空间直线、平面的平行-PPT教学课件人教A版高中数学

（A1X+B1Y+C1）+λ（A2X+B2Y+C2）=0。
2.平行直线系方程：与直线Ax+By+C=0平行 的直线方程是：Ax+By+C1=0（C1≠C）.
3.垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0垂直 的直线方程是：Bx-Ay+C1=0.
例8：求过两直线x-2y+4=0和x+y2=0的交点，且满足下列条件的直线 方程： （1）过点(2,-1); （2）和直线3x-4y+5=0垂直。
答： 位置关系
相交
公共点个数 1个
平行 0个
重合 无数个
§2.1.3两条直线的平行与垂直
1.平行
【问题1】你认为，不重合的两条 直线的位置关系（平行、相交） 与它们的斜率有何关系？
答：不重合的两条直线 斜率存在时两直线平行斜率相等 两直线相交斜率不相等
斜率不存在时？ 同时不存在
【问题2】由直线方程你能直接判 断两直线的位置关系吗？
2.5
B 120
h
O
C
x
（1）3x+2y-4=0 （2）4x+3y-6=0
例9：证明：无论m取何值，直线L： (m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过一个定点， 并求出该定点的坐标。
（9，-4）
课堂练习
1.如果直线ax+y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直,则a=.
2
2.如果两直线x+ysin-1=0和2xsin+y+1=0互相垂直,则=
课堂小结
1.填表
两直线方程 平行
垂直
适用范围
l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2

（即平面和平面相交于直线）
练一练
1、判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打 ，否则打 :
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
知识小结
D
FC
A
E
B
被遮挡部分 用虚线表示
3、平面的表示方法
1、平面是无限延展的
（但常用平面的一部分表示平面）
2、画法：常用平行四边形
D
C
3、记法：
A
B
①平面α 、平面β 、平面γ （标记在角上）
②平面ABCD
③平面AC 或平面BD
注意：
1、平面的两个特征：
①无限延展 ②平的（没有厚度）
2、一条直线把平面分成两部分. 一个平面把空间分成两部分.
请你从适当的角度和距离观察教室里的桌面、 黑板面或门的表面，它们呈现出怎样的形象？
2.平面的画法
我们常常把水平的平面画成一个平行四边形， 用平行四边形表示平面．
平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等 于其邻边长的2倍．
D A
C B
2.平面的画法
为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚线 画出来．
2.1.1 平面
• （一）教学目标 • 1．知识与技能 • （1）利用生活中的实物对平面进行描述； • （2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图 • （3）掌握平面的基本性质及作用； • （4）培养学生的空间想象能力. • 2．过程与方法 • （1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识； • （2）让学生归纳整理本节所学知识. • 3．情感、态度与价值观

掌握平面与平面垂直的性质定理.
核心素养
逻辑推理
逻辑推理
学习目标
课程目标
1.理解直线和平面、平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.
2.通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
数学学科素养
1.逻辑推理:探究归纳直线和平面、平面和平面垂直的性质定理,线线垂直、线面垂直、
变式训练
3.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB＝60°,G为AD边
的中点,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.
证明
(1)因为在菱形ABCD中,G为AD的中点, ∠DAB＝60° ,所以BG⊥AD.
复习引入
直线与平面垂直的定义:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直
线与平面互相垂直,记作 ⊥ .
直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直.
复习引入
平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.
求证:(1)DE＝DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明
(1)如图,取EC的中点F,连接DF.
因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EC⊥BC.
易知DF//BC,所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中

因为EF= EC,EC=2BD,所以EF=BD.

又FD=BC=AB所以Rt△EFD≌Rt△DBA ,故DE=DA.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,所以BG⊥平面PAD.

