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分形和混沌的基本概念和应用在科学和数学领域中，分形和混沌是两个非常重要的概念。
它们不仅有着丰富的理论内涵，而且在实际应用中也有着广泛的用途。
本文旨在介绍分形和混沌的基本概念、性质以及其应用领域。
一、分形的基本概念和性质分形最初是由法国数学家Mandelbrot所提出的。
分形，定义简单点来说，就是在各种尺度下都表现出相似性的图形。
比如说，我们在放大树叶时，会发现树叶的分支和小结构上会有许多特征，在不断放大过程中，树叶上的分支和结构会产生类似于整个树叶的结构。
这个例子就是分形学的一个典型例子。
分形的最重要的特性是自相似性和不规则性。
自相似性是指，在分形中，任意一部分都与整个结构相似，这种相似性具有尺度不变性，即不会因为放大或缩小而改变。
不规则性是指，分形的形状十分奇特，与传统的几何图形相比，分形形状复杂多变，没有任何几何规律可循。
分形广泛用于科学研究、艺术美学、计算机图像处理等领域。
在生物学、地震学、天文学中也有广泛应用。
例如，在生物学中，许多生物组织和器官都具有分形结构，如肺组织、血管系统、神经元等。
利用分形理论可以更好地研究这些生物结构的形态和发展规律。
此外，在土地利用和城市规划领域，也可以应用分形理论来研究城市建筑的空间结构和空间分布规律。
二、混沌的基本概念和性质混沌又称为非线性动力学。
混沌指的是用微观因素推算出宏观效应的过程，该过程结果不可预测，但随着时间的推移，能够生成复杂、有规律的系统。
混沌体系可用方程式表示出来，但由于该方程式是个非线性方程式，所以其结果会随这方程式微小变化而产生巨大的差异。
混沌具有以下几个突出的性质：灵敏依赖于初始条件，长期不稳定，难以预测和控制。
混沌理论可以用于预测经济和金融领域中出现的一些紊乱现象，如股市波动。
混沌最初应用在天文学领域，例如研究太阳系中行星之间的轨道。
这些轨道不像我们所想的那样规律。
然而，混沌的发现不仅在天文学领域中应用，也在许多其它领域解决一些不规则的问题。
分形理论及其在混凝土材料研究中的应用摘要：改革后，我国的科学技术水平不断进步。
其中，混凝土在其形成和服役过程中表现出了一系列分形的特征。
因而，研究人员将分形理论科学地引入混凝土研究之中。
介绍了分形理论，综合评述了分形理论评价混凝土材料的胶凝材料颗粒特征、集料的表面特征、混凝土孔隙的分形特征、混凝土断裂韧性和断裂能的分形效应、分形理论在混凝土材料声发射中的应用，并提出分形理论在混凝土研究中的应用前景。
关键词：混凝土结构；裂缝；分形理论引言随着对混凝土结构方面技术和认识的进步与提高，人们对裂缝所造成的损伤也更加重视。
由于混凝土塑性收缩及沉降、荷载、钢筋腐蚀等原因，混凝土构件很容易产生裂缝，裂缝的出现不仅使混凝土刚度、强度降低，还会影响其美观性和耐久性。
混凝土是多相复合材料，具有不规则性、非线性等特征，导致混凝土裂缝扩展具有随机性，利用传统损伤力学知识并不能恰当地解决这个问题。
而研究表明混凝土材料各相分布以及裂纹演化均具有自相似性，这是分形理论应用于混凝土结构的基础。
运用分形理论，计算混凝土表面裂纹演化的分形维数，分析分形维数与分级荷载、挠度、最大裂缝宽度、损伤变量、断裂能等之间的关系，可以将其作为一种工程应用的参考依据。
1分形理论简介什么是分形呢?事实上,目前对分形还没有严格的数学定义,只能给出描述性的定义。
粗略地说,分形是对没有特征长度(所谓特征长度,是指所考虑的集合对象所含有的各种长度的代表者,例如一个球,可用它的半径作为它的特征长度。
)但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。
曼德尔布罗特最先引入分形(fractal)一词,意为破碎的,不规则的,并且曾建议将分形定义为整体与局部在某种意义下的对称性的集合,或者具有某种意义下的自相似集合;他也曾给出一个尝试性的定量刻画,说分形是豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数的集合。
但是所有这些定义都不够精确、不够全面。
英国数学家Falconer在其著作《分形几何的数学基础及应用》一书中认为,分形的定义应该以生物学家给出的“生命”的定义的类似方法给出,即不寻求分形的确切简明的定义,而是寻求分形的特性,将分形看作是具有如下所列性质的集合F:1)F具有精细结构,即在任意小的比例尺度内包含整体;2)F是不规则的,以至于不能用传统的几何语言来描述;3)F常具有某种自相似性,或许是近似的或许是统计意义下的;4)F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的拓扑维数;5)F的定义常常是非常简单的或许是递归的。
