长郡中学2022-2023届高三月考试卷（二）数学2022.10一、选择题1.已知全集U =R ，集合{}2,3,4A =，集合{}0,2,4,5B =，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{}2,4 B.{}0 C.{}5 D.{}0,52.若i1ia z +=-（i 为虚数单位）是纯虚数，则=a （）A.-1B.0C.1D.23.已知函数()y f x =的图像在点()()33P f ,处的切线方程是27y x =-+，则()()33f f '-=（）A.2- B.2C.3- D.34.命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题，则a 的取值范围是（）A.40a -<£B.40a -≤< C.30a -≤≤ D.40a -≤≤5.当102x <≤时，4log xa x <，则a 的取值范围是（）A.0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.D.2)6.已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（）A.81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B.111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C.111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D.141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A.1624B.1198C.1024D.15608.已知函数()3f x x ax b =++，a 、b R ∈．1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，则当a 、b 取不同的值时，（）A.12n x +与22m x -均为定值B.12n x -与22m x +均为定值C.12n x -与22m x -均为定值D.12n x +与22m x +均为定值二、选择题9.已知奇函数())cos()(0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+-+><<的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，则下列结论正确的是（）A.函数π()2sin(2)3g x x =- B.函数()g x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x10.正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC 的平面α截该四棱锥，则（）A.PC BD⊥ B.四棱锥外接球的表面积为8πC.PA 与底面ABCD 所成的角为60︒D.当平面α经过侧棱PC 中点时，截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3:111.已知数列{}n a 满足18a =，21a =，2,2,n n na n a a n +-⎧=⎨-⎩为偶数为奇数，n T 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的有（）A.n 为偶数时，()221n n a -=- B.229n T n n =-+C.992049T =- D.n T 的最大值为2012.设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若()()212f x g x +--=，()()1f x g x ''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A.()10g = B.函数()g x '的图象关于2x =对称C.()20221k g k ==∑ D.()()20211k f k g k ==∑三、填空题13.若22log log 6a b +=，则a b +的最小值为________．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足22,3BE EC AE BD =⋅=- ，则AF EF ⋅的最小值为______.15.已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足117332,2a b a b a ====，则数列{}2(2)n n a b -的前n 项和为______.16.已知函数()ln xf x x =，()x xg x e=，若存在1>0x ，2x R ∈，使得()()120f x g x =<成立，则12x x 的最小值为______.四、解答题17.已知数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，13n n a S n +=-+，*n N ∈，12a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()*2n n n b n N S n =∈-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：()*1433n T n N <∈.18.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，5CD =，23ABC π∠=．(1)若AC =，求梯形ABCD 的面积；(2)若AC BD ⊥，求tan ABD ∠．19.如图，在三棱柱111ABCA B C ﹣中点，E 在棱1BB 上，点F 在棱CC 1上，且点,E F 均不是棱的端点，1,AB AC BB ⊥＝平面,AEF 且四边形11AA B B 与四边形11AAC C 的面积相等.（1）求证：四边形BEFC 是矩形；（2）若2,3AE EF BE ＝＝，求平面ABC 与平面AEF 所成角的正弦值.20.统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.