1－1 (4)l1的斜率不存在，k2＝ ＝0，画出图形，如下图所 2－1 示，
已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)， B(1,0)，C(3,2)，则第四个顶点D的坐标为________．
[答案]
(2,3)
[分析]
由长方形的性质知AD⊥CD，AD∥BC，则有
kAD·CD＝－1，kAD＝kBC，解方程组即可． k
[解析]
设第四个顶点D的坐标为(x，y)，
∵AD⊥CD，AD∥BC， ∴kAD·CD＝－1，且kAD＝kBC. k y－1 y－2 · ＝－1 x－0 x－3 ∴ y－1 2－0 x－0＝3－1
作圆与x轴有交点C，求交点C的坐标．
[分析]
本题中有三个点A、B、C，由于AB为直径，C为
圆上的点，所以∠ACB＝90° ，因此，若斜率存在，则必有 kAC·BC＝－1.列出方程求解即可． k
[解析]
以线段AB为直径的圆与x轴交点为C，则AC⊥CB.
据题设条件可知AC，BC的斜率均存在．设C(x,0)，则kAC＝ －3 －2 ，k ＝ . x＋1 BC x－4 －3 －2 ∴ · ＝－1.去分母解得x＝1或2. x＋1 x－4 ∴C(1,0)或C(2,0)．
第三章
直线与方程
第三章
3．1 直线的倾斜角与斜率
第三章
3．1.2 两条直线平行与垂直的判定
课前自主预习 课堂基础巩固 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
课前自主预习
温故知新 1．直线的倾斜角与斜率． 当直线倾斜角α≠90° 时，斜率k＝ tanα .当直线倾斜角α＝90° 时，斜率k 不存在 ． 直线倾斜角的范围是 0° ≤α<180°，直线斜率的取值范围是

【探究3】把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面只有一个公共点吗？ [提示]由于平面是无限延展的，所以不可能只有一个公共点，它们应该有一条公共直线．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共直线。 图形：
符号：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
【思考1】几何里的“平面”有边界吗？用什么 图形表示平面？
【提示】 没有.平行四边形. 【思考2】一个平面把空间分成了几部分？ 【提示】 二部分.
知识点二 点、线、面之间的关系及符号表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面．
文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 l在α内 l在α外
l，m相交于A l，α相交于A α，β相交于l
证明：若EF、GH交于一点P， 则E，F，G，H四点共面， 又因为EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD， 平面ABD∩平面CBD＝BD， 所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD， 由基本事实3可得P∈BD.
（四）操作演练 素养提升
1.下列有关平面的说法正确的是( )
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
（三）典型例题
4.三点共线问题
例4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q， 求证：B，Q，D1三点共线.
证明：如图，连接A1B，CD1，BD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1， ∴BD1⊂平面A1BCD1. 同理，BD1⊂平面ABC1D1， ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面ABC1D1. 又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1. ∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线.