分形理论及其在水处理工程中的应用凝聚和絮凝是混凝过程的两个重要阶段, 絮凝过程的完善程度直接影响后续处理(沉淀和过滤)的处理效果。
但絮凝体结构具有复杂、易碎和不规则的特性，以往对絮凝的研究中由于缺乏适用的研究方法，通常只考虑混凝剂的投入和出水的混凝效果, 而把混凝体系当作一个―黑箱‖, 不做深入研究。
即使考虑微观过程, 也只是将所有的胶粒抽象为球形, 用已有的胶体化学理论及化学动力学理论去加以解释[1]，得出的结论与实验中实际观察到的胶体和絮凝体的特性有较大的差别。
尽管有的研究者在理论推导和形成最终的数学表达式时引入了颗粒系数加以修正, 但理论与实验结果仍难以一致。
而分形理论的提出，填补了絮凝体研究方法的空白。
作为一种新兴的絮凝研究手段, ,分形理论启发了研究人员对絮凝体结构、混凝机理和动力学模型作进一步的认识。
1 分形理论的概述1.1 分形理论的产生1975年[2],美籍法国数学家曼德布罗特（B. B. Mandelbrot）提出了一种可以用于描绘和计算粗糙、破碎或不规则客体性质的新方法，并创造了分形(fractal) 一词来描述。
分形是指一类无规则、混乱而复杂, 但其局部与整体有相似性的体系, 自相似性和标度不变性是其重要特征。
体系的形成过程具有随机性,体系的维数可以不是整数而是分数[3]。
它的外表特征一般是极易破碎、无规则和复杂的,而其内部特征则是具有自相似性和自仿射性。
自相似性是分形理论的核心，指局部的形态和整体的形态相似，即把考察对象的部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。
自仿射性是指分形的局部与整体虽然不同, 但经过拉伸、压缩等操作后, 两者不仅相似, 而且可以重叠。
分形理论给部分与整体、无序与有序、有限与无限、简单与复杂、确定性与随机性等概念注入了新的内容，使人们能够以新的观念和手段探索这些复杂现象背后的本质联系。
1.2 絮凝体的分形特性絮凝体的成长是一个随机过程, 具有非线性的特征。
分形及其应用随着计算机技术的飞速发展，分形逐渐成为了一个备受关注的领域，被广泛应用于自然与科学领域。
分形，是指一类自相似的几何图形或非几何对象，具有无限个自相似部分，其中每个部分都与另一部分具有相同的形状，但它们的大小不同，具有不同的比例尺度。
分形不仅仅是一种普通的图形，更是一种透视现实的方式，既可以揭示自然界的本质规律，也可以为科学家们提供解决问题的思路和方法。
分形的历史可以追溯到上个世纪60年代，当时由荷兰数学家曼德布洛特（Benoit Mandelbrot）首次将分形这一概念引入科学领域。
数学家们经过多年的研究发现，分形在几何学、生物医学、地质学、流体力学等领域都有广泛的应用。
在几何学中，分形理论被用来研究极为复杂的图形。
例如，科学家们发现云朵、树枝、脉络等自然图形均具有分形特性，这些图形无法用传统的几何学方法进行测量和研究。
但是通过分形维度的计算方法，可以精确地描述这些几何图形，揭示出其中的规律性和美感。
在生物医学领域，分形被用来研究人体组织的结构和形态。
科学家们将分形维度应用于图像处理，可以对计算机断层扫描（CT）和磁共振成像（MRI）等医学图像进行很好的处理和分析。
化疗方案优化、重要器官定位和肿瘤病灶检测等都有着广泛的应用。
在地质学领域中，分形理论被用来研究和预测地震等自然灾害。
科学家们通过分析地震的时间序列数据和震源机制，发现地震波形具有分形特性。
这一发现推动了地震预警技术的发展，可以在地震发生前几秒或几十秒提前通报地震信息，保护人民生命财产安全。
在流体力学领域中，分形被用来研究更复杂的流体现象。
科学家们发现海浪、瀑布、云层等自然图形均具有分形特性，通过对海浪、波纹等的分形维度的计算和分析，可以预测更复杂的水体流动规律。
除此之外，分形还广泛应用于经济、金融领域中，帮助人们更好的理解和预测市场模型的复杂性。
分形不仅具有理论价值，更具有实际应用。
只要我们用心去观察周围的事物，就会发现分形无处不在。
分形物理学中的基本概念与应用分形物理学是以分形理论为基础的一门颇具前沿性的学科，它将物理学、数学、计算机科学等多个领域的知识整合在一起，研究自然界中的形态复杂、几何规律非常规的事物。
这些事物包括云朵、海浪、山脉、自然界中的花纹形态等等。
