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灰色系统模型GM(1，1)进行水文灾变预测问题的讨论王正发(国家电力公司西北勘测设计研究院，西安，710001)关键词灰色系统模型灾变预测误差摘要在简述灰色系统预测基本原理的基础上，用灰色系统模型GM(1，1)进行水文灾变预测，并用实例进行检验，结果表明预测精度是令人怀疑的，近期不宜用灰色系统模型进行水文灾变预测。
1 水文系统的灰色特征灰色系统理论认为：部分信息已知，部分信息未知的系统叫―灰色系统‖。
水文系统就其本身而言具有灰色系统的一些基本特征，即水文系统中长期观测到的水文资料只是水文系统中极少的一部分，如有限年代的雨量、流量记录等；更有未知信息部分，如未来年代的雨量大小、流量丰枯，洪水、干旱的出现时刻以及水环境的前景变化等；因此，水文系统是一灰色系统，可用灰色系统理论对其进行分析、研究。
2 灰色系统预测的基本原理2．1 灰色预测及其分类以灰色系统理论的GM(1，1)模型为基础的预测，叫灰色预测。
它可以分为以下7类：(1)数列预测：对某一事物发展变化趋势的预测。
(2)灾变预测：即灾变出现时间的预测，灾变有多种，如洪水、干旱、涝等灾害。
(3)季节灾变预测：指对灾害出现在一年内的某个特定时区的预测。
(4)拓朴预测：也叫波形预测、整体预测，是用GM(1，1)模型来预测未来发展变化的整个波形。
(5)系统预测：指对系统的综合研究所进行的综合预测。
(6)包络GM(1，1)灰色区间预测：参考数列分布趋势构造一个上、下包络线为边界的灰色预测带，建立上、下2个包络模型。
(7)激励——阻尼预测：将激励、阻尼因数以量化形式反映在GM(1，1)模型中的预测，叫激励——阻尼预测。
本文主要讨论GM(1，1)模型用于水文灾变预测的问题。
2．2 GM(1，1)模型GM(1，1)模型是适合于预测用的1个变量的一阶灰微分方程模型，它是利用生成后的数列进行建模的，预测时再通过反生成以恢复事物的原貌。
假定给定时间数据序列｛x(0)(k)，k＝1，2，…，n｝，作相应的1阶累加序列｛x(1)(k)，k＝1，2，…，n｝，则序列｛x(1)(k)，k＝1，2，…，n｝的GM(1，1)模型的白化微分方程为：dx(1)(t)/dt + ax(1)(t)=u (1)经过拉普拉斯变换和逆变换，可得到:x(1)(k十1)＝(x(0)(1) –u/a)e (-k)+u/a (2)利用最小二乘法进行参数辨识，参数向量A的估计公式为：＝(B T B) -1B T Y N (3)其中：式(3)即为GM(1，1)模型的一般数学表达式。
灰色系统模型（Grey Model,GM）一：解决的关键问题 （所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的）灰色系统模型作为一种预测方法广泛应用于工程控制，经济管理，社会系统等众多领域。
二：ＧＭ（１，１）模型（一）：对原始序列累加处理一次累加生产序列②(即1－AGO序列)，表示为其中，一次累加序列(1)X 的第k 项由原序列的前k 项和产生，即： 由(1)X 的相邻项平均得到(1)X 的紧邻均值生成序列(1)z ，表示为:根据上述序列，有灰色系统模型GM(1，1)的基本形式:(二)构造GM(1，1)模型方程组的矩阵形式，并求解参数 GM(1，1)模型的微分方程基本形式:(三)求的时间响应序列，累减得到原序列的预测值(四)模型检验残差的均值、方差分别为:21S C S 称为均方差比值，对于给定的00C ，当0C C 时，称模型为均方差比合格模型;1(()0.6745)p p k S 称为小误差概率，对于给定的00P ，当0P P 时，称模型为小误差概率合格模型。
一般均方差比值C 越小越好(因为C 小说明S 小，1S 大，即残差方差小，原始数据方差大，说明残差比较集中，摆动幅度小，原始数据比较分散，摆动幅度大，所以模拟效果好，要求2S 与1S 相比尽可能小)，以及小误差概率p 越大越好，给定000,,,C p 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级，常用的精度等级见表1。
软件DPS 的分析结果也提供了C 、p 的检验结果。
(五)残差修正模型(六)建立新陈代谢GM(1，1)进行动态预测在实际建模过程中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。
我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。
一般说来，取不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1，1)模型，选择不同的数据，参数a，b的值也不一样。
