D．100分答案：A分析：根据提公因式法及公式法分解即可．①2xy−4xyz=2xy(1−2z)，故该项正确；②−3x−6x2=−3x(1+2x)，故该项错误；③a2+2a+1=(a+1)2，故该项错误；④m2−4n2=(m+2n)(m−2n)，故该项错误；⑤−2x2+2y2=−2(x+y)(x−y)，故该项正确；正确的有：①与⑤共2道题，得40分，故选：A．小提示：此题考查分解因式，将多项式写成整式乘积的形式，叫做将多项式分解因式，分解因式的方法：提公因式法、公式法，根据每道题的特点选择恰当的分解方法是解题的关键．6、在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是（）．A．−a2−9B．a2−9C．a2−4b D．a2+9答案：B分析：直接利用平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)，进而分解因式判断即可．A、−a2−9，无法分解因式，故此选项不合题意；B、a2−9=(a+3)(a−3)，能用平方差公式分解，故此选项符合题意；C、a2−4b，无法分解因式，故此选项不合题意；D、a2+9，无法分解因式，故此选项不合题意．故选B．小提示：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．7、若2a+3b−3=0，则4a×23b的值为（）A．23B．24C．25D．26答案：A分析：先利用已知条件2a+3b−3=0，得2a+3b=3，再利用同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方将原式变形得出答案．解：∵2a+3b−3=0，∴2a+3b=3，∵4a×23b=（22）a×23b=22×a×23b=22a+3b，∴原式=4a×23b=（22）a×23b=22×a×23b=22a+3b=23，故选：A．小提示：本题主要考查了同底数幂的乘法运算和幂的乘方，正确将原式变形是解题关键．8、下列因式分解正确的是（）A．a2+b2＝(a+b)2B．a2+2ab+b2＝(a−b)2C．a2−a=a(a+1)D．a2−b2=(a+b)(a−b)答案：D分析：根据因式分解的方法，逐项分解即可．A. a2+b2，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；B. a2+2ab+b2＝(a+b)2故该选项不正确，不符合题意；C. a2−a=a(a−1)，故该选项不正确，不符合题意；D. a2−b2=(a+b)(a−b)，故该选项正确，符合题意．故选D．小提示：本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．9、计算(x+1)(x+2)的结果为( )A．x2+2B．x2+3x+2C．x2+3x+3D．x2+2x+2答案：B解：原式=x2+2x+x+2=x2+3x+2.故选B.10、已知2n=a，3n=b，12n=c，那么a、b、c之间满足的等量关系是（）A．c=ab B．c=ab3C．c=a3b D．c=a2b答案：D分析：直接利用积的乘方、幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．A选项：ab=2n⋅3n=6n≠12n，即c≠ab，A错误；B选项：ab3=2n⋅(3n)3=2n⋅33n=2n⋅27n=54n≠12n，即c≠ab3，B错误；C选项：a3b=(2n)3⋅3n=8n⋅3n=24n≠12n，即c≠a3b，C错误；D选项：a2b=(2n)2⋅3n=4n⋅3n=12n=c，D正确．故选：D．小提示：本题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．填空题11、计算：(√5-2)2018(√5+2)2019的结果是_____.答案：√5+2分析：逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案.(√5-2)2018(√5+2)2019=(√5-2)2018×(√5+2)2018×(√5+2)=[(√5-2)×(√5+2)]2018×(√5+2)=(5-4)2018×(√5+2)=√5+2，故答案为√5+2.小提示：本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.12、若|a|=2，且(a−2)0=1，则2a的值为_______．答案：1##0.254分析：根据绝对值的意义得出a=±2，根据(a−2)0=1，得出a−2≠0，求出a的值，即可得出答案．解：∵|a|=2，∴a=±2，∵(a−2)0=1，∴a−2≠0，即a≠2，∴a=−2，∴2a=2−2=1．4．所以答案是：14小提示：本题主要考查了绝对值的意义，零指数幂有意义的条件，根据题意求出a=−2，是解题的关键．13、已知x−y=3，xy=10，则(x+y)2=______．答案：49分析：根据（x+y）2=（x-y）2+4xy即可代入求解．解：（x+y）2=（x-y）2+4xy=9+40=49．所以答案是：49．小提示：本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．14、分解因式：am+an−bm−bn=_________________答案：(m+n)(a−b)分析：利用分组分解法和提取公因式法进行分解因式即可得．解：原式=(am+an)−(bm+bn)=a(m+n)−b(m+n)=(m+n)(a−b)，所以答案是：(m+n)(a−b)．小提示：本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．15、若x−y−3=0，则代数式x2−y2−6y的值等于______．答案：9分析：先计算x-y的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将x-y的值代入化简计算，再代入计算即可求解．解：∵x−y−3=0，∴x−y=3，∴x2−y2−6y=(x+y)(x−y)−6y=3(x+y)−6y=3x+3y−6y=3(x−y)=9所以答案是：9．小提示：本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式分解因式后整体代入是解题的关键．解答题16、化简：3（a﹣2）（a+2）﹣（a﹣1）2．答案：2a2+2a-13分析：根据平方差公式和完全平方公式去括号，再计算加减法．解：3（a﹣2）（a+2）﹣（a﹣1）2=3（a2-4）-（a2-2a+1）=3a2-12-a2+2a-1=2a2+2a-13．小提示：此题考查了整式的乘法计算公式，整式的混合运算，正确掌握平方差公式和完全平方公式的计算法则是解题的关键．17、爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若a m=a n(a>0，且a≠1，m、n都是正整数），则m= n，例如：若5m=54，则m=4．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题：(1)如果2×4x×32x=236，求x的值；(2)如果3x+2+3x+1=108，求x的值．答案：(1)x=5(2)x=2分析：（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，从而可求解；（2）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，即可求解．（1）因为2×4x×32x=236，所以2×22x×25x=236，即21+7x=236，所以1+7x=36，解得：x=5；（2）因为3x+2+3x+1=108，所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33，即3x+1=33，所以x+1=3，解得：x=2．小提示：本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．18、阅读：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，试判断△ABC的形状．答案：（1）③，忽略了a2−b2=0的情况；（2）见解析分析：（1）根据题意可直接进行求解；（2）由因式分解及勾股定理逆定理可直接进行求解．解：（1）由题意可得：从第③步开始错误，错的原因为：忽略了a2−b2=0的情况；故答案为③；忽略了a2−b2=0的情况；（2）正确的写法为：c2(a2−b2)＝(a2+b2)(a2−b2)c2(a2−b2)−(a2+b2)(a2−b2)＝0(a2−b2)[c2−(a2+b2)]＝0当a2−b2=0时，a=b；当a2−b2≠0时，a2+b2=c2；所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．小提示：本题主要考查勾股定理逆定理及因式分解，熟练掌握勾股定理逆定理及因式分解是解题的关键．解析：解：因为a2c2−b2c2=a4−b4，①所以c2(a2−b2)=(a2−b2)(a2+b2)②所以c2=a2+b2③所以△ABC是直角三角形④请据上述解题回答下列问题：（1）上述解题过程，从第______步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为______；（2）请你将正确的解答过程写下来．。

第十四章 整式的乘法与因式分解 单元复习与检测题（含答案）一、选择题1、如果（9n ）2=312，则n 的值是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．12、计算()2323xyy x -⋅⋅的结果是（ ）A ．y x 105⋅B ．y x 85⋅C ．y x 85⋅-D ．y x 126⋅ 3、若x 2-kxy+9y 2是一个完全平方式，则k 值为（ ） A ．3 B ．6 C ．±6 D ．±81 4、下列因式分解正确的是（ ） A. 4-x ²+3x=(2-x)(2+x)+3x B. -x ²-3x+4=(x+4)(x-1) C. 1-4x+4x ²=(1-2x) ² D. x ²y-xy+x 3y=x(xy-y+x ²y)5、下列计算中，正确的个数有（ ）①3x 3•（﹣2x 2）=﹣6x 5；②4a 3b ÷（﹣2a 2b ）=﹣2a ；③（a 3）2=a 5；④（﹣a ）3÷（﹣a ）=﹣a 2．6、若x 2﹣y 2=20，且x+y=﹣5，则x ﹣y 的值是（ ） A ．5 B ．4C ．﹣4D ．以上都不对7、下列多项式，在实数范围内能用公式法分解因式的有( )①x 2＋6x ＋9；②4x 2－4x －1；③－x 2－y 2；④2x 2－y 2；⑤x 2－7；⑥9x 2＋6xy ＋4y 2.A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8、下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A ．x 2+x+1B ．x 2+2x-1C ．x 2-1D ．x 2-6x+9 9、下列说法中正确的是（ ）。

