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第九讲整数的分拆例 1 小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见以下图所示．他们每人打了两发子弹．小兵共打中 6 环，小军共打中 5 环．又知没有哪两发子弹打到同一环带内，而且百步穿杨．你知道他俩打中的都是哪几环吗 ?解：已知小兵两发子弹打中 6 环，要求每次打中的环数，可将 6 分拆 6＝ 1+5＝ 2+4 ；同理，要求小军每次打中的环数，可将 5 分拆 5＝ l+l ＝ 2+3．由题意：没有哪两发子弹打到同一环带内而且百步穿杨，只可能是：小兵打中的是l 环和 5 环，小军打中的是 2 环和 3 环．例 2某个外星人到达地球上，随身带有本星球上的硬币 1 分、 2 分、 4 分、 8 分各一枚，如果他想买7 分钱的一件商品，他应如何付款?买 9 分、 10 分、 13 分、 14 分和 15 分的商品呢?他又将如何付款?1、 2、 4、 8 进行分拆．解：这道题目的实质是要求把7、 9、 10、 13、 14、 15 各数按7＝ 1+2+49＝ 1+810＝ 2+813＝ 1+4+814＝2+4+815＝ 1+2+4+8∴外星人可按以上方式付款．例 3有人认为8 是个吉利数字，他们获得的东西的数目都能要够用“8”表示才好．现有200块糖要散发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案．解：能够这样想：因为200 的个位数是 0，又知只有 5 个 8相加才能使和的个位数字为0，这就是说，能够把 200 分红 5 个数，每个数的个位数字都应是8．这样由 8× 5＝ 40 及 200－ 40＝ 160，可知再由两个8 作十位数字可得80× 2＝ 160 即可．最后获得下式：88+88+8+8+8 ＝ 200 ．例 4 试将 100 之内的完整平方数分拆成从 1 开始的一串奇数之和．2)特例1－1(解：1＝l× l＝2==1+3 24＝2× 2＝21+3+5＝3×3==3＝921+3+5+7＝4＝ 4×4＝16．2＝51+3+5+7+925＝5× 5＝2＝ 6=61+3+5+7+9+1136=6× 2 ＝71+3+5+7+9+11+13 49＝ 7×7＝2＝8×8＝864＝ 1+3+5+7+9+11+13+152 ＝9×9＝981＝ 1+3+5+7+9+11+13+15+172＝ 10× 10＝ 101001+3+5+7+9+11+13+15+17+19 ．＝察看上述各式，可得出以下猜想：这个平方数就等于奇数个数的l 开始的若干连续奇数之和，一个完整平方数能够写成从 ) ．自乘积 ( 平方，两个完整平方数分拆，看其能否切合上述猜14412111 × 11＝，和 12×12 ＝查验：把想．121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+2l144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23两个完整平方数是正确的．121和 144结论：上述猜想对? 有多少种不一样的写法将1l写成两个不一样的自然数之和，从l ～9九个数中选用，例 5的九个自然数从小到大排成一列：～91解：将．， 96， 7， 8 1，2，3，4，5， 10相加之和为不切合要求．先看最小的 1 和最大的 9剖析2+9 ． 11 切合要求，得 11＝但用次大的 2 和最大的 9 相加，和为5+6 ．， 11＝ 11 ＝ 3+8， 1l＝4+7逐一做下去，可得种不一样的写法．可见共有4分拆成三个不一样的自然数相加之和，共有多少种不一样的分拆方式，请把它126将例们一一列出．分拆成三个不一样的自然数之和，三个数中最小的数应为12解：能够做以下考虑：若将．＝ 1+2+92，那么第三个数就应是 9 得： 121，其次是 2 上， 1 下边进行变化，如从9 中取加到1+3+8．又得 12＝持续按近似方法变化，可得以下各式：， 1+4+7＝ 2+3+7＝12 ，＝ 2+4+61+5+612＝．＝ 3+4+512、共有 7 种不一样的分拆方式．中选用，问～ 9l例 7 将 21 分拆成四个不一样的自然数相加之和，但四个自然数只好从共有多少种不同的分拆方式，请你一一列出．，因此接着只好(9+8)=4 － 21，算一算8 考虑选用，其次选9 解：也能够先从最大的数选 3 和 1．这样就能够得出第一个分拆式：21＝ 9+8+3+1，以这个分拆式为基础按次序进行调整，就能够得出所有的不一样分拆方式：以 9开头的分拆方式有 6 种以 8开头的分拆方式有 4 种21 ＝ 7+6+5+3}以 7 开头的分拆方式有 1 种∴共有 11 种不一样的分拆方式．例 8从 1～ 12 这十二个自然数中选用，把26 分拆成四个不一样的自然数之和．解：以 12 开头的分拆方式共10 种种 10 开头的分拆方式共ll以．以 10 开头的分拆方式共8 种以 9 开头的分拆方式共 4 种26＝ 8+7+6+5} 以 8开头的分拆方式共 1 种不一样的分拆方式总数为：10+10+8+4+1＝ 33 种．