课题研究论文：基于最小二乘法灰色模型的人口数量预测

第24卷第4期贵州大学学报(自然科学版)Vol.24No.4 2007年　7月Journal of Guizhou University(Natural Sciences)Jul.2007文章编号　1000-5269(2007)04-0345-05基于最小二乘法的G M(1,1)模型在人口预测中的应用方建卫,王文娟,楚　霹(成都理工大学信息管理学院,四川成都　610059)摘　要:作者先对问题进行分析,在明白要采取灰色系统理论来处理该问题原因的前提下,运用普通的G M(1,1)模型的知识,通过优化G M(1,1)模型(下称模型一)、新陈代谢G M(1,1)模型(下称模型二),鉴于此,采用最小二乘法对模型一和模型二预测出的两组数据,以及实际数据进行拟合,得到了关于模型一,模型二的两个系数,然后用这样的两个系数,重新组合模型一,模型二,得到了第三个模型,即基于最小二乘法的G M(1,1)模型(下称模型三),再一次的进行预测。

三个模型的预测数据进行比较,显然是模型三的误差最小,认为模型三最符合实际。

并以基于最小二乘法的G M(1,1)模型的预测数据作为最终的结果。

关键词:中国人口;灰色系统理论;G M(1,1)模型;时间响应函数;最小二乘法;人口预测中图分类号:O14114 文献标识码:A1　前言人口预测的研究是国家制定未来人口发展目标和生育政策等有关人口政策的基础,对于国民经济计划的制定和社会战略目标的决策具有重要参考价值。

一般的人口预测统计学模型,其预测精度难以保证。

所以选择一个好的人口预测模型,首先应符合人口基本理论和数学建模的要求,这是选择模型的关键,其次要保证模型数据可得一致性与可比性,在数据预测检验阶段应充分拟合原始数据。

特别是波动性较大的数据。

而本文要介绍的基于最小二乘法的G M(1,1)模型是根据1982年邓聚龙教授提出的G M (1,1)模型作的一些改进。

这些改进主要分为两类:一类是对发展系数的优化,一类是对时间响应函数的优化。

基于灰色预测模型的人口结构与数量问题研究
作者：魏春晓金姚王恒
来源：《科学与财富》2020年第36期
摘要：利用以前的新生兒人口数量，通过建立基于GM（1，1）的灰色预测模型，预测出实施“二孩政策”后2016年和2017年新生儿的数量，然后将预测得到的数据与实际新生儿数量进行对比分析。

通过各个年龄段的人口比例、男女性别比例、城乡人口比例、老龄化人口比例的变化趋势，综合分析政策实施后的短期效果。

最后得出新生儿数量在实施政策后有所增加，男女比例逐渐的降低，城乡人口比例以及老龄化人口的比例在上升的结论。

（1.华北理工大学人工智能学院河北省唐山市 063210;2.华北理工大学理学院河北省唐山市 063210;3.华北理工大学材料科学与工程学院河北省唐山市 063210）。

基于最小二乘法预测传染病的发病人数全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：基于最小二乘法预测传染病的发病人数随着传染病的传播速度不断加快，对传染病的预测和控制变得至关重要。

