湘教版八年级下数学《2.2平行四边形》同步练习含答案

《平行四边形》拓展训练一、选择题1．如图所示，线段EF 过平行四边形ABCD 的对角线的交点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，已知AB=4，BC=5，EF=3．那么四边形EFCD 的周长是（ ）A ．14B ．12C ．16D ．102．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，AC 分别交BE ，DF 于G ，H ，试判断下列结论：①△ABE ≌△CDF ；②AG=GH=HC ；③2EG=BG ；④S △ABG ：S 四边形GHDE =2：3，其中正确的结论是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°4．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于O ，∠BCD 的平分线CE 与边AB 相交于E ，若EB=EA=EC ，那么下列结论正确的个数有（ ） ①∠ACE=30° ②OE ∥DA ③S ▱ABCD =AC•AD ④CE ⊥DBA．1B．2C．3D．45．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，OE⊥BD 交BC于点E，CD=1，则CE的长为（）A．B．C．D．6．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC ＜2S△CEF；④∠DFE=4∠AEF．A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④7．如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使FO=3OC，连接AB、AC、BC，则在△ABC中S△ABO：S△AOC：S△BOC=（）A．6：2：1B．3：2：1C．6：3：2D．4：3：2 8．如图，平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB⊥AC，AC的垂直平分线交AD于点E，△CDE的周长是15，则平行四边形ABCD的面积为（）A．B．40C．50D．9．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．610．如图在▱ABCD中，∠ABC=60°，BC=2AB=8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG．则△BEG的面积为（）A．16B．14C．8D．7二、填空题11．如图，已知▱ABCD的顶点A是直线l上一定点，过点B作BM⊥l于点M，过点D作DN⊥l于点N，AM=1，MN=3，则对角线AC长的最小值为．12．如图，▱ABCD中，E是BC边上一点，且AB=AE．若AE平分∠DAB，∠EAC=27°，则∠AED的度数为．13．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD=60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD=5，CF=3，则EF=．14．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE=DF．求证：AE∥CF，AE=CF．15．如图，点E是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，若点E在线段AD的垂直平分线上，点D在线段EC的垂直平分线上，且∠DCE=66°，则∠BCE=．三、解答题16．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AE=CE时，求四边形AECF的面积．17．如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF 相交于点G．（1）求证：BE⊥CF；（2）若AB=a，CF=b，写出求BE的长的思路．18．如图，▱ABCD中，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，∠ADC的角平分线DF交BC于点F，AB=5，DE=3，∠ABC=50°．（1）求∠FDC的度数；（2）求▱ABCD的周长．19．在▱ABCD中，连接对角线BD，AB=BD，E为线段AD上一点，AE=BE，F为射线BE上一点，DE=BF，连接AF（1）如图1，若∠BED=60°，CD=2，求EF的长；（2）如图2，连接DF并延长交AB于点G，若AF=2DE，求证：DF=2GF．20．如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于BD的所有的等腰三角形．《平行四边形》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图所示，线段EF过平行四边形ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，已知AB=4，BC=5，EF=3．那么四边形EFCD的周长是（）A．14B．12C．16D．10【分析】根据平行四边形的性质，得△AOE≌△COF．根据全等三角形的性质，得OF=OE，CF=AE．再根据平行四边形的对边相等，得CD=AB，AD=BC，故FC+ED=AE+ED=AD，根据所推出相等关系，可求四边形EFCD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=OC，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴OF=OE=1.5，CF=AE，根据平行四边形的对边相等，得CD=AB=4，AD=BC=5，故四边形EFCD的周长=EF+FC+ED+CD，=OE+OF+AE+ED+CD，=1.5+1.5+5+4=12．故选：B．【点评】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是能够根据平行四边形的性质发现全等三角形，再根据全等三角形的性质求得相关线段间的关系．2．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，AC 分别交BE ，DF 于G ，H ，试判断下列结论：①△ABE ≌△CDF ；②AG=GH=HC ；③2EG=BG ；④S △ABG ：S 四边形GHDE =2：3，其中正确的结论是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据SAS ，即可证明：①△ABE ≌△CDF ；由▱ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 中点，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE 是平行四边形，由AD ∥BC ，即可证得△AGE ∽△BCG ，△CHF ∽△AHD ，然后根据相似三角形的对应边成比例，证得AG ：CG=EG ：BG=1：2，CH ：AH=1：2，即可证得AG=GH=HC ，2EG=BG ；由S △ABG =2S △AEG ，S 四边形GHDE =3S △AEG ，可得结论④．