二项分布及其应用

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同步课程˙二项分布及其应用

1． 什么是条件概率？

对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率

2． 什么是相互独立事件？

如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即(|)()PBAPB，

这时，我们称两个事件A，B相互独立

3． n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是什么？

()C(1)kknknnPkpp(0,1,2,,)kn．

4． 二项分布的期望与方差分别是什么？

若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则()EXnp，()Dxnpq(1)qp

一、 条件概率

1.条件概率的定义：

对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)PBA”来表示．

2.条件概率公式：PABPBAPA其中0PAAB，称为事件A与B的积或交（或积）．

把由事件A与B的交（或积），记做DAB（或DAB）．

3.条件概率的求法：

（1）利用定义，分别求出PA和PBA，得PABPBAPA．

（2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数，即nA再求事件nAB，得nABPBAnA．

二、 事件的独立性

如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即(|)()PBAPB，

这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．

如果事件1A，2A，…，nA相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()nnPAAAPAPAPA，并且上式中任意多个事件iA换成其对立事件后等式仍成立．

二项分布及其应用

知识讲解 知识回顾

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同步课程˙二项分布及其应用

三、 独立重复试验与二项分布

数

学

篇备考指南

二项分布是一种重要的分布，很多同学不能正确判断一个变量是否服从二项分布，自然也不能很好地利用二项分布的概念来解题.下面，我们来重点剖析二项分布的定义，并探讨一下判定一个变量是否服从二项分布的方法，以及利用二项分布的定义求解相关的概率问题.一、二项分布的定义及概率公式在n次独立重复试验中，若（1）每次试验都有两个相互对立的结果，分别为“成功”和“失败”；（2）每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1-p；（3）各次试验是相互独立的，用X表示n次试验中成功的次数，则X服从二项分布，简记为X∼B(n,p).在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k(k=0,1,2,⋯,n).对于这个定义和概率公式，我们要明确三点：1.n次试验是独立重复试验，条件（3）说明了各个试验的独立性，条件（1）（2）说明了试验的重复性；2.服从二项分布的变量是指n次独立重复试验中，事件“成功”的次数；3.概率公式P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k(k=0,1,2,⋯,n)

中的Ckn是一个组合数，pk是k次成功的概率，(1-p)n-k是n-k次不成功的概率.由于k次成功和n-k次不成功相互独立且同时发生，所以pk(1-p)n-k表示k次成功n-k次不成功的概率.由于k次成功有Ckn种可能，所以任何一种可能发生的概率都是pk(1-p)n-k，因此在n次试验中，k次成功且n-k次不成功发生的概率是Ckn个pk(1-p)n-k相加，即Cknpk(1-p)n-k.二、判断一个变量是否服从二项分布的方法判断一个变量是不是服从二项分布，主要看三点：1.各次试验中的事件是否相互独立，即试验是不是n次独立重复试验；2.在每一次试验中，事件发生的概率是否相同.3.在每一次试验中，试验的结果是否只有两个，即发生与不发生.例1.女性患色盲的概率是0.25%，X为任取n个女人中患色盲的人数，请判断X是否服从二项分布.分析：把检查n个女人是否患色盲看成是n次试验，每次试验检查一个女人，有两个结果：患色盲与不患色盲，可以分别看成“成功”和“失败”两种情况.检查色盲患者在每次试验中发生的概率都是0.25%，即“成功”的概率在每次试验中都是0.25%，“失败”的概率即不患色盲，在每次试验中发生的概率都是99.75%.在各次试验中，由于妇女不同，检查结果相互之间不影响，即各次试验是相互独立的.因此n次试验是独立重复试验.而X是n个女人中患色盲的人数，可以看成是n次试验中“成功”的次数，所以X服从二项分布，且是服从参数分别是n，0.25%的二项分布，记作X∼B（n,0.25%）.三、概率公式的应用一些与二项分布有关的问题中要求根据实验的情况求概率.对于此类问题，我们需先根据二项分布的定义判断变量是否服从二项分布，然后根据二项分布的概率公式P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k(k=0,1,2,⋯,n)进行求解.例2.已知一批产品的次品率是0.12，从中任取5件，设X为5件中的次品数，求P（X=3）.分析：把抽取5件产品看成是5次独立重复试验，每次所抽到的产品有两种情况：次品与不是次品，我们将是次品看作是“成功”，不是次品看作是“失败”.由题意可知，每次抽到次品的概率是0.12，即“成功”的概率是0.12，“失败”的概率是0.88，且各次试验的结果互不影响.用X表示5件产品中的次品数，即X代表5次试验中成功的次数，因此X服从二项分布，记作X∼B（5,0.12）.根据二项分布的概率公式P(X=k)=Ck50.12k0.885-k(k=0,1,2,3,4,5),可得P（X=3）C350.1230.882==0.013381632.在解答问题时，我们通常要先判断n次试验是否是独立重复试验，然后找到服从二项分布的变量.一般来说，在n次独立重复试验中，试验成功或不成功的次数都是服从二项分布的.设成功的次数为X，则X~B（n,p）；设失败的次数为Y，则Y~B（n,1-p）.要根据所求的概率是与成功有关，还是与失败有关，来确定服从二项分布的变量.（作者单位：陕西省神木市职业技术教育中心）何燕燕

