高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习

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-- 高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习

一、知识点总结

1．正弦定理：2sinsinsinabcRABC或变形：::sin:sin:sinabcABC.

推论：①定理：若α、β>0，且α+β<，则α≤βsinsin,等号当且当α=β时成立。

②判断三角解时,可以利用如下原理： ｓｉnA > ｓｉnB  A > B  a > b

(在上单调递减)

2.余弦定理： 2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcbabaC 或 222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacbacCab.

3.（1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.

２、已知两角和其中一边的对角,求其他边角.

(2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.

2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.

4.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.

5．三角形中的基本关系：sin()sin,ABCcos()cos,ABCtan()tan,ABC

sincos,cossin,tancot222222ABCABCABC

已知条件 定理应用 一般解法

一边和两角

（如ａ、B、C) 正弦定理 由A+Ｂ＋C=180˙,求角A,由正弦定理求出ｂ与c，在有解时

有一解。

两边和夹角

(如a、b、c） 余弦定理 由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角,再

由A+B＋C＝180˙求出另一角，在有解时有一解。

三边

(如a、b、c) 余弦定理 由余弦定理求出角Ａ、B,再利用Ａ+B+C=180˙，求出角C

在有解时只有一解。

coscosABABcosyx(0,)--

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解三角形［基础训练A组]

一、选择题

１.在△ABＣ中,若0030,6,90BaC,则bc等于（ ）

A．1 Ｂ.1 C．32 D.32

2.若A为△ＡBC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）

A.Asin B．Acos C.Atan D.Atan1

3.在△ABＣ中,角,AB均为锐角,且,sincosBA则△ＡBC的形状是( ）

A.直角三角形 Ｂ．锐角三角形 C．钝角三角形 Ｄ.等腰三角形

4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为( ）

A.2 B.23 C.3 Ｄ.32

5．在△ABC中,若Babsin2，则A等于( )

A．006030或 Ｂ．006045或 C．0060120或 Ｄ.0015030或

６.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )

A．090 B．0120 Ｃ．0135 D．0150

二、填空题

1.在Rt△AＢＣ中，090C,则BAsinsin的最大值是___＿___＿_＿＿___＿。

２.在△ABC中，若Acbcba则,222______＿__。

3．在△ABC中，若aCBb则,135,30,200＿_____＿＿_。

4.在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13,则C_＿___＿__＿_＿__。

５．在△ABC中，,26AB030C，则ACBC的最大值是___＿＿_＿_。

三、解答题

1． 在△ABC中，若,coscoscosCcBbAa则△ABC的形状是什么？

2.在△ＡBC中,求证:)coscos(aAbBcabba

3．在锐角△ＡBC中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin。

4．在△ABC中,设,3,2CAbca求Bsin的值。

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-- 解三角形[综合训练Ｂ组］

一、选择题

1.在△ABＣ中,::1:2:3ABC，则::abc等于（ )

Ａ.1:2:3 Ｂ．3:2:1 C.1:3:2 D.2:3:1

２．在△AＢC中，若角B为钝角，则sinsinBA的值( )A大于零B小于零C等于零D不能确定

３．在△AＢC中,若BA2,则a等于( ）A．Absin2 Ｂ.Abcos2 C.Bbsin2 Ｄ.Bbcos2

4.在△ＡBＣ中,若2lgsinlgcoslgsinlgCBA,则△ABC的形状是( )