在传染病疫情预测和控制方面，数学建模和预测方法被广泛应用。

基于最小二乘法的预测方法是一种常用的统计学方法，通过对已有数据进行拟合，预测传染病的发病人数，可以为疫情的预测提供重要的参考信息。

本文将介绍基于最小二乘法的方法，探讨如何利用这种方法预测传染病的发病人数。

让我们了解一下最小二乘法的基本原理。

最小二乘法是一种参数估计方法，用于通过对已知数据进行拟合，找到最能描述数据分布特征的函数。

具体而言，对于一个具有n个数据点的数据集，我们可以假设数据的分布可以用一个函数进行描述，通常情况下是一个多项式函数。

我们的目标是找到一个最优的函数，使得这个函数与实际数据的残差平方和最小。

也就是说，最小二乘法寻找到最适合的拟合曲线，使得曲线与实际数据的偏差最小。

在传染病的预测中，我们可以将传染病的发病人数看作是一个随时间变化的变量。

通过收集历史数据，我们可以得到传染病发病人数随时间的变化规律，然后利用最小二乘法对这些数据进行拟合，得到一个预测模型。

接下来，我们将介绍具体的预测方法。

在拟合过程中，我们可以使用不同次数的多项式进行拟合，然后通过比较拟合效果的好坏，选择最优的多项式函数。

一般情况下，我们会选择最小二乘法计算得到的残差平方和最小的多项式函数作为预测模型。

这样，我们就得到了一个预测模型，利用这个模型，我们就可以对未来的传染病发病人数进行预测。

预测传染病发病人数的工作并不仅仅是对历史数据进行简单的拟合，还需要考虑一些其他因素的影响。

我们需要考虑传染病的传播特性、人群流动情况、防控措施的影响等因素。

这些因素对传染病发病人数的影响是复杂而多样的，如何将这些因素纳入预测模型，并对预测结果进行修正，是传染病预测工作中的重要问题。

在预测传染病发病人数时，还需要考虑模型的稳定性和可靠性。

全国大学生数学建模比赛论文人口预测模型 The manuscript was revised on the evening of 2021中国人口预测模型摘要：人口数量的变化，关系到一个国家的未来。

认识人口数量的变化规律，建立人口模型，能够较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。

本文对人口预测的数学模型进行了研究。

首先，建立人口指数模型、Logistic模型及灰度预测模型。

对我国2005年以后45年的人口增长进行了预测，根据1982年人口基本数据运用模型对1982年～2005年进行了预测，并用实际数据对预测结果进行了检验。

我们将预测区间分为2006～2030年、2030～2050年两个区间，以量化未来我国短中期与长期的人口变化。

关键词：人口数量的变化人口指数模型 Logistic模型灰度预测模型MATLAB Excel目录第一部分问题重述 (3)第二部分问题分析 (3)第三部分模型的假设 (3)第四部分定义与符号说明 (3)第五部分模型的建立与求解 (3)模型一 (3)模型二 (8)模型三 (12)第六部分对模型的评价 (14)第七部分参考文献 (15)第八部分附表 (15)一、问题重述人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

本题要求根据已知数据，运用数学建模的思想对我国人口做出分析和预测。

具体问题如下：从中国的实际情况和人口增长的特点，例如我国老龄化进程加快、出生人口性别比持续升高、乡村人口城镇化等，利用参考附录中所提供的数据，建立中国人口增长的数学模型，由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，并指出模型的优缺点。

二、 模型假设1、假设题目所给的数据真实可靠；2、假设不考虑我国人口大规模的朝国外迁移，也不考虑外国人大量涌入我国；3、假设不考虑战争、自然灾害、疾病对人口数目和性别比的影响；4、假设在本世纪中叶前，我国计划生育政策稳定。

5、假设中短期内生育率和死亡率保持相对稳定6、假设相同年龄段人口性别比基本稳定。

灰色模型对城市人口预测的探讨1前言在交通需求预测时，要求对城市人口进行较为精确的预测，一般的预测方法都需要所研究的人口有具体详细的统计资料，如按年龄和性别的人口数、出生率和死亡率等，且多采用模型如回归预测等进行静态分析预测，往往预测得到的结果不是很满意。

灰色系统理论研究的是贫信息建模，从杂乱无章的原始数据中去开拓、发现、寻找关系。

因此，为了提高城市人口预测精度，提出了运用灰色模型对人口进行预测。

灰色系统指的是部分信息已知，部分信息未知的系统。

灰色系统的理论是将一切随机过程看作是与时间有关的灰色过程，用数据生成的方法发现数据间的内在规律[1]。

实质是将无规律的原始数据进行累加生成数列，再重新建模。

生成模型得到的数据通过累加生成的逆运算―累减生成得到还原模型，再由还原模型作为预测模型，是一种动态预测模型，这样能够实现对城市人口进行较为准确地预测，为交通需求预测提供科学、可靠的依据。