8.5.2直线与平面平行第二课时 直线与平面平行的性质一、教学目标 1. 掌握空间平面与平面平行的判定定理，并能应用这个定理解决问题2. 平面与平面平行的判定定理的应用3. 进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力二、教学重点 空间平面与平面平行的判定定理教学难点 应用平面与平面平行的判定定理解决问题三、教学过程1、复习回顾情境引入问题1：直线与平面平行的判定定理答：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行问题2：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？答：问题3：什么条件下，平面α内的直线与直线a 平行呢？引出下面问题：已知：//, , a a b αβαβ⊂=，求证：//a b 证明：∵b αβ=∴b α⊂又//a α∴a 与b 无公共点又 , a b ββ⊂⊂∴//a b2、探索新知1）直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号表述：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b简记：线线平行 线面平行注意：①定理中三个条件缺一不可②简记：线面平行，则线线平行③定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据④定理的关键：寻找平面与平面的交线【例1】如右图的一块木料中，棱BC 平行面A'C'(1)要经过面A'C'内的一点P 和棱BC 将木料锯开,在木料表面应该怎样画线?(2)所画的线与平面AC 是什么位置关系?解：(1)如右图，在平面A'C 内，过点P 作直线EF ，使EF//B'C'，并分别交棱A'B'、D'C' 于点E 、F.连接BE 、CF,则EF 、BE 、 CF 就是应画的线(2) ∵BC ∥平面A'C'，平面BC'平面A'C'=B'C'∴BC//B'C'由(1)知EF//B'C'∴EF//BC ，而BC ⊂平面AC ，EF ⊄平面AC∴EF//平面AC显然，BE 、CF 都与平面AC 相交【例2】如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AC 与BD 交于点O ，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .证明：连接MO∵四边形ABCD 是平行四边形∴O 是AC 的中点又∵M 是PC 的中点∴AP ∥OM又∵AP ⊄平面BDMOM ⊂平面BDM∴AP ∥平面BDM又∵AP ⊂平面APGH ，平面APGH ∩平面BDM ＝GH∴AP ∥GH【例3】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点,E F 分别是棱11,CC BB 上的点，点M 是线段AC 上的动点，22EC FB ==.若//MB 平面,AEF MB ⊂，试判断点M 的位置解：M 是AC 的中点因为//MB 平面,AEF MB ⊂平面FBMN平面FBMN ⋂平面AEF FN =所以//MB FN所以四边形BFNM 是平行四边形所以1MN BF ==而//,22EC FB EC FB == 所以1//,12MN EC MN EC == 故MN 是ACE 的中位线所以M 是AC 的中点时，//MB 平面AEF方法规律：线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面(3)确定交线(4)由性质定理得出线线平行的结论四、课堂练习P 138 练习1、如图，在五面体EF ABCD 中，已知四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，求证：AD ∥EF证明 ∵AD ∥BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF∴AD ∥平面BCEF∵AD ⊂平面ADEF ，平面ADEF ∩平面BCEF ＝EF∴AD ∥EF2、如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点.求证：EF ∥平面BDD 1B 1证明：取D 1B 1的中点O ，连接OF ，OB (图略)∵F 为C 1D 1的中点∴OF ∥B 1C 1且OF ＝12B 1C 1 又BE ∥B 1C 1，BE ＝12B 1C 1 ∴OF ∥BE 且OF ＝BE∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1∴EF∥平面BDD1B1五、课堂小结1、直线与平面平行的性质定理2、证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段六、课后作业习题8.5 7、8七、课后反思。

答案 B
[微思考] 1.几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
提示 没有.平行四边形. 2.一个平面把空间分成了几部分？
提示 两部分. 3.基本事实1有什么作用？
提示 ①确定平面的依据；②判定点线共面. 4.基本事实2有什么作用？
提示 ①确定直线在平面内的依据；②判定点在平面内. 5.基本事实3有什么作用？
点，有且只有一个平面
经过两条相交直线，有且只有 推论2
一个平面 经过两条平行直线，有且只有 推论3 一个平面
图形
作用 定平面的依据
[微判断]
拓展深化
1.一个平面的面积是16 cm2.( × ) 2.直线l与平面α有且只有两个公共点.( × ) 3.四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形.( × ) 4.8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚.( × ) 5.空间不同三点确定一个平面.( × )
证明 如图所示.由已知a∥b，
所以过a，b有且只有一个平面α. 设a∩l＝A，b∩l＝B， ∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l， ∴l⊂α，即过a，b，l有且只有一个平面.
规律方法 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明： (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内. (2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内， 然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.
2.如图表示两个相交平面，其中画法正确的是( ) 答案 D
3.已知点A，直线a，平面α.
①若A∈a，a⊄α，则A∉α；
②若A∈α，a⊂α，则A∈a；
③若A∉a，a⊂α，则A∉α；
④若A∈a，a⊂α，则A∈α.
以上说法中，表达正确的个数是( )

跟踪训练2 在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF， EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥ 平面DEG.
证明 ∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE.
又∵AE⊥EB，
∴EB，EF，EA两两垂直.
即(a，0，－a)＝λ0，2a，a2＋μa，2a，－a2，
a＝μa，
则有0＝λ·a2＋μ·a2＝2aλ＋μ， －a＝λ·a2－μ·a2，
解得λμ＝＝－1. 1，
所以P→A＝－D→E＋E→B，
又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.
反思 感悟
证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不 在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线 不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内.
知识点二 线面平行的向量表示
设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则 l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.
知识点三 面面平行的向量表示
设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 .
思考 怎么利用向量证明或判定直线和平面的位置关系？ 答案 证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路 (1)转化为线线关系，然后利用两个向量的关系进行判定； (2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定.
12345
4.设平面α，β的一个法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，则α，β的 位置关系为_平__行___. 解析 ∵v＝－3(1,2，－2)＝－3u， ∴α∥β.