A 、不是整式；B 、的次数是；C 、与是同类项；D 、是单项式10、已知a+b=2，则a 2﹣b 2+4b 的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6二、填空题11、若32×83=2n ，则n=________． 12、已知351515()x a b =-，则x=_______.13、多项式4x 2+1加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，•请你写出符合条件的这个单项式是___________．14、若正方形的面积为a 2+18ab+81b 2（a,b 均大于0），则这个正方形的边长为 。

人教版八年级数学上册第十四章《整式乘法与因式分解》测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．计算3325a a 的结果是（ ） A ．610aB ．910aC ．37aD ．67a2．下列运算正确的是（ ） A ．22a a a ⋅=B ．824a a a ÷=C ．()2242a b a b =D ．()325a a =3．下列计算正确的是（ ） A ．623a a a ÷=B ．()326a a =C ．248a a a ⋅=D ．532a a a -=4．下列计算结果正确的是（ ） A ．()336a a =B ．632a a a ÷=C ．()248ab ab =D ．()2222a b a ab b +=++5．下列计算正确的是（ ） A ．25611a a a += B ．()235326b b b -⋅= C ．623623b a a ÷=D ．()()22339b a a b a b +-=-6．已知实数m ，n 满足222+=+m n mn ，则2(23)(2)(2)-++-m n m n m n 的最大值为（ ） A ．24B ．443C ．163D ．4-7．已知()()2221x x x +--=，则2243x x -+的值为（ ） A ．13B ．8C ．－3D ．58．若2022202020222022202320222021-=⨯⨯n ，则n 的值是（ ） A ．2023B ．2022C ．2021D ．20209．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x 值为81，我们看到第一次输出的结果为27．第二次输出的结果为9，…，第2022次输出的结果为（ ）A ．1B ．3C ．9D ．2710．下列等式从左到右的变形，其中属于因式分解的是（ ） A ．2221(1)--=-x x x B ．22221(1)x y xy xy ++=+ C ．2(3)(3)9x x x +-=-D ．32822(41)a a a a -=-11．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输入整数2x 后则显示12x x -的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是121-=；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a ，b ，全部输入完毕后显示的最后结果设为k ，若k 的最大值为10，那么k 的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记1nk k =∑＝1+2+3+…+（n ﹣1）+n ，()3n k x k =+∑＝（x +3）+（x +4）+…+（x +n ）；已知()3nk x x k =⎡+⎤⎣⎦∑＝9x 2+mx ，则m 的值是（ ） A ．45B ．63C ．54D ．不确定二、填空题13．分解因式：216x y xy -=______．14．因式分解：322242m m n mn -+=________． 15．因式分解：32312x xy -=_________．16．已知2223,15a b b c a b c -=-=++=，则ab bc ca ++的值等于________．三、解答题 17．分解因式： (1)22a ab a ++； (2)()()222m n m n +-+18．化简：()()()482x y x y xy xy xy +---÷．19．先化简，再求值：(1)(1)(2)x x x x +-++，其中12x =． 20．先化简，再求值：22()()(2)34x y x y x y y y ⎡⎤+----÷⎣⎦，其中20201x y ==-，．21．已知有理数a ，b ，c 满足()222434|41|02aa cbc b +-+--+--=∣∣，试求313242n n n a b c +++-的值．22．先化简，再求值()()()22x y x y xy xy x +-+-÷，其中11,2x y ==． 23．已知x +1x ＝3，求下列各式的值：(1)（x ﹣1x）2；(2)x 4+41x ． 24．阅读材料：若2222440m mn n n -+-+=，求m ，n 的值．解：∵2222440m mn n n -+-+=，∴()()2222440m mn n n n -++-+=，∴22()(2)0m n n -+-=，∴2()0m n -=，2(2)0n -=，∴2n =，2m =． 根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知22228160x y xy y +-++=，则x =________，y =________；（2）已知ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足22248180a b a b +--+=，求ABC 的周长．25．如图，长为40，宽为x 的大长方形被分割为9小块，除阴影A ，B 两块外，其余7块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y ．(1)分别用含x，y的代数式表示阴影A，B两块的周长，并计算阴影A，B两块的周长和．(2)分别用含x，y的代数式表示阴影A，B两块的面积，并计算阴影A，B的面积差．(3)当y取何值时，阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，并求出这个值．参考答案：1．A【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：6332510a a a =⋅， 故选：A ．【点睛】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2．C【分析】根据同底数幂乘除法、积的乘方和幂的乘方法则进行计算，即可作出判断． 【详解】A ：23a a a ⨯=,故A 错误，不符题意； B ：826a a a ÷=，故B 错误，不符题意； C ：()2242a b a b =，故C 正确，符合题意； D ：()326a a =，故B 错误，不符题意； 故选：C.【点睛】此题考查了同底数幂乘除法、积的乘方和幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．B【分析】根据同底数幂的除法法则对A 进行判断；根据幂的乘方法则对B 进行判断；根据同底数幂的乘法法则对C 进行判断；根据合并同类项对D 进行判断． 【详解】A. 624a a a ÷=，所以此项不正确； B. ()326a a =，所以此项正确；C. 246a a a ⋅=，所以此项不正确；D. 53a a -，不能合并，，所以此项不正确； 故选B ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法：am ÷an =am -n （m 、n 为正整数，m ＞n ）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及合并同类项． 4．D【分析】分别利用幂的乘方法则，同底数幂的除法，积的乘方法则，完全平方公式分别求出即可．【详解】A ．()339a a =，故此选项计算错误，不符合题意；B ．633a a a ÷=，故此选项计算错误，不符合题意；C ．()2428ab a b =，故此选项计算错误，不符合题意；D ．()2222a b a ab b +=++，故此选项计算正确，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查幂的乘方法则，同底数幂的除法，积的乘方法则，完全平方公式，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键．幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；222()2a b a ab b +=++与222()2a b a ab b -=-+都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． 5．D【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、平方差公式计算即可求解． 【详解】A. 5611a a a +=，计算错误，本选项不符合题意；B. ()235326b b b -⋅=-，计算错误，本选项不符合题意；C. 6622362b b a a÷=，计算错误，本选项不符合题意；B. ()()22339b a a b a b +-=-，计算正确，本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则、同底数幂的乘除法、平方差公式计算法则． 6．B【分析】先将所求式子化简为107mn -，然后根据()22220m n m n mn +++=≥及222+=+m n mn 求出23mn ≥-，进而可得答案．【详解】解：2(23)(2)(2)-++-m n m n m n 222241294m mn n m n =-++- 225125m mn n =-+()5212mn mn =+- 107mn =-；∵()22220m n m n mn +++=≥，222+=+m n mn ， ∴220mn mn ++≥， ∴32mn ≥-， ∴23mn ≥-，∴441073mn -≤， ∴2(23)(2)(2)-++-m n m n m n 的最大值为443， 故选：B ．【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出mn 的取值范围是解题的关键． 7．A【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可． 【详解】∵()()2221x x x +--= ∴225x x -=∴222432(2)313x x x x -+=-+= 故选：A ．