（1）现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A 种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用ξ表示其中A 种鱼的条数，请写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望()E ξ;（2）另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点构成的四边形的面积为312⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若矩形MNPQ 满足各边均与椭圆C 相切.求证：矩形MNPQ 对角线长为定值.22.已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R .（1）讨论()f x 极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.长郡中学2023届高三月考试卷（二）数学一、选择题1.已知全集U=R ，集合{}2,3,4A =，集合{}0,2,4,5B =，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{}2,4 B.{}0 C.{}5 D.{}0,5【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答.【详解】依题意，图中的阴影部分表示的集合是()U A B ð，而全集U =R ，{}2,3,4A =，{}0,2,4,5B =，所以(){0,5}UA B ⋂=ð.故选：D2.若i1ia z +=-（i 为虚数单位）是纯虚数，则=a （）A.-1B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而根据纯虚数实部为0，虚部不为0即可求解.【详解】()()()i 1i 11i i ==1i 22a a a a z ++-+++=-，由于z 为纯虚数，因此10a -=且10a +，故1a =，故选：C3.已知函数()y f x =的图像在点()()33P f ,处的切线方程是27y x =-+，则()()33f f '-=（）A.2- B.2C.3- D.3【答案】D 【解析】【分析】利用导数的几何意义求出()3f 和()3f '，即可求得.【详解】函数()f x 的图像在点()()33P f ,处的切线的斜率就是在该点处的导数，即()3f '就是切线27y x =-+的斜率，所以()32f '=-.又()32371f =-⨯+=，所以()()()33123f f -=--='.故选：D4.命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题，则a 的取值范围是（）A.40a -<£ B.40a -≤< C.30a -≤≤ D.40a -≤≤【答案】A 【解析】分析】存在命题为假命题，则其否定是全称命题且为真命题，写出命题的否定，由不等式的性质可得结论．【详解】命题2:R,240p x ax ax ∃∈+-≥为假命题，即命题2:R,240p x ax ax ⌝∀∈+-<为真命题.首先，0a=时，40-<恒成立，符合题意；其次0a ≠时，则0a <且2(2)160a a ∆=+<，即40a -<<，综上可知，－4<0a ≤故选：A 5.当102x <≤时，4log xax <，则a 的取值范围是（）A.0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.D.2)【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性，结合已知条件可得关于a 的不等式，即可求得答案.【详解】由题意得，当1a>时，log a y x =是增函数，102x <≤时，log 0a x <，不合题意；当01a <<时，log a y x =在102x <≤时单调递减，4xy =递增，要使得4log xa x <成立，需满足1214log 2a<，即21log 2log 2a a a >=，则212a>，解得12a <<，故选:B6.已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（）A.81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ B.111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C.111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ D.141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先由零点个数求出36ω≤<，再用整体法得到不等式组，求出ω的取值范围.【详解】π,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππππ,π3333x ωωω⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，其中2ππ4ππ3ωω≤-<，解得：36ω≤<，则ππ4π333ω+≥，要想保证函数在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有三个零点，满足①1111πππ+2π2π+2π33π4π+2π<π5π+2π3k k k k ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，1k Z ∈，令10k =，解得：1114,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；或要满足②2222ππ2ππ+2π33π2π+3π<π2π+4π3k k k k ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，2k Z ∈，令21k =，解得：175,3ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；经检验，满足题意，其他情况均不满足36ω≤<条件，综上：ω的取值范围是111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.