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含绝对值的不等式(精)

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含有绝对值的不等式

含有绝对值的不等式
新知运用
例1解不等式3| x |-1≥0,并在数轴上表示它的解集。
强调要将已知不等式化成| x |≥a的形式）
教学环节
教学内容
双边活动
巩固新知
(1) 2│x│≥8
(2）∣x∣-1<0
师生共同计算
新知运用
例2解不等式2| x +1| <3,并在数轴上表示它的解集
。
教师板演
强调“变量替换
巩固提高
（1）│2x-3│>1
课题
含有绝对值的不等式
课型
新授课
教法
讲解启发式讲练结合
教学目标
（1）理解绝对值的定义以及几何意义
（2）掌握含有绝对值不等式的等价形式
不等式∣x∣<a (a>0)等价于-a<x<a
不等式∣x∣>a (a>0)等价于x>a或x<-a
教学重点
绝对值不等式的解法
教学难点
“变量替换”思想的理解与运用
教学环节
教学内容
双边活动
复习引入
│x│= x (x>0)
0 (x=0)
-x (x<0)
举例│2│＝2，│-2│＝2，│0│=0。
对任意实数x,都有│x│≥0
教师提问
学生回答
探究新知
问题1.∣x∣=2的几何意义是什么？
问题2.不等式| x | < 2的几何意义是什么？
问题3.不等式| x | > 2的几何意义是什么？(见课件)来自板书课题例1练习
例2练习
含有绝对值的不等式
綦晓艳
等式∣x∣=2的解集是{-2，2 }
不等式∣x∣<2的解集是{x∣-2<x<2}

含绝对值的不等式

含绝对值的不等式

由原不等式得2x+5<-7 或2x+5>7,整理
x<-6或x>1，
得
所以,原不等式的解集为(-ꝏ,-6)U(1,+ꝏ)
书上P37 书上P38
练习2.4.2 练习2.4
含有绝对值得不等式三种类型
1.|2x-3|≥1
解2x-3≥1或2x-3≤-1 x≥2或≤1 解集 [2,+ꝏ]U[ꝏ,1]
十 二 月
含绝对值的不等式
知识回顾
1 不等式的性质
2 利用不等式的性质解不等式 3 解集在数轴上 4 解集的含义
不等式的基本性质
性质1 性质2 性质3 如果a>b，且b>c，那么a>c 如果a>b，那么a+c>b+c 如果a>b，c>0，那么ac>bc 如果a>b，c<0，那么ac<bc 只有不等式两边同时乘以（或除以）同一个负 数,不等号的方向才发生改变
2.|2x-3|≥|x-3|
解; (2x-3）-(x-3) ≥0 x(3x-6)≥0 x≥2或x≤0 解集 [2,+ꝏ）U（-ꝏ,0]
2 2
2
零点法
当2x-3=0
3 x= 2 ① x< 3 2
x-3=0 x=3 ② 3 ≤x≤3
2
③x≥3
解集
3.|2x-3|+|x-3|≥9
作 业
7
谢谢倾听
数轴上表示实数x的点到原点的距 离。
将方程|x|=2的解表示在数轴上;
将不等式|x|<2的解表示在数轴上；
将不等式 |x| >2的解表示在数轴上；
解下列不等式，画在数轴上 （1）3|x|-1>0 （2）2|x|≤6 （4）|x|<2.6 （5）|x|-1>0 (6)2|x|-5≤-3 (7)|x|<7 3 2 (9)1+ 2 |x|<2|x|- 3 （3）2|x|≥8 (8)2|x|+1≤7

含绝对值的不等式

含绝对值的不等式

含绝对值的不等式
当 x < 1时， 1–x+2–x>x+3 x<0 所以x < 0, 综上得x > 6或者x < 0。




复习导入

二、不等式 1、用不等号（> ,< ,>= ,<=）连接的式子叫 做不等式 2、不等式的性质： ①a>b b<a（对称性）； ②a>b,b>c a>c（传递性）； ③a>b a+c>b+c（数加） ④不等式的两边同时乘以或者除以一个正数， 不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以 或者除以一个负数，不等号的方向改变。
含绝对值的不等式
一、解绝对值不等式的依据： ①|x|<a(a>0) x2<a2 -a<x<a； ②|x|>a(a>0) x2>a2 x>a或x<-a。