A．直角三角形 B.等边三角形 Ｃ．不能确定 Ｄ．等腰三角形

5．在△ABC中，若,3))((bcacbcba则A ( ) A．090B．060Ｃ.0135 D．0150

6.在△ABC中，若1413cos,8,7Cba，则最大角的余弦是（ )A.51 B．61 C.71 Ｄ.81

7．在△ＡＢC中,若tan2ABabab，则△ABC的形状是（ ）

Ａ.直角三角形B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 Ｄ.等腰三角形或直角三角形

二、填空题

1．若在△ＡBＣ中，060,1,3,ABCAbS则CBAcbasinsinsin=__＿_＿_＿。

２．若,AB是锐角三角形的两内角,则BAtantan_＿___1(填>或<）。

3.在△ABC中，若CBCBAtantan,coscos2sin则________＿。

4．在△ＡＢＣ中,若,12,10,9cba则△ABC的形状是_______＿_。

５.在△ABC中，若Acba则226,2,3_＿_＿__＿__。

6.在锐角△ABC中,若2,3ab,则边长c的取值范围是_____＿___。

三、解答题

1． 在△ABＣ中,0120,,21,3ABCAcbaS，求cb,。

2． 在锐角△ＡＢＣ中,求证:1tantantanCBA。

3． 在△ＡBC中,求证：2cos2cos2cos4sinsinsinCBACBA。

4． 在△ＡＢC中，若0120BA，则求证:1cabcba。

5．在△ABC中，若223coscos222CAbac，则求证：2acb

解三角形[提高训练Ｃ组] --

-- 一、选择题

１.A为△ＡＢC的内角，则AAcossin的取值范围是( )

A.)2,2( Ｂ．)2,2( C．]2,1( D.]2,2[

2．在△ABＣ中,若,900C则三边的比cba等于( ）

Ａ.2cos2BA B．2cos2BA Ｃ．2sin2BA D．2sin2BA

3.在△ABC中，若8,3,7cba,则其面积等于( ）

A.12 B.221 Ｃ.28 D.36

４．在△ABC中,090C，00450A，则下列各式中正确的是( ）

A.sincosAA B．sincosBA C.sincosAB D．sincosBB

５．在△ABC中,若)())((cbbcaca，则A( )

A.090 B．060 Ｃ.0120 D．0150

６.在△AＢＣ中，若22tantanbaBA,则△ABＣ的形状是（ )

A．直角三角形 B.等腰或直角三角形 C．不能确定 Ｄ.等腰三角形

二、填空题

1.在△ABC中,若,sinsinBA则A一定大于B,对吗?填__＿__＿＿_＿(对或错）

2．在△AＢＣ中,若,1coscoscos222CBA则△ABC的形状是______________。

3．在△ABＣ中,∠C是钝角,设,coscos,sinsin,sinBAzBAyCx

则zyx,,的大小关系是_____＿＿_＿___＿___＿______＿_＿_。

4．在△ABＣ中,若bca2,则CACACAsinsin31coscoscoscos_____＿。

5.在△AＢC中，若,tanlgtanlgtanlg2CAB则B的取值范围是__________＿____。

6．在△ABＣ中，若acb2，则BBCA2coscos)cos(的值是＿＿_______。

三、解答题

１．在△ABC中,若)sin()()sin()(2222BAbaBAba，请判断三角形的形状。 --

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2． 如果△ABC内接于半径为R的圆，且,sin)2()sin(sin222BbaCAR

求△ABＣ的面积的最大值。

3． 已知△ABC的三边cba且2,2CAbca,求::abc

4.在△ABC中，若()()3abcabcac,且tantan33AC,AB边上的高为43,求角,,ABC的大小与边,,abc的长

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[基础训练A组]

一、选择题

1.C 00tan30,tan3023,244,23bbacbcba

2.A 0,sin0AA

3．C cossin()sin,,22AABAB都是锐角，则,,222ABABC

４.D 作出图形

５.D 012sin,sin2sinsin,sin,302baBBABAA或0150

6.Ｂ 设中间角为,则22200005871cos,60,180601202582为所求

二、填空题

1．12 11sinsinsincossin222ABAAA

2.0120 22201cos,12022bcaAAbc

３.26 00sin6215,,4sin4sin154sinsinsin4abbAAaAABB

4. 0120 a∶b∶csinA∶sinB∶sinC7∶8∶13,

令7,8,13akbkck 22201cos,12022abcCCab

5. 4 ,,sinsinsinsinsinsinACBCABACBCABBACBACACBC

2(62)(sinsin)4(62)sincos22ABABAB

max4cos4,()42ABACBC

三、解答题

1. 解：coscoscos,sincossincossincosaAbBcCAABBCC

sin2sin2sin2,2sin()cos()2sincosABCABABCC