D.直线m与平面α内的一条直线平行
【解析】选C.选项A不符合题意,因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交;
选项B与D不符合题意,因为缺少条件m⊄α;选项C中,由直线与平面平行的判定
定理,知直线m与平面α平行,故选项C符合题意.
2.若直线l∥平面α,则过l作一组平面与α相交,记所得的交线分别为a,b,c,…, 那么这些交线的位置关系为( ) A.都平行 B.都相交且一定交于同一点 C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或交于同一点 【解析】选A.因为直线l∥平面α,所以根据直线与平面平行的性质定理 知,l∥a,l∥b,l∥c,…,所以a∥b∥c∥….
【思考】 一条直线与一个平面平行,该直线与此平面内任意直线平行吗?
提示:不是,可能是异面直线.
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α.( ) (2)若l与平面α平行,则l与α内任何一条直线都没有公共点. ( ) (3)平行于同一平面的两条直线平行. ( ) 提示:(1)×.直线也可能与平面相交. (2)√.若有公共点,则平行不成立. (3)×.两条直线可能平行,也可能相交或异面.
【解题策略】 关于线面平行性质定理的应用 (1)如果题目中存在线面平行的条件,寻找或作出交线是前提,也是关键. (2)对应画线问题,要根据线面平行,确定出平行的直线后画出.
【跟踪训练】
已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2,点P是平面AA1D1D的中心,点Q是B1D1上一
点,且PQ∥平面AA1B1B,则线段PQ长为
【补偿训练】 如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,点E,F分别为棱AB,PD的中点. 求证:AF∥平面PCE.
类型二 直线与平面平行的性质(直观想象、逻辑推理) 【典例】如图,三棱柱ABC -A1B1C1中,P,Q分别为棱AA1,AC的中点.在平面ABC内过 点A作AM∥平面PQB1交BC于点M,并写出作图步骤,但不要求证明.

第八章 立体几何初步
8.4 空间点、直线、平面之间的位 置关系
8.4.2 空间点、直线、平面之间的 位置关系
学习任务目标 1．了解直线与直线之间的位置关系，理解异面直线的概念． 2．了解直线与平面之间的三种位置关系，并能判断直线与平面的位 置关系． 3．了解平面与平面之间的两种位置关系，并能判断两个平面的位置 关系． 4．会用符号语言和图形语言表示直线与平面、平面与平面之间的位 置关系．(直观想象)
()
× 提示：不一定，若直线与平面只有一个公共点，则直线与平
面相交．若有两个公共点，则可说明直线在平面内．
(2)若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内，则 l∥α．
()
× 提示：直线 l 与平面 α 可能平行，也可能相交．
(3)若直线 l 与平面 α 相交，则 l 与平面 α 内的任意一条直线都是Biblioteka 符号表示α_∥__β_
α_∩__β_＝__a_
[微训练]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)若三个平面两两相交，则一定有三条交线．
()
× 提示：可能有三条交线，也可能只有一条交线．
(2)若平面 α∩β＝b，a⊂α，则直线 a 与 b 一定相交． ( ) × 提示：a 与 b 可能相交，也可能平行． (3)若 α，β，γ 为三个不重合的平面，则 α∥β，β∥γ⇒α∥γ．( ) √ 提示：平行性具有传递性，故正确．
02
任务驱动式课堂
任务一 任务二 任务三 任务四
空间中两条直线位置关系的判定 观察如图的教室，探究下列问题．
探究 1：教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？ 提示：平行. 探究 2：教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是 什么位置关系？ 提示：异面.