【点睛】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键． 8．D【分析】原式先提取公因式，再运用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：2022202020222022- =202022022(20221)- =20202022(20221)(20221)+- =2020202220232021⨯⨯∵2022202020222022202320222021-=⨯⨯n ∴2020202220232021202320222021n ⨯⨯=⨯⨯ ∴202020222022n = ∴2020n =． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键． 9．A【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案． 【详解】解：第1次，181273⨯=，第2次，12793⨯=，第3次，1933⨯=，第4次，1313⨯=，第5次，123+=，第6次，1313⨯=，⋯，依此类推，从第3次开始以3，1循环，(20222)21010-÷=，∴第2022次输出的结果为1．故选：A ．【点睛】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 10．B【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：2221(1)x x x -+=-，故A 不符合题意； 22221(1)x y xy xy ++=+，故B 符合题意；2(3)(3)9x x x +-=-是整式乘法，故C 不符合题意；32822(41)2(21)(21)a a a a a a a -=-=+-，故D 不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别． 11．D【分析】根据输入数据与输出结果的规则进行计算，判断①②③；只有三个数字时，当最后输入最大数时得到的结果取最大值，当最先输入最大数时得到的结果取最小值，由此通过计算判断④．【详解】解：根据题意，依次输入1，2，3，4时，1211-=-=， 1322-=-=，2422-=-=，故①正确；按照1，3，4，2的顺序输入时，1322-=-=， 2422-=-=，220-=，为最小值，故③正确； 按照1，3，2，4的顺序输入时，1322-=-=，220-=，0444-=-=，为最大值，故②正确；若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a ，b ，全部输入完毕后显示的最后结果设为k ， k 的最大值为10， 设b 为较大数字，当1a =时，2110a b b --=-=， 解得11b =，故此时任意输入后得到的最小数是：11128--=，设b 为较大数字，当2b a >>时，2210a b a b --=--=， 则210a b --=-，即8b a -= 故此时任意输入后得到的最小数是：2826b a --=-=，综上可知，k 的最小值是6，故④正确； 故选D ．【点睛】此题考查绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力． 12．B【分析】根据条件和新定义列出方程，化简即可得出答案．【详解】解：根据题意得：x （x +3）+x （x +4）+…+x （x +n ）＝x （9x +m ）， ∴x （x +3+x +4+…+x +n ）＝x （9x +m ）， ∴x [（n ﹣3+1）x +(31)(3)2n n -++]＝x （9x +m ），∴n ﹣2＝9，m ＝(31)(3)2n n -++，∴n ＝11，m ＝63． 故选：B ．【点睛】本题考查了新定义，根据条件和新定义列出方程是解题的关键． 13．(16)xy x -【分析】利用提公因式法进行分解即可． 【详解】解：216(16)x y xy xy x -=-， 故答案为：(16)xy x -．【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练掌握因式分解-提公因式法． 14．()22m m n -【分析】首先提取公因式2m ，再利用完全平方公式即可分解因式． 【详解】解：322242m m n mn -+()2222m m mn n =-+ ()22m m n =-故答案为：()22m m n -【点睛】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键．15．()()322x x y x y +-【分析】先提取公因式3x ，然后根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：原式＝()()()2234322x x y x x y x y -=+-．故答案为：()()322x x y x y +-．【点睛】本题考查了因式分解，正确的计算是解题的关键．16．225- 【分析】利用完全平方公式求出（a −b ），（b −c ），（a −c ）的平方和，然后代入数据计算即可求解．【详解】解：∵35a b b c -=-=， ∴65a c -=()()()2225425a b b c a c -+-+-= ∴()()222542225a b c ab bc ac ++-++=， ∵2221a b c ++=，∴()27125ab bc ac -++=， ∴225ab bc ca ++=-， 故答案为：225- 【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是分别把35a b -=，35b c -=，相加凑出，65a c -=三个式子两边平方后相加，化简求解． 17．(1)()2.a a b ++(2)()32.m m n +【分析】（1）提取公因式a 即可；（2）按照平方差公式进行因式分解即可．【详解】（1）解：22a ab a ++()2.a a b =++（2）()()222m n m n +-+()()22m n m n m n m n =++++--()32.m m n =+【点睛】本题考查的是多项式的因式分解，掌握“提公因式法与公式法分解因式”是解本题的关键．18．222x y -+【分析】根据整式的混合运算法则计算即可．【详解】解：原式()()2222224222x y xy xy x y x y =---÷=---=-+【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握该知识点是解题关键．19．12x +　；2 【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入12x =即可求解． 【详解】(1)(1)(2)x x x x +-++2212x x x =-++ 12x =+ 当12x =时， 原式12x =+11222=+⨯=． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键．20．2,2022x y -【分析】根据平方差公式，完全平方公式，先计算括号内的，然后根据多项式除以单项式进行计算，最后将20201x y ==-，代入即可求解．【详解】解：原式＝()222224434x y x xy y y y --+--÷()2484xy y y =-÷2x y =-．当20201x y ==-，时，原式＝2020-2×（-1）=2022．【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式是解题的关键．21．34-【分析】根据非负数的性质求出a ，b ，c 的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由题得：22043404102a cbc a b ⎧⎪+-=⎪--=⎨⎪⎪--=⎩， 解得：4141a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩， 所以313242n n n a b c +++-()3242311414n n n +++⎛⎫=⨯-- ⎪⎝⎭31114144n +⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭34=-． 【点睛】本题考查了非负数的性质，解三元一次方程，积的乘方法则的逆用等知识，利用代入法或加减法把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题是解题的关键．22．x 2-2y ，0【分析】首先运用平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把x 、y 值代入计算即可．【详解】解：()()()22x y x y xy xy x +-+-÷=x 2-y 2+y 2-2y=x 2-2y当x =1，y =12时，原式=12-2×12=0．【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．23．(1)5(2)47【分析】（1）由21()x x +＝22112x x x x +⋅⋅+、21()x x -＝22112x x x x -⋅⋅+，进而得到21()x x+﹣4x •1x即可解答； （2）由21()x x -＝2212x x -+可得221x x +=7，又2221()x x +＝4412x x ++，进而得到441x x+＝2221()x x +﹣2即可解答． （1）解：∵21()x x +＝22112x x x x +⋅⋅+∴21()x x -＝22112x x x x -⋅⋅+＝2211124x x x x x x+⋅+-⋅＝21()x x +﹣4x •1x＝32﹣4＝5． （2）解：∵21()x x -＝2212x x -+，∴221x x +＝21()x x -+2＝5+2＝7，∵2221()x x +＝4412x x++，∴441x x +＝2221()x x +﹣2＝49﹣2＝47． 【点睛】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本题的关键．24．（1）-4，-4；（2）ABC 的周长为9．【分析】（1）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出x 和y 的值；（2）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出a 和b 的值，从而得出c 的取值范围，根据c 为整数即可得出c 的值，从而求得三角形的周长．【详解】解：（1）由22228160x y xy y +-++=得222)((2816)0x xy y y y -+++=+，22()(4)0x y y -++=，∴0x y -=，40y +=，∴4x y ==-，故答案为：-4，-4；（2）由22248180a b a b +--+=得：222428160a a b b -++-+=，222(1)(4)0a b -+-=，∴a -1=0，b -4=0，∴a =1，b =4，∴3＜c ＜5，∵△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，∴c =4，∴ABC 的周长为9．