故选：C 【点睛】三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，确定ω的范围，本题中就要根据零点个数，先得到ππ23TT ≤-<，从而求出36ω≤<，再进行求解.7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A.1624B.1198C.1024D.1560【答案】C 【解析】【分析】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，则n c n =，依次用累加法，可求解.【详解】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =，()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=+++=++++- 所以11nn b b C +=-，1213b a a -==22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以()21133222nn n n bn -=+=-+，()()()()2221111121233226n n n n B n n n n+-=+++-++++= 同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=+++=+++-- 11n n a a B +-=所以11n n a B +=+，所以191024a =.故选：C【点睛】本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.8.已知函数()3f x x ax b =++，a 、b R ∈．1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，则当a 、b 取不同的值时，（）A.12n x +与22m x -均为定值 B.12n x -与22m x +均为定值C.12n x -与22m x -均为定值D.12n x +与22m x +均为定值【答案】D 【解析】【分析】分析得出0a<，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得知1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，再由()()1f x f n =、()()2f x f m =结合因式分解可得出结论.【详解】当0a≥时，()230f x x a '=+≥，此时，函数()f x 在R 上为增函数，当1x 、()2,x m n ∈时，()()1f x f n <，()()2f x f m >，不合乎题意，所以，0a <.由()0f x '=可得x =，当x <x >()0f x '>；当x <<()0f x '<.所以，函数()f x 的单调递增区间为,⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝.对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，()()min f x f m =，()()max f x f n =，又当1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，所以，1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，则1x =，2x =，由()()1f x f n =可得3311x ax b n an b ++=++，可得()()33110x n a x n -+-=，即()()221110x n x nx n a -+++=，因为1x n ≠，则22110x nx n a +++=，1x = ，可得213ax =-，所以，221120n nx x +-=，即()()1120n x n x -+=，所以，120n x +=，同理可得220m x +=，故选：D.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用已知条件分析出1x 、2x 为函数()f x 的极值点；（2）利用等式()()1f x f n =，()()2f x f m =结合因式化简得出结果.二、选择题9.已知奇函数())cos()(0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+-+><<的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，则下列结论正确的是（）A.函数π()2sin(2)3g x x =- B.函数()g x 的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 【答案】AB 【解析】【分析】利用两角差的正弦公式将()f x 化为π()2sin()6f x x ωϕ=+-，根据函数的最小正周期确定ω，根据奇偶性确定π6ϕ=，可得其解析式，根据三角函数的平移变换可得函数()g x 的解析式，判断A;代入验证可判断B ；根据x 的范围，确定π23x -的范围，结合正弦函数性质，可判断C,D.【详解】由题意可得π())cos()2sin(6f x x x x ωϕωϕωϕ=+-+=+-，因为()f x 的最小正周期为π，所以2π2πω==，又因为()f x 为奇函数，所以πππ,π,Z 66k k k ϕϕ-=∴=+∈，而0πϕ<<，故π6ϕ=，所以()2sin 2f x x =，则将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，故ππ()2sin[2()]2sin(2)63g x x x =-=-，A 正确；将π3x =-代入π()2sin(2)3g x x =-中，有ππ2sin[2()]033---=，即函数()g x 的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称，B 正确；当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2[,]333x -∈-，由于正弦函数sin y x =在2ππ[,]33-上不单调，故()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是单调递增函数，故C 错误；当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，ππ2π2[,333x -∈-，π()2sin(2)[2]3g x x =-∈，函数最大值为2，D 错误，故选：AB 10.