H E 2
2 3 D 2 3
G F C B
在Rt△EFG中，求得∠EGF = 45°，
所以 BC与EG所成的角为45°. (2)因为BF∥AE，
A
所以∠FBG（或其补角）为所求.
在Rt△BFG中，求得∠FBG = 60°，
相交直线 空间两直线的位置关系
平行直线
异面直线
异面直线的定义
异面直线
异面直线的画法 两异面直线所成的角 一作(找)二证三求
边形叫做空间四边形ABCD.
A
相对顶点A与C，B与D的连线AC， BD叫做这个空间四边形的对角线.
B
C
D
【即时训练】
如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，判断下列直线的位置关系：
平行 ； (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________ 相交 ； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ． (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________
b a′ ？ O a b′ a′
θ
O
平 移
若两条异面直线所成的角为90°，则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b. 异面直线所成的角θ 的取值范围： 0 o < 90 o
例2
如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′.
（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？ （ 3 ）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ 解 : （1）由异面直线的定义可知， 与直线BA′成异面直线的有直线 B′C′，AD,CC′,DD′,DC,D′C′.

P z
△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，
E
PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC．
A
证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，
△PAD是直角三角形，且PA＝AD，所以AB，AP，AD两
两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别
为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
F，使得AE//CF?
解析：不存在. 在四面体ABCD中，设=a，=b， =c ，则 { a ,b , c}




构成一个基底，因为E是 BC的中点，所以 = +
设=mc(0≤m≤1)，则 = − = − ,
若 ∥ ，则设 = ，
如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，
△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，
F
E
PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC．
A
D y
设n=(x1，y1，z1)是平面GEF的法向量，则1 ⊥ , 1 ⊥ ,
−1 = 0
即
，得
，

+

−
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)．
=(1,1,−1)，=(0,2,0)，
所以 = (2,0, −2)，=(0,−1,0)
F
D y
G
xB
C
例题精讲(面面平行)——例4
P z

符号表示：P ∈α ∩β α ∩β = l，且 P ∈l。
公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据。
精品课件
例1、用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的关系。
解 ：左边的图中， α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B。 右边的图中， α∩β＝l，a α，b β， a∩l=P，b∩l=P。
精品课件
新疆 王新敞
奎屯
求证： P 在直线 BD 上新疆 王新敞 奎屯
A
P EH
D
G
B
C
F
精品课件
证明：∵ EH FG P ，∴ PEH ， P FG ， ∵ E, H 分别属于直线 AB, AD ， ∴ EH 平面 ABD，∴ P 平面 ABD， 同理： P 平面 CBD ， 又∵平面 ABD 平面 CBD BD ，
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“ ”和“∩”的符号只能
用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用
几何语言．（平面α外的直线 a）表示 a （平面α外的直线 a）表示 a 或 a A．
精品课件
问题4：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？ 直线l不一定在平面α内。
答案：（1）×（2）√（3）×（4）√
精品课件
2．①一条直线与一个平面会有几种位置关系
．
②如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象.
③几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，
有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图
所示），问至少要几根木棍，才可能使桌面稳定？
（5）
直线在平面内
aα
直线与平面相交

由 AB⊥CD，且 AD∥BC， 得y－x 4×1＝－1，
－23＝x－y 1， 解得xy＝ ＝－10， 6， 所以点 D 的坐标为(10，－6)．
角度2 平行、垂直在图形中的应用 典例 4 如图所示，在平面直角坐标系中，
四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为 O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t,2)， 其中t＞0．试判断四边形OPQR的形状．
题型探究
题型一Βιβλιοθήκη 两直线平行典例 1判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2，0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． [分析] 斜率存在的直线求出斜率，利用l1∥l2⇔k1＝k2进行判断， 若两直线斜率都不存在，可通过观察并结合图形得出结论．
题型二
两直线垂直
典例 2 (1)直线l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，直线l2经过点 M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直； (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)， D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值． [分析] (1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断； 若一条直线的斜率不存在，再看另一条直线的斜率是否为0， 若为0，则垂直．
[规律方法] 关于直线平行，垂直的综合应用
(1)设出点的坐标，利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组) 去解．
(2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解，图形 的形状不确定时要分情况讨论．