【解答】解：在▱ABCD 中，AB=CD ，∠BAE=∠DCF ，BC=DA ；E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，∴AE=CF ，∴△ABE ≌△CDF ，故①正确，∵AD ∥BC ，∴△AGE ∽△BCG ，△CHF ∽△AHD ，∴AG ：GC=EG ：BG=AE ：BC ，CH ：AH=CF ：AD ，∵E ，F 分别是边AD ，BC 中点，∴AE=AD ，CF=BC ，∴AE ：BC=1：2，CF ：AD=1：2，∴EG ：BG=AG ：CG=1：2，CH ：AH=1：2，∴AG=CH=AC ，2EG=BG ，故③正确；∴AG=GH=CH ，故②正确．∵S △ABG =2S △AEG ，S 四边形GHDE =3S △AEG ，∴S △ABG ：S 四边形GHDE =2：3，故④正确．故选：D ．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的对应边成比例，等高三角形的面积比等于对应底的比．3．如图，▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【分析】由，▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，可得到AD=DE 即△ADE 是等腰三角形，再由且∠BAD=60°，∠F=110°，即可求出∠DAE 的度数．【解答】解：∵▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且CD=CD ，∴AD=DE ，∵∠DAE=∠DEA ，∵∠BAD=60°，∠F=110°，∴∠ADC=120°，∠CDE ═∠F=110°，∴∠ADE=360°﹣120°﹣110°=130°，∴∠DAE==25°，故选：B ．【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．4．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于O ，∠BCD 的平分线CE 与边AB 相交于E ，若EB=EA=EC ，那么下列结论正确的个数有（ ） ①∠ACE=30° ②OE ∥DA ③S ▱ABCD =AC•AD ④CE ⊥DBA．1B．2C．3D．4【分析】想办法证明∠ACB=90°，△BCE是等边三角形即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OD=DB，∴∠DCA=∠CEB，∵∠DCA=∠BCE，∴∠BCE=∠CEB，∴BC=EC，∵EB=EA=EC，∴∠ACB=90°，EC=BC=EB，∴△BEC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠CAB=30°，故①正确，∵OD=DB，AE=EB，∴OE∥AD，故②正确，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=90°，∴AD⊥AC，∴S▱ABCD=AC•AD，故③正确，假设CE⊥BD，则推出四边形ABCD是菱形，显然不可能，故④错误，故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，OE⊥BD 交BC于点E，CD=1，则CE的长为（）A．B．C．D．【分析】首先证明四边形ABCD是矩形，在RT△BOE中，易知BE=2EO，只要证明EO=EC即可【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，BO=OD，∵△ABO是等边三角形，∴AO=BO=AB，∴AO=OC=BO=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．∴OB=OC，∠ABC=90°，∵△ABO是等边三角形，∴∠ABO=60°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∠BOC=120°，∵BO⊥OE，∴∠BOE=90°，∠EOC=30°，∴∠EOC=∠ECO，∴EO=EC，∴BE=2EO=2CE，∵CD=1，∴BC=CD=，∴EC=BC=，故选：D．【点评】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定、等边三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是直角三角形30度角的性质的应用，属于中考常考题型．6．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC ＜2S△CEF；④∠DFE=4∠AEF．A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故①正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴CF=EF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC =S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC ＜2S△EFC故③正确；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．故选：B．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF ≌△DMF 是解题关键．7．如图，四边形AOEF 是平行四边形，点B 为OE 的中点，延长FO 至点C ，使FO=3OC ，连接AB 、AC 、BC ，则在△ABC 中S △ABO ：S △AOC ：S △BOC =（ ）A ．6：2：1B ．3：2：1C ．6：3：2D ．4：3：2【分析】连接BF ．设平行四边形AFEO 的面积为4m ．由FO ：OC=3：1，BE=OB ，AF ∥OE 可得S △OBF =S △AOB =m ，S △OBC =m ，S △AOC =，由此即可解决问题；【解答】解：连接BF ．设平行四边形AFEO 的面积为4m ．∵FO ：OC=3：1，BE=OB ，AF ∥OE∴S △OBF =S △AOB =m ，S △OBC =m ，S △AOC =， ∴S △AOB ：S △AOC ：S △BOC =m ：：m=3：2：1故选：B ．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．8．如图，平行四边形ABCD 中，∠B=60°，AB ⊥AC ，AC 的垂直平分线交AD 于点E ，△CDE 的周长是15，则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．B ．40C ．50D ．【分析】首先证明AD +CD=15，再证明AD=2CD ，推出CD=5，AD=10，利用勾股定理求出AC 即可解决问题；【解答】解：∵点E 在AC 的垂直平分线上，∴EA=EC ，∴△CDE 的周长=CD +DE +EC=CD +DE +EA=CD +DA=15，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠D=60°，AB ∥CD ，∵AB ⊥AC ，∴AC ⊥CD ，∴∠ACD=90°，∴∠CAD=30°，∴AD=2CD ，∴CD=5，AD=10，∴AC==5，∴S 平行四边形ABCD =2•S △ADC =2××=25， 故选：D ．