平面向量单元总结

平面向量一、学习目标1、正确理解平面向量的有关概念、几何与坐标表示、加减法法则、实数与向量的积、平面向量的基本定理、两个向量共线与垂直的充要条件和定比分点的概念。

2、掌握向量的加减法、数量积、坐标运算、两个向量垂直和平行的充要条件，平面内两点间的距离公式、线段的定比分点、平移公式、正弦定理与余弦定理，并能运用这些知识解决一些数学问题。

3、了解平面向量基本定理、共线向量以及用这些知识处理有关长度、角度和垂直问题。

二、知识网络三、考查要求向量由于具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介。

由于平面向量作为一种有向线段本身就是直线上的一段，其向量的坐标可用其起点、终点的坐标表示，因此向量与平面解析几何，特别是其中直线部分保持着天然的联系。

(而空间向量<高二下册>是处理空间问题的重要方法，通过将空间元素间的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，是一种重要的解决问题的手段和方法)。

向量的坐标表示是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示以后，即可使向量运算代数化，将数与形紧密地结合起来，很多几何问题的证明可以转化为数量的运算，向量是数学中解决几何问题的有效工具之一。

中学课程中向量分为平面向量和空间向量两部分内容，高考中也是分这两部分内容分别命题的。

一般在平面向量部分利用选择题和填空题进行考查，文理科试题一般相同，有些年份文理科试题有所区别；在空间向量部分，一般利用解答题考查，而且文理科相近。

平面向量的考查要求，其一是主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能。

要求考生掌握平面向量的和、差、数乘和内积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算。

其二是考查向量的坐标表示，向量的线性运算。

其三是和其他数学内容结合在一起，如可以和曲线、数列等基础知识结合，考查逻辑推理和运算能力等综合运用数学知识解决问题的能力。

应用数形结合的思想方法，将几何知识和代数知识有机地结合在一起，能为多角度的展开解题思路提供广阔的空间。

题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满完成解答，则需要严密的逻辑推理和准确的计算。

四、知识精析1、向量是自由向量，即只有大小和方向两个要素。

用有向线段AB 表示向量时，与有向线段起点A 的位置没有关系，等长且同向的有向线段都表示同一线段；用坐标表示向量时，向量的坐标等于表示此向量的有向线段AB 的终点坐标B ()22,y x 减去起点坐标A ()11,y x ，即),(1212y y x x AB --=。

它与有向线段AB 的起点A ()11,y x 、终点B ()22,y x 的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，只有把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点时，向量a 的终点坐标才是向量的坐标。

向量与数量不同，数量可以比较大小，向量却不能，但是向量的模可以比较大小。

2、向量加减法运算的两种方式：几何法、代数法⑴几何运算的三角形法则和平行四边形法则：当一个向量的终点为另一个向量的起点时(首尾相连)，可用向量加法的三角形法则；当两个向量的起点相同时(共点向量)，可用向量加法的平行四边形法则。

运用向量加减法解决几何问题时，关键是要能发现、构造三角形或平行四边形。

关于两向量及它们的和差，其长度之间有如下重要性质：①以向量，为邻边的平行四边形中，()b a ±±表示的是两条对角+≤±≤-，同时要重视该式中等式成立的条件。

明确平行四边形中的结论:平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和(此为两向量的和与差的模及两向量的模间的关系). ⑵向量加减法的坐标运算：向量a 与b 的和差b a ±的坐标等于向量a 与b 对应坐标相加减，即设),(11y x a =，),(22y x b =，则),(2121y y x x b a ±±=±。

3、平面向量的基本定理是平面向量坐标表示的基础，它表明对于同一平面内的任一向量a ，都存在唯一的一对实数1λ、2λ，使得向量a 表示为其他两个不共线的向量1e 、2e 的线性组合，即2211e e a λλ+=。

在解具体问题时适当地选取两个不共线的向量作基底，其他向量或平面直线型图形就都能够表示为基底向量的线性组合，这样几何问题就可以转化为向量问题，通过向量的运算来解决。

4、平面向量的两种积：实数与向量的积，两个向量的数量积⑴实数λ与向量的积仍是一个向量λ，模等于λ，与向量的方向关系根据λ的符号确定。

其中0>λ时，a λ与a 同向；0<λ时，a λ与a 反向；λ＝0时，0=a λ。

实数与向量的积满足下面的运算律：①()()m m λλ=，②()m m +=+λλ，③()λλλ+=+。

⑵两个夹角为θ(要求两向量是共点向量;如果是首尾相连,则其夹角为首尾相连所对字母的所成角的补角)的非零向量和的数量积⋅是一个数量，它的大小与两个向量的长度及其夹角有关，即θ=⋅。

在几何上，数量积⋅等于与在θ的乘积。

两个向量的数量积满足下面的运算律：①a b b a ⋅=⋅, ②)()()(b a b a b a ⋅=⋅=⋅λλλ,③⋅+⋅=⋅+)(。

⑶两种积的比较：实数与向量的积仍是一个向量，两个向量的数量积则是一个数；实数与向量的积满足结合律，而向量的数量积只满足交换律、加乘分配律以及数乘结合律，但不满足结合律，即对向量a ，b ，c ，)()(⋅≠⋅；另外，两种积的坐标运算方式也不相同，一个是),(11y x λλλ=，另一个是),(2121y y x x =⋅。