分形物理学应用广泛，不仅对制造业、农业、军事等部门有一定的指导意义，更是在纳米科技、3D打印等方面得到广泛应用。
本文将借助几个实例来探讨分形物理学的基本概念和应用。
一、分形结构分形物理学最重要的概念之一就是分形结构。
所谓分形结构，就是指一个系统以某一规律重复自己，且这种规律在各个尺度上都是可控的。
经过科学家的研究发现，自然界中存在着许多分形结构，例如海岸线、闪电、树枝、云朵等等。
这些分形结构不仅形态美观，而且还有许多优势，例如对于气候和地形的适应性、自然界中更好的流体和传导等等。
分形结构有很多应用。
例如在固体材料的研究中，科学家将金属玻璃的微观结构设计成了分形结构，从而提高了材料的强度和韧性。
在建筑设计中，分形结构也有很多应用，例如上海交通大学的耐震钢结构大楼就使用了分形结构的原理，从而提高了建筑物的耐久性和抗震能力。
另外，在农业生产中，分形结构也有一定的应用，例如科学家们通过研究分形结构的原理，设计出了大豆根系的分形结构，从而提高了根系的质量和抗旱性。
二、分形动力学系统分形动力学系统是指暴涨宇宙、洪水、火山喷发等传统动力学系统中不可忽视的分形特征。
这里探讨一下分形动力学系统的粘滞性及其应用。
研究发现，分形动力学系统具有强烈的粘滞性，其滑动、粘聚等现象对于空气、水、土地等流体性质的变化具有显著的影响。
利用分形动力学系统的粘滞性，科学家可以对大气的空气、水、温度变化进行深入研究，例如白雪覆盖率、雨雪分布规律等等。
三、分形纳米结构分形纳米结构是指在纳米尺度上拥有分形结构的物质。
这种物质不仅形态具有规律，而且在物理和化学性质上也有一定的特点。
分形纳米结构还可以在材料科学中有应用。
分形理论在摩擦学研究中的应用随着科技和经济的发展，工程材料的摩擦性能成为影响产品品质和生产效率的关键因素之一。
由于摩擦学研究的复杂性和多样性，从传统的微观或宏观角度来理解摩擦现象已经无法满足需求。
因此，分形理论作为一种新的描述自相似性的数学理论，被广泛应用于摩擦学研究中，成为了一种新的研究方法。
分形理论是指在一定的尺度下，其形态具有与整体相似的特点，并且适用于自然和人工系统中的许多复杂的非线性问题。
分形理论在摩擦学研究中的应用有两个层面：其一是分形几何学和复杂网络理论的应用，其二是分形分析和量化的应用。
首先，分形几何学和复杂网络理论的应用可以帮助我们进一步理解摩擦学的复杂性和非线性性。
通过构建复杂网络模型，研究不同尺寸下的摩擦特性，可发现摩擦力随着尺寸的变化而呈现不同的分形特性，即满足分形几何学的自相似性。
而且，通过构建复杂网络模型，还可进一步研究多尺度摩擦现象的内部关联性和整体行为。
例如，研究合金表面形态的多尺度结构与其摩擦性能的关系，可有效探究合金材料的摩擦磨损机理和优化设计。
其次，分形分析和量化的应用可以帮助我们更精确地描述和预测摩擦性能。
通过对摩擦曲线和摩擦力信号的分形分析，可以得到摩擦系统的分形维数和分形特性，从而实现对摩擦性能进行精准的描述和预测。
例如，分形分析可用于研究钢铁表面的摩擦磨损机理，预测扭曲角的变化和材料表面的耐疲劳性能。
总之，分形理论在摩擦学研究中的应用是一种新的研究思路和方法，将为我们进一步理解摩擦现象和解决相关问题提供有力的支持。
由于分形理论具有非线性、全面和多尺度的特性，应用前景非常广泛，并将在未来的研究中发挥更加重要的作用。
除了分形理论外，还有许多其他的数学方法也可以应用于摩擦学研究中，如统计力学、计算流体力学、非线性动力学等。
但是，分形理论作为一种新兴的数学理论，具有独特的优势和突出的特点。
其主要优势在于适用于自然和人工系统中的许多复杂的非线性问题，并且能够提供更全面和精确的描述和预测。
分形理论在地质学中的应用：分形理论在地质学中的应用现代科学已进入非线性科学时代，非线性科学是目前世界性的热门课题。
地质学研究中非线性科学研究的对象主要是非线性问题以及在野外实践工作中遇到的各种各样非常复杂的地质现象。
因此，非线性科学在地质学研究中具有重大的意义。
分形理论是今年来非线性科学发展的最重要体系之一。
近年，众多地质学者运用分形理论对构造、元素地球化学异常、成矿预测等都进行深入的研究，取得了良好的成果。
1. 分形理论简介分形理论创始于20世纪70年代初期，创立的代表人物为美国数学家芒德布罗。
自然界和现实生活中广泛存在的具有自相似特性的非规则的几何形态是分形理论的研究对象。
分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形。
它是以分维数、自相似性、统计自相似性和幂函数等为工具，研究不具有自相似性的复杂现象，定量描述这种自相似性的参数称为“分维数”或简称“分数”，记为D。