Improvement and Application of GM(1,1)GrayPrediction ModelYANG Cun-dian 1,ZHANG Yan 1,WANG Yi 2(1.College of Urban,Rural Planning and Architectural Engineering,Shangluo University,Shangluo 726000,Shaanxi;2.Faculty of Economics and Management,Shangluo 726000,Shaanxi)Abstract:The improvement of application of GM(1,1)gray prediction model solved the inaccurate problem due to the reliance on initial value and background value in the process of model prediction.With the use of least square principle,estimate of parameters in initial value and background value is obtained and a prediction model is further obtained.Empirical analysis shows that the prediction accuracy has been improved,and the application of GM (1,1)gray prediction model in actual prediction is expanded.Key words:background value construction;GM(1,1)gray prediction model;the least squares 收稿日期：2020-11-25基金项目：国家社会科学基金西部项目（19XJL002）；陕西省社会科学基金项目（09E021）；陕西省教育厅专项科研计划项目（08JK036）作者简介：杨存典，男，陕西山阳人，教授(1.商洛学院城乡规划与建筑工程学院，陕西商洛726000；2.商洛学院经济管理学院，陕西商洛726000)灰色预测模型GM(1,1)的改进及应用杨存典1，张雁1，王怡2摘要：通过对GM(1,1)灰色预测模型预测方法的改进，解决了模型预测过程中依赖初始值和背景值所带来的预测精度不高的问题。
GM模型建立与预测方法1.灰色系统理论简介：灰色系统理论是由中国科学家李文建于1982年提出的，它是一种描述不确定性系统的理论方法。
灰色系统理论将系统划分为有较多信息和有较少信息的两个部分，将有较多信息的部分称为白色信号，将有较少信息的部分称为黑色信号。
2.GM(1,1)模型的建立步骤：(1)原始数据序列的累加生成：将原始数据序列累加得到累加序列，令累加序列为$$X^{(1)}=\sum_{i=1}^n X(i),\quad i=1,2,...,n.$$(2)累加生成序列的一次累减生成：将累加序列的每个相邻数据相减得到累减序列，令累减序列为$$Z^{(1)}=\sum_{i=1}^{n-1} X(i),\quad i=1,2,...,n-1.$$(3)GM(1,1)微分方程的建立：由累减生成序列得到微分方程为$$\hat{X}(k+1)-a\hat{X}(k) = b,$$其中 $\hat{X}(k)$ 表示 $Z^{(1)}$ 的紧邻均值，即$$\hat{X}(k)=\frac{Z^{(1)}(k)+Z^{(1)}(k+1)}{2},\quadk=1,2,...,n-1.$$系数$a$是发展系数，系数$b$可以由初始数值求得。
(4)模型参数的计算：根据微分方程，可以得到模型参数的计算公式：$$a = \frac{\sum_{i=1}^{n-1}(X^{(1)}/X(i))}{n-1},\quad b = X(1)-\frac{a}{1-a}X^{(1)}.$$3.GM(1,1)模型的预测方法：(1)模型参数的计算：根据已有的数据序列，利用上述步骤计算得到模型的参数$a$和$b$。
(2)模型的状态方程和预测方程：状态方程可以表示为$$X^{(1)}(k+1)=aX^{(1)}(k)+b,$$预测方程可以表示为$$\hat{X}(k+1) = X(1)-\frac{b}{a}[1-\exp(-a)]\exp(a(k+1)).$$ (3)模型的残差检验：计算原始序列和预测序列的离差，如果离差不满足预先设定的阈值，说明预测的效果较好；否则需要调整模型参数重新预测。
基于缓冲算子的GM(1,1)模型的研究及其应用随着经济的发展和社会的进步，越来越多的人们开始关注于经济预测和数据分析的问题。
针对这个课题，GM(1,1)模型在近几年得到了广泛的应用和研究。
而在这些研究中，基于缓冲算子的GM(1,1)模型得到了更广泛的认可和应用。
一、什么是GM(1,1)模型GM(1,1)模型，即灰色预测模型，它是一种基于灰色系统理论的时间序列预测模型。
该模型通过灰色系统理论的分析方法，对时间序列中的趋势进行拟合，并通过预测模型，将这个趋势推向未来。
该模型具有模型简单、易于解释、适用性广、准确性高等优点。
二、基于缓冲算子的GM(1,1)模型在GM(1,1)模型的基础上，缓冲算子概念的提出，为GM(1,1)模型的研究和应用提供了更多的思路和方法。
缓冲算子的概念是指，对于一个时间序列数据，通过对其进行平滑处理，去除其中的噪声值和异常值，从而降低其干扰程度，提取出有效信号。
这样做的好处是，在GM(1,1)模型中，通过对数据进行缓冲处理，可以减少模型拟合误差，提高模型的预测精度。