6、平面向量的两种位置关系：平行和垂直 ⑴两个向量),(11y x 和),(22y x 平行的充要条件是： ①当0≠时，λ=⇔//。

②0//1221=-⇔y x y x b a ，即向量坐标“交叉相乘”的差等于0，即。

⑵两个非零),(11y x a 和),(22y x b 平行的充要条件是：02121=-=⋅⇔⊥y y x x b a b a ，即向量坐标“同名相乘”的差等于0，即。

7、线段定比分点的两种形式：即坐标形式和向量形式⑴若点P １(x 1,y 1) ，Ｐ２(x 2,y 2)，λ为实数，且21P λ=，则点P 的坐标为)1,1(2121λλλλ++++y y x x 。

要分清起点、分点、终点，点P 分12P 所成的比与点P 分21P P 所成的比是两个不同的比。

λ的符号决定分点P 在线段上的位置，当λ＞０时，P P1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点；当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP反向共线，这时称点P 为21P P的外分点. ⑵线段定比分点坐标公式的向量形式：如图，在平面内任取一点O ，若=1，b OP =2，P 1＝λ2PP ，则可得=λλλλλ+++=++1111.这一结论在几何问题的证明过程中应用广泛.8、解斜三角形涉及到正弦定理和余弦定理，正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===揭示了三角形的边与角的正弦的比相等的事实，并且这个比值等于三角形外接圆的半径，应用时要充分注意公式的五种变形。

余弦定理的每个公式中，如A bc c b a cos 2222-+=涉及到四个量，知其三可求出第四个量。

解斜三角形时，还要注意三角形的其他知识的综合运用，例如：三角形内角和定理；大边对大角，等边对等角；两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；射影定理；诱导公式；三角形面积公式等。

结论:在ΔABC 中,A>B ⇔sinA>sinB.五、难点突破1、因为向量的加法与减法互为逆运算，向量的减法要通过相反向量转化为加法运算来进行，在用三角形法则作向量的减法时，要记住“连接两向量终点，箭头指向被减向量”。

2、在向量的坐标运算中，要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同。

向量的加法、减法及实数与向量的积都可以用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决，就可以转化为我们熟知的数量运算。

3、确定线段定比分点比值λ时，在P P 1=λ2PP 中，要抓住各点的顺序，其中，分子是有向线段的起点到分点p p →1；分母是分点到有向线段的终点2p p →，不能颠倒顺序和改变位置。

4、平移是函数图象的一种重要变换，通过坐标平移，曲线方程的次数不变，曲线的形状不变，变化的只是曲线和坐标系的相互位置关系与曲线的方程。

图形的平移就其本质来讲就是点的平移.当点),(y x P 按照给定的向量),(k h =平移后得到新点),(y x P '''，则⎩⎨⎧+='+='k y y h x x ，公式中要抓住旧点的坐标加上平移向量的坐标等于新点坐标，也可化为平移向量的坐标等于新点坐标减去旧点坐标，即⎩⎨⎧-'=-'=y y k x x h5、平面向量的数量积不同于实数的积，不能把实数的积的运算法则照搬到向量的数量积。

可以用向量的数量积公式解决有关长度、夹角、垂直问题，特别是在处理几何中有关垂直的问题时，显得更为简捷、巧妙，是用数来解决形的问题的最好实例。

六.向量中涉及的数学思想1.数形结合思想:向量本身是形(有方向的线段),同时又可象数一样进行运算,能与几何的平行,垂直,距离,成角等问题转化为式子进行运算.2.分类讨论思想:非零向量与零向量;共线向量中含平行与在一条直线上两种情况.3.转化思想:形的问题转化为式子的计算（平行,垂直,成角等问题）与求最值、证不等式问题(如牵涉到与平方和相关的式子转化为距离)等.七.题型总结1.向量概念、法则问题:依据于对概念法则的准确理解.⒜下列说法中正确的序号是（ ）①一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底；②两个非零向量平行，则他们所在直线平行；③零向量不能作为基底中的向量；④两个单位向量的数量积等于零。

(A)①③ (B)②④ (C)③ (D)②③⒝下列命题中真命题是（ ）(A) 000 ==⇒=⋅b a b a 或 (B) a b a b a 上的投影为在⇒//(C) ()2b a b a b a ⋅=⋅⇒⊥ (D) b a c b c a =⇒⋅=⋅ 2.判断多边形的形状:从长度与角度两方面进行.⒜已知A(2,1),B(3,2),C(-1,5),则ΔABC 的形状是（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 任意三角形⒝已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，且AB PC PB PA =++，则点P 与ABC ∆的位置关系是（ ）(A)P 在ABC ∆内部 (B)P 在ABC ∆外部(C)P 在AB 边上或其延长线上 (D)P 在AC 边上⒞已知四边形ABCD 的顶点分别为A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4)求证：四边形ABCD 为正方形。