【点睛】本题主要考查了配方法的应用及偶次方的非负性，同时考查了三角形的三边关系，本题难度中等．25．(1)阴影A 的周长为：21480x y -+，∴阴影B 的周长为：21680x y +-，则其周长和为：42x y +；(2)阴影A 的面积为：240120412x y xy y --+，阴影B 的面积为：2416016xy y y -+，阴影A ，B 的面积差为：2404084x y xy y +-- ； (3)当y =5时，阴影A 与阴影B 的面积差不会随着x 的变化而变化，这个值是100．【分析】（1）由图可知阴影A 的长为（404y -），宽为（3x y -），阴影B 的长为4y ，宽为()404x y --⎡⎤⎣⎦，从而可求解；（2）结合（1），利用长方形的面积公式进行求解即可；（3）根据题意，使含x 的项提公因式x ，再令另一个因式的系数为0，从而可求解．（1）解：（1）由题意得：阴影A 的长为（404y -），宽为（3x y -），∴阴影A 的周长为：()()()240432404321480y x y y x y x y -+-=-+-=-+⎡⎤⎣⎦∵阴影B 的长为4y ，宽为()404404x y x y --=-+⎡⎤⎣⎦，∴阴影B 的周长为：()()240424042168044y y x y x y x y +-+=+-+=+-⎡⎤⎣⎦，∴其周长和为：()()214802168042x y x y x y -+++-=+；（2）∵阴影A 的长为（404y -），宽为（3x y -），∴阴影A 的面积为：()()2404340120412y x y x y xy y --=--+． ∵阴影B 的长为4y ，宽为404x y -+，∴阴影B 的面积为：()24404416016y x y xy y y -+=-+， ∴阴影A ，B 的面积差为：()()22240120412416016404084x y xy y xy y y x y xy y --+--+=+--．（3）∵阴影A 与阴影B 的面积差不会随着x 的变化而变化，阴影A ，B 的面积差()22404084408404x y xy y y x y y =+--=-+-．∴当4080y -=，即5y =时，阴影A 与阴影B 的面积差不会随着x 的变化而变化．此时：阴影A ，B 的面积差()2408540545100x =-⨯+⨯-⨯=．【点睛】本题主要考查列代数式，代数式求值，与某个字母无关型问题，解答的关键是根据图表示出两个长方形的长与宽．。

人教版八年级数学上册《第十四章整式的乘法与因式分解》单元测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点一 整式的乘法及乘法公式1．（2024浙江温州·期末）下列运算正确的是（ ） A ．336a a a += B ．()336a a =C ．339a a a ⋅=D ．331a a ÷=2．（2024浙江嘉兴·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为m n m n a a a +⋅=（其中0a ≠，m ，n 为正整数）．类似地，我们规定关于任意正整数m ，n 的一种新运算：()()()f m n f m f n +=⋅．若()()40f k k =≠，那么()2024f 的结果是（ ） A ．2024kB ．2024kC ．506kD ．506k3．（2024浙江温州·期末）计算(－a 3)2的结果是 （ ） A ．－a 5B ．a 5C ．a 6D ．－a 64．（2024浙江绍兴·期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）A ．25x x +B ．()36x x ++C ．()232x x ++D ．()()322x x x ++-5．（2024浙江绍兴·期末）如图所示的长方形中，甲、乙、丙、丁四个区域的面积相等，若甲区域的长是宽的2倍，则乙区域的长与宽的比为（ ）A ．4:1B ．9:2C ．5:1D ．13:3 6．设12222n a a a m =+++ 其中整数1a 2a 3an a 满足120n a a a ≤<<<（n 为正整数） 则下列说法错误的是（ ）A ．若12m = 则2n =B ．若2n = 0100m << 则满足条件的m 有21个C ．若3n = 0100m << 则m 的最大值为98D ．存在正整数m 使得1a 2a 3an a 这组数的值不唯一7．（2024浙江台州·期末）面积相等的正方形ABCD 与长方形AHGE 按如图叠放 已知AB a DE b BH c ===，， 则下列等式成立的是（ ）A ．ab bc ac +=B ．ac bc ab +=C ．2ab bc a +=D ．2ac bc a +=8．（2024浙江宁波·期末）已知12,,n a a a ⋅⋅⋅ 12,,n b b b ⋅⋅⋅（n 是正整数） 令112n L b b b =++⋅⋅⋅+ 223n L b b b =++⋅⋅⋅+ ,n n L b ⋅⋅⋅=．某人用下图分析得到恒等式：11221122n n k k n n a b a b a b a L c L c L c L ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．则()2k c k n ≤≤=（ ）A ．1k k a a --B ．1k k b b --C ．k k a b ⋅D ．kka b9．（2024浙江嘉兴·期末）如图 已知正方形ABCD 和正方形CEFG 点E 在CD 边上 连接AG 交CD 于点H 连接BE BH GE ．若要求出图中阴影部分的面积 只需知道（ ）A ．正方形ABCD 的面积B ．三角形BHG 的面积C ．正方形CEFG 的面积D ．三角形ADH 的面积10．（2024浙江温州·期末）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A 和B 两部分（B 为长方形） 再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中 记一张A 纸片的面积为1S 一张B 纸片的面积为2S 若1210S S -= 则图2中阴影部分面积为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．1611．（2024浙江温州·期末）若2212x y -=且2x y -= 则x y +的值是（ ） A ．12B ．24C ．6D ．1412．（2024浙江宁波·期末）若10a b += 2284a b += 则ab 等于（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1013．（2024浙江嘉兴·期末）一组有序排列的数：1a 2a 3a …n a …（n 为正整数）．对于其中任意相邻的三个数 中间的数等于其前后两个数的积．已知22a m = ()410a m m=≠ 145a a -= 那么20242027a a +=（ ） A ．24B ．27C ．31D ．3614．（2024浙江·期末）已知多项式()22133212x mx y x y nx ⎛⎫+-+--+- ⎪⎝⎭． （1）若多项式的值与字母x 的取值无关 求m n 的值（2）在（1）的条件下 先化简多项式()()222233m mn n m mn n ++--- 再求它的值．15．（2024浙江台州·期末）为探究“十位上的数和为10 个位上的数相同”的两个数乘积的规律 现得到如下等式：26862210036⨯=⨯+⨯=⨯+37772810049⨯=⨯+456529100255353281009⨯=⨯+⨯=⨯+64442810016⋯(1)5555⨯结果的后两位为(2)设其中一个数的十位上的数为a个位上的数为b（a b均为小于10的正整数）请用含a b的代数式分别表示上述两个数并说明两个数乘积的后两位等于2b(3)若两个数的十位上的数相同个位上的数和为10 设其中一个数的个位上的数为c（c为小于10的正整数）则这两个数乘积的后两位等于（用含c的代数式表示）．16．（2024浙江绍兴·期末）【夯实基础】本学期我们学了两个完全平方公式：①()2222a b a ab b +=++ ②()2222a b a ab b -=-+．【联想延伸】对这两个公式稍作变形即为()2222a b a b ab +=++()2222a b a b ab -=+- 我们把“a b +”“a b -”“22a b +”“ab ”看成两公式中的四个“结构性元件” 这样已知四个“结构性元件”中的任何两个 就能通过推理计算求出另外两个．【初步运用】请你根据以上联想得到的问题解决思路进行解答： （1）已知5x y -= 2xy = 求22x y +的值 （2）已知13x x -= 求221x x +的值 【问题解决】若()()22202320247m m -+-= 则()()20232024m m --的值为______．考点二 因式分解17．（2024浙江宁波·期末）下列从左到右的变形中 属于因式分解的是（ ）A ．()23535a a a a +-=+-B ．()()2224a a a +-=-C ．()22211a a a -+=-D ．()2222a b a b -+=-18．（2024浙江嘉兴·期末）计算：()()()()2222222221314110112310----⨯⨯⨯⨯的值为（ ）A ．99100B ．12C ．1120D ．91019．（2024浙江温州·期末）分解因式:23m m -= . 20．（2024浙江金华·期末）分解因式：16﹣4x 2= ． 21．（2024浙江宁波·期末）先阅读材料 再回答问题：分解因式：()2()21a b a b ---+解：设a b M -= 则原式2221(1)M M M =-+=- 再将a b M -=还原 得到：原式2(1)a b =--上述解题中用到的是“整体思想” 它是数学中常用的一种思想． 请你用整体思想分解因式：()()69x y x y ++-+= ． 22．（2024浙江嘉兴·期末）分解因式： (1)()()2226x y x y -+-- (2)3222x x x --+.23．（2024浙江嘉兴·期末）（1）解方程：121x x --+=（2）求和：()()()()()()()()2399223349910022222121212121212121++++--------．24．（2024浙江宁波·期末）如果一个数能表示成2222x xy y ++（x y 是整数） 我们称这个数为“好数”.(1)写出10 11 12 … 20中的“好数”.(2)如果m n 都是“好数” 请分别判断m n +和mn 一定是“好数”吗？如果不是 请举反例说明 如果是 请说明理由.参考答案1．