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【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学选修1-2《数系的扩充与复数的引入》章末评估及解析

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（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-2

第四章 数系的扩充与复数的引入

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知i2＝－1，则i(1－3i)＝( )

A.3－i B．3＋i

C．－3－i D．－3＋i

解析： i(1－3i)＝i－3i2＝3＋i.

答案： B

2．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则m＝1是z1＝z2的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析： 因为z1＝z2，所以 m2＋m＋1＝3m2＋m－4＝－2，

解得m＝1或m＝－2，

所以m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．

答案： A

3．已知复数z满足|z|2＝z2，则z是( )

A．0 B．任意实数

C．任意复数 D．实数和纯虚数

解析： 设z＝a＋bi(a，b为实数)，则

|z|2＝a2＋b2，z2＝a2－b2＋2abi.

∵|z|2＝z2，∴ a2＋b2＝a2－b2，2ab＝0，即a∈R且b＝0，

故z＝a是任意实数．

答案： B

4．i是虚数单位，复数－1＋3i1＋2i＝( )

A．1＋i B．5＋5i

C．－5－5i D．－1－i

解析： －1＋3i1＋2i＝－1＋3i1－2i5 ＝5＋5i5＝1＋i

答案： A

5．复数3－i1＋i2＝( )

A．－3－4i B．－3＋4i

C．3－4i D．3＋4i

解析： 3－i1＋i＝3－i1－i2＝2－4i2

＝1－2i

∴3－i1＋i2＝(1－2i)2＝－3－4i

答案： A

6．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )

A．－1 024 B．1 024

C．0 D．1 024i

解析： (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.

答案： C

7．若z1＝(x－2)＋yi与z2＝3x＋i(x，y∈R)互为共轭复数，则z1对应的点在( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

解析： 由z1，z2互为共轭复数，得 x－2＝3xy＝－1，解得 x＝－1y＝－1，

所以z1＝(x－2)＋yi＝－3－i.

由复数的几何意义知z1对应的点在第三象限．

答案： C

8．若复数z满足1－z1＋z＝i，则|1＋z|等于( )

A.2 B．1

C．0 D．2

解析： 由1－z1＋z＝i，得1－z＝i＋iz，

∴(1＋i)z＝1－i，∴z＝1－i1＋i＝－i，

∴|1＋z|＝|1－i|＝2. 答案： A

9．设z1＝i4＋i5＋i6＋…＋i12，z2＝i4·i5·i6·…·i12，则z1，z2的关系是( )

A．z1＝－z2 B．z1＝z2

C．z1＝1＋z2 D．无法确定

解析： z1＝i41－i91－i＝i41－i1－i＝i4＝1，

z2＝i4＋5＋6＋7＋…＋12＝i72＝1.

答案： B

10．定义运算ac bd＝ad－bc，则符合条件1z －1zi＝4＋2i的复数z为( )

A．3－i B．1＋3i

C．3＋i D．1－3i

解析： 1z －1zi＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i，

∴z＝4＋2i1＋i＝4＋2i1－i2＝4＋2－2i2＝3－i.

答案： A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

11．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．

解析： ∵(z1－z2)i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i

＝(－2＋20i)i＝－20－2i，

∴(z1－z2)i的实部为－20.

答案： －20

12．若复数z满足z(1＋i)＝1－i(i是虚数单位)，则其共轭复数z＝________.

解析： 设z＝a＋bi，则(a＋bi)(1＋i)＝1－i，

即a－b＋(a＋b)i＝1－i.

由 a－b＝1，a＋b＝－1，解得 a＝0，b＝－1.

所以z＝－i，z＝i.

答案： i

13．若复数2－bi31＋i(b∈R)在复平面上对应的点在直线y＝－x上，则b的值为________．

解析： 2－bi31＋i＝2＋bi1－i2 ＝2－2i＋bi＋b2＝2＋b＋b－2i2，

由题意得－(2＋b)＝b－2，∴b＝0.