由于研究的具体对象（分形）不同，其分维数计算的具体形式和名称也有多种，最常见的分维数有相似维或容量维、信息维、关联维和广义维2. 分形理论在地质构造中的应用分形理论作为研究构造地质学的一种新方法，拓宽了构造地质的研究领域。
分形理论在地质构造中应用较为广泛的主要是断裂构造的自相似性的分形（线性分形）。
改变观察尺度求维数的方法是目前在断裂构造的二维平面分布研究中应用较多的分形方法。
毛政利（2004）通过该方法研究，认为个旧矿区东区断裂构造系统在二维平面上服从分形分布。
成矿有利地区断裂构造系统分维值均较大，并成正相关性，由此推测，高松矿田具有很大的找矿潜力。
断裂网络具有自相似性，是一种复杂的分形体系。
描述几何不规则性的分维可以用来定量评价矿井断裂网格复杂程度。
张建中（2007）利用分形理论对祁南煤矿构造复杂程度进行了评价，分维不仅能反映出断裂分布不均匀性，水平延伸长度和条数及其组合形式等综合性信息，同时能分出的不同等级的块段的分布情况，真实、准确地反映了矿井实际断裂构造的复杂变化。
分形理论在经济金融中的应用研究随着经济金融的发展，人们对市场波动的理解和预测也变得更加迫切和重要。
分形理论作为一种新颖的数学理论，提供了一种全新的视角来解释和预测市场行为。
本文将探讨分形理论在经济金融领域的应用，并剖析其对市场的重要影响。
一、分形理论的基本概念和原理分形理论起源于20世纪70年代，在理论物理学家曼德勃罗特的努力下逐渐形成。
分形是一个具有自相似性质的几何图形，这种特性使分形能够精确地刻画自然界的复杂现象。
分形理论的主要原理是基于分形几何的自相似性和尺度不变性。
二、分形理论在经济金融中的应用1. 分形理论对市场行为的解释分形理论认为市场是一个非线性的、动态的系统，其波动具有自相似和尺度不变的特点。
通过分形理论，我们可以更好地理解市场中出现的突发事件、波动、周期性行为等现象。
分形模型可以揭示市场中隐藏的规律和潜在的风险。
2. 分形理论对价格运动的预测根据分形理论，价格运动是由多个不同时间尺度的波动叠加而成的。
通过分析市场中的分形结构，我们可以预测未来价格的变动趋势。
分形分析可用于找到市场中的重要支撑位和阻力位，帮助投资者制定合理的交易策略。
3. 分形理论对金融风险的评估金融市场的波动性和风险常常难以准确评估。
分形理论可以提供一种新的视角来衡量市场的风险，并对风险进行定量化分析。
通过对市场中的分形结构进行建模，我们可以更准确地估计金融资产的价值和风险。
4. 分形理论对金融市场的交易策略利用分形理论可以构建有效的交易策略。
通过分析市场中的分形结构，我们可以发现价格的周期性波动和趋势性运动，依此制定适合市场的交易策略。
分形理论的应用可以帮助投资者更好地把握市场的节奏，提高交易的成功率。
三、分形理论在经济金融中的案例分析1. 黄金市场中的分形理论应用黄金市场是一个典型的非线性市场，价格波动具有自相似特征。
通过分形理论，我们可以发现黄金市场中存在着明显的周期性行为和自相似结构。
投资者可以利用分形模型来预测黄金价格的长期趋势和短期波动。
分形几何及其应用作者：朱志宝等来源：《价值工程》2012年第35期摘要：自然界中存在着很多结构复杂的图形，这些图形都是欧式几何学无法解释的，因此人们引出了分形的概念；用分形几何学的方法，比较简单地解决了对这些复杂的图形的认识；随着分形几何学的不断发展和完善，分形几何已经成功的应用到各种学科领域，并且取得了大量研究成果。
本文主要介绍了分形的定义以及阐述了分形在自然界、材料学、图像压缩技术、分形生长、岩土工程领域和石油工业等科学和技术方面的应用。
Abstract： There are a lot of complex graphics in nature which can't be explained by European geometry， so people introduced the concept of fractal. By using the fractal geometric method，these complex graphics can be easily to know. With the continuous development and perfect of fractal geometry， fractal geometry has been successfully applied to various disciplines， and