计算电偶极子轴线的延长线上和中垂线上任一点的场强

dE
dq
4 0r2
rˆ
4
dq 0 (R2
r2)
rˆ
分量为：（考虑对称性）
dEx dE cos
c) 总场：
但有： Ey dEy Ez dEz 0
Ex dEx dE cos
q
dq
0 4 0 R2 r2
4 0
rq R2 r2
3 2
r R2 r2
即，总场记为
EP
β
r
dy
β1
M
dEy
dE
x P dEx
Solution:
a).建立坐标系，取xoy坐标系，电场 E与z无关。
由图可见
r a
sin
y actg
从而
dy
a csc2
d
a
1 sin 2
d
b).电荷元dq在P点的场
dE
dq
4 0r 2
rˆ
dy 4 0r 2
rˆ
dE x
dE
sin
dy 4 0r 2
sin
[例题1] 计算电偶极子轴线的延长线上和 中垂线上任一点的场强？
解：两个大小相等符号相反的点电荷 +Q 和 -Q ，当它们之 间距离Ｌ比所考虑的场点到二者的距离小的多时，这一电荷系 统称为电偶极子。
连接两电荷的直线称为电偶极子的 轴线，取从负电荷指向正电荷的矢量 Ｌ的方向作为轴线的正方向。电荷量Q 与矢量Ｌ的乘积定义为电偶极距，用 Ｐ表示，则
如果电荷的分布是连续的，即不能认为是点电荷， 根据不同的情况，把电荷看成在一定体积内连续分布、 在一定曲面上连续分布、在一定曲线上连续分布。在 这些情况下，首先将电荷的分布看成由许多较小的电
荷元dQ所产生的场强为:
dE dQ rˆ 4 0r 2
由此连续分布总的电荷在P点的场强为（积分）
E dE (dExi dEy j dEzk )
0
ur v v v FF1 F 2K F n
由电场强度定义，P点场强：
E
F
q
F1 q
F2 q
Fn q
E1
E2
En
Ei
i
0
0
0
0
vv v
式中，E1、E2、L 、En
分别为
q 、q 、q K
1
2
3
、q n
单独在
时在 P点产生的场强。
上式表明，点电荷系电场中任一点的场强等 于各点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量 和。这个结论称为场强叠加原理。
Exi Ey j Ezk
为了方便讨论，对于连续分布的电荷，需要引入电 荷的体密度、面密度、线密度概念。
e
dq dV
,e
dq ds
,e
dq dl
.
4、连续分布的电荷的电场计算
[例1] 在真空中，一均匀带电直导线MN，其长度为l， 带电量为q，求在导线一旁距离为a的P点的场强。
y N β2
0
a
y
复习
一、电场的概念
二 电场强度
E
F
q
三、电场线（电力线）
电场线的定义：在电场中作一些曲线，曲线上每一 点的切向方向和该点的电场方向一致。(图：P11）
新授
四、电场强度的计算
1、点电荷Q 激发的场强
以点电荷Q 所在处为坐标原点O，取任意距O为r的点P为场 点，设想把一个试探电荷q放在P点，根据库仑定律，q 所受
的力为:
F
Qq
4 0r 2
rˆ
q
r
P
Q
根据场强的定义式，得到P点的场强为:
E
F
q
Q
4 0r 2
rˆ
注意：此式只适用 于点电荷情形。
2、场强迭加原理
若电场是由点电荷系 q 、q 、q 、q 共同激发的，由
123
n
电场力叠加原理，检验电荷 q 在场点p所受电场力等于
0
各个场源点电荷单独存在时作用于 q 的电场力的矢量和。
dE y
dE
cos
dy 4 0r 2
cos
即
dE x
a sin 2
d
4 0
a2 sin 2
sin
d 4 a
0
sin
dE
y
d 4 a
cos
0
c).总场强：
E x
dE x
2 sin d 1 4 0a
4 0a
(cos1
cos2 )
E y
dE y
2 cosd 1 4 0a
4 0a
(si(y2
1 4
L2 )
EB
E
cos
E
cos
4
2Q 0(y2
1 4
L2 )
L 2
QL
y 2 1 L2 4
4
0(y2
1 4
L2
3
)2
由于r>>L，则
EB
QL
4 0 r 3
场强的方向与电偶极距方向相反写成矢量式为:
v
v EB
P
4 0 r 3
3、电荷连续分布情况
点电荷的场强公式是最基本而又是最重要的场强 计算式。
4 0
rq R2 r2
3 2
方向沿x轴。
d) 讨论： ① 当r= 0时，即园环中心处的电场为零，也 可由对称性质得到； ② 当R<<r时，即
3
R2 r2
3 2
r
3
1
R
2
2
r3
r
故有 EP
式）；
q
4 0r 2
（这是点电荷的场强公
③ 轴线上什么地方 E值最大？
通过求极限（微分），或找到 Emax对应 r 的 关系式。
2
sin
1 )
从而得到P点场强为（大小与x轴夹角）：
E P
E2 x
E
2 y
,
E arctg E y
x
d).讨论
①当带电直导线为“无限长”时，（l=∞)，并
且 q 保持为常数，此时
l
β1= 0 , β2=π
即有
E x
2 0a
E y 0
(无限长直线的场强)
③当l→0，并且 q 保持为常数，此时
l
E x
q
4 0a2
E y 0
(点电荷的场强)
②当场点位于直线的中垂面上离中心为a
处，此时β2=π-β1 即有
Ex
4 0a
2 cos1
2 4 0a
Ey 0
1l
2
q
(1 l)2 a2 2
4 0a
(1 l)2 a2 2
④当场点位于MN沿长线上距o为a处，此时
由图可见 r=a-R dq=λdR
即令 dEP dr 0 ，有
dEP dr
d dr
rq
4
0
(R2
r
2
)
3 2
d dr
q
4
0
r(R2
r 2 )32
q
4
vv P QL
现计算轴线延长线上距中心点O的距离为r处A点的场强：
EA
E
E
Q
4
0
(r
1 2
L)
2
Q
4
0
(r
1 2
L) 2
Q
4 0
(r 2
2rL 1 L2 )2
4
由于
r>>L，则
EA
QL
2 0 r 3
场强的方向与电偶极距方
向一致。 写成矢量式为 :
v
v EA
P
2 0 r 3
下面计算在中垂线上一点B的场强.
EP
l 2
dR
l 2
4
0
(a
R)2
l
2 l
2
4
0
d (a
R)1
l
(a R)1 2
q
4 0
l 2
4
0
a2
l 2
2
[例2]一细线弯成半径为R的园环，带电q，求 轴线上离环心r处的电场。
y dq
R o
z
dq’
r’
r
θ
P
dEy
dEx x
dE
Solution: a) 建立直角坐标系，园环面与y、z面平行。 b) 电荷元dq在P点的场。