答案： 0

14．设z∈C，z＋|z|＝2＋i，则z＝________.

解析： 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝a2＋b2，

∴a＋bi＋a2＋b2＝2＋i，

∴ a＋a2＋b2＝2，b＝1

∴ a＝34b＝1，∴z＝34＋i.

答案： 34＋i

三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)已知z1＝(x＋y)＋(x2－xy－2y)i，z2＝(2x－y)－(y－xy)i，问x，y取什么实数值时，

(1)z1，z2都是实数；

(2)z1，z2互为共轭复数．

解析： (1)由 x2－xy－2y＝0y－xy＝0解得 x＝0y＝0或 x＝1y＝13，

所以当 x＝0y＝0或 x＝1y＝13时，z1，z2都是实数．

(2)由 x＋y＝2x－yx2－xy－2y＝y－xy解得 x＝0y＝0或 x＝32y＝34，

所以当 x＝0y＝0或 x＝32y＝34时，z1，z2互为共轭复数． 16．(本小题满分12分)计算：i－231＋23i＋(5＋i19)－1＋i222.

解析： 原式＝i1＋23i1＋23i＋(5＋i3)－2i11211

＝i＋(5－i)＋i＝5＋i.

17．(本小题满分12分)已知复数z＝1－i2＋31＋i2－i.

(1)求复数z；

(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．

解析： (1)z＝－2i＋3＋3i2－i＝3＋i2－i＝3＋i2＋i5＝1＋i；

(2)把z＝1＋i代入得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，

即a＋b＋(2＋a)i＝1－i，

所以 a＋b＝12＋a＝－1，解得 a＝－3b＝4.

18．(本小题满分14分)已知|z1|＝1，|z2|＝1，|z1＋z2|＝3.求|z1－z2|.

解析： 方法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．

由已知得a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.

(a＋c)2＋(b＋d)2＝3，

又∵(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ac＋2bd＝2＋2ac＋2bd＝3.

∴2ac＋2bd＝1.

又|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋b2＋c2＋d2－2ac－2bd＝2－1＝1，

∴|z1－z2|＝1.

方法二：在复平面内设z1，z2分别对应向量OZ1→、OZ2→，则对角线OZ→对应z1＋z2，Z2Z1→对应z1－z2，

由已知|OZ1→|＝1，|OZ2→|＝1，|OZ|＝3.

∴∠OZ1Z＝120°.∴∠Z2OZ1＝60°.

∴在OZ1Z2中|Z2Z1→|＝1，即|z1－z2|＝1.

方法三：由教材中的习题得结论|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)，得|z1－z2|2＝1.∴|z1－z2|＝1.

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高中数学第四章数系的扩充与复数的引入4.2复数的四则运算知识导航素材北师大版选修

高中数学第四章数系的扩充与复数的引入4.2复数的四则运算知识导航素材北师大版选修

1 §4.2 复数的四则运算

2.1 复数的加法与减法

2.2 复数的乘法与除法

自主整理

1.复数的加法、减法运算:(a+bi)±(c+di)=______________.

2.复数的乘法运算:(a+bi)(c+di)=______________.

3.两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为__________,用__________表示.

4.设z=a+bi,则z=____________,zz=____________.

5.满足(c+di)(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫作____________,记作_____________或____________.

高手笔记

1.复数的加、减、乘、除运算后,所得的结果仍为复数.

2.复数的加、减、乘法运算与多项式的运算类似.

3.复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律,即对任何z1、z2、z3∈C有z1·z2=z2·z1,(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

在复数范围内,实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立,即对任意复数z、z1、z2和正整数m、n有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1n·z2n.

4.若z=z,则z为实数;若z+z=0(z≠0),则z为纯虚数.

5.根据复数所满足的运算律,可知i

4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,ii11=i,

ii11=-i.若设ω=21+23i,则1+ω+ω2=0,2=ω,ω2=,3=1.

名师解惑

理解复数的除法运算的转化.