【点评】本题考查平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图，已知△ABC 的面积为12，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC=4CF ，四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【分析】想办法证明S 阴=S △ADE +S △DEC =S △AEC ，再由EF ∥AC ，可得S △AEC =S △ACF 解决问题；【解答】解：连接AF 、EC ．∵BC=4CF ，S △ABC =12，∴S △ACF =×12=3，∵四边形CDEF 是平行四边形，∴DE ∥CF ，EF ∥AC ，∴S △DEB =S △DEC ，∴S 阴=S △ADE +S △DEC =S △AEC ，∵EF ∥AC ，∴S △AEC =S △ACF =3，∴S 阴=3．故选：B ．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．10．如图在▱ABCD 中，∠ABC=60°，BC=2AB=8，点C 关于AD 的对称点为E ，连接BE 交AD 于点F ，点G 为CD 的中点，连接EG ，BG ．则△BEG 的面积为（ ）A ．16B ．14C ．8D ．7【分析】如图，取BC 中点H ，连接AH ，连接EC 交AD 于N ，作EM ⊥CD 交CD 的延长线于M ．构建S △BEG =S △BCE +S ECG ﹣S △BCG 计算即可；【解答】解：如图，取BC 中点H ，连接AH ，连接EC 交AD 于N ，作EM ⊥CD 交CD 的延长线于M ．∵BC=2AB ，BH=CH ，∠ABC=60°，∴BA=BH=CH ，∴△ABH 是等边三角形，∴HA=HB=HC ，∴∠BAC=90°，∴∠ACB=30°，∵EC ⊥BC ，∠BCD=180°﹣∠ABC=120°，∴∠ACE=60°，∠ECM=30°，∵BC=2AB=8，∴CD=4，CN=EN=2， ∴EC=4，EM=2，∴S △BEG =S △BCE +S ECG ﹣S △BCG =×8×4+×2×2﹣S 平行四边形AABCD =16+2﹣4 =14 故选：B ．【点评】本题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线没工作直角三角形解决问题，属于中考常考题型．二、填空题11．如图，已知▱ABCD 的顶点A 是直线l 上一定点，过点B 作BM ⊥l 于点M ，过点D 作DN ⊥l 于点N ，AM=1，MN=3，则对角线AC 长的最小值为 5 ．【分析】过C作CF⊥l于F，过C作CE⊥DN，交DN的延长线于E，依据△ABM ≌△CDE，即可得出CE=AM=1，进而得出NF=1，AF=1+3+1=5，依据AC≥AF，即可得到AC的最小值为5．【解答】解：如图所示，过C作CF⊥l于F，过C作CE⊥DN，交DN的延长线于E，又∵BM⊥l，DN⊥l，∴∠AMB=∠CED=90°，∵AB∥CD，CE∥AF，∴∠BAM=∠DCE，又∵AB=CD，∴△ABM≌△CDE，∴CE=AM=1，又∵矩形CENF中，NF=CE，∴NF=1，又∵MN=3，∴AF=1+3+1=5，又∵CF⊥l于点F，∴AC≥AF，∴AC的最小值为5，故答案为：5．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：平行四边形的对边平行且相等．12．如图，▱ABCD中，E是BC边上一点，且AB=AE．若AE平分∠DAB，∠EAC=27°，则∠AED的度数为87°．【分析】首先证明△ABE是等边三角形，再证明∠AED≌△DCA，可得∠AED=∠DCA，求出∠DCA即可；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠DAE=∠AEB，∵∠EAB=∠EAD，∴∠EAB=∠AEB，∴BA=BE，∵AB=AE，∴AB=BE=AE，∴∠B=∠BAE=∠AEB=60°，∴∠EAD=∠CDA=60°，∵EA=AB，CD=AB，∴EA=CD，∵AD=DA，∴∠AED≌△DCA，∴∠AED=∠DCA，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC=60°+27°=87°，∴∠AED=87°．【点评】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．13．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD=60°，AE 平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD=5，CF=3，则EF=4．【分析】延长AE，BC交于点G，判定△ADE≌△GCE，即可得出CG=AD=5，AE=GE，再根据三线合一即可得到FE⊥AG，进而得出Rt△AEF中，EF=AF=4．【解答】解：如图，延长AE，BC交于点G，∵点E是CD的中点，∴DE=CE，∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠D=∠ECG，又∵∠AED=∠GEC，∴△ADE≌△GCE，∴CG=AD=5，AE=GE，又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，∴∠FAE=∠DAE=∠G=∠DAF=30°，∴AF=GF=3+5=8，又∵E是AG的中点，∴FE⊥AG，∴Rt△AEF中，EF=AF=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．14．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE=DF．求证：AE∥CF，AE=CF．【分析】先根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，则∠ADE=∠CBF，再证明△ADE≌△CBF得到AE=CF，∠AED=∠CFB，然后根据平行线的判定得到AE∥CF．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADE=∠CBF，∵BE=DF，∴DE=BF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴AE=CF，∠AED=∠CFB，∴AE∥CF．【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．15．如图，点E是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，若点E在线段AD的垂直平分线上，点D在线段EC的垂直平分线上，且∠DCE=66°，则∠BCE=42°．