8.5 空间直线、平面的平行【知识点一】直线与直线平行1.平行公理(公理4) 平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2.等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．【知识点二】直线与平面平行的判定【知识点三】平面与平面平行的判定定理【知识点四】直线与平面平行的性质【知识点五】平面与平面平行的性质【例1-1】下列四个结论中错误命题的个数是________．①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．【变式1】下列三种说法：①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是________．【例1-2】(公理4与等角定理的应用) 如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N 分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.【变式1】如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若AC ⊥BD ，求证：四边形EFGH 是矩形．【例2-1】如图，正方体1111ABCD A B C D 中，E 为1DD 中点．求证：1//BD 平面AEC ．【变式1】如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面P AD .【变式2】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12AA AB ==，3BC =．求证：1//AB 平面1BC D ；【例3-1】（平面与平面平行的证明）如如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G 分别是BC，DC，SC的中点，求证：（1）直线EG//平面BDD1B1；（2）平面EFG//平面BDD1B1.【变式1】如图，在四棱锥P－ABCD中，点E为P A的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD.【变式2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点S是B1D1的中点，点E，F，G分别是BC，DC 和SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【例4-1】(线面平行的性质)如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．【变式1】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.【变式2】如图，在五面体EF ABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC，求证：AD∥EF.【例5-1】(面面平行的性质)（1）如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长．（2）如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC 于A′，B′，C′，若P A′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于()A．2∶25 B．4∶25C．2∶5 D．4∶5【变式1】如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.课后练习题1．如图所示，在三棱柱ABC ­111A B C 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11A C 的中点，求证：（1）B ，C ，H ，G 四点共面；（2）1A E ∥平面BCHG .2．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，BC=3，BD=4，直线AD 与平面BCD 所成的角为45°，点E ，F 分别是AC ，AD 的中点．（1）求证：EF ∥平面BCD ；（2）求三棱锥A ﹣BCD 的体积．3.如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形.4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC//平面PAD，12BC AD，E是PD的中点.（1）求证：BC//AD；（2）求证：CE//平面PAB.5.如图，梯形ABCD中，//BC AD，E是PD的中点，过BC和点E的平面与PA交于点F.求证：//BC EF.6.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE.7.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.8.5 空间直线、平面的平行【知识点一】直线与直线平行1.平行公理(公理4) 平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2.等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．【知识点二】直线与平面平行的判定【知识点三】平面与平面平行的判定定理【知识点四】直线与平面平行的性质【知识点五】平面与平面平行的性质【例1-1】下列四个结论中错误命题的个数是________．①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．【答案】2【解析】①④均为错误命题．①可举反例，如a，b，c三线两两垂直．④如图甲，c，d与异面直线l1，l2交于四个点，此时c，d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面相交．【变式1】下列三种说法：①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是________．【答案】 1【解析】若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行、异面均有可能，故①不对；若a⊥b，b⊥c，则a，c平行、相交、异面均有可能，故③不对；②正确．【例1-2】(公理4与等角定理的应用) 如图，已知在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.证明 (1)如图 ，连结AC ，在△ACD 中，∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN ∥AC ，且MN ＝12AC .