正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC 的平面α截该四棱锥，则（）A.PC BD⊥ B.四棱锥外接球的表面积为8πC.PA 与底面ABCD 所成的角为60︒D.当平面α经过侧棱PC 中点时，截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3:1【答案】ABD 【解析】【分析】根据BD ⊥平面PAC 即可判断A,由PO ⊥底面ABCD ，即可判断外接球的球心在PO 上，利用勾股定理即可求半径，进而可判断B,PAO ∠即为PA 与底面ABCD 所成角，根据几何法即可判断C,取PC 的中点E ，连接BE ，DE ，BD ，能证明PC ⊥面BDE ，分别求出截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积，能判断D ．【详解】过P 作PO ⊥底面ABCD 于O ，则O 为AC 中点，由于BD ⊂底面ABCD ,所以PO BD ⊥,又,,,AC BD AC PO O AC PO ⊥⋂=⊂平面PAC ,故BD ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，故BD PC ⊥,故A 正确，由正四棱锥的特征可知，其外接球的球心在PO 上，设半径为R ,则()222OCOP R R +-=,又PO ==,解得R =,故外接球的表面积为24π8πR =,故B 正确，过P 作PO ⊥底面ABCD 于O ，则O 为AC 中点，则PAO ∠即为PA 与底面ABCD 所成角，正四棱锥P ABCD -所有棱长为2，2AP ∴=，12AO AC ==cos AO PAO AP ∴∠==，45PAO ∴∠=︒，故C 错误，取PC 的中点E ，连接BE ，DE ，BD ，正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，PBC ∴ 为正三角形，PC DE ∴⊥，PC BE ⊥，又DE BE E ⋂=，,DE BE ⊂平面BDE所以PC ⊥面BDE ，故当平面α经过侧棱PC 中点时，平面α即为平面BDE ，此时111112232322E BCDBCD VS OP -=⋅=⨯⨯⨯⨯⨯，1122333P ABCD ABCD V S OP -=⋅=⨯⨯⨯，P ABCD E BCD V V V --∴=-=上，∴3E BCDV V -=上，故D 正确．故选：ABD11.已知数列{}n a 满足18a =，21a =，2,2,n n na n a a n +-⎧=⎨-⎩为偶数为奇数，n T 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的有（）A.n 为偶数时，()221n n a -=- B.229n T n n =-+ C.992049T =- D.n T 的最大值为20【答案】AC 【解析】【分析】对选项A ，偶数项构成等比数列，即可求得通项；对选项B ，检验当1n =时，所给表达式不满足；对选项C ，按照n为奇数和偶数分别讨论，根据10099100T T a -=，可直接求得；对选项D ，n T 的最大值为71021T T ==【详解】根据递推关系可知，n 为奇数时，()18292nn a n-⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭n 为偶数时，()221n n a -=-，故A 对；()()212342121321242n n n n n T a a a a a a a a a a a a --=++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅+根据奇数项构成等差数列可得：()21321862109n a a a n n n -++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+=-+而又：2421,0,n n a a a n ⎧++⋅⋅+=⎨⎩当为奇数当为偶数则有：2229,91,n n n n T n n n ⎧-+=⎨-++⎩为偶数为奇数，故B 错误；()100222991010005095012049a T T -=-=-+⨯--=-，故C 对；根据n T 中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据n T 特点可知：n T 的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，26393119T =-+⨯+=，76719221T T a =+=+=，2849420T =-+⨯=，98920020T T a =+=+=，210595121T =-+⨯+=，11101119T T a =+=，n T 的最大值为71021T T ==，故D 错故选：AC12.设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若()()212f x g x +--=，()()1f x g x ''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A.()10g = B.函数()g x '的图象关于2x =对称C.()20221k g k ==∑ D.()()20211k f k g k ==∑【答案】AD 【解析】【分析】由()1g x +为奇函数可得()10g =，由()()212f x g x +--=取导数可得()()30f x g x ''+-=，结合条件()()1f x g x ''=+，判断B ，再由条件判断函数()f x ，()g x 的周期，由此计算()20221k g k =∑，()()20211k f k g k =∑，判断C ，D.