2灰色模型的建立灰色预测模型即GM模型，建模时不直接采用原始数据，而是通过原始数据累加生成，得到规律性较强的序列，用函数曲线去拟合得到预测值。

本文运用GM （1，1）一阶一元灰色预测模型，具体建模过程如下：设原始数据序列有n个观察值，通过累加生成新序列利用新生成的序列拟合函数曲线，利用拟合出来的函数，求出新生序列的预测值序列。

利用累减还原，得到灰色预测值序列：其中，n为基础数据年数，m为未来预测年个数。

3 模型求解以重庆地区人口预测为例，相关统计人口数据为基础数据，对特征年和目标年的人口数据进行预测。

根据交通需求预测需要，利用行政区的划分并根据各区县的经济发达程度将重庆划分交通小区。

利用灰色GM（1，1）模型对原始序列的确定增长趋势进行预测，利用原始数据对2011-2015年人口进行预测。

以1小区为例，算法如下：根据上述数据，建立含有6个观察值原始数据序列：={ 311.88，307.10，304.45，302.91，300.37，299.41}对其进行一次累加，得到累加数列，再进行函数拟合，得到拟合值：（t）={ 312.01，618.68，923.39，1226.16，1526.96，1826.82}再进行累减，得到累减数列：={ 312.01，306.67，304.72，302.76，300.81，298.85}运用该模型对2011-2015年1小区人口进行预测得到：={296.899，294.945，292.991，91.037，89.083}4模型精度检验4.1 残差检验根据统计学知识，模型精度检验一般用到的指标有原样本均值、方差、标准差、残差及残差的均值、方差，下面对灰色预测模型进行计算结果精度检验。

灰色理论概况社会、经济、农业、工业、生态、生物等许多系统，是根据研究对象所属的领域和范围命名的，而灰色系统却是按颜色命名的。

用“黑’’表示信息未知，用“白”表示信息完全明确，用“灰"表示部分信息明确、部分信息不明确。

相应地，信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统成为灰色系统。

灰色系统理论的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知"的“小样本"、“贫信息"不确定性系统，它通过对“部分"已知信息的生产、开发实现对现实世界的确切描述和认识。

在人们的生活、经济活动或科研活动中，经常会遇到信息不完全的情况。

例如，在农业生产中，即使是播种面积、、化肥、灌溉等信息完全明确，但由于劳动力技术水平、自然环境、气候条件、市场行情等信息不明确，仍难以准确地预计出产量、产值；在证券市场上，即使最高明的系统分析人员亦难以稳操胜券，因为预测不准金融政策、利率政策、企业改革、政治风云和国际市场变化及其某些板块价格波动对其他板块之影响的确切信息。

灰色系统理论经过20年的发展其主要内容包括以灰色哲学为基础的思想体系，以灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系，以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰色模型(GM)为核心的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。

灰色系统分析除灰色关联分析外，还包括灰色聚类和灰色统计评估等方面 的内容。

灰色模型按照五步建模思想构建，通过灰色生成或序列算子的作用弱化随机行，挖机潜在的规律，经过差分方程与微分方程之间的互换，实现了利用离散的数据序列建立连续的动态微分方程。

灰色预测是基于GM 模型作出的定量预测，有(1,1)GM )模型、残差(1,1)GM 模型、新陈代谢(1,1)GM 模型、灰色Verhulst 模型、离散灰色模型等几种类型。