总结：由例 4 显然看出，欲求出所有的不一样的分拆方式，一定使分拆过程按必定的次序进行．习题九1 ．把 15 分拆成不大于9 的两个整数之和，有多少种不一样的分拆方式，请一一列出．2．将 15 分拆成不大于 9 的三个不一样的自然数之和有多少种不一样分拆方式，请一一列出．3．将 15 分拆成三个不一样的自然数相加之和，共有多少种不一样的分拆方式，请一一列出．4 ．将 15 分拆成不大于9 的四个不一样的自然数之和，有多少种不一样的分拆方式，请一一列出．5．将 15 分拆成四个不一样的自然数之和，有多少种不一样的分拆方式，请一一列出．6 ．把 15 个玻璃球分红数目不一样的 4 堆，共有多少种不一样的分法 ?( 本题是美国小学数学奥林匹克试题 ) ．7．七只箱子分别放有 1 个、 2 个、 4 个、 8 个、 16 个、 32 个、 64 个苹果．此刻要从这七只箱子里拿出 87个苹果，但每只箱子内的苹果要么所有取走，要么不取，你看怎么取法?8．把 100个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头的数目都带有 6 字，想想看，应该如何分 ?9．把 1000 个鸡蛋放到五只筐子里，每只筐子里的鸡蛋数都由数字8 构成，请你想想该怎样分 ?10．美国硬币有 1 分、 5 分、 10 分和 25 分四种．现有 10枚硬币价值是 1 元钱，此中有3枚 25分的硬币．问余下的硬币有哪几种，每种各有多少枚 ?( 本题是美国小学数学奥林匹克试题) ．11． (1 ， 1， 8) 是一个和为 10 的三元自然数组．假如不考虑数字摆列的次序，即把(1 ，1，8) 与 (1 ， 8， 1) 及 (8 ， 1， 1) 当作是同样的三元自然组．那么和为IO 的自然数组共有多少个?习题九题答种不一样的分拆方式：2．解：共有1．15==9+615＝ 8+72．解：共 8 种．15＝ 9+5+1 15＝7+6+2＝ 9+4+2＝7+5+315＝ 8+6+1 15 ＝ 6+5+4＝8+5+2＝8+4+33．解：共 12 种．15＝ 12+2+115＝ 8+6+l15＝ ll+3+l ＝8+5+215＝ 10+4+l ＝8+4+3＝ 10+3+215＝7+6+215＝ 9+5+1＝7+5+3＝9+4+2 15 ＝ 6+5+4 4．解：共 6 种．15＝ 9+3+2+115＝ 8+4+2+115＝ 7+5+2+l＝7+4+3+l15＝ 6+5+3+1＝6+4+3+25．解：同第 4 题答案．6．解：同第 4 题答案．7．解：可这样想：总数要 87 个，最初取数最多的一箱64 个苹果，这样还差再取则不可以取装有32 个苹果的那箱，只好取装有16 个的那箱，这样还差取装有 1 个、 2 个、 4 个的三箱苹果，正好：87 ＝ 64+16+4+2+1．．87－ 64＝ 23 个苹果；23－16＝ 7 个苹果；再8 ．解：从已有经验中可知6× 6＝ 36 ，这样就能够把每个盒里装 6 个馒头，共装有一个盒装100 － 36＝ 64 个馒头． 64 个这个数，恰好含有数字6，知足题目要求．6 个盒，还即得 100 ＝ 64+6+6+6+6+6+6．9．解：仿例 7 解法，得以下分拆式：1000 ＝ 888+88+8+8+8．10．解：因为有 3 枚 25 分的硬币，它们的价值是：25×3＝75( 分) ．因此其他的 7枚硬币的价值是：100－ 75＝25(分 ) ．将 25 分拆成7 个数之和， ( 注意没有各数不一样的限制 )25＝ 1+1+1+1+1+10+10．因此这 7枚硬币是 5枚1分，2枚 10分．11．解：共 8个．它们是(1 ，1，8) ，(1 ，2，7) ， (1 ，3，6) ， (1 ，4，5),(2，2，6) ，(2 ，3，5) ，(2 ，4，4) ，(3 ，3，4) ．。
奥数知识点：整数的拆分1.某运输部门规定：办理托运，当一件物品的重量不超过16千克时，需付基础费30元和保险费3元；为限制过重物品的托运，当一件物品的重量超过16千克时，除了付基础费和保险费外，超过部分每千克还需付3元超重费．在托运的50千克物品可拆分（按整数千克拆分）的情况下，使托运费用最省的拆分方案是_________.解：①整体托运50千克物品，所花运费：30+3+（50-16）×3=135（元）②把托运的50千克物品可拆分成两部分，16千克与34千克，则所花运费：16千克的运费：30+3=33（元）34千克所花运费：33+（34-16）×3=87（元）总共花运费为：33+87=120（元）③把托运的50千克物品可拆分成三部分，16千克，16千克与18千克，则所花运费：16千克的运费：30+3=33（元）18千克所花运费：33+（18-16）×3=39（元）总共花运费为：33+33+39=105（元）④把托运的50千克物品可拆分成四部分，16千克，16千克，16千克与2千克，则所花运费：16千克的运费：30+3=33（元）总共花运费为：33×4=132（元）综上：把托运的50千克物品可拆分成三部分，16千克，16千克与18千克时所花运费最少．