【分析】连结AE，根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理求出∠CED，∠CDE，根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，CD=AB，可得∠ABE=∠CDE=48°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质可求∠BCE．【解答】解：连结AE，∵∠DCE=66°，点D在线段EC的垂直平分线上，∴∠CED=66°，∠CDE=48°，DE=CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，CD=AB，∴∠ABE=∠CDE=48°，∵若点E在线段AD的垂直平分线上，∴EA=ED，∴AB=AE，∴∠AEB=48°，∴∠AED=132°，∴∠ADE=24°，∴∠BCE=180°﹣24°﹣48°﹣66°=42°．故答案为：42°．【点评】考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的判定与性质等知识点．难度较大，综合性较强．三、解答题16．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AE=CE时，求四边形AECF的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，BC=AD，∠B=∠D，求出BE=DF，根据全等三角形的判定推出即可；（2）求出四边形AECF是菱形，求出△ABE是等边三角形，求出高AH，根据菱形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，BC=AD，∠B=∠D，∵点E、F分别是BC、AD的中点，∴BE=BC，DF=AD，∴BE=DF，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：作AH⊥BC于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵点E、F分别是BC、AD的中点，BC=2AB=4，∴BE=CE=BC=2，DF=AF=AD=2，∴AF∥CE，AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE=CE，∴四边形AECF是菱形，∴AE=AF=2，∵AB=2，∴AB=AE=BE=2，即△ABE是等边三角形，BH=HE=1，由勾股定理得：AH==，∴四边形AECF的面积是2×=2．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．17．如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF 相交于点G．（1）求证：BE⊥CF；（2）若AB=a，CF=b，写出求BE的长的思路．【分析】（1）想办法证明∠EBC+∠FCB=90°即可解决问题；（2）如图，作EH∥AB交BC于点H，连接AH交BE于点P．构造特殊四边形菱形，利用菱形的性质，结合勾股定理即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线，∴∠EBC=∠ABC，∠FCB=∠BCD，∴∠EBC+∠FCB=90°，∴∠BGC=90°．即BE⊥CF．（2）求解思路如下：a．如图，作EH∥AB交BC于点H，连接AH交BE于点P．b．由BE平分∠ABC，可证AB=AE，进而可证四边形ABHE是菱形，可知AH，BE互相垂直平分；c．由BE⊥CF，可证AH∥CF，进而可证四边形AHCF是平行四边形，可求AP=；d．在Rt△ABP中，由勾股定理可求BP，进而可求BE的长．【点评】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．18．如图，▱ABCD中，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，∠ADC的角平分线DF交BC于点F，AB=5，DE=3，∠ABC=50°．（1）求∠FDC的度数；（2）求▱ABCD的周长．【分析】（1）根据平行四边形的对角相等得出∠ADC=∠ABC=50°，再根据角平分线定义即可求出∠FDC的度数；（2）根据平行四边形的对边平行得出AE∥BC，利用平行线的性质以及角平分线定义得出∠ABE=∠AEB，由等角对等边得出AE=AB=5，那么AD=AE+DE=8，进而得到▱ABCD的周长．【解答】解：（1）∵▱ABCD中，∠ABC=50°，∴∠ADC=∠ABC=50°，∵DF平分∠ADC，∴∠FDC=∠ADC=25°；（2）四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=5，∵DE=3，∴AD=AE+DE=8，∴▱ABCD的周长=2（AB+AD）=2（5+8）=26．【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，难度适中．19．在▱ABCD中，连接对角线BD，AB=BD，E为线段AD上一点，AE=BE，F为射线BE上一点，DE=BF，连接AF（1）如图1，若∠BED=60°，CD=2，求EF的长；（2）如图2，连接DF并延长交AB于点G，若AF=2DE，求证：DF=2GF．【分析】（1）想办法证明△BDE是直角三角形，解直角三角形求出BE，DE即可解决问题；（2）作FH∥AB交AE于H．设DE=BF=a，则AF=2a．想办法证明AH=EH=DE=a，根据FH∥AB，EF=FB，推出===2即可；【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=2，∵AB=BD，∴BD=2，∵EA=EB，∴∠EAB=∠EBA，∵∠DEB=60°，∠DEB=∠EAB+∠EBA，∴∠BAD=∠EBA=∠ADB=30°，∴∠EBD=90°，∴BE=2，DE=2BE=4，∵BF=DE，∴BF=4，∴EF=BF﹣BE=4﹣2=2．（2）证明：作FH∥AB交AE于H．设DE=BF=a，则AF=2a．∵EA=EB，BA=BD，∴∠EAB=∠EBA=∠ADB，∵BF=DE，∴△ABF≌△BDE（SAS），∴BE=AF=2a，∴EF=a，EA=EB=2a，∵FH∥AB，EF=FB，∴AH=EH=a，∴===2，∴DF=2FG．【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于BD的所有的等腰三角形．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，则可证得△AOE≌△COF（ASA），继而证得OE=OF；（2）证明四边形DEBF是矩形，由矩形的性质和等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，OB=OD，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF；（2）解：∵OE=OF，OB=OD，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF是矩形，∴BD=EF，∴OD=OB=OE=OF=BD，∴腰长等于BD的所有的等腰三角形为△DOF，△FOB，△EOB，△DOE．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．。