由正方体的性质，得 AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1. ∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知，MN ∥A 1C 1.又ND ∥A 1D 1，且∠DNM 与∠D 1A 1C 1的两边的方向相同，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.【变式1】如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若AC ⊥BD ，求证：四边形EFGH 是矩形．证明 (1)如图所示，连结EF ，FG ，GH ，HE ，在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD ，且EH ＝12BD .同理FG ∥BD ，且FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，且EH ＝FG ，∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)由(1)知EH ∥FG ，且EH ＝FG ，∴四边形EFGH 为平行四边形．∵HG 是△ADC 的中位线，∴HG ∥AC .又EH ∥BD ，AC ⊥BD ，∴EH ⊥HG ，∴四边形EFGH 为矩形． 【例2-1】如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 中点．求证：1//BD 平面AEC ．【解析】证明：连结BD 与AC 交于点H ，连结HE . 在1BDD 中，,E H 分别为1DD 、BD 的中点. 得1//EH BD .又因为1BD ⊄平面AEC ，EH ⊂平面AEC ， 所以1//BD 平面AEC【变式1】如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面P AD .【解析】如图，取PD 的中点G ，连接GA ，GN .∵G ，N 分别是△PDC 的边PD ，PC 的中点， ∴GN ∥DC ，GN ＝12DC .∵M 为平行四边形ABCD 的边AB 的中点， ∴AM ＝12DC ，AM ∥DC ，∴AM ∥GN ，AM ＝GN ，∴四边形AMNG 为平行四边形，∴MN ∥AG . 又MN ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .【变式2】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12AA AB ==，3BC =．求证：1//AB 平面1BC D ；【答案】详见解析 【解析】如图所示：连接1B C 与1C B 交于点O ，连接OD ， 因为O ，D 为中点， 所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ， 所以1//AB 平面1BC D ；【例3-1】（平面与平面平行的证明）如如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点，求证：（1）直线EG //平面BDD 1B 1； （2）平面EFG //平面BDD 1B 1.【解析】证明：（1）如图，连接SB ，因为E ，G 分别是BC ，SC 的中点， 所以EG //SB .又因为SB ⊂平面BDD 1B 1，EG ⊄平面BDD 1B 1， 所以直线EG //平面BDD 1B 1.（2）连接SD ，因为F ，G 分别是DC ，SC 的中点， 所以FG //SD .又因为SD ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1， 所以FG //平面BDD 1B 1，由（1）有直线EG//平面BDD1B1；又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG=G，所以平面EFG//平面BDD1B1.【变式1】如图，在四棱锥P－ABCD中，点E为P A的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD.【解析】证明因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，所以点O为BD的中点．又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD.又OF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以OF∥平面PCD，因为点O，E分别是AC，P A的中点，所以OE∥PC，又OE⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以OE∥平面PCD.又OE⊂平面EFO，OF⊂平面EFO，且OE∩OF＝O，所以平面EFO∥平面PCD.【变式2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点S是B1D1的中点，点E，F，G分别是BC，DC 和SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【解析】证明(1)如图，连接SB.∵点E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD.∵点F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.【例4-1】(线面平行的性质)如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．证明因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形．【变式1】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明 连接MO .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点．又∵M 是PC 的中点，∴AP ∥OM . 又∵AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ， ∴AP ∥平面BDM .又∵AP ⊂平面APGH ，平面APGH ∩平面BDM ＝GH ，∴AP ∥GH .【变式2】如图，在五面体EF ABCD 中，已知四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，求证：AD ∥EF .证明 ∵AD ∥BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF ， ∴AD ∥平面BCEF ，∵AD ⊂平面ADEF ，平面ADEF ∩平面BCEF ＝EF ， ∴AD ∥EF .【例5-1】(面面平行的性质)（1）如图，平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝3，BS ＝9，CD ＝34，求CS 的长．