【答案】D【分析】根据合并同类项 同底数幂的乘除法以及幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A 3332a a a += 故选项错误 B ()339a a = 故选项错误C 336a a a ⋅= 故选项错误D 331a a ÷= 故选项正确 故此题答案为D ． 2．【答案】D【分析】根据新定义将()2024f 进行分解 再求解即可． 【详解】∵()()()f m n f m f n +=⋅ ()()40f k k =≠ ∴()()()()5065065065062024444444f f f f f k kk k ⎛⎫=+++=++=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭个个个故此题答案为D ． 3．【答案】C【分析】根据幂的乘方法则：幂的乘方 底数不变 指数相乘.即可得出结果 【详解】()236a a -=故此题答案为C. 4．【答案】A【分析】根据不同的方法表示出阴影部分的面积即可．【详解】解：A 三个阴影部分的面积分别为2x 3x 236⨯= 所以阴影部分面积为236x x ++ 故该选项符合题意B 上半部分阴影面积为：()3x x + 下半部分阴影面积为：236⨯= 所以阴影部分面积为：()36x x ++ 故该选项不符合题意C 左半部分阴影面积为：2x 右半部分阴影面积为：()32x + 所以阴影部分面积为：()232x x ++ 故该选项不符合题意D 大长方形面积：()()32x x ++ 空白处小长方形面积：2x 所以阴影部分面积为：()()322x x x ++- 故该选项不符合题意5．【答案】B【分析】设甲区域的宽为a 则长为2a 求得甲区域的面积为22a 可得四个区域组成的大长方形的面积为28a 大长方形的宽为2a 从而求得大长方形的长为4a 可得乙区域的长为3a 宽为23a 即可求解． 【详解】解：设甲区域的宽为a 则长为2a ∴甲区域的面积为22a∵甲 乙 丙 丁四个区域的面积相等∴四个区域组成的大长方形的面积为2242=8a a ⨯ 大长方形的宽为2a ∴大长方形的长为：282=4a a a ÷ ∴乙区域的长为43a a a -= ∵乙区域的面积为22a∴乙区域的宽为22233a a a ÷=∴乙区域的长与宽的比为23:=9:23a a故此题答案为B ． 6．【答案】C【分析】根据选项条件 逐项判断即可求解． 【详解】A. 若12m = 那么1222221n a a a ++=+∵3428,216== ∴1a 2a 3an a 中 最大为3当10a = 23a = 0322291+=≠ 当11a = 23a = 13222101+=≠ 当12a = 23a = 322122+=∴2n = 该选项正确 不符合题意 B. 若2n = 0100m << ∵67264,2128== ∴1a 2a 中 最大为6∴当10a =时 21,2,3,4,5,6a = 当11a =时 22,3,4,5,6a = 当12a =时 23,4,5,6a = 当13a =时 24,5,6a = 当14a =时 25,6a = 当15a =时 26a = 共有21种情况 ∴满足条件的m 有21个 该选项正确 不符合题意 C. 若3n = 0100m <<时 ∵67264,2128==∴1a 2a 3a 中 最大为6∴最大当10a = 25a = 36a =时 m 的最大值为0569798222=+≠+ 该选项错误 符合题意D. 存在正整数m 使得1a 2a 3a n a 这组数的值不唯一 该选项正确不符合题意7．【答案】A【分析】此题考查了整式混合运算的应用．根据题意得CDEF BHGF S S =长方形长方形 利用长方形的面积公式列式计算即可求解．【详解】解：∵正方形ABCD 与长方形AHGE 的面积相等 ∴CDEF BHGF S S =长方形长方形 ∵AB a DE b BH c ===，， ∴EF a = BF a b =-∴()ab c a b =- 整理得ab bc ac += 故此题答案为A ． 8．【答案】A【分析】此题主要考查了整式的应用 首先分析题目已知11221122n n k k n n a b a b a b a L c L c L c L ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 可看出等式左边是图中的面积然后把左边变形后等于右边即可求解． 【详解】解：11221122n n k k n n a b a b a b a L c L c L c L ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 且112n L b b b =++⋅⋅⋅+ 223n L b b b =++⋅⋅⋅+ ,n n L b ⋅⋅⋅=由图中的面积： 1122n n S a b a b a b =+++()()()()()()112321231211n n n n n n n n n a b b b b a a b b b a a b b a a b ----=+++++-+++++-++-()()()112121211n n n n n n a L a a L a a L a a L ----=+-++-+-∴1k k k c a a -=-故此题答案为A ． 9．【答案】C【分析】如图 延长GF 交AD 的延长线于M 则90M ∠=︒ 设正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长分别为a b ， DH m = 则GM a = DM b = AM a b DE a b =+=-， 由AGMADHDHGM SSS =+梯形 可得()()111222a a b m a m a b ⨯+=⨯++⨯ 可求2a m a b=+ 则2b EH a b=+ ()2122BEHGEHb S SSEH BC CG =+=⨯+=阴影 进而可知阴影部分面积与正方形CEFG 的面积有关 然后判断作答即可．【详解】解：如图 延长GF 交AD 的延长线于M 则90M ∠=︒设正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长分别为a b ， DH m = 则GM a = DM b =AM a b DE a b =+=-， ∵AGMADHDHGM S SS =+梯形∴()111222GM AM DH AD DH GM DM ⨯=⨯++⨯ 即()()111222a ab m a m a b ⨯+=⨯++⨯ 解得2a m a b=+∴()22a b EH DH DE a b a b a b=-=--=++ ∴()()2211222BEHGEHb b S SSEH BC CG a b a b =+=⨯+=⨯⨯+=+阴影 ∴当已知正方形CEFG 的面积时 可求阴影部分面积 故此题答案为C ． 10．【答案】C【分析】设图1正方形纸片边长为a B 部分的宽为b 长为c 根据图1和图2得出3a b =和2c b = 再利用1210S S -=得到22b = 再表示出()2257S b a b a b =+⋅-=阴影代入计算即可．【详解】解：将B 向左推 可得如图设图1正方形纸片边长为a B 部分的宽为b 长为c 根据图2是正方形 得()2a a b a b +-=+ 即3a b =由图（2）两个A 的位置 可得c b a +=即2c b = ∴图2正方形边长为25a b b +=∴()553PQ b a a c b b b b =---=--= 32HQ b b b =-= ∵1210S S -= ∴210a bc bc --= ∴22b =∴()225714S b a b a b =+⋅-==阴影故此题答案为C ．11．【答案】C【分析】根据题意及平方差公式可直接进行求解． 【详解】解：∵2212,2x y x y -=-= ∴()()12x y x y +-=∴6x y += 故此题答案为C ． 12．【答案】B【分析】将10a b +=两边同时平方 然后根据完全平方公式的变形进行求解即可. 【详解】解：∵10a b += 2284a b += ∴()2222100a b a ab b +=++= 即842100ab += ∴8ab = 故此题答案为B 13．【答案】B【分析】根据题意 计算可得 1a m = 22a m = 3a m = 41a m =521a m= 61a m=7a m = 28a m = 9a m = ……可推导一般性规律为每6个数为一个循环 则220242a a m == 2027521a a m ==22024202721a a m m +=+ 由145a a -= 可得15-=m m则221225-+=m m 计算求解 然后作答即可． 【详解】解：由题意知 324a a a m =⋅= 213a a m a == 45231a a a m== 5641a a a m ==同理 7a m = 28a m = 9a m = ∴1a m = 22a m = 3a m = 41a m =521a m = 61a m= 7a m = 28a m = 9a m = ……∴可推导一般性规律为每6个数为一个循环 ∵202463372÷= 202763375÷=∴220242a a m == 2027521a a m ==∴22024202721a a m m +=+∵145a a -= ∴15-=m m 则221225-+=m m解得 22127+=m m ∴2024202727a a += 故此题答案为B ．14．【答案】（1）3m = 1n =- （2）244mn n + 8-【分析】（1）先将多项式化简 然后根据多项式的值与字母x 的取值无关 可得到10,30n m +=-= 即可求解（2）先去括号 再合并同类项 最后将3m = 1n =-代入即可求解．【详解】解：（1）()22133212x mx y x y nx ⎛⎫+-+--+- ⎪⎝⎭22133212x mx y x y nx =+-+-+-+ ()()231322n x m x y =++-++ ∵多项式的值与字母x 的取值无关 ∴10,30n m +=-= 解得：3m = 1n =-（2）()()222233m mn n m mn n ++---22223333m mn n m mn n =++-++ 244mn n =+．当3m = 1n =-时 原式()()2431418=⨯⨯-+⨯-=-．【关键点拨】此题主要考查了整式加减中的化简求值和无关型问题 熟练掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键． 15．【答案】(1)25(2)10a b + 10010a b -+ 说明见解析 (3)210c c -【分析】此题考查数字类规律探究 整式的乘法运算．正确的表示出两位数 多项式乘多项式的法则 是解题的关键．（1）根据给定的等式 得到个位数字乘个位数字的乘积直接作为积的后两位 求解即可（2）表示出两个两位数 进行相乘后 即可得出结果（3）设十位上的数字为a 表示出两个两位数 相乘后即可得出结果．【详解】（1）解：观察题干中的等式可知：个位数字乘个位数字的乘积直接作为积的后两位 ∵5525⨯=∴5555⨯结果的后两位为25 故此题答案为：25．