简谐振动的运动学方程

2 简谐振动
简谐运动 最简单、最基本的振动
简谐运动
合成 分解
复杂振动
谐振子 作简谐运动的物体
第九章 振 动
5
物理学
第五版
9-1 简谐振动的动力学和运动学
二 简谐振动动力学特征
弹簧振子的振动
l0 k
m
A
o
x0 F 0
第九章 振 动
x
A
6
物理学
第五版
9-1 简谐振动的动力学和运动学
振动的成因
a 回复力 b 惯性
（2）简谐运动的动力学方程 d2 x 2 x
（3）简谐运动的运动学描述 dt 2
x A cos(t ) v A sin(t )
（4）加速度与位移成正比而方向相反
a 2 x
第九章 振 动
25
物理学
第五版
9-1 简谐振动的动力学和运动学
弹簧振子 k m
单摆 g l
复摆 mgl
16
物理学
第五版
9-1 简谐振动的动力学和运动学
2 周期、频率
x Acos(t ) Acos[(t T ) ]
周期 T 2π
x
注意
A
弹簧振子周期 o
A
T 2π m k
xt图
Tt
T 2
第九章 振 动
17
物理学
第五版
9-1 简谐振动的动力学和运动学
x Acos(t ) Acos[(t T ) ]
x Acos(t )
x x t图
A
T 2π 取 0
o
t
T
A
v A sin(t )
v
A
A cos(t π)

2

E Ek Ep
2
k /m
kA A （振幅的动力学意义）
2 2
1 2
x, v
简谐振动能量图
xt
0
x A cos t
o
T
能量
t
E
Ep
v t v A sin t
1 2
1 2 kA cos
2 2
kA
2
t
2
o
T
T
3T
4
2
4
T
t
Ek
1 2
4
常数 A 和 的确定(公式法)
x A cos( t ) v A sin( t )
初始条件 t 0
x x0
v v0
x 0 A cos
A
x
2 0
v0
2 2

v 0 A sin
tan
v0
x0
振动系统的三要素中，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
k ( x x 0 ) mgx c
2
mva I k ( x x 0 ) v mgv 0
mva I kxv 0 v a mva I kxv 0 R R
x k m I R
2
FT

R
FT

x0
O
FT
x
x 0
(
2

k m I R
例2 定滑轮半径为 R，转动惯量为 I ，一长度不变 的轻绳一端与固定的劲度系数为k的轻弹簧相连，另 一端与质量为 m 的物体相连，绳子与滑轮间无相对 滑动，忽略轮轴摩擦。现将物体从平衡位置拉下一小 段距离后释放，证明物体作谐振动并求其振动周期

第八章 振 动
振动有各种不同的形式 机械振动 电磁振动 广义振动：任一物理量(如位移、电 流等) 在某一数值附近反复变化。
§8-1 简谐振动
(运动学部分)
一、简谐振动
表达式 x(t)=Acos( t+)
o
x
特点 (1)等幅振动 (2)周期振动 x(t)=x(t+T )
二、描述简谐振动的特征量
1. 振幅 A 2. 周期T 和频率 v
x02
0
x0 f
tan f
0 x0
f x0
x A0e-t cos(f t f ) f 02 2
x 阻尼振动位移时间曲线
A0
A0et
A0et cosf t
O
t
A0 T
(f 0)
准周期：T 2 2
f
02 2
过阻尼 0
x A e A e - 2 02 t 1
0 1 1.01
黑线代表强迫力，蓝线代表从静止开始的受迫振动
振幅随ω的变化
A
f0
(02 2 )2 4 22
根据 dA 0
d
共振频率 共振振幅
r 02 2 2
Amax 2
f0
02 2
A f0
2
0.01, 0.1, 1 , 0.25,
0
6
2 , 0.5, 2 , 1, 2
0.01
2 Acos(t ) 2Asin(t ) 02 Acos(t ) f0 cost
两边对应项的系数相等
A(02 2 ) cos 2Asin f0 A(02 2 ) sin 2Acos 0
A
f0
,
(02 2 )2 4 22
tan

x x1 x 2
x1
v0
O x0
k • 频率 ω M m
2 v A x0 2 02 ω
x
v0 φ0 tg ωx0
1
( M m) g Mg mg x0 k k k
掌握初始条件 的确定方法
14
简谐振动总结
分析振动系统 求动力学方程 求运动学方程
• •
动力学特征
1. 动能
1 1 2 2 2 Ek mv kA sin ( t ) 2 2
1 t T 1 2 Ek Ek dt kA T t 4
2. 势能
1 2 Ek max kA 2 E k min 0
1 2 1 2 E p kx kA cos 2 ( t ) 2 2
3. 机械能
1 2 E Ek E p kA （简谐振动系统机械能守恒） 2
11
例 物理摆 如图所示, 设刚体对轴的转动惯量为J. 设 t = 0 时摆角向右最大为 0. 求 振动周期和振动方程.
解 M m g h sin J
mgh sin 0 J
5 时 , sin

mgh 0 J
振动方程
mgh J
单 摆
J T 2 mgh
h T 2 g
12
0 cosω t
例
竖直方向的弹簧振子，求振动方程。 解 分析系统受力
线性回复力
l0
k O
f
x
i
mg k (Δl x ) mg k Δ l kx kx
l
m
x
d x k x0 2 dt m