分形理论及其发展历程.

分形理论及其应⽤分形⼏何及其在城市研究中的应⽤⼀、分形概述1975年，著名科学家曼德布罗特（B.B.Mandelbrot）发表了其专著《分形：形态、机遇和维数》，这标志着分形⼏何学的诞⽣。

分形⼏何学是相对于传统欧⽒⼏何学的不⾜⽽建⽴的，由此发展起来的分形理论是现代⾮线性科学研究中的⼀门新兴数学分⽀，在众多学科领域中有着⼴泛的应⽤。

普通的⼏何对象，具有整数维数。

零维的点、⼀维的线、⼆维的⾯、三维的体、四维的时空等。

⽽分形则是具有⾮整数的分维的⼏何对象。

其主要的价值是在极端有序和极端混沌之间提供了⼀种可能性。

其显著的特征是：看来⼗分复杂的事物，事实上⼤多数均可⽤公含很少参数的简单公式来表达。

1、科赫曲线分形⼏何学的研究对象是不光滑的、不规则的，甚⾄⽀离破碎的空间⼏何形态。

分形的典型例⼦，科赫曲线（Koch Curve）便是以初等数学⽅法构造的⼀类处处不可导。

构造过程如下图：取长度为1的直线段，称为初始元（initiator），将该线段的中间1/3⽤⼀个隆起等边三⾓形的另两边替代，得到⼀条由四个等长直线段构成的折线，称为⽣成元（generator）。

再将⽣成元中的四个直线段中的每⼀个，都⽤⼀个缩⼩为1/3的⽣成元代替，从⾯形成了⼀条有次级隆起的折线。

这样⼀直进⾏下去，得到科赫曲线。

显然，科赫曲线的“内部”结构与整体相似。

2．⾃相似性与标度不变性如果⼏何对象的⼀个局部放⼤后与其整体相似，这种性质称为⾃相似性，⽐如树。

地质现象的描述离不开标度，在地质上，对⼀些地质现象拍照时，⼀定要放上⼀个能表⽰尺度⼤⼩的物体，如⼀枚硬币，⼀把锤⼦等。

因为，如果没有这些东西，就很难在确定这些照⽚是反映什么尺度范围内的现象，可能是10⽶还是10公⾥等。

当观测标度变化时，⼏何体的许多性质保持不变，称为标度不变性。

具有⾃相似性或标度不变性的⼏何对象，我们说它们是分形的。

3.分形的定义1．部分以某种形式与整体相似的形状叫做分形。

（B.B.Mandelbrot）2．分形集合是这样⼀种集合，它⽐传统⼏何学研究的所有集合更加的不规则，⽆论是放⼤还是缩⼩，这种集合的不规则性仍然是明显的。

分形几何及其在地球物理中的应用初探摘要：本文简要介绍分形的基本概念，发展历史，简述它在地球物理学中的应用，并探讨未来可能它在地球物理中可能的应用。

限于篇幅，文中将略去理论的细节及数学推导，也不涉及分形在其它领域的应用。

关键字：分形，分形几何，分维，地球物理，应用一、分形几何发展的历史回顾分形的发展大致可分为三个阶段。

第一阶段为1 8 75 年至19 2 5 年。

在此阶段，人们己认识到几类典型的分形集，并力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分析和刻划。

第二阶段大致为19 26 年到1 9 75 年。

在这半个世纪，人们实际上对分形集的性质作了深入的研究，特别是维数理论的研究已获得了丰富的结果。

第三阶段为19 75 年至今，是分形几何在各个领域的应用取得全面发展,并形成独立学科的阶段。

下面对这三个阶段作简要回顾。

19 世纪，尽管人们已能区别连续与可微的差别，但普遍认为连续但不可微的情形是极为例外的，并且在理论与研究中应排除这类“怪物”，特别认为一条连续曲线上不可微的点应是极少的。

在1872年,Weierestras证明了连续函数：（1）（0<a<1，b为奇整数，ab>1+2π）在任一点x均不具有有限或无限导数。

(Hardy于1916年证明只要ab≥1，上述结果仍成立)Weierestras这一结果在他所处的时代引起了极大的震动；但尽管人们在观念上产生了改变，但仍认为Weierestras 型的函数是极为“病态”的例子。