二、解绝对值不等式的方法：①绝对值பைடு நூலகம் 等式的依据；②平方法；③零点分段讨论 法。
含绝对值的不等式
题型一、用绝对值不等式的依据解不等式 例1:解不等式|2x - 3| < 1 解：根据绝对值不等式的依据 -1 < 2x – 3 < 1 2 < 2x < 4 1<x<2

含绝对值的不等式
题型二、用平方法解不等式 例2：|x – 2| < |x + 1| 解：由上式 (x – 2)2 < (x + 1) 2 x2 - 4x + 4 < x2 + 2x +1 6x > 3 x > 0.5

含绝对值的不等式 公开课精品课件

含绝对值的不等式 公开课精品课件

，
作出函数 y＝|2x＋1|－|x－4|的图象，如图所示，
它与直线
5 y＝ 2 的交点为(－ 7,2)和 ， 2. 3
所以 |2x＋ 1|－ |x－ 4|>2 的解集为(－∞，
5 － 7)∪ ，＋∞ . 3
(2)由函数 y＝ |2x＋ 1|－ |x－ 4|的图象可知， 1 9 当 x＝－ 时， y＝ |2x＋ 1|－ |x－ 4|取得最小值－ . 2 2
x＋1 3．(2009· 全国Ⅰ)不等式 x－1<1
的解集为( D ) B．{x|0<x<1} D．{x|x<0}
A．{x|0<x<1}∪{x|x>1} C．{x|－1<x<0}
解析
x＋1 2 2 ∵ <1 ， ∴ | x ＋ 1|<| x － 1| ， ∴ x ＋ 2 x ＋ 1< x x－1
(3)方法一
分别求|x－1|，|x＋2|的零点，即 1，－2.
由－2,1 把数轴分成三部分：x<－2，－2≤x≤1，x>1. 当 x<－2 时原不等式即 1－x－2－x<5， 解得－3<x<－2； 当－2≤x≤1 时，原不等式即 1－x＋2＋x<5， 因为 3<5 恒成立，则－2≤x≤1； 当 x>1 时，原不等式即 x－1＋2＋x<5， 解得 1<x<2. 综上，原不等式的解集为{x|－3<x<2}．
§6.5 含绝对值的不等式 基础知识
要点梳理
1．两数和与差的绝对值不等式的性质 定理：|a|－|b|≤|a± b|≤|a|＋|b| 推论：|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|. 2．含绝对值不等式的解法 化去绝对值符号， 转化为不含绝对值的不等式． 解 法如下：

含绝对值的不等式

含绝对值的不等式

含绝对值的不等式一. 教学内容： 含绝对值的不等式二. 重点、难点： 1. 绝对值的性质（），·1||||||||||a a ab a b =-=aba b a a a a a a ===-≤≤||||||||||||，，222||a a a a a =≥-<⎧⎨⎩00（）20||()x a a a x a <>⇔-<<如：或||x a x x a x x a <⇔≥<⎧⎨⎩<-<⎧⎨⎩00 ⇔≤<-<<⇔-<<00x a a x a x a 或（）或30||()x a a x a x a >>⇔<-> 2.||||||||||定理：a b a b a b -≤+≤+ 31123123.||||||||推论：a a a a a a ++≤++一般地：……a a a a a a a n n12312++++≤+++42.||||||||||推论：a b a b a b -≤-≤+【典型例题】例1. 设，，都是不等于的实数，求证：a b c a b b c c d d a 04+++≥证明：（法一）abb ca b b c a c +=+≥||||||||||||2同理可得：c d d ac a +≥2||||则相加得：a bb c c dd a +++≥+22a cc a ≥=2224a cc a·（法二）abb cc d d a +++≥==44444a b b c c d d a a bb cc dd a······例2. 已知h ＞0，设命题甲为：两个实数a 、b 满足｜a －b ｜＜2h ，命题乙为：两个实数a 、b 满足｜a －1｜＜h 且｜b －1｜＜h ，那么（ ） A. 甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 B. 甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 C. 甲是乙的充要条件D. 甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件（1990全国高考题·理科）解法1：()()由a b a b a b h h h-=---≤-+-<+=11112即乙甲⇒但由甲乙（如，，时）/⇒===a b h 1091 故选B解法2：由，得a h h a h -<-<-<11同理，得-<-<h b h 1 相加得：-<-<22h a b h 即a b h -<2故甲是乙的必要条件，下同解法1。