【详解】因为()1g x +为奇函数，所以()()11g x g x +=--+，取0x =可得()10g =，A 对，因为()()212f x g x +--=，所以()()210f x g x ''++-=所以()()30f x g x ''+-=，又()()1f x g x ''=+()()130g x g x ''++-=，故()()220g x g x ''++-=，所以函数()g x '的图象关于点(2,0)对称，B 错，因为()()1f x g x ''=+，所以()()10f xg x '-+=⎡⎤⎣⎦所以()()1f x g x c -+=，c 为常数，因为()()212f x g x +--=，所以()()32f x g x --=，所以()()132g x g x c +--=-，取1x =可得2c =，所以()()13g x g x +=-，又()()11g x g x +=--+，所以()()31g x g x -=--+，所以()()2g x g x =--，所以()()42()g x g x g x +=-+=，故函数()g x 为周期为4的函数，因为()()2g x g x +=-，所以()()310g g =-=，()()42g g =-，所以(1)(2)(3)(4)0g g g g +++=，所以()[][]20221(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)k g k g g g g g g g g ==++++++++⋅⋅⋅∑[](2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(2022)g g g g g g ++++++，所以()202215050(2021)(2022)(1)(2)(2)k g k g g g g g ==⨯++=+=∑，由已知无法确定(2)g 的值，故()20221k g k =∑的值不一定为0，C 错；因为()()212f x g x +--=，所以()()221f x g x +=-+，()()625f x g x +=-+，所以()2(6)f x f x +=+，故函数()f x 为周期为4的函数，(4)(4)()()f xg x f x g x ++=所以函数()()f x g x 为周期为4的函数，又(1)2(0)f g =-，(2)2(1)2f g =-=，(3)2(2)2(0)f g g =-=+，(4)2(3)2f g =-=，所以(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)02(2)2(4)0f g f g f g f g g g +++=++=，所以()()[]20211505(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(2021)(2021)k f k g k f g f g f g f g f g ==++++∑()()20211(1)(1)0k f k g k f g ===∑，D 对，故选：AD.【点睛】本题解决的关键在于根据条件判断函数的周期性，对称性，并结合函数性质求函数值得和.三、填空题13.若22log log 6a b +=，则a b +的最小值为________．【答案】16【解析】【分析】由题得62ab =，再利用基本不等式求解.【详解】因为22log log 6a b +=，所以2log 6ab =.所以62ab=所以622216a b ab +≥≥=.当且仅当8ab ==时取等.故答案为：1614.已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足22,3BE EC AE BD =⋅=- ，则AF EF ⋅ 的最小值为______.【答案】7336-【解析】【分析】由22,3BE EC AE BD =⋅=- ，根据向量的线性运算以及数量积的运算律，可求得∠DAB ＝π3；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出AF EF ⋅，得到关于t 的二次函数，求得二次函数最小值即为所求．【详解】由题意知：2=3BE BC，设=DAB θ∠，所以()()22222333AE BD AB BE AD AB AB AD AB BC BC AB ⋅=+⋅-=⋅-+-⋅=-故()22214cos 444cos cos 3332θθθ-+⨯-⨯=-⇒=由于()0，πθ∈，所以π=3θ，以AC 与BD 交点为原点，AC 为x 轴，BD 为y 轴建立如图所示的直角坐标系，所以A （﹣3，0），C （3，0），D （0，1），B （0，﹣1），E （231,33-），设F （0，t ），则AF ＝（3，t ），EF ＝23133，t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2117323636AF EF t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当t ＝16-时，AF EF ⋅ 取最小值7336-，故答案为：7336-15.已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足117332,2a b a b a ====，则数列{}2(2)n n a b -的前n 项和为______.【答案】212n n +⋅【解析】【分析】根据等差等比数列基本量的计算可得公比和公差，进而得1,2nn na nb =+=，因此可得()22(2)=212n n n a b n n -+-，根据裂项求和即可求解.【详解】设公差和公比分别为(),0d q q >,由117332,2a b a b a ====得()2262222d q d +==+，解得1,2d q ==，因此1,2n nn an b =+=，所以()22(2)=212nnn a b n n -+-()()()()22222221212=2122212212n n n n n nnn n n n n n n +⎡⎤+---=⋅--⋅=⋅--⋅⎣⎦，设{}2(2)nn a b -的前n 项和为n S ，因此()2222123222112022212212n n nS n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅-⋅+⋅-⋅++⋅--⋅⎣⎦⎦=⎣⎦⎣ 212=n n +⋅故答案为：212n n +⋅16.