（2）解：由题意 两个两位数分别表示为：10a b + ()101010010a b a b -+=-+∴()()2101001010001001010010a b a b a a ab b ab b +-+=-++-+21000100100a a b b =-++∴两个数乘积的后两位等于2b（3）设十位上的数字为a 则两个两位数分别表示为：10a c + 1010a c +- ∴两个数的乘积为：()()22101010100100101010a c a c a a ac ac c c ++-=+-++-2210010010a a c c =++-∴这两个数乘积的后两位等于210c c - 故此题答案为：210c c -． 16．【答案】（1）29 （2）11（问题解决）3-【分析】（1）将5x y -=左右两边进行平方 再将2xy =代入原式即可求解 （2）将13x x-=左右两边进行平方 化简即可求解 （3）设2023m a -= 2024m b -= 由202320241m m -+-=- 可得1a b -=+ 将1a b -=+左右两边进行平方2221a ab b ++= 再将2023m a -= 2024m b -=()()22202320247m m -+-=代入原式化简即可求解．【详解】（1）解：将5x y -=左右两边进行平方可得22225x xy y -+=将2xy =代入上式 可得222225x y -⨯+= 解得：2225429x y +=+=． （2）解：将13x x-=左右两边进行平方 可得：22112?9x x x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即：22129x x -+= 解得：22111x x +=． （问题解决）解：设2023m a -= 2024m b -= ∵202320241m m a b -+-=-=+ ∴()22221a b a ab b +=++= ∵2023m a -= 2024m b -=∴()()()()22202320242202320241m m m m -+-+--= ∵()()22202320247m m -+-= ∴()()72202320241m m +--= 化简可得()()202320243m m --=- 17．【答案】C【分析】根据因式分解的定义 结合因式分解的是多项式 分解的结果是积的形式 进行判断即可．【详解】解：A 最后结果不是乘积的形式 不属于因式分解 故不符合题意 B 最后结果不是乘积的形式 不属于因式分解 故不符合题意 C 是因式分解 符合题意D ()22221a b a b -+=-+ 选项错误 不合题意 故此题答案为C ．18．【答案】C 【详解】原式()()()()()()()()2121313141411011011122331010-+-+-+-+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1324359111122331010⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111210=⨯⨯1120=故此题答案为C ． 19．【答案】(3)m m -【分析】用提取公因式法即可得到结果.【详解】原式=()3m m -. 20．【答案】4（2+x ）（2﹣x ） 【详解】原式=4(4-x 2)=4(2+x )(2-x ) 21．【答案】()23x y +-【分析】设x y N += 将原式换元后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：设x y N += 则原式(6)9N N =-+269N N =-+2(3)N =-将x y N +=还原可得原式2(3)x y =+- 22．【答案】(1)()()2223x y x y ---+ (2)()()()112x x x +--【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式即可 （2）先分组 再提公因式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）原式()()2223x y x y =---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2223x y x y =---+（2）原式()()3222x x x =---()()222x x x =--- ()()212x x =--()()()112x x x =+--．23．【答案】（1）=1x - （2）1001002221--【分析】（1）根据绝对值的意义 分情况讨论 去掉绝对值符号 解方程即可 （2）将原式进行变形 再计算即可． 【详解】（1）解：当1x >时 ()121x x --+=31-=不成立当21x -≤≤时 ()121x x --+= 解得=1x -当<2x -时 121x x -++=31=不成立综上 =1x - （2）原式2233499100111111112121212121212121=-+-+-++--------- 1001121=--1001002221-=-． 24．【答案】(1)10 13 16 17 18 20(2)m n +不一定是“好数” 详见解析 mn 一定是“好数” 详见解析【分析】此题主要考查了因式分解的应用 完全平方数 新定义 理解并灵活运用新定义是解此题的关键．（1）根据“好数”的意义判断 即可得出结论（2）举一个反例判断m n +即可 设22m a b =+ 22n c d =+ (a b c d 均为整数） 则222222()(()()mn a b c d ac bd ad bc =++=++- 依此即可求解． 【详解】（1）一个“好数”能表示成222222()x xy y x x y ++=++ (x y 是整数）10∴ 11 12 ⋯ 20中2210(21)1=++ 2213(12)2=++ 22160(04)=++ 2217(13)1=++ 2218(03)3=++ 2220(22)2=++能表示成2222(x xy y x ++ y 是整数） 故“好数”有：10 13 16 17 18 20 （2）一个“好数”能表示成222222()x xy y x x y ++=++ (x y 是整数）∴一个数能够表示成两个整数的平方和 这个数即为“好数”判断：m n + 不一定是“好数”若22101m ==+ 22211n ==+ 则m n 均为“好数” 但3m n += 而3不能写成两个整数的平方和 不是“好数” ∴当m n 为“好数”时 m n + 不一定是“好数”判断mn 一定是“好数” 理由如下：mn 为“好数”设22m a b =+ 22n c d =+ 则2222()()mn a b c d =++22222222a c a d b c b d =+++2222222222a c abcd b d a d abcd b c =+++-+22()()ac bd ad bc =++-a b c d均为整数ac bd ∴+ ad bc -为整数 mn ∴一定是“好数”．参考答案考点一 整式的乘法及乘法公式1．（2024浙江温州·期末）下列运算正确的是（ ） A ．336a a a += B ．()336a a =C ．339a a a ⋅=D ．331a a ÷=【答案】D【分析】根据合并同类项 同底数幂的乘除法以及幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A 3332a a a += 故选项错误 B ()339a a = 故选项错误C 336a a a ⋅= 故选项错误D 331a a ÷= 故选项正确 故此题答案为D ．2．（2024浙江嘉兴·期末）我们知道 同底数幂的乘法法则为m n m n a a a +⋅=（其中0a ≠ m n 为正整数）．类似地 我们规定关于任意正整数m n 的一种新运算：()()()f m n f m f n +=⋅．若()()40f k k =≠ 那么()2024f 的结果是（ ） A ．2024k B ．2024k C ．506k D ．506k【答案】D【分析】根据新定义将()2024f 进行分解 再求解即可． 【详解】∵()()()f m n f m f n +=⋅ ()()40f k k =≠ ∴()()()()5065065065062024444444f f f f f k kk k ⎛⎫=+++=++=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭个个个故此题答案为D ．3．（2024浙江温州·期末）计算(－a 3)2的结果是 （ ） A ．－a 5B ．a 5C ．a 6D ．－a 6【答案】C【分析】根据幂的乘方法则：幂的乘方 底数不变 指数相乘.即可得出结果 【详解】()236a a -=故此题答案为C.4．（2024浙江绍兴·期末）下面四个整式中 不能表示图中阴影部分面积的是（ ）A ．25x x +B ．()36x x ++C ．()232x x ++D ．()()322x x x ++-【答案】A【分析】根据不同的方法表示出阴影部分的面积即可．【详解】解：A 三个阴影部分的面积分别为2x 3x 236⨯= 所以阴影部分面积为236x x ++ 故该选项符合题意B 上半部分阴影面积为：()3x x + 下半部分阴影面积为：236⨯= 所以阴影部分面积为：()36x x ++ 故该选项不符合题意C 左半部分阴影面积为：2x 右半部分阴影面积为：()32x + 所以阴影部分面积为：()232x x ++ 故该选项不符合题意D 大长方形面积：()()32x x ++ 空白处小长方形面积：2x 所以阴影部分面积为：()()322x x x ++- 故该选项不符合题意 故此题答案为A ．5．（2024浙江绍兴·期末）如图所示的长方形中 甲 乙 丙 丁四个区域的面积相等 若甲区域的长是宽的2倍 则乙区域的长与宽的比为（ ）A ．4:1B ．9:2C ．5:1D ．13:3【答案】B【分析】设甲区域的宽为a 则长为2a 求得甲区域的面积为22a 可得四个区域组成的大长方形的面积为28a 大长方形的宽为2a 从而求得大长方形的长为4a 可得乙区域的长为3a 宽为23a 即可求解． 【详解】解：设甲区域的宽为a 则长为2a ∴甲区域的面积为22a∵甲 乙 丙 丁四个区域的面积相等∴四个区域组成的大长方形的面积为2242=8a a ⨯ 大长方形的宽为2a ∴大长方形的长为：282=4a a a ÷ ∴乙区域的长为43a a a -= ∵乙区域的面积为22a∴乙区域的宽为22233a a a ÷=∴乙区域的长与宽的比为23:=9:23a a故此题答案为B ．6．（2024浙江嘉兴·期末）设12222n a a a m =+++ 其中整数1a 2a 3ana 满足120n a a a ≤<<<（n 为正整数） 则下列说法错误的是（ ）A ．若12m = 则2n =B ．若2n = 0100m << 则满足条件的m 有21个C ．若3n = 0100m << 则m 的最大值为98D ．