即使如此，人们仍从不同方面推广了上述函数，并对这类函数的奇异性质作了深入的研究，获得了丰富的结果。

Van Koch于1904年通过初等方法构造了现今称为Van Koch曲线的处处不可微的连续曲线(见图1)，并讨论了该曲线的性质。

由于该曲线的构造极为简单，改变了人们认为连续不可微曲线的构造一定非常复杂的看法。

特别重要的是，该曲线是第一个人为构造成的具有局部与整体相似的结构的例子，即现在称为自相似的结构。

分形艺术与传统绘画的融合尝试一、分形艺术的起源与发展分形艺术是一种基于数学分形理论的艺术形式，其核心在于通过数学公式和算法生成具有无限细节和自相似性的图案。

这种艺术形式最早可以追溯到20世纪70年代，由数学家本华·曼德布罗特提出分形理论后逐渐发展起来。

分形艺术的发展历程可以分为几个阶段：1.1 分形理论的提出本华·曼德布罗特在1975年的论文《英国的海岸线有多长？统计自相似和分形维度》中首次提出了分形的概念。

他发现自然界中的许多现象，如海岸线、山脉、河流等，都具有自相似性，即在不同的尺度上展现出相似的形态。

这种自相似性可以通过数学公式和算法进行模拟和再现。

1.2 分形艺术的初步探索随着分形理论的提出，艺术家们开始尝试将这一理论应用于艺术创作中。

最初的分形艺术作品主要是通过计算机生成的图形，这些图形具有高度的对称性和复杂性，能够展现出令人惊叹的视觉效果。

艺术家们通过调整算法参数，创造出各种各样的分形图案。

1.3 分形艺术的多样化发展随着技术的进步和艺术观念的更新，分形艺术逐渐从单一的图形生成发展到更为多样化的表现形式。

艺术家们不仅在二维平面上创作分形艺术，还将其应用于三维空间和动态影像中。

此外，分形艺术也开始与其他艺术形式相结合，如绘画、雕塑、装置艺术等，展现出更为丰富的艺术表现力。

二、传统绘画的特点与价值传统绘画是一种历史悠久的艺术形式，其发展历程可以追溯到史前时代。

传统绘画具有以下几个显著特点：2.1 丰富的表现手法传统绘画包括油画、水彩画、素描、版画等多种表现手法。

每种手法都有其独特的技巧和表现力，能够展现出不同的视觉效果和艺术风格。

艺术家们通过对色彩、线条、光影等元素的精细处理，创作出具有深刻内涵和艺术感染力的作品。

2.2 深厚的文化内涵传统绘画不仅仅是一种视觉艺术，更是一种文化表达。

许多传统绘画作品都蕴含着丰富的历史、哲学、等文化内涵。

通过对这些文化内涵的挖掘和表现，传统绘画作品能够引发观众的思考和共鸣，具有较高的文化价值。

分形理论与分形几何在自然科学中的应用自然界是一个充满着奇妙和神秘的地方。

在大自然中，我们可以发现许多美丽而又复杂的形状，如树枝、云朵、山脉等等。

这些看似无规律的形态背后，隐藏着一个重要的理论——分形理论与分形几何。

分形理论由波兰数学家曼德博特尔（Benoit Mandelbrot）于20世纪70年代提出。

他发现了自然界中的许多现象都具有自相似的特点。

自相似是指一个物体的一部分与整体的形状相似，这种相似性在不同的尺度上都能得到体现。

分形理论的核心思想就是研究这种自相似性，并通过数学模型来描述和解释这些现象。

分形几何是分形理论的一个重要分支，它通过数学方法来研究自然界中的分形结构。

分形几何的研究对象包括分形曲线、分形图形和分形维度等。

分形曲线是指具有无限细节和复杂性的曲线，如科赫曲线和希尔伯特曲线。

分形图形是指具有自相似性的图形，如分形树、分形花朵等。

分形维度是对分形结构复杂性的度量，它可以用来描述一个物体的空间尺度和形态特征。

分形理论与分形几何在自然科学中有着广泛的应用。

首先，它们在地质学中发挥着重要的作用。

地球上的山脉、河流、岩石等都具有分形结构。

通过分形理论和分形几何的研究，我们可以更好地理解地壳运动、地质构造和地球演化等自然现象。

例如，分形理论可以用来解释地震的发生和传播规律，通过分析地震波的分形特征，可以预测地震的强度和发生概率，为地震灾害的防治提供依据。

其次，分形理论和分形几何在生物学中也有着重要的应用。

生物界中存在着许多分形结构，如树枝、血管、叶片等。

通过分形理论的研究，我们可以更好地理解生物体的生长、发育和进化过程。

例如，分形几何可以用来解释植物根系的分形形态，通过分析根系的分形维度，可以揭示出根系的生物力学特性和水分吸收能力，为农业生产和植物育种提供指导。

此外，分形理论和分形几何还在气象学、物理学、经济学等领域中得到了广泛的应用。

在气象学中，分形理论可以用来研究天气系统的自相似性和混沌性质，从而提高天气预报的准确性。

谁创立了分形几何学？1973 年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot ）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。