lots of research results were presented.In this article， the definition of fractal introduced was described and the application of fractal in nature， materials science， image compression technology， fractal growth，geotechnical engineering fields and the application in the oil industry were elaborated.关键词：欧式几何；分形几何；自相似性；分形维数Key words： European geometry；fractal geometry；self-similarity；fractal dimension中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）35-0005-030 引言在我们的日常生活中一提到图形人们便会很自然的想到正方形、三角形、圆形等其它一些常见的图形，并且我们可以运用已有的工具去测量它们长度，进而可以得到我们所需要的面积、体积等数据。
分形理论及其在管理领域中的应用胡 援 摘 要:本文简述了分形理论及其理论体系,综合论述并探讨了新环境下分形理论在经济管理、知识管理、企业管理、教育管理、城市管理等领域的实际应用价值和意义。
关键词:分形理论;管理 中图分类号:F224.0 文献标识码:AThe Fractal Theory and Its Application in ManagementHu Yuan(Graduate Institute,Tongj i University,Shanghai200092,China)A bstract:After a brief dissertation about the fractal theory and it theoretical system,the paper has a com-prehensive study and discussion about the values and implications of the fractal theory applied in the m an-agement of the contem porary economy,know ledge,enterprises,educatio n and cities.Key Words:Fractal Theory;M anagement一、分形理论及其体系 1973年,美籍法国数学家曼德尔勃罗特(B.B.M andelbrot)在法兰西学院讲课时,首次提出了分维和分形几何的设想。
分形(fractal)一词,是曼氏独创出来的,其原意具有不规则、支离破碎等意义。
分形理论以非规则和非线性物体为研究对象,主要研究和揭示复杂的自然和社会现象中所隐藏的规律性、层次性和标度不变性,是一门横跨自然科学、社会科学和思维科学的新学科,是探索复杂对象的一种新方法。
分形理论自诞生以来首先被广泛应用于数学、物理学、地质学等学科中那些不规则复杂结构的研究。
分形理论概述分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。
分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。
1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。
海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。
我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态的相似。
在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。
事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。
1975年,他创立了分形几何学(fractal geometry)。
在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论(fractal theory)。
分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科。