已知函数()ln xf x x =，()xx g x e =，若存在1>0x ，2x R ∈，使得()()120f x g x =<成立，则12x x 的最小值为______.【答案】1e-【解析】【分析】利用导数研究函数()f x 可得函数()f x 的单调性情况，且(0,1)x ∈时，()0f x <，(1,)x ∈+∞时，()0f x >，同时注意()()x x xx x lne g x f e e e===，则21xx e =，所以2122x x x x e =，构造函数()x h x xe =，0x <，利用导数求其最小值即可．【详解】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()lnxf x x -'=，∴当(0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，又(1)f 0=，所以(0,1)x ∈时，()0f x <；(1,)x e ∈时，()0f x >；(,)x e ∈+∞时，()0f x >，同时注意到()()xx xx x lne g x f e e e===，所以若存在1(0,)x ∈+∞，2x R ∈，使得12()()0f x g x =<成立，则101x <<且212()()()x f x g x f e ==，所以21x x e =2(0)x <，所以2122xx x x e =，所以构造函数()x h x xe =(0)x <，而()(1)x h x e x '=+，当(1,0)x ∈-时，()0h x '>，()h x 单调递增；当(,1)x ∈-∞-时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以1()(1)h x h e=-=-最小值，即12)1(x x e =-最小值.故答案为：1e-.【点睛】关键点睛：利用同构的方式将12x x ，联系起来，这样就构造了新函数，然后利用导数研究函数的单调性及最值.四、解答题17.已知数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，13n n a S n +=-+，*n N ∈，12a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()*2nn nb n N S n =∈-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：()*1433n T n N <∈.【答案】（1）22,13·21,1nn n a n -=⎧=⎨+>⎩.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知得13n n a S n +=-+，即有14n n a S n -=-+，两式相减得()1121n n a a +-=-，根据等比数列的定义得数列{}1n a -为第二项起为等比数列，由等比数列的通项公式可得答案；（2）由（1）得123·2nn n n nb S n -==-+，运用错位相减法和数列的单调性可得证.【小问1详解】解：当1n =时，2111324a S a =-+=+=，13n n a S n +=-+，得()142n n a S n n -=-+≥，两式相减得，11n n n a a a +-=-，即有()1121n n a a +-=-，即为数列{}1n a -为第二项起为等比数列，则213·2n na--=，1n >，n N ∈，即有22,13·21,1n n n a n -=⎧=⎨+>⎩；【小问2详解】解：13n n a S n +=-+，得13·22n n S n -=-+，则123·2n n n n nb S n -==-+，即有前n 项和为2112333·23·23·2n n nT -=+++⋯+，23112323·23·23·23·2n n n T =+++⋯+，两式相减可得，2111111233·23·23·23·2nn nnT -=+++⋯+-1112·133·212nn n ⎛⎫- ⎪⎝⎭=--，化简得4412·3323·2nn nn T ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由于{}n b 各项大于0，得113nT T =，由不等式的性质可得43nT <.故()*1433n T n N <∈.18.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，5CD =，23ABC π∠=．(1)若AC =ABCD 的面积；(2)若AC BD ⊥，求tan ABD ∠．【答案】(1)(2)tan 3ABD ∠=．【解析】【分析】(1)ABC 中，利用含ABC ∠的余弦定理表达式建立BC 的方程，求出BC 而得ABC 面积，再利用面积关系求ADC 的面积得解；(2)由题设中角的信息用ABD ∠表示出ABC 与BDC 中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得tan ABD ∠的方程，解之即得.【详解】(1)设BC x =，在ABC 中，由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠得：22228222cos3x x π=+-⋅⋅⋅，即22240x x +-=，而x>0，解得4x =，所以4BC =，则ABC的面积11sin 24222ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠=⋅⋅⋅=△，梯形ABCD 中，//AB CD ，ABC 与ADC 等高，且52ABCD =，所以ADC的面积52ABCADCS S ==△△，则梯形ABCD的面积ABC ADC S S S =+=△△；(2)在梯形ABCD 中，设ABD α∠=，而AC BD ⊥，则BDC α∠=，2BAC πα∠=-，23DBC a π∠=-，6BCA πα∠=-，在ABC 中，由正弦定理sin sin AB BC BCA BAC=∠∠得：2sin()sin()62BCππαα=--，在BDC 中，由正弦定理sin sin CD BC DBC BDC=∠∠得：52sin sin()3BCπαα=-，两式相除得：212sin()2cos sin )sin sin 3cos 5sin()sin()6222παααααππααα-⋅+=⇒--，整理得227sin cos 0αααα--=，即27tan 0αα--=解得tan 3α=或tan 5α=-，因为(,62ππα∈，则tan 3α=，即tan 3ABD ∠=．