区域发展现代商贸工业２０２１年第８期４６㊀㊀基金项目:本文系２０１９年河南省高等教育教学改革项目基于雨课堂的代数与几何课程混合式教学模式研究与实践 (２０１９S J G L X ５０４)阶段性成果;２０２０年度信阳市哲学社会科学规划项目基于灰色预测模型的信阳人口老龄化趋势预测研究 (２０２０S H ０２１)阶段性成果;２０１９年信阳学院校级科研项目 C n 中加权解析L i ps c h i t z 空间上的复合算子 (２０１９X J L Y B ００５)阶段性成果.作者简介:李金伟(１９８２－),男,汉族,河南鲁山人,硕士,信阳学院讲师,研究方向:数学建模.基于灰色模型的信阳市老龄化人口趋势预测李金伟㊀王瑞瑞(信阳学院数学与统计学院,河南信阳４６４０００)摘㊀要:人口结构变化是关系到城市发展的核心问题.本文通过查阅２０１５－２０１９年信阳市总人口数据和问卷调查方式,结合GM (１,１)灰色预测模型给出２０２０－２０３０年信阳市总人口规模以及老龄化趋势预测,为经济社会发展提供决策依据和参考.关键词:灰色预测;老龄化;人口预测中图分类号:F ２㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀d o i :１０．１９３１１/j ．c n k i ．１６７２Ｇ３１９８．２０２１．０８．０２００㊀引言随着生育率下降和人类平均寿命延长,老龄化已经成为全球普遍现象.而中国长期施行计划生育政策,老龄化情况更加严重.而且由于人口基数大,中国老龄人口规模也是前所未有.人口的变化与经济发展密切相关,预测人口发展规律成为制定社会经济政策的重要依据.信阳地处河南省最南端,是中国南北地理㊁气候和人文的过渡地带.从地域经济来看,信阳处于武汉城市圈㊁中原经济区㊁皖江城市带的结合部与 京广 京九 两纵经济带的腹地.预测研究信阳市人口结构和发展趋势不仅为本市经济社会发展战略决策提供依据,也可以为区域经济和社会发展提供有效参考.１㊀G M (１,１)灰色预测模型灰色预测的核心是灰色模型,主要思路是对原始数据做累加生成近似指数规律,在此基础上建立白化微分方程,最后求解方程并根据结果进行预测.其优点是不需要很多的数据,一般只需要４个数据,就能解决原始数据少㊁序列的完整性和可靠性低的问题.能利用微分方程来充分挖掘系统的本质,预测精度高,运算简便且易于检验,适合用于人口预测㊁生物繁殖以及产品寿命等模型预测.灰色预测模型有GM (１,１)㊁GM (２,１)㊁D GM 和V e r h u l s t 模型,本文主要应用GM (１,１)模型对信阳市总人口以及老龄化人口发展规模进行预测.GM (１,１)模型的基本原理和计算方法如下:已知原始数据列x (０)＝{x (０)(１),x (０)(２), ,x (０)(n )},首先,为了保证建模方法的可行性,需要对原始数据列作必要的检验处理,根据已知数据计算序列的级比:λ(k )＝x (０)(k －１)x (０)(k ),k ＝２,３, ,n 如果所有的级比λ(k )都落在可容覆盖Θ＝(e－,e )内,则序列x (０)可以作为模型GM (１,１)的数据灰色预测.否则,需要对序列x (０)做必要的变换处理,使其落入可容覆盖内.一般是适当取常数c ,做平移变换.y (０)(k )＝x (０)(k )＋c ,k ＝１,２, ,n 使序列y (０)＝{y (０)(１),y (０)(２), ,y (０)(n )}的级比落入可容覆盖内.然后,对x (０)做一次累加生成序列x (１)＝{x (１)(１),x (１)(２), ,x (１)(n )}其中:x (１)(k )＝ðki ＝１x(０)(i ),k ＝１,２, ,n ．x (１)的均值生成序列z (１)＝{z (１)(２),z (１)(３), ,z (１)(n )}＝{０．５x (１)(１)＋０．５x (１)(２),０．５x (１)(２)＋０．５x (１)(３), ,０．５x (１)(n －１)＋０．５x (１)(n )}建立白化微分方程为:d x (１)(t )d t＋a x (１)(t )＝b ．