作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识部分来认识整体，从有限中认识无限；二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序；三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。
分形理论的原则自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。
它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。
由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。
分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。
标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。
这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。
！ＱＱ Ｑ：塑 Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
关于“分形”的理论简述
陈汉平 （江苏盐城师范学院 江苏盐城 ２２４０００）
学术论坛
摘要：人们通常用点、线、面、体表示各种形状规则的几何体，而分形则为变化图形提出了记录的工具。本文便以此为立足点，对 分形概念的一般理论进行了阐述。 ． 关键词：几何体 分形 中图分类号：Ｏ１ ８ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４—０９８Ｘ（２００８）１２（ａ）一０１９０—０ｌ
１关于分形的概念讨论 “生命”是很难定义的，但是却可以给 出一系列生命对象的特征，例如繁殖能力，运 动能力等。除了有些对象出现例外大部分 情形都能因此而得到分类，于是就不会出现 因为暂时没有严格的定义而停步不前，对分 形似乎也宜于给出一系列特征性质，当集合 具备这些性质时就可以认为是分形；当因此 排除掉一些自己的同类时，再作特殊的研 究。按这种观点，称集合是分形，是指它具 有下面典型的性质：（１）Ｆ具有精细的结构，也 就是说在任意小的尺度下，它总有复杂的细 节；（２）Ｆ是不规整的，他的整体与局部都不能 用传统的语言来描述；（３）Ｆ通常由自相似形 式，这种自相似可以是近似的或是统计意义 下的；（４）一般地，Ｆ的某种定义之下的分形维 数大于它的拓扑维数，（５）在大多数令人感兴 趣的情形之下，Ｆ以非常简单的方法确定，可 能由迭代过程产生。 ２关于分形的测量 ２．１ Ｃａｎｔｏｒ三分集 德国数学家康托（Ｇ．Ｃａｎｔｏｒ，１ ８４５— １９ｌ８年）在ｌ８８３年曾构造了一种三分集，其 几何表示如下：取一条欧氏长度为ＬＯ的直线 段，我们把ＬＯ叫做初始操作长度。将这条直 线段三等分之后，保留两端的线段，将中间的 一段扔掉，再将剩下的两条直线段分别三等 分，然后将中间部分扔掉，以此类推，直至无 穷，便形成了无数个尘埃似的点，这便是 Ｃａｎｔｏｒ三分集。它们的数目无穷多，但长度 为零。这种构造的自相矛盾性曾使ｌ９世纪的 数学家感到困惑。但我们从几何关系来看， 最终生成点的分布是局部与整体自相似的， 甚至这个过程中的每一步图形之间也是局部 整体自相似的，这便是相似。 ２．２ Ｋｏｃｈ曲线 取边长为１的三角形，将每边中段１／３换 成尺寸为１／３的三角形，成为一个六角形；再 在六角形的各边上作上述处理；直至无穷。 ｌ９０４年，瑞典数学家科赫第一次描述了这种 不论曲直线还是由曲线段组的始终保持连通 的线。科赫曲线具有某些有趣的性质，首先， 它是一条连续的回线，永不自我相交，因为每 边上加的三角形都足够小，以致彼此碰不上。 每次变换在曲线的内部增加一点面积，但总 面积仍然有限（永远小于初始三角形的外接 圆）。这一自相矛盾的结论曾使上世纪初思考 过这一问题的许多数学家感到烦恼。它触犯 了一切关于形状的合理直觉，它不同于自然 界里见到的任何事物，成了一种反常现象。 这是一种分形，曾用来作为海岸线的模型。 ２．３皮亚诺（Ｐｅａｎｏ）曲线 早在１９８０年，意大利数学家Ｇ．Ｐｅａｎｏ （１８５８－１９３２）通过对一些古代装饰图案的研 究，构造了一条奇怪的平面曲线，这些图案充 满在一个平面上，曲线蜿蜒曲折一气呵成，并 能经过平面上某一正方形区域内的所有点。 