【点睛】(1)三角形中已知两边及一边对角求第三边，利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解；(2)涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.19.如图，在三棱柱111ABC A B C ﹣中点，E 在棱1BB 上，点F 在棱CC 1上，且点,E F 均不是棱的端点，1,AB AC BB ⊥＝平面,AEF 且四边形11AA B B 与四边形11AAC C 的面积相等.（1）求证：四边形BEFC 是矩形；（2）若2,3AE EF BE ＝＝，求平面ABC 与平面AEF 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；（2）10【解析】【分析】（1）由1BB ⊥平面AEF ，知1CC ⊥平面AEF ，求得2AEB AFC π∠=∠=，由四边形11AA B B 与四边形11AAC C 面积相等知，AE AF =，则AEB AFC ≅△△，故BE CF =，结合1BB EF⊥，从而有四边形BEFC 为矩形.（2）证得AG ⊥平面11BB C C ，取BC 的中点H ，以G 点为坐标原点，,,GF GA GH→→→的方向分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得平面AEF 和平面ABC 的一个法向量，利用向量夹角求得二面角的正弦值.【详解】（1）在三棱柱中，11//BB CC ，则由1BB ⊥平面AEF ，知1CC ⊥平面AEF ，故1BB AE ^，1BB EF ⊥，1CC AF ⊥，从而2AEB AFC π∠=∠=，由四边形11AA B B 与四边形11AAC C 面积相等知，AE AF=又AB AC =，则AEB AFC ≅△△，故BE CF =结合//BE CF ，知四边形BEFC 为平行四边形，又1BB EF ⊥，故四边形BEFC 为矩形.（2）取EF 的中点G ，联结AG ，由（1）知AE AF =，且1BB ⊂平面11BB C C ，则平面AEF ⊥平面11BB C C ，又平面AEF 平面11BB C C EF=，则AG ⊥平面11BB C C ，取BC 的中点H ，以G 点为坐标原点，,,GF GA GH→→→的方向分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，由2AE AF EF ===知，AEF 为正三角形，故AG =故A，(1,0,)3B -，(1,0,3C，(1,3AB →=-，(1,3AC →=-，设平面ABC 的一个法向量为(,,)a x y z →=则00a AB a AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，故0303x z x z ⎧--+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，取1y =，则0,3x z ==，(0,1,3)a →=因为平面AEF 的一个法向量为(0,0,1)b →=则cos ,10a ba b a b→→→→→→⋅<>===则二面角的余弦值为10，故二面角的正弦值为1020.统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.（1）现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A 种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用ξ表示其中A 种鱼的条数，请写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望()E ξ;（2）另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.【答案】（1）分布列见解析，()725E =ξ（2）（i ）200；（ii ）199或200【解析】【分析】（1）根据超几何概率公式即可求解概率，进而得分布列和期望，（2）根据抽样比即可求解总数，根据最大似然思想结合概率的单调性即可求解最大值.【小问1详解】0,1,2ξ=,2112434377222505050C C C C 129433(0),(1),(2),C 175C 175C 175P P P ξξξ⋅=========故分布列为：ξ012P129175431753175()129433701217517517525E =⨯+⨯+⨯=ξ.【小问2详解】（i ）设池塘乙中鱼数为m ,则50520m =,解得200m =,故池塘乙中的鱼数为200.（ii ）设池塘乙中鱼数为n ,令事件B =“再捉20条鱼,5条有记号”,事件C =“池塘乙中鱼数为n ”则515505020C C ()C n n np P B C -⋅==∣,由最大似然估计法,即求n p 最大时n 的值,其中65n ,1(49)(19)(64)(1)n n p n n p n n +--∴=-+当65,......198n =时11n n p p +>，当199n =时11n n pp +=，当200,201,...n =时11n np p +<所以池塘乙中的鱼数为199或200.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点构成的四边形的面积为，点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若矩形MNPQ 满足各边均与椭圆C 相切.求证：矩形MNPQ 对角线长为定值.