三、基于缓冲算子的GM(1,1)模型的应用基于缓冲算子的GM(1,1)模型在多个领域的应用中得到了广泛的推广和应用。
例如，在宏观经济预测中，通过对宏观经济数据的缓冲处理，构建GM(1,1)模型，对未来的经济变化趋势进行预测和分析，对于决策者制定宏观政策提供了重要的参考意义。
在企业经营管理中，对企业经营数据进行缓冲处理，构建GM(1,1)模型，可以对企业未来的经营趋势进行预测和分析，为企业的决策提供重要的参考。
四、结论基于缓冲算子的GM(1,1)模型在时间序列数据的预测和分析中具有重要的应用，可以有效地降低数据的拟合误差，提高模型的预测精度。
在未来的研究中，还需要进一步改进和优化此模型的算法和结构，以更好地满足实际应用的需求和要求。
数学建模-灰⾊预测模型GM（1,1）_MATLAB %GM(1,1).m%建⽴符号变量a(发展系数)和b(灰作⽤量)syms a b;c = [a b]';%原始数列 AA = [174, 179, 183, 189, 207, 234, 220.5, 256, 270, 285];%填⼊已有的数据列！n = length(A);%对原始数列 A 做累加得到数列 BB = cumsum(A);%对数列 B 做紧邻均值⽣成for i = 2:nC(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;endC(1) = [];%构造数据矩阵B = [-C;ones(1,n-1)];Y = A; Y(1) = []; Y = Y';%使⽤最⼩⼆乘法计算参数 a(发展系数)和b(灰作⽤量)c = inv(B*B')*B*Y;c = c';a = c(1);b = c(2);%预测后续数据F = []; F(1) = A(1);for i = 2:(n+10) %这⾥10代表向后预测的数⽬，如果只预测⼀个的话为1F(i) = (A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+ b/a;end%对数列 F 累减还原,得到预测出的数据G = []; G(1) = A(1);for i = 2:(n+10) %10同上G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据enddisp('预测数据为：');G%模型检验H = G(1:10); %这⾥的10是已有数据的个数%计算残差序列epsilon = A - H;%法⼀：相对残差Q检验%计算相对误差序列delta = abs(epsilon./A);%计算相对误差Qdisp('相对残差Q检验：')Q = mean(delta)%法⼆：⽅差⽐C检验disp('⽅差⽐C检验：')C = std(epsilon, 1)/std(A, 1)%法三：⼩误差概率P检验S1 = std(A, 1);tmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);disp('⼩误差概率P检验：')P = length(tmp)/n%绘制曲线图t1 = 1995:2004;%⽤⾃⼰的，如1 2 3 4 5...t2 = 1995:2014;%⽤⾃⼰的，如1 2 3 4 5... plot(t1, A,'ro'); hold on;plot(t2, G, 'g-');xlabel('年份'); ylabel('污⽔量/亿吨');legend('实际污⽔排放量','预测污⽔排放量'); title('长江污⽔排放量增长曲线'); %都⽤⾃⼰的grid on;。
基于马尔科夫GM(1,1)模型的物流货运量预测研究与应用马尔科夫GM(1,1)模型是一种基于马尔科夫过程和灰色系统理论的货运量预测模型，可以有效地对物流货运量进行预测和分析，为物流运输企业的决策提供重要参考。
本文将对基于马尔科夫GM(1,1)模型的物流货运量预测进行研究与应用进行探讨。
一、马尔科夫GM(1,1)模型原理介绍马尔科夫过程是一种随机过程，具有“无后效性”的性质，即未来状态的转移仅取决于当前状态，与过去的状态无关。
GM(1,1)模型是一种灰色系统理论下的预测模型，通过对原始数据进行灰色处理，获得其发展规律，从而实现对未来的预测。
将马尔科夫过程与GM(1,1)模型相结合，可以利用马尔科夫链的状态转移概率来增强预测模型的准确性和可靠性，使物流货运量的预测更加科学和准确。
1. 数据预处理需要收集和整理物流货运量的历史数据，包括货物种类、运输方式、运输距离、运输时间等信息。
然后对原始数据进行灰色处理，得到累加生成序列，进而构建GM(1,1)模型的状态转移矩阵。
2. 状态转移概率计算在马尔科夫GM(1,1)模型中，状态转移概率是关键参数之一，用于描述当前状态向下一状态的转移概率。
通过对历史数据的累加生成序列进行分析和计算，可以得到各个状态之间的转移概率，从而为货运量的预测建模提供依据。
3. 模型参数估计在构建马尔科夫GM(1,1)模型时，需要对模型参数进行估计，包括灰色作用量和发展系数等参数。
通过对历史数据进行灰色处理，利用最小二乘法等方法对模型参数进行估计和优化，以提高模型的准确性和可靠性。
1. 预测模型建立将得到的状态转移矩阵和模型参数进行整合，建立基于马尔科夫GM(1,1)模型的物流货运量预测模型。