二项分布及其应用

二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有着重要的地位：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生K次的概率为P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n,p)，并称p为成功概率。

二项分布是一种常见的重要离散型随机变量分布列，其识别特点主要有两点：其一是概率的不变性；其二是试验的可重复性，下面加以例谈。

例题1 某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的。现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50千瓦电力，这10台机床能够不因电力不足而无法工作的概率为多大？在一个工作班的8小时内，不能正常工作的时间大约是多少？

解析：设10台机床中实际开动的机床数为随机变量，由题意知满足二项分布，即～B（10，p），其中p是每台机床开动的概率，p=516012 ,从而)10,2,1,0()54()51()(1010kCkPkkk ，

50千瓦电力可同时供5台机床同时开动，因而10台中同时开动数不超过5台都可以正常工作，这一事件的概率55510644107331082210911010010)54()51()54()51()54()51()54()51()54)(51()54()5(CCCCCCP994.0。

由以上知，在电力供应为50千瓦的条件下，机床不能正常工作的概率仅为0.006，从而一个工作班的8小时内不能正常工作的时间大约为8×60×0.006=2.88（分钟），这说明，10台机床的工作基本不受电力供应紧张的影响。

例题2 有两袋相同的球，每袋中各有n个，一个人随意从任一袋中一个一个地取球，经过一段时间以后，他发现有一袋球空了，求这时另一袋中还剩r (r=0,1,2, … ,n)个球的概率。

二项分布及其应用教案定稿

第一章：二项分布的概念及性质

1.1 二项分布的定义

引导学生回顾概率论的基础知识，引入随机变量的概念。

解释二项分布的定义，即在固定次数n的独立实验中，每次实验成功或失败的概率为p的随机变量的分布。

1.2 二项分布的性质

引导学生了解二项分布的概率质量函数（PMF）及其表达式。

解释二项分布的期望、方差等统计量，并引导学生理解其含义。

第二章：二项分布的概率计算

2.1 概率质量函数的推导

引导学生使用二项分布的概率质量函数公式进行计算。

解释公式中各项的物理意义，如n次实验中成功k次的概率。

2.2 特定概率下的成功次数的计算

引导学生使用概率质量函数计算特定概率下的成功次数。

举例说明如何计算概率质量函数的积分。

第三章：二项分布的应用

3.1 抛硬币实验

引导学生进行抛硬币实验，观察并记录实验结果。

引导学生使用二项分布的概念和概率计算方法，分析实验结果的概率分布。

3.2 药物有效性测试

引导学生了解药物有效性测试的背景和目的。 引导学生使用二项分布的概念和概率计算方法，分析药物有效性测试的结果。

第四章：二项分布的参数估计

4.1 参数估计的概念

引导学生了解参数估计的概念和方法。

解释使用样本数据来估计总体参数的过程。

4.2 二项分布的参数估计方法

引导学生使用样本均值和样本方差来估计二项分布的参数np和n(1-p)。

解释估计的准确性和可靠性，并引导学生了解置信区间的概念。

第五章：二项分布的假设检验

5.1 假设检验的概念

引导学生了解假设检验的概念和方法。

解释使用样本数据来对总体分布的假设进行检验的过程。

5.2 二项分布的假设检验方法

引导学生使用二项分布的检验统计量进行假设检验。

解释检验的显著性水平和拒绝域的概念，并引导学生了解p值的计算方法。

第六章：二项分布与正态分布的关系

6.1 正态分布的概念

引导学生回顾正态分布的定义和性质。