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）对当MN 的斜率的情况进行分类讨论，当MN 的斜率存在且不为0时，设直线MN ：ykx t =+，与椭圆方程联立，根据0∆=，求得,k t的关系，利用两平行线之间的距离公式分别求得矩形边长，从而可求得对角线，即可得证.【小问1详解】解：由已知2212221914a b a b ⎧⋅⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆方程C ：22143x y +=；【小问2详解】证明：当MN 的斜率为0或不存在时，对角线MP NQ ===，当MN 的斜率存在且不为0时，设直线MN ：y kx t =+，联立223412y kx t x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得()2223484120k x ktx t +++-=，()()222264163430k t t k ∆=--+=，化简得2243k t +=，所以两平行线MN 和PQ的距离1dNP ===，以1k -代替k ，两平行线MQ 和NP的距离2d MN ===，所以矩形MNPQ的对角线MP NQ ==综上所述，矩形MNPQ对角线长为定值22.已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R .（1）讨论()f x 极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）分类讨论导函数e ()xf x x m x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭的实数根即可求解极值点，（2）构造函数()()(2),(0,1)F x g x g x x =--∈和2e ()(3)e e,(0,1)xxxG x x x x-=-+-∈，通过判断函数的单调性，求解最值，当导数正负不好确定的时候，需要构造新的函数，不断的通过求导判断单调性.【小问1详解】2()e 2xmx f x =-,则()e x f x mx '=-,0x = 显然不是()'f x 的零点,e (),x f x x m x '⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭令e ()=xg x x,则2e (1)()-'=x x g x x ,()g x ∴在(,0)-∞单调递减,在（0,1）单调递减,在(1,)+∞单调递增.当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0>g x ，且()(1)eg x g ==极小值(,0)m ∴∈-∞时,e=x m x只有一个实数根，所以此时()f x 有1个极值点,[)0,e m ∈时,e=x m x没有实数根，故()f x 有0个极值点,当e m =时，e =x m x ，有一个实数根1x =，但1x =不是极值点，故此时()f x 没有极值点，(e,)m ∈+∞时,e =x m x有两个不相等的实数根，故()f x 有2个极值点.【小问2详解】由（1）知,(e,)m ∈+∞,且()()121201,,()x x g x g x m g x <<<==在（0,1）单调递减,在(1,)+∞单调递增,先证:122x x +>,即证:212x x >-，1201x x <<< 121x ∴->即证:()()212g x g x >-.即证:()()112g x g x >-.令()()(2),(0,1)F x g x g x x =--∈,即证:(0,1),()0x F x ∀∈>,2'22e e ()(1)()(2)x xF x x x x -=---令2(1,2)t x =-∈则x t<令2e ()h =λλλ,则4)(e (2)h'⋅⋅-=λλλλλ,则()h λ在(0,2)λ∈单调递减()()(2)h x h t h x ∴>=-,()0F x '∴<,即()F x 在(0,1)x ∈单调递减,()(1)0F x F ∴>=,证毕.再证:()()122e f x f x m +<-,1201x x <<< ,且122x x +>1122x x x ∴<-<.()f x 在()10,x 单调递增,在()12,x x 单调递减,在()2,x +∞单调递增,()()122f x f x ∴->.即证:()()1122e f x f x m +-<-,又11e x m x =,即证:()()()11121111e 23e e2e x x x f x f x m x x -+-+=-+-<.令2e ()(3)e e,(0,1)xx xG x x x x-=-+-∈,()23222222e 21e e (1)()(2)e e exx x xxxx x x x G x x x x '--+-+--∴=---=.令()23222()e 21e x p x x x x x =-+-+-,()2322()e 2212e x p x x x x x '∴=-+++-,令()()q x p x '=()2322()2e 22322e x x q x x x ∴=-+--'-,令()()r x q x '=()232()2e 41027x x x x r x ∴=-'+--令32()41027,(0,1)m x x x x x =+--∈,2()12202m x x x '∴=+-,11(0,1),()x m x ∴∃∈在()110,x 单调递减,在()11,1x 单调递增.(0)7,(1)5m m =-= ,12(0,1)x ∴∃∈,当()120,x x ∈时,()()0,r x q x >''单调递增;当()12,1x x ∈时,()()0,r x q x <''单调递减.()()2042e 0,10q q '<'=-= ,13(0,1),()x p x '∴∃∈在()130,x 单调递减,在()13,1x 单调递增.(0)10,(1)0p p ''=>= ,14(0,1),()x p x ∴∃∈在()140,x 单调递增,在()14,1x 单调递减.(0)1,(1)0p p == ,()0p x ∴>,()0G x '∴>,()G x ∴在(0,)x x ∈单调递增,()(1)2e G x G ∴<=,所以原命题得证.【点睛】本题考查了导数的综合运用，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.。