含绝对值的不等式解法

含绝对值的不等式解法

含绝对值的不等式解法
一、定义
绝对值不等式是一种广义不等式，它由一个带有绝对值符号的线性表达式组成，其中
左右两边都有一个绝对值函数，比较两边绝对值之间的大小，可以把它归类到不等式中。

绝对值不等式可以简化计算结果，使计算更简单、更清晰，是一个非常有用的工具。

二、解法
正解法是一种解决含绝对值不等式的最常用的方法，它的解法可以分为以下几步：
A、将整个不等式中的绝对值符号变成两个端口，并把它们的表示值记录下来，即
|x|=a。

B、将绝对值不等式变形，对其中的变量进行简化处理，例如：x+2～x-2，可以简写成：x～-2。

C、把原绝对值不等式分成两个不等式，一个为x>-2，另一个为x<2，将这两个不等
式分别求解，比较两个解集，得出整个问题的解集。

2、交叉解法
三、小结
从前面的介绍，我们可以知道，含绝对值的不等式的解法有两种：正解法和交叉解法，它们都是一种比较常用的方法。

这两种方法都是非常有效的，但是正解法更加直接，它可
以把原先复杂的绝对值不等式简化，使问题变得更清晰可控。

(完整版)含绝对值不等式公开课教案

含绝对值的不等式教课目的1.认知目标（1）掌握 |x|<a 与 |x|>a(a>0 ）型的绝对值不等式的解法；（2）理解掌握绝对值的意义和利用数轴表示含绝对值的不等式的解集2.能力目标（1）经过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培育学生数形联合的能力；（2）经过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培育学生化归的思想和转变的能力；（3）采纳剖析与综合的方法，培育学生逻辑思想能力；（4）经过学生练习和老师点拨，培育学生的运算能力3.感情目标培育学生的学习兴趣和正直的学习态度，让学生理解学习数学的重要性4.德育教育我们为何而念书教课要点： |x|<a与|x|>a(a>0）型的不等式的解法；教课难点：利用绝对值的意义剖析、解决问题．教课过程设计教师活动学生活动一、导入新课口答【发问】正数的绝对值什么？负数的 a (a>0）绝对值是什么？零的绝对值是什|a|= 0 (a=0)么？举例说明？-a (a<0)二、新课【导入】 2 的绝对值等于几？－ 2 的【稳固旧知识】绝对值等于几？绝对值等于2的数有哪些？在数轴上表示出来． 1. 数轴的含义和几何意义设计企图绝对值的观点是解|x|>a与|x|<a （a>0）型绝对值不等式的基础，为解这类种类的绝对值不等式做好铺垫．依据绝对值的意义自然引出绝对值方程 |x|=a （ a>0）的解法．学生口答【叙述】求绝对值等于 2 的数能够用方程 |x|=2来表示，这样的方程叫做概括：数轴是一条规定了绝对值方程．明显，它有两个解一个原点、方向和单位长度的直是 2，另一个是－2．线。

原点、方向和单位长度称为数轴的三因素。

【绝对值的意义】在数轴上，表示一个数 a 的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.【发问】怎样解绝对值方程．【设问】由浅入深，顺序渐进，在|x|=a （ a>0）型绝对值方程的基础上引出 |x|<a(a>0) 型绝对值方程的解法．1解绝对值不等式|x|<2，并用【笔答并点拨】针对解 |x|>a(a>0)绝对值不数轴表示它的解集。

含有绝对值的不等式(教案)