存在正整数m 使得1a 2a 3a n a 这组数的值不唯一【答案】C【分析】根据选项条件 逐项判断即可求解． 【详解】A. 若12m = 那么1222221n a a a ++=+∵3428,216== ∴1a 2a 3an a 中 最大为3当10a = 23a = 0322291+=≠ 当11a = 23a = 13222101+=≠ 当12a = 23a = 322122+=∴2n = 该选项正确 不符合题意 B. 若2n = 0100m << ∵67264,2128== ∴1a 2a 中 最大为6∴当10a =时 21,2,3,4,5,6a = 当11a =时 22,3,4,5,6a = 当12a =时 23,4,5,6a = 当13a =时 24,5,6a = 当14a =时 25,6a = 当15a =时 26a = 共有21种情况 ∴满足条件的m 有21个 该选项正确 不符合题意 C. 若3n = 0100m <<时 ∵67264,2128==∴1a 2a 3a 中 最大为6∴最大当10a = 25a = 36a =时 m 的最大值为0569798222=+≠+ 该选项错误 符合题意D. 存在正整数m 使得1a 2a 3a n a 这组数的值不唯一 该选项正确不符合题意 故此题答案为C ．7．（2024浙江台州·期末）面积相等的正方形ABCD 与长方形AHGE 按如图叠放 已知AB a DE b BH c ===，， 则下列等式成立的是（ ）A ．ab bc ac +=B ．ac bc ab +=C ．2ab bc a +=D ．2ac bc a +=【答案】A【分析】此题考查了整式混合运算的应用．根据题意得CDEF BHGF S S =长方形长方形 利用长方形的面积公式列式计算即可求解．【详解】解：∵正方形ABCD 与长方形AHGE 的面积相等 ∴CDEF BHGF S S =长方形长方形 ∵AB a DE b BH c ===，， ∴EF a = BF a b =-∴()ab c a b =- 整理得ab bc ac += 故此题答案为A ．8．（2024浙江宁波·期末）已知12,,n a a a ⋅⋅⋅ 12,,n b b b ⋅⋅⋅（n 是正整数） 令112n L b b b =++⋅⋅⋅+ 223n L b b b =++⋅⋅⋅+ ,n n L b ⋅⋅⋅=．某人用下图分析得到恒等式：11221122n n k k n n a b a b a b a L c L c L c L ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．则()2k c k n ≤≤=（ ）A ．1k k a a --B ．1k k b b --C ．k k a b ⋅D ．kka b【答案】A【分析】此题主要考查了整式的应用 首先分析题目已知11221122n n k k n n a b a b a b a L c L c L c L ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 可看出等式左边是图中的面积然后把左边变形后等于右边即可求解．【详解】解：11221122n n k k n n a b a b a b a L c L c L c L ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 且112n L b b b =++⋅⋅⋅+ 223n L b b b =++⋅⋅⋅+ ,n n L b ⋅⋅⋅=由图中的面积：1122n n S a b a b a b =+++()()()()()()112321231211n n n n n n n n n a b b b b a a b b b a a b b a a b ----=+++++-+++++-++-()()()112121211n n n n n n a L a a L a a L a a L ----=+-++-+-∴1k k k c a a -=-故此题答案为A ．9．（2024浙江嘉兴·期末）如图 已知正方形ABCD 和正方形CEFG 点E 在CD 边上 连接AG 交CD 于点H 连接BE BH GE ．若要求出图中阴影部分的面积 只需知道（ ）A ．正方形ABCD 的面积B ．三角形BHG 的面积C ．正方形CEFG 的面积D ．三角形ADH 的面积【答案】C【分析】如图 延长GF 交AD 的延长线于M 则90M ∠=︒ 设正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长分别为a b ， DH m = 则GM a = DM b = AM a b DE a b =+=-， 由AGMADHDHGM SSS =+梯形 可得()()111222a a b m a m a b ⨯+=⨯++⨯ 可求2a m a b=+ 则2b EH a b=+ ()2122BEHGEHb S SSEH BC CG =+=⨯+=阴影 进而可知阴影部分面积与正方形CEFG 的面积有关 然后判断作答即可．【详解】解：如图 延长GF 交AD 的延长线于M 则90M ∠=︒设正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长分别为a b ， DH m = 则GM a = DM b =AM a b DE a b =+=-， ∵AGMADHDHGM S SS =+梯形∴()111222GM AM DH AD DH GM DM ⨯=⨯++⨯ 即()()111222a ab m a m a b ⨯+=⨯++⨯ 解得2a m a b=+∴()22a b EH DH DE a b a b a b=-=--=++ ∴()()2211222BEHGEHb b S SSEH BC CG a b a b =+=⨯+=⨯⨯+=+阴影 ∴当已知正方形CEFG 的面积时 可求阴影部分面积 故此题答案为C ．10．（2024浙江温州·期末）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A 和B 两部分（B 为长方形） 再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中 记一张A 纸片的面积为1S 一张B 纸片的面积为2S 若1210S S -= 则图2中阴影部分面积为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】C【分析】设图1正方形纸片边长为a B 部分的宽为b 长为c 根据图1和图2得出3a b =和2c b = 再利用1210S S -=得到22b = 再表示出()2257S b a b a b =+⋅-=阴影代入计算即可．【详解】解：将B 向左推 可得如图设图1正方形纸片边长为a B 部分的宽为b 长为c 根据图2是正方形 得()2a a b a b +-=+ 即3a b =由图（2）两个A 的位置 可得c b a +=即2c b = ∴图2正方形边长为25a b b +=∴()553PQ b a a c b b b b =---=--= 32HQ b b b =-= ∵1210S S -= ∴210a bc bc --= ∴22b =∴()225714S b a b a b =+⋅-==阴影故此题答案为C ．11．（2024浙江温州·期末）若2212x y -=且2x y -= 则x y +的值是（ ） A ．12 B ．24 C ．6 D ．14【答案】C【分析】根据题意及平方差公式可直接进行求解． 【详解】解：∵2212,2x y x y -=-= ∴()()12x y x y +-= ∴6x y += 故此题答案为C ．12．（2024浙江宁波·期末）若10a b += 2284a b += 则ab 等于（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】B【分析】将10a b +=两边同时平方 然后根据完全平方公式的变形进行求解即可. 【详解】解：∵10a b += 2284a b += ∴()2222100a b a ab b +=++= 即842100ab += ∴8ab = 故此题答案为B13．（2024浙江嘉兴·期末）一组有序排列的数：1a 2a 3a … n a …（n 为正整数）．对于其中任意相邻的三个数 中间的数等于其前后两个数的积．已知22a m = ()410a m m=≠ 145a a -= 那么20242027a a +=（ ） A ．24 B ．27 C ．31 D ．36【答案】B【分析】根据题意 计算可得 1a m = 22a m = 3a m = 41a m =521a m= 61a m=7a m = 28a m = 9a m = ……可推导一般性规律为每6个数为一个循环 则220242a a m == 2027521a a m ==22024202721a a m m +=+ 由145a a -= 可得15-=m m则221225-+=m m 计算求解 然后作答即可． 【详解】解：由题意知 324a a a m =⋅= 213a a m a == 45231a a a m== 5641a a a m ==同理 7a m = 28a m = 9a m = ∴1a m = 22a m = 3a m = 41a m =521a m = 61a m= 7a m = 28a m = 9a m = ……∴可推导一般性规律为每6个数为一个循环 ∵202463372÷= 202763375÷=∴220242a a m == 2027521a a m ==∴22024202721a a m m +=+∵145a a -= ∴15-=m m 则221225-+=m m解得 22127+=m m ∴2024202727a a += 故此题答案为B ．14．（2024浙江·期末）已知多项式()22133212x mx y x y nx ⎛⎫+-+--+- ⎪⎝⎭．（1）若多项式的值与字母x 的取值无关 求m n 的值（2）在（1）的条件下 先化简多项式()()222233m mn n m mn n ++--- 再求它的值． 【答案】（1）3m = 1n =- （2）244mn n + 8-【分析】（1）先将多项式化简 然后根据多项式的值与字母x 的取值无关 可得到10,30n m +=-= 即可求解（2）先去括号 再合并同类项 最后将3m = 1n =-代入即可求解．【详解】解：（1）()22133212x mx y x y nx ⎛⎫+-+--+- ⎪⎝⎭22133212x mx y x y nx =+-+-+-+ ()()231322n x m x y =++-++ ∵多项式的值与字母x 的取值无关 ∴10,30n m +=-= 解得：3m = 1n =-（2）()()222233m mn n m mn n ++---22223333m mn n m mn n =++-++ 244mn n =+．当3m = 1n =-时 原式()()2431418=⨯⨯-+⨯-=-．【关键点拨】此题主要考查了整式加减中的化简求值和无关型问题 熟练掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键．