剖析:复数的除法是复数乘法的逆运算,但每次都按乘法的逆运算将十分麻烦.我们可以用简便方法操作:先把两个复数相除写成分式形式,然后把分子与分母都同乘分母的共轭复数,使分母“实数化”,最后再化简.复数的除法与分母“有理化”的方法相类似.学习时,注意培养这种转化的思想和类比思想.

深圳富源文武学校选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测(含答案解析)

深圳富源文武学校选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测(含答案解析)

一、选择题

1．若复数1aizi(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为（ ）

A．1 B．0 C．12 D．1

2．若复数2320211ziiii，则复数z对应的点在第（ ）象限

A．一 B．二 C．三 D．四

3．已知复数13aizi为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数a（ ）

A．3 B．3

C．13 D．13

4．若m为实数，则复数22()()26mmmmi＋＋在复平面内所对应的点不可能位于( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．下面是关于复数21iz的四个命题，其中的真命题为（ ）

1:2pz;22:2ipz;3:pz的共轭复数为1i；4:pz的虚部为i.

A．2p,3p B．13,pp C．24,pp D．34,pp

6．若复数1aizi，且3·0zi，则实数a的值等于（ ）

A．1 B．-1 C．12 D．12

7．已知复数2zaaai，若z是纯虚数，则实数a等于（ ）

A．2 B．1 C．0或1 D．-1

8．设(2)34,izi 则z=（ ）

A．12i B．12i C．2i D．2i

9．已知复数z满足(1i)2z，则z（ ）

A．1 B．2 C．2 D．3

10．已知命题p是命题“若acbc，则ab”的否命题；命题q：若复数22(1)(2)xxxi是实数，则实数1x，则下列命题中为真命题的是（ ）

A．pq B．()pq C．()pq D．()()pq

11．若复数z满足211zii，其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．i为虚数单位，复数512i的共轭复数是（ ）

A．12i B．12i C．2i D．2i

高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的

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3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2

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2 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义

教学过程

一、推进新课

1.复数的加法

探究新知

我们规定，复数的加法法则如下：

设biaz1,dicz2是任意两个复数，那么

idbcadicbia

提出问题

问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗?

问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？

问题3：它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法？

活动设计:学生独立思考，口答。

活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。2．一致。3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。

高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念达标练 新人教A版选修12

高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念达标练 新人教A版选修12

- 1 - 3.1.1 数系的扩充和复数的概念

1.复数z=2+m-i(m∈R)的虚部为 ( )

A.1 B.-1 C.i D.-i

【解析】选B.根据复数的概念可知,复数z=2+m-i=(2+m)+(-1)i(m∈R)的虚部为-1.

2.“复数a+bi(a，b∈R)为纯虚数”是“a=0”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.当a+bi(a，b∈R)为纯虚数时，

则a=0，b≠0，但当a=0时，a+bi不一定是纯虚数，

因为时，a+bi=0为实数.

3.已知复数3+4i与复数a+bi相等,则实数a,b的值为 ( )

A.a=3,b=4 B.a=4,b=3

C.a=3,b=-4 D.a=-3,b=4

【解析】选A.由已知得3+4i=a+bi(a,b∈R),根据复数相等的充要条件可知故选A.

4.已知z1=m2-3m+m2i，z2=4+(5m+6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1=z2，则m的值为( )

A.4 B.-1 C.6 D.0

【解析】选B.因为z1=z2，所以

解得m=-1.

5.有下列四个命题：

①方程2x-5=0在自然数集N中无解；

②方程2x2+9x-5=0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；

③x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解；

④x4=1在R中有两解，在复数集C中也有两解.

其中正确命题的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选C.①方程的解为x=∉N，故①正确. - 2 - ②方程的解为x1=∈Q，x2=-5∈Z⊆Q，故②正确.

③由i2=-1，知x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解，故③正确.

④x4=1在复数集C中的解的个数为4，故④不正确.

6.下列四个命题：

①两个复数不能比较大小；