2. 把10拆分成三个数的和（0除外）有_____种拆分方法．解：因为10=1+2+7=1+3+6=1+4+5，所以把10拆分成三个数的和（0除外）有3种拆分方法，故答案为：3．3. 将100拆分成若干个不同的非零自然数相加的形式，最多能拆分成多少个数之和？解：因为1+2+3+…+13=（1+13）×13÷2=91，和不能超过100，因此最多只能拆分为13个数．答：最多能拆分成13个数之和．4.正确书写离子方程式的关键是将有关物质拆分为离子，在水溶液中能拆分的O （aq）反应物质有______（用文字描述）；其余一概不拆分．试写出Na与H2的离子方程式_______．解：书写离子方程式时，在水溶液中能拆分的是易溶于水、易电离的物质，金属钠和水反应生成氢氧化钠和氢气，即2Na+2H2O═2Na++2OH-+H2↑，故答案为：易溶于水，易电离的；2Na+2H2O═2Na++2OH-+H2↑．5.若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则记[A1，A2]是A的一组双子集拆分．规定：[A1，A 2]和[A2，A1]是A的同一组双子集拆分，已知集合A={1，2}，那么A的不同双子集拆分共有（）A．8组B．7组C．5组D．4组解：根据题意，集合A={1，2}，其子集是∅，{1}，{2}，{1，2}，设集合A1，A2满足A1∪A2=A，若A1=∅，则A2={1，2}，有1种情况，若A1={1}，则A2={1，2}或{2}，有2种情况，若A1={2}，则A2={1，2}或{1}，有2种情况，有一种情况是重复的，若A1={1，2}，则A2={1}或{2}或∅，有3种情况，但这三种情况都是重复的，共有1+1+2=4组；故选D．6.若集合A1、A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种拆分，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种拆分，则集合A={1，2}的不同拆分的种数是_____．解：∵A1∪A2=A，对A1分以下几种情况讨论：①若A1=∅，必有A2={1，2}，共1种拆分；②若A1={1}，则A2={2}或{1，2}，共2种拆分；同理A1={2}时，有2种拆分；③若A1={1，2}，则A2=∅、{1}、{2}、{1，2}，共4种拆分；∴共有1+2+2+4=9种不同的拆分．故答案为：9．7.若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则记[A1，A2]是A的一组双子集拆分．规定：[A1，A 2]和[A2，A1]是A的同一组双子集拆分，已知集合A={1，2，3}，那么A的不同双子集拆分共有（）A．15组B．14组C．13组D．12组解：∵A={1，2，3}，根据规定知A的不同双子集拆分为：φ与A={1，2，3}一组，{1}分别与{1，2，3}，与{2，3}，共两组，同理{2}分别与{1，2，3}，与{1，3}两组，{3}分别与{1，2，3}，与{1，2}，共两组；{1，2}分别与{1，2，3}，与{2，3}，与{1，3}，与{3}，共四组，同理与{2，3}是一组双子集有四组，和{1，3}是一组双子集共四组，{1，2，3}与{1，2，3}一组；但有6组重合的，所以共有20-6=14组，∴A的不同双子集拆分共有14组，故选B．8. 有一类七位数，中间断开可以分成三位数和四位数，但无论拆分成前三位、后四位，还是前四位、后三位，每次拆分的两个数的和总是相等的．这类七位数中最小的是多少？解：设这个七位数是abcdefg，则根据题意得到abc+defg=abcd+efg，也就是100a+10b+c+1000d+100e+10f+g=1000a+100b+10c+d+100e+10f+g，因此得到100a+10b+c+1000d=1000a+100b+10c+d；a，b，c，d，e，f，g均是小于10的自然数，所以可以得到1000d=1000a，100a=100b，10b=10c，c=d，因此得到a=b=c=d；因此这类七位数的特点是前四位上的数字一样，与后四位数上的数字没有关系．（1111+111=111+11111）所以最小的是1111111．答：这类七位数中最小的是1111111．9. 将一个不能被3整除的自然数，拆分成若干个自然数的和．那么，在这若干个自然数中不能被3整除的数至少有_____个．解：不能被3整除的数至少有1个，否则每个数都能被3整除，其和必为3的倍数，与已知产生矛盾．故答案为：1．10. 整数除以整数，商一定是整数．_______．解：整数除以整数，商不一定是整数，如：2÷4=0.5；6÷9=23；商不是整数；故答案为：错误．。
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二年级奥数题及答案：整数拆分
编者小语：期末考试结束了，同学们可以小小的休息一下，放松的玩一玩了，
但是也不可以把学习忘记哦，虽然现在休息了，但是每天坚持做几道试题，对
自己的学习还是很有好处的，下面我们开始今天的学习吧!