通过对模型进行优化和验证，可以得出符合实际情况的预测结果，为物流货运量的长期规划和调度提供参考依据。
2. 风险分析与决策支持利用马尔科夫GM(1,1)模型对物流货运量进行预测，可以帮助企业进行风险分析和决策支持。
7.3 灰色预测模型7.3.1 GM （1,1） 模型符号含义为G M （1， 1）Grey Model 1阶方程 1个变量1．GM(1,1)模型令为GM(1,1)建模序列，，为的一次累加序列，，,令为的紧邻均值（MEAN ）生成序列=0.5+0.5则GM(1,1)的定义型，即GM(1,1)的灰微分方程模型为(7.3.2)式中称为发展系数，为灰色作用量。
设为待估参数向量，即，则灰微分方程(7.3.2)的最小二乘估计参数列满足= 其中=，=称(7.3.3)为灰色微分方程的白化方程，也叫影子方程。
如上所述，则有1） 白化方程的解也称时间响应函数为2） GM(1,1)灰色微分方程的时间响应序列为(0)X(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())X x x x n =(1)X (0)X (1)(1)(1)(1)((1),(2),...,())X x x x n =(1)(0)1()()ki x k x i ==∑1,2,...,k n =(1)Z(1)X(1)(1)(1)(1)((2),(3),...,())Z z z z n =)()1(k z )()1(k x )1()1(-k x b k az k x =+)()()1()0(a b ˆαˆ(,)Ta b α=∧αn TT Y B B B 1)(-B (1)(1)(1)(2)1(3)1......()1z z z n ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦n Y (0)(0)(0)(2)(3)...()x x x n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1)(1)dx ax b dt +=b k az k x =+)()()1()0((1)(1)dx ax bdt +=(1)(1)ˆ()((0))at b bxt x e a a -=-+b k az k x =+)()()1()0([]+， 3） 取，则 []+，4） 还原值上式即为预测方程。
5 GM(1,1)模型预测5.1 模型选取目前，学术界较为成熟的预测方法很多，各种不同的预测方法有其所面向的特定对象，不存在一种普遍“最好”的预测方法。
GM （1,1）模型预测是以灰色系统理论为基础，通过原始数据的分析处理和建立灰色模型，对系统未来状态作出科学的定量预测的一种方法。
我们采用GM （1,1）模型是基于以下两方面的考虑：第一，GM （1,1）模型对数据要求较低，而其他多数预测方法以数理统计为基础，对样本量有较高要求。
我们用来做预测的数据时序只有14年，预测使用GM （1,1）模型较好；第二，GM （1,1）模型的计算量相对较小，计算方法相对简单，适用性较好。
5.2 模型假设前提1、假设未来重庆地区经济发展基本态势不变；2、假设未来中央政府对重庆实施的政策方向基本不变；3、假设未来不会出现战争、瘟疫及其它不可抗拒的自然或社会因素。
5.3 预测数据来源预测样本为1997—2008年的重庆市农资价格指数、化学肥料价格指数、饲料价格指数。
具体预测样本数据如下：表5.1 1997—2008年重庆部分农资价格指数单位：%为提高数据预测的科学性，我们以1996年（直辖前）的农资价格为基期，假设1996年农资产品价格为100元，则以后第i 年的农资产品价格计算公式如下：i i Z Z G ⨯⨯⨯=∏ 1997100经此换算，得到1997—2008年的预测样本。
其中，NZJG 表示换算后的农资，HXFL 表示换算后的化肥，SL 表示换算后的饲料。
具体见下表：表5.2 1997—2008年转换后的预测样本单位：元5.4 GM （1,1）模型建立与检验5.4.1 序列的建立设由n 个原始数据组成的原始序列为x (0)(k)={x (0)(1),x (0)(2),…,x (0)(n)}。
那么可以得到四个样本原始序列：NZJG x (0)(k)= {105.9,95.7,…,120.3}； HXFL x (0)(k)= {93.6,81.8,…,89.9}； SL x (0)(k)= {96.6,87.9,…,118.7}。
灰色预测模型一、灰色预测的概念1. 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。
灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统。
灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。
2. 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。
尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
二、灰色预测的类型1. 灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