分形（Fractal ）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。

由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。

分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。

分形几何与传统几何相比有什么特点：⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。

例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。

⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。

上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。

当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。

其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。

什么是分维？在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。

也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。

分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。

为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919 年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。

将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2 ，而将原图等分为若干个相似的图形。

其线段、正方形、立方体分别被等分为2人1、2人2和2人3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。

一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a 的相似的 b 个图形所组成，有：a A D=b, D=logb/loga的关系成立，则指数 D 称为相似性维数， D 可以是整数，也可以是分数。

分形理论在地质学中的应用：分形理论在地质学中的应用现代科学已进入非线性科学时代，非线性科学是目前世界性的热门课题。

地质学研究中非线性科学研究的对象主要是非线性问题以及在野外实践工作中遇到的各种各样非常复杂的地质现象。

因此，非线性科学在地质学研究中具有重大的意义。

分形理论是今年来非线性科学发展的最重要体系之一。

近年，众多地质学者运用分形理论对构造、元素地球化学异常、成矿预测等都进行深入的研究，取得了良好的成果。

1. 分形理论简介分形理论创始于20世纪70年代初期，创立的代表人物为美国数学家芒德布罗。

自然界和现实生活中广泛存在的具有自相似特性的非规则的几何形态是分形理论的研究对象。

分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形。

它是以分维数、自相似性、统计自相似性和幂函数等为工具，研究不具有自相似性的复杂现象，定量描述这种自相似性的参数称为“分维数”或简称“分数”，记为D。

由于研究的具体对象（分形）不同，其分维数计算的具体形式和名称也有多种，最常见的分维数有相似维或容量维、信息维、关联维和广义维2. 分形理论在地质构造中的应用分形理论作为研究构造地质学的一种新方法，拓宽了构造地质的研究领域。

分形理论在地质构造中应用较为广泛的主要是断裂构造的自相似性的分形（线性分形）。

改变观察尺度求维数的方法是目前在断裂构造的二维平面分布研究中应用较多的分形方法。

毛政利（2004）通过该方法研究，认为个旧矿区东区断裂构造系统在二维平面上服从分形分布。

成矿有利地区断裂构造系统分维值均较大，并成正相关性，由此推测，高松矿田具有很大的找矿潜力。

断裂网络具有自相似性，是一种复杂的分形体系。

描述几何不规则性的分维可以用来定量评价矿井断裂网格复杂程度。

张建中（2007）利用分形理论对祁南煤矿构造复杂程度进行了评价，分维不仅能反映出断裂分布不均匀性，水平延伸长度和条数及其组合形式等综合性信息，同时能分出的不同等级的块段的分布情况，真实、准确地反映了矿井实际断裂构造的复杂变化。