《四边形》复习一、选择题（共36分，每题3分）1、下面各条件中，能判定四边形是平行四边形的是 （ ） A 、对角线互相垂直 B 、两组对边分别相等C 、一组对角相等D 、一组对边相等 ，另一组对边平行 2、正方形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A ．对角线互相垂直 B ．对角相等 C ．对角线互相平分 D ．四角相等3、已知ABCD 是平行四边形，下列结论中正确的是①AB ∥CD ②AC=BD ③当AC=BD 是，它是菱形 ④当∠ABC=900时，它是矩形 （ ）A. ①②B.①④C. ②③D.③④ 4、若菱形的对角线分别为6和 8，则菱形的周长是 （ ） A. 24 B.14 C.10 D.205、在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O,ΔBOC 的周长为27cm ，BC=12则AC+BD 的长是 （ ） A.13cm B.15cm C. 30cm D. 7cm6、如图，在平行四边形ABCD 中，∠A+∠C=1000，则 D ∠= ( ) A. 0130 B.0120 C.070 D.0807、如图，在菱形ABCD 中, 延长AB 于E 并且 CE ⊥AE,AC=2CE,则∠BCE 的度数为（ ） A ．050 B. 040 C. 030 D. 0608、如图所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若△ABC 的周长为10，则△OEC 的周长为 ( )A ．5cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm9、如图，把矩形ABCD 沿AE 对折后点B 落在AC 上，若1BEB ∠=1500，则∠EAC=（ ） A ．45° B ．60° C ．15° D ．30°10、下列说法错误的是（ ）A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.B.四条边都相等的四边形是菱形.C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形.D.四个角都相等的四边形是矩形11、如图，在ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB =060 AD=4，则AC的长为（）A.5B.C.2D.12、如图，在ABCD中，AE平分∠DAB交DC于E，∠DAB=0120，则∠AEC=（）A.1500B.1100C.600D.1200二、填空题（共24分，每题4分）13、ABCD是正方形且面积为36，则对角线AC+BD的和是14、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：可使它成为菱形.15、如图，在矩形ABCD中，AB=3，∠BCA=300，对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E、F,连接CE，则CE的长为 .16、如图，正方形ABCD的边为2，△BEC是等边三角形，则阴影部分的面积等于.17、在平行四边形ABCD中，M为AD的中点，BM平分∠ABC，如果∠A=120°，MC=3，则△BMC的面积 .18、如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别在AD，BC上，且MN⊥AC垂足为O，若∠ADB=280，则∠BON的度数为.三、解答题（共50分）19、如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且DF=CE.求证：AF⊥DE.（9分）20、如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的点，DE∥BF.（12分）(1)求证：△AED≌△CFB；(2)求证：BE∥DF.21、如图，已知正方形ABCD的对角线相交于O，点E、F分别在AB与BC边上的点，且BE=CF.求证：OE⊥OF. （9分）22、如图，在平行四边形ABCD中，AD=4，DC=6，∠B＝120°，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F．求：阴影部分的面积．(10分)23、如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=600，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD,EF⊥BC, AG⊥（10分）求：AG的长.参考答案一、选择题（共36分，每题3分）1—5 BABDC 6—10 ACACC 11—12 DD二、填空题（共24分，每题4分）13. 14.AB=AD(或AC⊥BD) 15. 3 17.18. 620三、解答题（共50分）19.（9分）证明：∵四边形ABCD是正方形∴AD=DC ∠ADF=∠DCE=900又DF=CE∴△ADF≌△DCE∴∠AFD=∠DEC∵∠AFD+∠CDE=∠AGD ，∠DEC+∠CDE=900∴AF⊥DE.20.（12分）证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠DAE=∠BCF, AD=C∵DE∥BF∴∠DEF=∠BFE∵∠DAE+∠ADE=∠DEF, ∠BCF+∠CBF=∠BFE∴∠ADE=∠CBF∴△AED≌△CFB(2)由△AED≌△CFB可知DE=BF又DE∥BF∴四边形BEDF边形∴BE∥DF.21.（9分）证明：∵四边形ABCD是正方形∴OB=OC , ∠OBE=∠OCF=450 , AC⊥BD∵BE=CF∴△OBE≌△OCF∴∠EOB=∠FOC∵AC⊥BD∴∠BOC=900∵∠EOB+∠BOF=∠EOF , ∠FOC+∠BOF=∠BOC=900∴∠EOF=∠BOC=900∴OE⊥OF.22.（10分）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝120°∴∠A=600∠C=600 ∠ADC=1200在△AED中∵DE⊥AB , ∠A=60∴AE=12AD =1422⨯=∴==在△DFC 中∵DF ⊥BC ，∠C=600 ∴∠FDC=300 ∴116322CF DC ==⨯=∴DF ===23=62222ABCD AED AE DE CF DF S SSS DFC AB DE ⨯⨯--=--=⨯-阴影 =23.（10分）解：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB ∥CD∴∠DCE=∠ABC=600 在△ECF 中∵ AG ⊥BC , ∠CEF=300 ∴CE=2CF又，∴ CE=2∵AE ∥BD AB ∥CE∴四边形ABDE 是平行四边形 ∴AB=DE∴AB= 12CE = 122⨯=1在△AEB 中，∵AG ⊥BC ∴∠BAE=300 ∴BE=1122AB =∴2AG ===。