15．（2024浙江台州·期末）为探究“十位上的数和为10 个位上的数相同”的两个数乘积的规律 现得到如下等式：26862210036⨯=⨯+ 37772810049⨯=⨯+ 45652910025⨯=⨯+ 5353281009⨯=⨯+64442810016⨯=⨯+⋯(1)5555⨯结果的后两位为(2)设其中一个数的十位上的数为a 个位上的数为b （a b 均为小于10的正整数） 请用含a b 的代数式分别表示上述两个数 并说明两个数乘积的后两位等于2b (3)若两个数的十位上的数相同 个位上的数和为10 设其中一个数的个位上的数为c （c 为小于10的正整数） 则这两个数乘积的后两位等于 （用含c 的代数式表示）． 【答案】(1)25(2)10a b + 10010a b -+ 说明见解析 (3)210c c -【分析】此题考查数字类规律探究 整式的乘法运算．正确的表示出两位数 多项式乘多项式的法则 是解题的关键．（1）根据给定的等式 得到个位数字乘个位数字的乘积直接作为积的后两位 求解即可（2）表示出两个两位数 进行相乘后 即可得出结果（3）设十位上的数字为a 表示出两个两位数 相乘后即可得出结果．【详解】（1）解：观察题干中的等式可知：个位数字乘个位数字的乘积直接作为积的后两位 ∵5525⨯=∴5555⨯结果的后两位为25 故此题答案为：25．（2）解：由题意 两个两位数分别表示为：10a b + ()101010010a b a b -+=-+ ∴()()2101001010001001010010a b a b a a ab b ab b +-+=-++-+21000100100a a b b =-++∴两个数乘积的后两位等于2b（3）设十位上的数字为a 则两个两位数分别表示为：10a c + 1010a c +- ∴两个数的乘积为：()()22101010100100101010a c a c a a ac ac c c ++-=+-++-2210010010a a c c =++-∴这两个数乘积的后两位等于210c c - 故此题答案为：210c c -．16．（2024浙江绍兴·期末）【夯实基础】本学期我们学了两个完全平方公式： ①()2222a b a ab b +=++ ②()2222a b a ab b -=-+．【联想延伸】对这两个公式稍作变形即为()2222a b a b ab +=++()2222a b a b ab -=+- 我们把“a b +”“a b -”“22a b +”“ab ”看成两公式中的四个“结构性元件” 这样已知四个“结构性元件”中的任何两个 就能通过推理计算求出另外两个．【初步运用】请你根据以上联想得到的问题解决思路进行解答： （1）已知5x y -= 2xy = 求22x y +的值（2）已知13x x -= 求221x x+的值 【问题解决】若()()22202320247m m -+-= 则()()20232024m m --的值为______． 【答案】（1）29 （2）11（问题解决）3-【分析】（1）将5x y -=左右两边进行平方 再将2xy =代入原式即可求解 （2）将13x x-=左右两边进行平方 化简即可求解 （3）设2023m a -= 2024m b -= 由202320241m m -+-=- 可得1a b -=+ 将1a b -=+左右两边进行平方2221a ab b ++= 再将2023m a -= 2024m b -=()()22202320247m m -+-=代入原式化简即可求解．【详解】（1）解：将5x y -=左右两边进行平方可得22225x xy y -+=将2xy =代入上式 可得222225x y -⨯+= 解得：2225429x y +=+=． （2）解：将13x x-=左右两边进行平方 可得：22112?9x x x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即：22129x x -+= 解得：22111x x +=． （问题解决）解：设2023m a -= 2024m b -= ∵202320241m m a b -+-=-=+ ∴()22221a b a ab b +=++= ∵2023m a -= 2024m b -=∴()()()()22202320242202320241m m m m -+-+--=∵()()22202320247m m -+-= ∴()()72202320241m m +--= 化简可得()()202320243m m --=-考点二 因式分解17．（2024浙江宁波·期末）下列从左到右的变形中 属于因式分解的是（ ）A ．()23535a a a a +-=+-B ．()()2224a a a +-=-C ．()22211a a a -+=- D ．()2222a b a b -+=-【答案】C【分析】根据因式分解的定义 结合因式分解的是多项式 分解的结果是积的形式 进行判断即可．【详解】解：A 最后结果不是乘积的形式 不属于因式分解 故不符合题意 B 最后结果不是乘积的形式 不属于因式分解 故不符合题意 C 是因式分解 符合题意D ()22221a b a b -+=-+ 选项错误 不合题意 故此题答案为C ．18．（2024浙江嘉兴·期末）计算：()()()()2222222221314110112310----⨯⨯⨯⨯的值为（ ）A ．99100B ．12C ．1120D ．910【答案】C 【详解】原式()()()()()()()()2121313141411011011122331010-+-+-+-+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1324359111122331010⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111210=⨯⨯1120=故此题答案为C ．19．（2024浙江温州·期末）分解因式:23m m -= . 【答案】(3)m m -【分析】用提取公因式法即可得到结果.【详解】原式=()3m m -.20．（2024浙江金华·期末）分解因式：16﹣4x 2= ．【答案】4（2+x ）（2﹣x ）【详解】原式=4(4-x 2)=4(2+x )(2-x )21．（2024浙江宁波·期末）先阅读材料 再回答问题：分解因式：()2()21a b a b ---+解：设a b M -= 则原式2221(1)M M M =-+=- 再将a b M -=还原 得到：原式2(1)a b =--上述解题中用到的是“整体思想” 它是数学中常用的一种思想． 请你用整体思想分解因式：()()69x y x y ++-+= ． 【答案】()23x y +-【分析】设x y N += 将原式换元后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：设x y N += 则原式(6)9N N =-+269N N =-+2(3)N =-将x y N +=还原可得原式2(3)x y =+-22．（2024浙江嘉兴·期末）分解因式： (1)()()2226x y x y -+-- (2)3222x x x --+【答案】(1)()()2223x y x y ---+ (2)()()()112x x x +--【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式即可 （2）先分组 再提公因式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）原式()()2223x y x y =---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2223x y x y =---+（2）原式()()3222x x x =---()()222x x x =--- ()()212x x =--()()()112x x x =+--．23．（2024浙江嘉兴·期末）（1）解方程：121x x --+=（2）求和：()()()()()()()()2399223349910022222121212121212121++++--------．【答案】（1）=1x - （2）1001002221--【分析】（1）根据绝对值的意义 分情况讨论 去掉绝对值符号 解方程即可 （2）将原式进行变形 再计算即可． 【详解】（1）解：当1x >时 ()121x x --+=31-=不成立当21x -≤≤时 ()121x x --+= 解得=1x -当<2x -时 121x x -++=31=不成立综上 =1x - （2）原式2233499100111111112121212121212121=-+-+-++--------- 1001121=--1001002221-=-．24．（2024浙江宁波·期末）如果一个数能表示成2222x xy y ++（x y 是整数） 我们称这个数为“好数”.(1)写出10 11 12 … 20中的“好数”.(2)如果m n 都是“好数” 请分别判断m n +和mn 一定是“好数”吗？如果不是 请举反例说明 如果是 请说明理由. 【答案】(1)10 13 16 17 18 20(2)m n +不一定是“好数” 详见解析 mn 一定是“好数” 详见解析【分析】此题主要考查了因式分解的应用 完全平方数 新定义 理解并灵活运用新定义是解此题的关键．（1）根据“好数”的意义判断 即可得出结论（2）举一个反例判断m n +即可 设22m a b =+ 22n c d =+ (a b c d 均为整数） 则222222()(()()mn a b c d ac bd ad bc =++=++- 依此即可求解． 【详解】（1）一个“好数”能表示成222222()x xy y x x y ++=++ (x y 是整数）10∴ 11 12 ⋯ 20中2210(21)1=++ 2213(12)2=++ 22160(04)=++ 2217(13)1=++ 2218(03)3=++ 2220(22)2=++能表示成2222(x xy y x ++ y 是整数） 故“好数”有：10 13 16 17 18 20 （2）一个“好数”能表示成222222()x xy y x x y ++=++ (x y 是整数）∴一个数能够表示成两个整数的平方和 这个数即为“好数”判断：m n + 不一定是“好数”若22101m ==+ 22211n ==+ 则m n 均为“好数” 但3m n += 而3不能写成两个整数的平方和 不是“好数” ∴当m n 为“好数”时 m n + 不一定是“好数”判断mn 一定是“好数” 理由如下：mn 为“好数”设22m a b =+ 22n c d =+ 则2222()()mn a b c d =++22222222a c a d b c b d =+++2222222222a c abcd b d a d abcd b c =+++-+22()()ac bd ad bc =++-a b c d均为整数ac bd ∴+ ad bc -为整数 mn ∴一定是“好数”．。