在图2-24中，三个圆圈两两相交形成七块小区域，分别填上1～7七个自然数，在一些小区域中，自然数3、5、7三个数已填好，请你把其余的数填到空着的
小区域中，要求每个圆圈中四个数的和都是15。
【答案】15=1+2+5+7，15=1+3+4+7，15=1+3+5+6，15=2+3+4+6
其中1和3用的次数最多，图中最中间的部分被三个圆包围，所以1和3应该
填在里面。
但题目总3已填好，所以只能填1。
1填好后其他的也就好确定了。
答案见下图。
【导语】海阔凭你跃，天⾼任你飞。
愿你信⼼满满，尽展聪明才智;妙笔⽣花，谱下锦绣第⼏篇。
学习的敌⼈是⾃⼰的知⾜，要使⾃⼰学⼀点东西，必需从不⾃满开始。
以下是⽆忧考为⼤家整理的《⼆年级整数分拆练习题及答案【三篇】》供您查阅。
【第⼀篇：分拆玻璃球】
问：把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？(此题是美国⼩学数学奥林匹克试题).
解：共6种。
15=9+3+2+1
15=8+4+2+1
15=7+5+2+1
=7+4+3+1
15=6+5+3+1
=6+4+3+2
【第⼆篇：四数分拆15】
问：将15分拆成不⼤于9的四个不同的⾃然数之和，有多少种不同的分拆⽅式，请⼀⼀列出。
解：共6种.
15=9+3+2+1
15=8+4+2+1
15=7+5+2+1
=7+4+3+1
15=6+5+3+1
=6+4+3+2
【第三篇：分拆15】
问：将15分拆成三个不同的⾃然数相加之和，共有多少种不同的分拆⽅式，请⼀⼀列出.。
解：共12种。
二年级奥数题-整数的拆分1.把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.2.将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出.3.将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请一一列出.4.将15分拆成不大于9的四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.5.将15分拆成四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.6.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？（此题是美国小学数学奥林匹克试题）.7.七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果.现在要从这七只箱子里取出87个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法？8.把100个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头的数目都带有6字，想想看，应该怎样分？参考答案1.解：共有2种不同的分拆方式：15=9+6；15=8+72.解：共8种.3.解：共12种.4.解：共6种：15=9+3+2+1；15=8+4+2+1；15=7+5+2+1=7+4+3+115=6+5+3+1=6+4+3+25.解：同第4题答案.6.解：同第4题答案.7.解：可这样想：总数要87个，最先取数最多的一箱64个苹果，这样还差87-64=23个苹果；再取则不能取装有32个苹果的那箱，只能取装有16个的那箱，这样还差23-16=7个苹果；再取装有1个、2个、4个的三箱苹果，正好：87=64+16+4+2+1.8.解：从已有经验中可知6×6=36，这样就可以把每个盒里装6个馒头，共装6个盒，还有一个盒装100-36=64个馒头.64个这个数，刚好含有数字6，满足题目要求.即得100=64+6+6+6+6+6+6.。
1.7数的拆分1.7.1整数的拆分 整数的拆分，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？ 分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同支付方法？ 分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有 23=15+（2+2+2+2）， 23=15+（2+2+2+1+1）， 23=15+（2+2+1+1+1+1）， 共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有 23=20+（2+1）， 23=20+（1+1+1）， 共2种支付方法。
总共有5种不同的支付方法。
例3 把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？解：37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23 =2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17，共10种不同拆法，其中3×5×29=435最小。
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二年级奥数题及答案之整数拆分
在图2-24中，三个圆圈两两相交形成七块小区域，分别填上1～7七个自然数，在一些小区域中，自然数3、5、7三个数已填好，请你把其余的数填到空着的小区域中，要求每个圆圈中四个数的和都是15。
【答案】15=1+2+5+7，15=1+3+4+7，15=1+3+5+6，15=2+3+4+6
其中1和3用的次数最多，图中最中间的部分被三个圆包围，所以1和3应该填在里面。
但题目总3已填好，所以只能填1。
1填好后其他的也就好确定了。
答案见下图。