记u ＝{a ,b }T ,Y ＝{x (０)(２),x (０)(３), ,x (０)(n)}T,B ＝－z (１)(２)－z (１)(３)⋮－z (１)(n)１１⋮１æèççççöø÷÷÷÷,则由最小二乘法求得使J (u )＝(Y －B u )T(Y －B u )达到最小值的u 的估计值为u ɡ＝{a ɡ,b ɡ}T ＝(B T B )－１B T Y 于是求解方程得x ɡ(１)(k ＋１)＝(x (０)(１)－b ɡaɡ)e －ak ＋b ɡaɡ,k ＝１,２, ,n 最后,根据时间响应函数(即白化方程的解)对原始数据进行预测,并根据预测结果检验残差㊁相对误差以及级比偏差等,在达到检验效果后再对研究对象的发展进行预测预报.现代商贸工业２０２１年第８期４７㊀２㊀信阳市人口总量和老龄化人口预测本文有关信阳市人口总量数据来自信阳市统计局发布的«信阳市国民经济和社会发展统计公报»(２０１５年到２０１９年).为了较准确的得到老龄化人口数据,我们对２０１５年到２０１９年信阳市家庭人口结构做了一个问卷调查,得到５３１份(也就是５３１个家庭)有效数据.根据调查结果,估算出２０１５年到２０１９年信阳市历年６０岁以上人口的数据作为老龄人口的原始数据.具体数据如表１.表１㊀２０１５年到２０１９年信阳市历年６０岁以上的人口数据作为老龄人口的原始数据序号年份问卷调查数据总人口(万)老龄人口(万)数据１数据２１２０１５２５９９３７８８６９．７７１２６．５００２２０１６２６００３７９８７５．１７１２７．５７３３２０１７２６０７３８８８８０．５３１３１．０４９４２０１８２６１４３９７８８４．６３１３４．８５２５２０１９２６１３３９９８８７．９２１３５．５８４㊀㊀注:表中数据１和数据２分别是问卷调查总人口和老龄人口数据(单位:人)根据以上数据,容易验证总人口数据序列(８６９ ７７,８７５ １７,８８０ ５３,８８４ ６３,８８７ ９２)以及老龄人口序列(１２６ ５００,１２７ ５７３,１３１ ０４９,１３４ ８５２,１３５ ５８４)的级比都落入相应的可容覆盖内,因此都可以作为模型GM (１,１)的数据进行灰色预测.根据GM (１,１)的计算方法,用M a t h e m a t i c a 软件分别求得人口总量的时间响应函数为:x ɡ(１)(k ＋１)＝(８６９．７７－９６８．４４８－０．００４７９８９８)e ０．００４７９８９８k＋９６８．４４８－０．００４７９８９８＝１８２０４２．７７e ０．００４７９８９８k－１８１１７３以及老龄人口的时间响应函数为:x ɡ(１)(k ＋１)＝(１２６．５－１２４．０３７－０．０２１１６０２)e ０．０２１１６０２k＋１２４．０３７－０．０２１１６０２＝５９８８．３３e ０．０２１１６０２k－５８６１．８３从而可以得出表２㊁表３.表２㊀信阳市人口总量模型预测检验表序号年份原始值预测值残差相对误差级比偏差１２０１５８６９．７７８６９．７７００２２０１６８７５．１７８７５．７２－０．５５０．０６３％０．００１３９３２０１７８８０．５３８７９．９３０．６０．０６８％０．００１３１４２０１８８８４．６３８８４．１７０．４６０．０５２％－０．０００１５５２０１９８８７．９２８８８．４１－０．４９０．０５５％－０．００１０９表３㊀老龄人口模型预测检验表序号年份原始值预测值残差相对误差级比偏差１２０１５１２６．５００１２６．５００００２２０１６１２７．５７３１２８．０６４－０．４９１０．３８４％－０．０１２８０３２０１７１３１．０４９１３０．８０４０．２４５０．１８７％０．００５７１４２０１８１３４．８５２１３３．６００１．２５２０．９２８％０．００７４２５２０１９１３５．５８４１３６．４５８－０．８７４０．６４５％－０．０１５８７㊀㊀可以看出,该模型的精度较高,可以进行预测,以下老龄人口占比数据中,２０１５－２０１９年按原始数据计算;从２０２０－２０３０年间按预测数据计算,具体数据如表４.