这种奇怪的曲线曾使数学界大吃一’惊，自 然引起了广泛的注意，不久便找到具有这样 性质的其它曲线，后来统称为Ｐｅａｎ。曲线。 Ｐｅａｎｏ曲线的一个典型的例子是Ｈｉｌｂｅｒｔ— Ｐｅａｎｏ曲线。德国数学家Ｄ．Ｈｉ１ｂｅｒｔ（１８６２— １９４３）在１８９１年构造出来这种曲线，这是皮 亚诺曲线的一种特例，他得出的曲线是一单 位正方形，其构造过程如下：首先，将正方形 四等分，求出各个小正方形的中心，并将它们 连接；其次，将各个小正方形再细分为四个相 同的小正方形，并连接各个正方形的中心；按 照以上的方法不断细分下去，并按照一定的 规则一一连接，就可以得到皮亚诺曲线。 ３分形的重要算法——ＩＦｓ 迭代函数系统方法，简称。ＩＦＳ法，它的 基本思想是分形具有整体与局部的自相似 性，也就是说局部是整体的一个小复制品，只 是在大小、位置和方向上有所不同。我们知 道数学中仿射变换是一种线性变换，它正好 具有把图形放大、缩小、旋转和平移的性质。 因此，产生一个复制品就相当于对图形作一 次仿射变换，从原则上说任何图形都可以用 一组仿射变换来描述或是生成。但是并不是 所有的仿射变换都可以用于迭代函数系统， 只有压缩仿射变化才可以，否则就不能保证 不断重复仿射变换（Ｉｐ迭代过程）具有保形性 和收敛性。 ３．１相似变换与仿射变换 相似变换是指在各个方向上变换的比率 必须是相同的一种比例变换：仿射变换是指 在不同的方向上变换的比率可以不同的一种 比例变换。从直观看，相似变换可放大或缩 小甚至旋转，但不会变形，而仿射变换可能会 变形。当然，可以将相似变换看成是仿射变 换的一种特例。正交变换使图形刚性位移和 旋转，但保持几何图形的度量性质（向量的夹 角、点与点之间的距离、图形的面积等）不变： 而仿射变换一般会改变图形中间量的夹角、 点与点之间的距离、图形的面积等，但仿射 变换不会改变共线、平行、相交、共线点的 顺序、中心对称、二次曲线的次数等。原来 平行的线段，经仿射变换后仍然是形于的，但 长度可能发生了变化，相互之间的距离也可 能改变了 如果一个图形经仿射变换后的面 积变小了，则此变换是收缩的，如果变大了则 １９０科技创新导报Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ 是扩张的，若保持不变则是恒等的。 ３．２仿射变换的数学表达式 仿射变换是一种线性变换，在二维平面上 进行讨论，二维仿射变换的形式为： — ｇ ａｘ＋ｂｙ＋ｅ １ｆ Ｌ＿， ｃｘ＋ｄｙ ｆ
分形理论在园林设计中的一个应用王雨竹【摘要】分形理论在园林设计中的研究和应用丰富了园林创作的思想和手法,使园林设计更加贴近自然.通过阐述分形理论与园林设计之间的内在联系,将分形理论引入到园林设计中.利用分形理论中的迭代生成原则和matlab软件生成树图,并举2个实例,说明分形理论可帮助人们在计算机中从少量数据出发,对复杂自然景观进行逼真绘制.对更为高效、逼真地绘制自然景观具有实际借鉴作用.%Research and application of fractal theory in landscape design has greatly enriched the concepts and techniques of garden creation, and pushed forward landscape design closer to the natural world. By elaborating internal connection between fractal theory and landscape design , iterative function system of the fractal theory and matlab were used to create trees. Two cases were given to demonstrate that fractal theory enables the vivid drawing of natural landscapes with the support of limited data, so fractal theory is practical for drawing vivid natural landscapes efficiently.【期刊名称】《安徽农业科学》【年(卷),期】2012(040)011【总页数】4页(P6690-6692,6696)【关键词】风景园林;园林设计;分形理论;自相似;迭代函数系统方法(IFS);matlab 【作者】王雨竹【作者单位】北京林业大学园林学院,北京100083【正文语种】中文【中图分类】S26;TV986.1自然界充满了许多人们熟悉，又变幻莫测的现象，它们涉及的几何图形无法用整数维数去解释，因而以点、线、面为研究对象的欧氏几何对自然界中所存在的这种复杂、不规则事物无能为力。