2. 畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
3. 系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
4. 拓扑预测；将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点 三、GM （1，1）模型的建立 1. 数据处理为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
i. 设()()()()()()()()(){},,, (00000)123X X X X X n = 是所要预测的某项指标的原始数据，计算数列的级比()()()(),,,,()00123X t t t n X t λ-==。
如果绝大部分的级比都落在可容覆盖区间(,)2211n n ee-++内，则可以建立GM(1,1)模型且可以进行灰色预测。
否则，对数据做适当的预处理。
方法目前主要有数据开n 方、数据取对数、数据平滑。
预处理的数据平滑设计为三点平滑，具体可以按照下式处理()()()()()()()()/00001214X t X t X t X t ⎡⎤=-+++⎣⎦()()()()()()/00013124X X X ⎡⎤=+⎣⎦ ()()()()()()/000134X n X n X n ⎡⎤=-+⎣⎦ii. 预处理后对数据作一次累加生成处理，即：将原始序列的第一个数据作为生成列的第一个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数据上，其和作为生成列的第二个数据。
按此规则进行下去，便可得到生成列。
根据()()()()101kn Xk X n ==∑，得到一个新的数列()()()()()()()()(){},,,...11111123X X X X X n =这个新的数列与原始数列相比，其随机性程度大大弱化，平稳性大大增加。
2. 新数列的变化趋势近似地用下面的微分方程描述。
()()11dX aX u dt+= 其中：a 称为发展灰数；u 称为内生控制灰数。
3. 模型求解。
令()()()[(),(),,()]00023T n Y X X X n =⋯，ˆα为待估参数向量，ˆa u α⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()()()()()()(()())(()())(()())111111112 12123 1211 12X X X X B X n X n ⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥=⎢⎥⋯⋯⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦， 于是模型可表示为ˆn Y B α= 通过最小二乘法得到：()ˆ1T T n B B B Y α-= 求解微分方程，即可得灰色预测的离散时间响应函数：()()()()ˆ1011at u u X t X e a a -⎡⎤+=-+⎢⎥⎣⎦,,,...,0121t n =- ()()ˆ11Xt +为所得的累加的预测值，将预测值还原即为： ()()()ˆˆˆ()()-()01111Xt X t X t +=+ 注：若数据经过预处理，则还需经过相应变换才能得到实际预测值。
4、模型检验灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。
1) 残差检验()()()ˆˆˆ()()-(-)0111Xt X t X t = ()()()()()()ˆ000t Xt X t ∆=- ()()()(),,,,()0012t t t n X t ε∆==分别求出预测值、绝对误差值和相对误差值，计算出平均相对误差判断精度是否理想。
2) 关联度检验i. 定义关联系数()t η()()()()()()()()min max ()max 0000t t t t t ρη∆+∆=∆+∆其中：①()()0t ∆为第t 个点()0X 与()ˆ0X的绝对误差； ②ρ称为分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=0.5；③对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。
ii. 定义关联度()11nt r t n η==∑，称为()()0X t 与()()ˆ0Xt 的关联度 根据上述方法算出()()ˆ0Xk 与原始序列()()0X k 的关联系数，然后计算出关联度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便满足检验标准。
3) 后验差检验计算原始序列标准差和绝对误差序列的标准差分别为:1S =,2S =计算方差比21S C S =，小误差概率()()(){}.00106745P P t S =∆-∆<，令()()()00t e t =∆-∆，.0106745S S =，则{}0t P P e S =<检验指标P 和C 与灰色预测精度检验等级标准如下表所示： XXX 表 C <0.35<0.5<0.65≥0.65四、残差模型修正若用原始经济时间序列()0X 建立的GM （1，1）模型检验不合格或精度不理想时，要对建立的GM （1，1）模型进行残差修正或提高模型的预测精度。