分形学的推导过程分形学是一门研究自相似性和重复出现的数学学科。

它的推导过程可以追溯到20世纪60年代，由数学家贝诺瓦·曼德博士提出。

分形学的推导过程涉及到一些基本概念和原理，其中包括自相似性、分形维度和分形生成等。

我们来看自相似性这一概念。

自相似性是指一个物体的一部分与整体相似的特征。

例如，一棵树的分支和整棵树的形状相似，这就体现了自相似性。

分形学将自相似性应用于数学模型中，通过数学公式来描述自然界中的复杂结构。

接下来，我们来介绍分形维度的概念。

传统的几何学中，维度是用来描述物体的大小和形状的。

但在分形学中，分形维度是用来描述自相似结构的复杂程度的。

分形维度可以是非整数的，这意味着分形结构具有无限的细节和复杂性。

分形维度的计算可以通过分形生成函数来实现。

分形生成函数是分形学的重要工具之一。

它是一个递归的数学公式，通过重复应用这个公式，可以生成具有自相似性的分形结构。

例如，曼德博集合是一个经典的分形模型，它可以通过迭代计算来生成复杂的分形图案。

分形生成函数的关键在于迭代过程中的参数选择和边界条件的设定，这决定了生成分形的形状和细节。

分形学的推导过程还涉及到分形维度的计算方法。

其中，箱计数法是一种常用的计算分形维度的方法。

箱计数法将分形结构覆盖在一个网格上，然后统计网格中所包含的分形结构的数量。

通过不断改变网格的大小，可以得到分形维度的估计值。

另外，分形维度还可以通过分形维度的定义公式来计算，该公式利用了分形结构的自相似性特征。

分形学的推导过程还包括对分形结构的分类和研究。

分形结构可以分为确定性分形和随机分形两类。

确定性分形是指通过确定的数学公式生成的分形结构，如科赫曲线和谢尔宾斯基三角形。

而随机分形是指通过随机过程生成的分形结构，如布朗运动和分形噪声。

这些分形结构在自然界中广泛存在，如云朵的形状、海岸线的起伏和树枝的分叉等。

总结起来，分形学的推导过程涉及到自相似性、分形维度、分形生成函数和分形结构的分类和研究等内容。

分形几何理论与应用分形几何理论是一种独特的数学理论，它研究的不是传统意义上的整数、有理数或代数等，而是那些细致、复杂、无规则的自相似结构。

这个理论的发展和应用可以追溯到上世纪60年代，由波兰数学家曼德博特和法国数学家朱利亚·帕西亚斯开创并推动。

分形几何理论的应用范围广泛，涉及到自然科学、工程技术、艺术设计等领域。

本文将介绍分形几何理论的基本概念、应用案例以及未来的发展趋势。

一、基本概念分形几何理论的核心概念是“分形”。

分形是一种具有自相似性质的几何形状或图形，即整体的某一部分与整体本身具有相似的结构。

分形可以是自然界中的云朵、树叶、山脉等，也可以是数学模型中的图形、曲线等。

分形具有以下基本特征：1. 自相似性：分形的一部分与整体具有相似的结构，无论进行何种放大或缩小，都能保持这种相似性。

2. 细节复杂性：分形结构的细节非常复杂，无法用简单的几何形状或方程进行描述。

3. 尺度无关性：分形的特征在不同尺度上都存在，并且不会随着放大或缩小而改变。

二、应用案例1. 自然科学领域：分形几何理论在自然科学领域的应用广泛。

例如，地理学家可以利用分形理论来研究地貌形态的分布规律，了解山脉、河流等地貌形状的演化过程。

生物学家可以利用分形模型来研究植物、动物体内的血管网络结构。

天文学家可以用分形几何理论解释银河系的分布规律等。

2. 工程技术领域：分形几何理论在工程技术领域的应用也非常广泛。

例如，在传输网络设计中，可以采用分形模型来提高网络的稳定性和可靠性。

在材料科学中，可以利用分形几何理论来研究材料的表面粗糙度和纹理结构，从而优化材料的性能。

在城市规划中，分形理论可以帮助设计人员更好地解决交通流量、建筑物布局等问题。

3. 艺术设计领域：分形几何理论对艺术设计也有很大的启发。

艺术家可以运用分形的特性创作出具有美感和复杂性的艺术作品。

分形图形的迭代、放大和变换等操作可以产生各种独特的视觉效果，被广泛用于绘画、雕塑和数字艺术等领域。

数学科学中的分形几何学分形几何学是一种可视化的、有关于形态相似度的研究。

在1975年前后，它引起了人们的越来越多的关注，研究者不断地寻找着新的分形体现，并且对其进行了广泛的研究。

分形几何学以1960年代末兴起的分形理论为基础，是一种重要的新分支，不仅在纯数学中产生出多种应用，而且还带有很多涉及与物理、天文、地质、气象等领域的实际问题。

分形几何学的发展历程分形几何学的历史可以追溯到19世纪的德国，当时考古学家路德维希•谷巴尔（Ludwig Schläfli）从数学角度研究了20种多面体，把多面体的外形、大小、形态的相似性进行了比较。

后来的数学家们在此基础上，又从各自的角度进行了探索与研究。

比如，俄国的莫斯科数学家亚历山大·叶赛尼亚去研究特殊的比例题，发现了分形概念的重要性。

瑞典的奥托·察克拉芙特等也作出了较为重要的贡献。

但是，分形几何学真正的开端是在1960年代，当时马赛克模型的出现，给了分形几何学一个坚实的基础，也就是分形的数学形式和公式。

然后，分形几何学从理论研究到了实验研究，在科学研究、文化艺术、自然美学等方面发挥出了巨大的作用。

分形几何学与自然美学分形几何学在科学研究领域的应用相对来说比较多，尤其是在物理、天文、地质等领域。

但是，近年来，人们越来越意识到，分形几何学在文化艺术和自然美学领域的应用也是非常广泛的。

分形几何学强调递归和自相似性，在繁杂的自然现象中找到了类似的滋生和变化规律，阐述了丰富的美学和人类价值。

自然美学是一种研究自然和人与自然关系的美学，强调生命之动的自然性、多元性、无常性。

分形的数学模型不仅为自然美学提供了丰富的表现形式，而且还帮助人们更好的理解生态学、生物医学等方向。

分形几何学的应用实例分形几何学在自然界中的表现是广泛的，比如，在地理学中，分形几何可以用来研究地衣的分布，而在气象学中，分形几何可用来计算降雨的分布规律和湍流的能量分布情况，对于理解飓风、龙卷风和干旱等自然灾害方面也具有指导意义。