５３FRIEND OF CHEMICAL INDUSTRY 生化与医药 ２００７．ＮＯ．０７ 化工之友其定义是支离破碎的１９７７年他出版了第一本著作标志着分形理论的正式诞生他出版了著名的专著从此分形是非线性科学中的一个前沿课题分形被赋予不同的名称等等是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称分形已经成为一门描述自然界中许多不规则事物及现象的规律性学科［１］自然科学工作者由于受欧氏几何学及纯数学方法的影响建立起各种理想模型这种线性的近似处理方法也很有效但是对于一些复杂的非线性系统和过程而分形理论则是直接从非线性复杂系统本身入手这一点就是分形理论与线性近似处理方法本质的区别分形已经成为一门描述自然界中许多不规则事物的规律性学科自相似性是没有特征长度的物体指的是若把所考虑的图形的局部放大标度不变性是指在分形上任选一局部区域即不论将其放大或缩小不规则性等各种特性均不发生变化自相似性与标度不变性是密切相关的分形的一个较为通俗的定义一般地即认为它具有下述典型的性质（２）Ｆ不规则（３）Ｆ通常有某种自相似的形式（４）Ｆ的（５）大多数情况下如迭代分形维数在过去的混凝过程研究中黑箱即使考虑微观过程用已有的胶体化学理论加以解释尽管有的研究者在理论推导和形成最终的数学表达式时引入了颗粒系数加以修正（如基于著名的Ｓｍｏｌｕｃｈｏｗｓｋｉ方程所进行的混凝线性动力学的探索与改进［３－６］）因此它从水中胶粒和所加絮凝剂在水中的真实形状和大小它把微观的颗粒形态观测与宏观的絮凝结果分析结合起来由于絮凝体的成长是一个随机过程如果不考虑絮凝体破碎的话小的集团又结成大的集团如此一步步成长［７］这正是分形的两个重要特征絮凝体的形成具有分形的特点很多学者以分形理论为基础进行絮凝过程形态学的研究众多学者致力于对凝聚体的计算机模拟并测出了其分形维数科研工作者将分形还是与絮凝过程结合进行研究但对于其它复杂的分形所以再实际应用中大致可分为［１］（２）根据测度关系求维数（５）根据频谱求维数计算机模拟法是基于分形结构的形成机制２．１ 影像分析法影像分析法是应用电子显微镜如透射显微镜（ＴＥＭ）对聚集体连续快速拍摄进行分析１．集美化妆品（东莞）有限公司 广东东莞 ５２３６１７； ２．贵州省环境科学研究设计院 贵州贵阳 ５５０００２；３．深圳市万山红环保实业有限公司贵阳分公司 贵州贵阳 ５５０００２本文介绍了分形的概念关键词Ｘ５３文献标识码FR IE ND O F CH EM IC AL I ND US TR Y５４生化与医药化工之友 ２００７．ＮＯ．０７质量与粒度的关系中获得将图像中的颗粒数与所测定的具有典型粒径的每个颗粒的质量相乘即得硫酸铝与活性污泥聚集体［９针铁矿聚集体以及最近对有机物聚集体的结构也进行了分析［１１］并且其基于这样一个假设那么从二维投影分析所得的分形维数与实际分形维数相同而仅当ｄＦ只是略微小于２时将会发生较大的偏差如果ｄＦ＞２因此分形维数只能是２然而仍属于间接测定并应用计算机处理数据的强大功能２．２ 絮体沉降速率如下列方程所示其中ｃ常数与球形固体由Ｓｔｏｋｅｓ定律所得的值２相比相应地得到聚集体的密度为Ｐ基于此方程Ｒｃ＋１该法对于较大的聚集体如活性污泥尤为适合１０乳胶颗粒聚集体的分维的测定［１３］沉降法应用于分维的测定具有一些明显的缺点乳胶微颗粒混凝所得聚集体由沉降法所测定的分维往往比Ｓｔｏｋｅｓ定律所得的分维平均大４－８．３倍［１４］假定滞延系数（Ｄｒａｇ Ｃｏｅｄｆｆｉｃｉｅｎｔ那么在ｄＦ＞２时当ｄＦ＜２时从而由沉降速率与Ｓｔｏｋｅｓ定律所计算出的分维将不再是正确的从而得以应用于推测分形结构颗粒与溶胶的聚集体的分析测定１６］Ｊｕｎｇ等人指出静态光散射可以应用于测定后胶体ｐｏｓｔ－ｃｏｌ－ｌｏｉｄａｌ即微米级颗粒粒度范围的分形结构［１７］特别在样品的制备与结果分析方面具有其特殊的优越性且极少涉及高分子铁系絮凝剂待处理颗粒物表面结构特性以及这些水解产物与胶体表面作用的机理如何用分形理论解释还在探索中比如光子光谱从分子水平对聚铁絮凝剂的水化学过程进行研究参考文献［１］ 张济忠北京蒋展鹏中国给水排水３（５）环境科学学报１８（１）丹保宪仁环境科学学报２０（３）。