修正的方法是建立GM （1，1）的残差模型。
设))(),...,2(),1(()0()0()0()0(n εεεε=其中，()()()0k x k ε=-()ˆ()1x k 为)1(X 的残差序列。
若存在k 0，满足1.的符号一致；)(,)0(0k k k ε≥∀2.40≥-k n ，则称|))(||,...,)1(||,)((|)0(0)0(0)0(n k k εεε+为可建模残差尾段，仍记为))(),...,1(),(()0(0)0(0)0()0(n k k εεεε+=设))(),...,1(),(()0(0)0(0)0()0(n k k εεεε+=为可建模残差尾段，其一次累加序列))(),...,1(),(()1(0)1(0)1()1(n k k εεεε+=的GM(1,1)模型的时间响应式为0)]([0)0()1(,))(()1(ˆ0k k a be a b k k k k a ≥+-=+--εεεεεεε则残差尾段的模拟序列为))(ˆ),...,1(ˆ),(ˆ(ˆ)0(0)0(0)0()0(n k k εεεε+= 其中0)]([0)0()0(,))()(()1(ˆ0k k e a b k a k k k a ≥--=+--εεεεεε➢ 若用)0(ˆε修正)1(ˆX 则称修正后的时间响应式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-±+-<+-=+----0)]([0)0()0(0)0()1(,))(())1((,))1(()1(ˆ0k k ea b k a a b e a b x k k a b e a b x k x k k a ak ak εεεεε 为残差修正GM(1,1)模型，简称残差GM(1,1)。
其中残差修正值)]([0)0()0(0))()(()1(ˆk k a e a bk a k ----=+εεεεεε的符号应与残差尾段)0(ε的符号保持一致。
➢ 若)1()0()1()1()0())1()(1()1(ˆ)(ˆ)(ˆ----=--=k a a e abx e k x k x k x则相应的残差修正时间响应式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-±--<--=+----0)]([0)0()0(0)0()0(,))(())1()(1(,))1()(1()1(ˆ0k k ea b k a e a b x e k k e a b x e k x k k a ak a ak a εεεεε 称为累减还原式的残差修正模型。
取定k 后，按此模型，可对k>k0的模拟值进行休整，修正后的精度如下表：就只有考虑采用其它模型或对原始数据序列进行适当取舍。
再用P 和C 检验预测效果。
五、GM(1,1)模型的适用范围灰色GM(1,1)模型评价推广 ( 1) 灰色GM(1,1)模型优点灰色GM(1,1)预测模型在计算过程中主要以矩阵为主, 它与MATLAB 的结合解决了它在计算中的问题. 由MATLAB 编制的灰色预测程序简单实用, 容易操作, 预测精度较高.( 2) 灰色GM(1,1)模型的缺点该模型是指运用曲线拟合和灰色系统理论对我国人口发展进行预测的方法,因此它对历史数据有很强的依赖性, 而且GM (1,1)的模型没有考虑各个因素之间的联系. 因此, 误差偏大, 尤其是对中长期预测, 例如对中国人口总数变化情况做长期预测时, 误差偏大, 脱离实际. 下面我们来讨论GM(1,1)模型的适用范围.GM(1,1)模型的白化微分方程：(1)(1)dX aX u dt+= 其中a 为发展系数,可以证明，当GM(1,1)的发展系数||2a ≥时，GM(1,1)模型无意义。
因此，(,][,)22-∞-⋃+∞是GM(1,1)发展系数a 的禁区。
在此区间，GM(1,1)模型失去意义。
一般地，当||2a <时，GM(1,1)模型有意义。
但是，随着a 的不同取值，预测效果也不同。
通过数值分析，有如下结论：（1）当.03a -≤时，GM(1,1)的1步预测精度在98%以上，2步和5步预测精度都在97%以上，可用于中长期预测；（2）当..0305a <-≤时，GM(1,1)的1步和2步预测精度都在90%以上，10步预测精度也高于80%，可用于短期预测，中长期预测慎用； （3）当..0508a <-≤时，GM(1,1)用作短期预测应十分慎重；（4）当.081a <-≤时，GM(1,1)的1步预测精度已低于70%，应采用残差修正模型；（5）当1a ->时，不宜采用GM(1,1)模型。
如果要考虑到多因素的联系和影响, 此时我们不妨建立GM( 1, n) 模型. GM( 1, N) 模型能模拟系统发展的动态过程, 不但吸收了传统的灰色模型的建立, 而且建立了多中改进的灰色模型, 提高了预测精度.论文小结处：与传统的数理统计模型相比，该模型在…预测方面具有明显优点：① 无需典型的概率分布；② 减少时间序列的随机性；③ 小样本即可计算；④ 计算简便。