表４㊀老龄人口占比序号年份总人口原始值老龄人口原始值总人口预测值老龄人口预测值老龄人口占比％１２０１５８６９．７７１２６．５００８６９．７７１２６．５００１４．５４４２２０１６８７５．１７１２７．５７３８７５．７２１２８．０６４１４．５７７３２０１７８８０．５３１３１．０４９８７９．９３１３０．８０４１４．８８３４２０１８８８４．６３１３４．８５２８８４．１７１３３．６００１５．２５４５２０１９８８７．９２１３５．５８４８８８．４１１３６．４５８１５．２７０６２０２０８９２．７０１３９．３７６１５．６１３７２０２１８９６．９８１４２．３５６１５．８７１８２０２２９０１．３０１４５．４０１１６．１３２９２０２３９０５．６４１４８．５１０１６．３９８１０２０２４９０９．９９１５１．６８６１６．６６９１１２０２５９１４．３７１５４．９３０１６．９４４１２２０２６９１８．８２１５８．２４４１７．２２３１３２０２７９２３．１９１６１．６２８１７．５０８１４２０２８９２７．６３１６５．０８４１７．７９６１５２０２９９３２．０９１６８．６１５１８．０９０１６２０３０９３６．５８１７２．２２１１８．３８８㊀㊀从上述数据可以看出,２０１５年以前信阳市早已进入老龄化社会.２０１５年之后总人口年净增长从２０１６年的５．４万缓慢下降到２０３０年的４．５万人左右,到２０４５年人口总规模将突破一千万,达到１００１．６６万.而老龄人口规模年净增长从２０１６年的１万快速增加到２０３０年的３．６万.到２０４５年,老龄人口规模达到２３１．６０万,占比达到２３．１２％.但是由于人口基数较大,老龄人口占比整体呈缓慢增长趋势.参考文献[１]王尚．我国人口老龄化的特点㊁挑战及应对[N ]．中国人口报,２０２０Ｇ０７Ｇ０９(００３)．[２]任泽平,熊柴,周哲,等．中国人口老龄化的特征与趋势[N ]．中国老年报,２０２０Ｇ０９Ｇ０２(００４)．[３]张欣鑫．信阳市人口变化与经济发展特征的关系[J ]．住宅与房地产．２０１９(１９):８＋２４．[４]刘秀珍．信阳市人口发展态势初探[J ]．市场研究,２０１８,(０１):４９Ｇ５０．[５]司守奎,孙玺菁．数学建模算法与应用[M ]．北京:国防工业出版社,２０１３:３７２Ｇ３７５．[６]张振华．基于灰色GM (１,１)模型的城市人口老龄化预测[J ]．统计与决策,２０１５,(１９):７６Ｇ７９．[７]信阳市统计局．２０１５年信阳市国民经济和社会发展统计公报[E B /O L ]h t t p ://w w w．x y t j j ．g o v ．c n /w w w /t j z l /t j gb /２０１８/０３２９/２５６５６．h t m l ,２０１８Ｇ０３Ｇ２９．[８]信阳市统计局．２０１６年信阳市国民经济和社会发展统计公报[E B /O L ]h t t p ://w w w．x y t j j ．g o v ．c n /w w w /t j z l /t j gb /２０１８/０３２９/２５６５７．h t m l ,２０１８Ｇ０３Ｇ２９．[９]信阳市统计局．２０１７年信阳市国民经济和社会发展统计公报[E B /O L ]h t t p ://w w w．x y t j j ．g o v ．c n /w w w /t j z l /t j g b /２０１８/０３３０/２５６５８．h t m l ,２０１８Ｇ０３Ｇ２９．[１０]信阳市统计局．２０１８年信阳市国民经济和社会发展统计公报[E B /O L ]h t t p ://w w w．x y t j j ．g o v ．c n /w w w /t j z l /t j g b /２０１９/０４３０/２５９０４．h t m l ,２０１９Ｇ０４Ｇ３０．[１１]信阳市统计局．２０１９年信阳市国民经济和社会发展统计公报[E B /O L ]h t t p ://w w w．x y t j j ．g o v ．c n /w w w /t j z l /t j gb /２０２０/０４２９/２６１０７．h t m l ,２０２０Ｇ０４Ｇ２９．。