含有绝对值的不等式
【教学目标】
1、明确｜ax+b｜>c或｜ax+b｜<c(a≠0,c>0)的解法．
2、通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合、观察的能力；
3、培养学生变量替换、数形结合、转化等数学思想方法．
【重点】
（2）利用变量替换解不等式｜ax+b｜>c和｜ax+b｜<c(c>0)．
先化不等式组ax＋b＞c或ax＋b＜－c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．
练习2解下列不等式
（1）|x＋5|≤8；（2）|5x－3|＞2．
逐步帮助学生推出解含绝对值不等式的方法．
通过启发学生，尽量让学生自己归纳出解法，锻炼学生总结概括能力并加深学生对该知识点的理解．
通过练习，使学生进学生畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．
梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．
作
业
必做题：P50，A组第2题，
选做题：B组第1题．
通过这两道例题的分析，使学生能够熟悉并总结出解含绝对值不等式的方法步骤．
通过启发学生，尽量让学生结合两例题自己归纳出解法，锻炼学生的总结概括能力并加深学生对该知识点的理解．
使学生进一步掌握含绝对值不等式的解法．
小
结
(1)解含绝对值的不等式关键是转化为不含绝对值符号的不等式；
(2)去绝对值符号时一定要注意不等式的等价性，即去掉绝对值符号后的不等式（组）与原不等式是等价的．
【难点】
利用变量替换解不等式｜ax+b｜>c和｜ax+b｜<c(c>0)．
【教学方法】本节课主要采用数形结合法与讲练结合法．

含绝对值的不等式教案


(2) | x | m x m或x m
例 1.解下列不等式，并在数轴上表示。
(1) | x | 2
(2) | x | 2
例 2.解下列不等式，并在数轴上表示解集。
(1) | 2 x 3 | 1
(2) | 2 x 3 | 1
Байду номын сангаас
例 3. 解下列不等式 1 | x 2 | 2 【学生练习】 1.解下列不等式：
x m或x m （ m 0 ） ．
【教学方法】探究式问题教学法。此法就是把学习问题与学生的学习活动相结合，教师引导 学生发现问题、分析问题、解决问题，从而使学生独立地、创造性地完成学习任务。 【教 具】多媒体投影仪，实物投影仪。
教 学 过 程
【知识回顾】 1.练习：求绝对值：｜3｜= ｜-3｜= ｜0｜=
3.若关于 x 的不等式 | x a | b 的解集为 x | 3 x 9 ，求实数 a , b
教 学 过 程
的值． 【课堂小结】 本节学习了绝对值不等式的解法， 会利用绝对值不等式的等价关系 解简单的绝对值不等式． 【作业布置】
双边活动
1.必做题： 练习册第 32 页 A1、B1 题； 2.选做题：练习册第 32 页 A2、B2 题．
2. | x | 3 的几何意义：表示与坐标原点的距离 实数全体所构成的集合，即：
3 的所有点对应的
3． | x | 3 的几何意义：表示与坐标原点的距离 实数全体所构成的集合，即
3 的所有点对应的
教 学 过 程
双边活动
【讲授新课】
含绝对值不等式的等价形式：一般地，如果 m 0
(1) | x | m m x m
课 后 记 年 月 日