分形理论的发展研究概述作者：解军强来源：《科教导刊》2013年第25期摘要分形理论与混沌论、孤子理论(Fractal、Chaos、Soliton)作为现今非线性三大前沿理论，已经成为系统科学研究中一个非常活跃的领域。

它所揭示的复杂系统的标度不变性、自相似性，分维数等全新的系统特性和概念，对现代科学和哲学都产生了深刻的影响。

由于它能从更高的层次和新的角度把自然界、社会及思维领域中一系列复杂的关系有机地结合起来，因此被迅速地应用于社会科学和自然科学的相关研究中，取得了很有意义的结果。

本文重点讨论了分形理论的产生和发展过程。

关键词分形理论分维数综述中图分类号：TP391.41 文献标识码：A数学，特别是几何，是有效刻画自然界的一种有力工具，人们从现实生活中抽象出点、线、面等基本的几何概念，并努力用这种很规则的几何概念去描述和理解自然摘要分形理论与混沌论、孤子理论(Fractal、Chaos、Soliton)作为现今非线性三大前沿理论，已经成为系统科学研究中一个非常活跃的领域。

它所揭示的复杂系统的标度不变性、自相似性，分维数等全新的系统特性和概念，对现代科学和哲学都产生了深刻的影响。

由于它能从更高的层次和新的角度把自然界、社会及思维领域中一系列复杂的关系有机地结合起来，因此被迅速地应用于社会科学和自然科学的相关研究中，取得了很有意义的结果。

本文重点讨论了分形理论的产生和发展过程。

关键词分形理论分维数综述现象。

事实上关于自然现象无论是小到晶体的结构还是大到宇宙星系分布，人类早就了解到它们都是十分复杂和不规则的。

可以说复杂的不规则图形才是自然界的本质，规则图形不过是对自然界的理想和简化描述。

针对这种复杂性和不规则性，欧几里德几何以及微分几何都显得束手无策，而分形理论的产生，为客观描述和解释真实世界提供了新的方法和思路。

它从另一端对传统科学提出了挑战，同时又给传统科学提供了补充和启示，因此迅速发展并在自然科学、社会科学、思维科学等各个领域获得了有效的应用。

分形理论及其在机械工程中的应用分形理论是20世纪70年代兴起的一种数学理论，它研究复杂系统中的重复自相似性。

分形可以理解为类似于俄罗斯套娃的结构，即整体的形态与其中的局部形态相似。

分形理论在机械工程领域有着广泛的应用，本文将介绍分形理论及其在机械工程中的具体应用。

分形理论可以应用于机械零件的设计中。

传统的机械零件设计通常依赖于简单的几何形状，而分形理论可以帮助工程师设计更为复杂的几何形状。

分形几何图形具有多尺度结构，可以在不同的尺度上展现出相似的特征，从而实现更好的性能。

通过分形理论，可以设计出表面更为粗糙的排气阀，使得气体流动更为稳定，提高发动机的效率。

分形理论在材料科学中也有应用。

材料的分形结构可以提高其力学性能，使得材料更具韧性和强度。

通过分形理论，可以设计出具有复杂分形结构的材料，例如分形纤维增强复合材料。

这种材料的纤维排列呈现出分形的结构，使得其具有更好的抗拉强度和韧性。

分形理论还可以应用于机械系统的振动分析和控制中。

机械系统中常常存在着复杂的振动问题，而传统的振动分析方法往往难以解释和预测这些问题。

分形理论提供了一种新的视角，可以更好地理解和描述复杂振动行为。

分形理论还可以应用于机械系统的振动控制中，通过设计合适的控制算法，实现对机械系统振动的主动控制。

分形理论还可以应用于机械加工中。

传统的机械加工过程往往是通过对工件进行粗加工和精加工来实现最终的加工精度。

而分形理论提供了一种新的加工方法，即分形加工。

分形加工是通过将加工过程中的毛刺和残余物分形化，使其在不同的尺度上具有相似的特征，从而实现更好的加工质量。

在金属加工中，可以利用金属表面的局部腐蚀现象，实现分形化加工，提高零件的表面质量。

分形理论在机械工程领域有着广泛的应用。

通过应用分形理论，可以设计出更为复杂的几何形状，提高材料的力学性能，解决机械系统的振动问题，改善机械加工的质量。

深入理解和应用分形理论对于机械工程师来说是非常重要的。