证明 设AB ，CD 共面γ，因为γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，且α∥β， 所以AC ∥BD ，所以△SAC ∽△SBD ，所以SC SC ＋CD ＝SASB ，即SC SC ＋34＝39，所以SC ＝17.（2）如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶5答案 B解析 ∵平面α∥平面ABC ，平面P AB 与它们的交线分别为A ′B ′，AB ，∴AB ∥A ′B ′， 同理B ′C ′∥BC ，易得△ABC ∽△A ′B ′C ′，S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫A ′B ′AB 2＝⎝⎛⎭⎫P A ′P A 2＝425. 【变式1】如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q 分别是BC ，C 1D 1，AD 1，BD 的中点．(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1；(2)求PQ 的长；(3)求证：EF ∥平面BB 1D 1D .解析：(1)证明 如图，连接AC ，CD 1.因为ABCD 是正方形，且Q 是BD 的中点，所以Q 是AC 的中点，又P 是AD 1的中点，所以PQ ∥CD 1.又PQ ⊄平面DCC 1D 1，CD 1⊂平面DCC 1D 1，所以PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)解 由(1)易知PQ ＝12D 1C ＝22a .(3)证明 方法一 取B 1D 1的中点O 1，连接FO 1，BO 1，则有FO 1∥B 1C 1且FO 1＝12B 1C 1.又BE ∥B 1C 1且BE ＝12B 1C 1， 所以BE ∥FO 1，BE ＝FO 1.所以四边形BEFO 1为平行四边形，所以EF ∥BO 1，又EF ⊄平面BB 1D 1D ，BO 1⊂平面BB 1D 1D ，所以EF ∥平面BB 1D 1D .方法二 取B 1C 1的中点E 1，连接EE 1，FE 1，则有FE 1∥B 1D 1，EE 1∥BB 1，且FE 1∩EE 1＝E 1，FE 1，EE 1⊂平面EE 1F ，B 1D 1，BB 1⊂平面BB 1D 1D ，所以平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D .又EF ⊂平面EE 1F ，所以EF ∥平面BB 1D 1D .课后练习题1．如图所示，在三棱柱ABC ­111A B C 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11A C 的中点，求证：（1）B ，C ，H ，G 四点共面；（2）1A E ∥平面BCHG .【解析】（1）∵G ，H 分别是11A B ，11A C 的中点，∴11//GH B C ，而11//B C BC ，∴//GH BC ，即B ，C ，H ，G 四点共面.（2）∵E ，G 分别是AB ，11A B 的中点，∴1,AG EB 平行且相等，所以四边形1A EBG 为平行四边形，即1//A E GB ，又1A E ⊄面BCHG ，GB ⊂面BCHG ，∴1//A E 面BCHG ，2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC=3，BD=4，直线AD与平面BCD所成的角为45°，点E，F分别是AC，AD的中点．（1）求证：EF∥平面BCD；（2）求三棱锥A﹣BCD的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）8【解析】（1）∵点E，F分别是AC，AD的中点，∴EF∥CD，又∵EF⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴//EF平面BCD；（2）∵AB⊥平面BCD，∴∠ADB为直线AD与平面BCD所成的角，45,4ADB AB BD∴∠=︒∴==，∵BC⊥BD，162BCDBCS BD∴=⨯⨯=,∴三棱锥A﹣BCD的体积183BCDV s AB=⋅=．3.如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形.【解析】证明∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，∴BC ∥平面P AD .∵平面BCFE ∩平面P AD ＝EF ，BC ⊂平面BCFE ，∴BC ∥EF .∵AD ＝BC ，AD ≠EF ，∴BC ≠EF ，∴四边形BCFE 是梯形.4.如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，BC//平面PAD ，12BC AD =，E 是PD 的中点.（1）求证：BC//AD ；（2）求证：CE//平面PAB .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：()1在四棱锥P ABCD -中，//BC 平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD 平面PAD AD =，//BC AD ∴，()2取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，E 是PD 的中点，//EF AD ∴，12EF AD =， 又由()1可得//BC AD ，且12BC AD =， //BC EF ∴，BC EF =，∴四边形BCEF 是平行四边形，∴，EC FB//EC⊄平面PAB，FB⊂平面PAB，∴平面PAB.EC//BC AD，E是PD的中点，过BC和点E的平面与PA交于点F.求证：5.如图，梯形ABCD中，//BC EF.//【答案】证明见解析BC AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，【解析】∵//BC平面PAD，∴//∵BC⊂平面BCEF，平面BCEF平面PAD EF=，BC EF∴//6.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE.证明因为F为CD的中点，H为PD的中点，所以FH∥PC，又FH⊄平面PEC，PC⊂平面PEC，所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE，又AF⊄平面PCE，CE⊂平面PCE，所以AF∥平面PCE.又FH⊂平面AFH，AF⊂平面7.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.证明因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D.又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.。