绝对值不等式


4.(2009广东) | x 1 | 1的解集为
.
|x2|
【答案】 {x | x 3 且x 2} 2
【解析】由| x 1| 1得到| x 1|| x 2 | (x 2). | x2|
两边平方得(x 1)2 (x 2)2,整理得到x 3 且x 2. 2
所以 | x 1| 1的解集为{x | x 3 ,且x 2}.
12.f(x)=|3-x|+|x-2|的最小值为
.
【 答 案 】 1 【 解 析 】 |3 x | |x 2 | |( 3 x ) ( x 2 )| 1 , f( x ) m in 1 .
13.不等式|x+3|-|x-2|≥3的解集为
.
【答案】{x| x1} 【解析】 当x2时,原不等式化为x3(x2)3.解得x2; 当3x2时,原不等式化为x3(2x)3,解得1x2; 当x3时,原不等式化为x3(2x)3,无解. 综上,x的取值范围为x1.
(2)解不等式|x-4|-|x-2|>1.
【例2】 解不等式|x-1|>|x|.
((第(--111)3,,作01节))出∪即 绝函(0对数,1x 值)y=2 不f(x等 )的式2 图x 象; D1 . x 2 ,解 B. 得 x 1 2 ,所 以 |x 1 | |x|的 解 集 为 { x|x 1 2 } .
【例2】 解不等式|x-1|>|x|.
值是 ( )
A.1
B.-1
C.0
D.2
【 答 案 】 D 【 解 析 】 |xa||1x| |xa 1x| |a 1|, |a 1|1 , a0 或 a2. a0. a2.
8.(2011广东)不等式|x+1|-|x-3|≥0的解集是
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1 2 1
课件草稿 x 0, x x 1.
(1) 求证：b 2(b 2c );
2
仅供参考 ( 3) 若当x [1,1]时, 对任意的x都有
f ( x ) 1, 求证 1 b 2.
湖南长郡卫星远程学校
( 2) 设 0 t x1 , 比较f ( t )与x1之大小;
2006年上学期
B={x||xa|≤1}，若A∩B=，则实 数a的取值范围是
课件草稿
C. (0, +∞)
1. 已知集合A={x|x2x2>0}，
A. (0, 1) B. (∞, 1) 仅供参考
D. [0, 1]
2006年上学期
湖南长郡卫星远程学校
ax 1 2. 不等式 a的解集为M , x 且 2 M , 则a的取值范围是
7. 已知适合不等式x 4 x a 课件草稿
2
x 3 5的最大值为 3， 则实数a ______________ .
仅供参考
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2006年上学期
课件草稿
8. 解关于x的不等式a x 1 a 2(a 0).
2
仅供参考
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2006年上学期
课件草稿 仅供参考
湖南长郡卫星远程学校
2006年上学期
[例3] 解关x的不等式
课件草稿 1 仅供参考
x
2a x(a 0).
湖南长郡卫星远程学校
2006年上学期
[例4] 设f ( x ) x bx c(b, c为常数),
2
方程f ( x ) x 0的两实根为x1 , x 2 , 且满足
1 B. ( ,0) (0, ) 2 1 D. (0, ) 2

2006年上学期
a+2b>0是使ax+b>0恒成立的
课件草稿 仅供参考 C. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件 A. 充要条件
4. 对于x∈[0, 1]的一切值，
D. 既不充分也不必要条件
湖南长郡卫星远程学校 2006年上学期
课件草稿 仅供参考
1 A. ( ,) 4 1 C. (0, ) 2
1 B. [ ,) 4 1 D. (0, ) 2
2006年上学期
湖南长郡卫星远程学校
3. 不等式 x (1 2 x ) 0的解集为
1 A. ( , ) 2 1 C. ( ,) 2
湖南长郡卫星远程学校
课件草稿 仅供参考
含绝对值的不等式 和一元二次不等式 仅供参考
湖南长郡卫星远程学校 2006年上学期
课件草稿
课件草稿 [例1] 设a 0，b 0，解
关于x的不等式ax 2 bx .
仅供参考
湖南长郡卫星远程学校
2006年上学期
xa [例2] 设函数f ( x ) ( x 1). x 1 (1) 若a 5，解不等式f ( x ) x 1 ; ( 2) 若f ( x ) ln( x 1)在(1,)恒成 立，求a的取值范围.
9. 解关于x的不等式
课件草稿 a( x 1) 仅供参考
x2
1(a 0).
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2006年上学期
1课件草稿 0. a取哪些值时，方程 x a 4
2 2
的较小的解满足不等式 x 2ax 2a 1 0?
仅供参考
2
湖南长郡卫星远程学校
2006年上学期
课件草稿 5. 不等式 x 9 x 3 的解集
2
为 _________ .
仅供参考
2006年上学期
湖南长郡卫星远程学校
课件草稿 6. 已知不等式2 x t t 1 0的
1 1 解集为( , ), 则t ________ . 2 2
仅供参考
湖南长郡卫星远程学校
2006年上学期