湘教版八年级下册数学第2章四边形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A，D，G三点的圆O与边AB，CD 分别交于点E，点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A.0B.1C.2D.32、下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）.A. B. C. D.3、如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为（）A.15mB.25mC.30mD.20m4、如图，ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠D=65°，则∠BCE等于（）A.25°B.30°C.35°D.55°5、已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论错误的是（）A.当AB=BC时，它是菱形B.当AC⊥BD时，它是菱形C.当时，它是矩形 D.当时，它是菱形6、如图，在中，，，，点，，分别是三边中点，则的周长为（）A. B. C. D.7、如图，▱ABCD中，E为AB中点，CE交BD于F，若△CBE的面积为S，则△DCF的面积为（）A. B.S C. D.2S8、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（）A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm9、如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E 作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若M、N分别是DG、CE的中点，则MN 的长为（）A.3B.C.D.410、如图，在平行四边形ABCD中，，，，E、F 是BC、CD边上点，且，，AE、AF分别交BD于点M，N，则MN的长度是（）A. B. C. D.11、边长相等的正方形与正六边形按如图方式拼接在一起，则的度数为（）A. B. C. D.12、如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（）A.2：1B. ：1C.3：D.3：213、下列图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.14、平行四边形ABCD与等边△AEF如图放置，如果∠B=45°，则∠BAE的大小是（）A.75°B.70°C.65°D.60°15、如图，▱ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为（）A. πB. πC. πD. π二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，把一张长方形的纸沿对角线BD折叠后，顶点A落在A′处，已知∠CDA′=28°,则∠CBD=________.17、如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，F是边AD上一点，连接BF，将△ABF沿BF折叠使点A落在G点，连接AG并延长交CD于点E，连接GD.若△DEG 是以DG为腰的等腰三角形，则AF的长为________.18、如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长________cm.19、一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是________边形．20、已知，矩形连接，将绕点旋转得到线段，若与矩形一边交于点,且，则的值为________．21、如图，在中，，分别以、、为边向外作正方形，面积分别记为、、，若，，则________．22、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．过点A作AG⊥BD于G，则AG等于________．23、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD= BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=________．24、如图，P是矩形的边AD上一个动点，AB、BC的长分别为3和4，那么点P 到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是________25、在平行四边形ABCD中，若与的度数之比为，则的度数为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，方格纸上每个小正方形的面积为1．⑴在方格纸上，以线段AB为边画正方形ABCD，并计算所画正方形ABCD的面积．⑵请你在图上分别画出面积为5正方形A1B1C1D1和面积为10的正方形A 2B2C2D2，正方形的各个顶点都在方格纸的格点上．27、已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，BE∥DF，求证：AF=CE．28、如图，ABCD为任意四边形，依次为各边中点，证明：四边形EFGH为平行四边形.29、如图，菱形ABCD中，E为AB边上的一点，F为BC延长线上的一点，且求证：DE=DF．30、已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO．求证：四边形ABCD是平行四边形．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、B3、D4、A5、D6、A7、C8、B9、C10、B11、B12、B13、B14、A15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、。

湘教版八年级下册平行四边形奥数题一、平行四边形的性质相关题目（共30分）1. 已知平行四边形ABCD中，∠A = 60°，求∠B、∠C、∠D的度数。

（5分）答案：因为平行四边形邻角互补，对角相等，所以∠B = 120°，∠C = 60°，∠D = 120°。

2. 平行四边形的周长是30cm，相邻两边的长度比为3:2，求相邻两边的长度。

（5分）答案：设相邻两边分别为3x cm和2x cm。

平行四边形对边相等，所以周长为2(3x + 2x)=30，10x = 30，x = 3。

则相邻两边长度分别为9cm和6cm。

3. 在平行四边形ABCD中，AB = 5cm，AC = 8cm，BD = 6cm，求平行四边形的面积。

（10分）答案：设AC、BD相交于点O。

平行四边形对角线互相平分，所以AO =4cm，BO = 3cm，AB = 5cm。

根据勾股定理逆定理，△ABO是直角三角形，∠AOB = 90°。

所以平行四边形面积等于4个△ABO的面积，S = 4×(1/2)×3×4 = 24cm²。

4. 平行四边形ABCD中，AD = 8cm，高AE = 6cm，求平行四边形的面积。

（5分）答案：平行四边形面积=底×高，S = AD×AE = 8×6 = 48cm²。

5. 平行四边形的一个内角的平分线把一条边分成3cm和5cm两部分，求平行四边形的周长。

（5分）答案：有两种情况。

第一种情况，这条边为平行四边形的AD边，AE = 3cm，ED = 5cm。

因为∠BAE = ∠DAE，∠DAE = ∠AEB，所以AB = BE = 3cm，周长为2×(3 + 8)=22cm。

第二种情况，AE = 5cm，ED = 3cm，AB = BE = 5cm，周长为2×(5+8) = 26cm。