第七章__线性变换

第 7章 线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。

注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。

2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα∀∈。

性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,,ααα线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关。

性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,ααα线性无关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关。

注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组，如果：11111221221122221122s ss s m m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭于是，若()d i m V n =，12,,,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,,m βββ是V 中任意一组向量，如果：()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是12,,,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()()12,ri i iσβσβσβ就是()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B 。

第 7 章线性变换7.1 知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别1. 线性变换的定义数域P 上的线性空间 V 的一个变换称为线性变换， 如果对 V中任意的元素,和数域 P 中的任意数k ，都有：，kk。

注： V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。

2. 线性变换的判别设为数域 P 上线性空间 V 的一个变换，那么：为 V 的线性变换k l k l , , V , k,l P3. 线性变换的性质设 V 是数域 P 上的线性空间，为 V 的线性变换，1 ,2 ,, s ,V 。

性质 1.0 0,;性质 2. 若 1 , 2 , , s 线性相关，那么1,2 ,,s也线性相关。

性质 3. 设线性变换为单射，如果 1 , 2 ,, s 线性无关， 那么1 ,2,,s也线性无关。

注： 设 V 是数域 P 上的线性空间，1,2 ,, m，1,2,, s 是 V 中的两个向量组，如果：1 c111c122 c1ss2c211c222c2ssmcm1 1cm22cms s记：c11c21cm11, 2 ,, m1, 2 ,c12c22 cm2, sc1sc2scms于是，若 dim Vn ， 1, 2 , ,n 是 V 的一组基， 是 V 的线性变换， 1 , 2 , , m 是V 中任意一组向量，如果：1 b111b12 2b1n n2b 21 1 b 22 2 b 2 n nmbm11bm22bmnn记：1 ,2 ,, m1 ,2 m那么：b11b21cm11, 2 ,, m1, 2 ,b12 b22 cm2, nb1nb2ncmnb11b21cm1设 Bb 12b 22c m2， 1 ,2 ,,m 是矩阵B 的列向量组，如果i , i ,, i 是12rb1n b2n cmn1 , 2,, m 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 ， 那 么i 1 ,i 2 i r就 是1,2m 的一个极大线性无关组，因此向量组1,2m的秩等于秩B 。

第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

第七章 线性变换§1基本知识§1. 1 基本概念 1、线性变换：2、线性变换的运算 （1）加法： （2）减法： （3）数乘： （4）乘法：3、线性变换在给定基下的矩阵：4、矩阵的相似：5、矩阵的迹与范数：6、矩阵的特征多项式：7、特征值与特征根：8、线性变换的对角化：9、线性变换的值域： 10、线性变换的核：11、线性变换的秩与零度： 12不变子空间：13、若尔当块与若尔当形矩阵： 14、最小多项式：§1. 2 基本定理定理7.1设)(V L 是数域P 上的线性空间V 上的线性变换的全体构成的集合，那么)(V L 关于线性变换的加法和数乘运算也构成数域P 上的线性空间；定理7.2设n ααα,,,21 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个基，n βββ,,,21 是V 上任意n 个向量，则存在唯一的线性变换)(V L ∈σ，使得：),,2,1()(n i i i ==βασ；定理7.3（线性变换与给定基下的矩阵的对应与运算定理）设n ααα,,,21 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个基，对任意线性变换)(V L ∈σ，令σ和它在给定的这个基下的矩阵对应，那么这个对应是)(V L 到n n P ⨯的一一对应，且设)(,V L ∈τσ在这个基下的矩阵分别是B A ,，P k ∈，那么 （1）B A +→+τσ； （2）kA k →σ； （3）AB →στ；（4）σ可逆的充分必要条件是：A 为可逆矩阵；且11--→A σ。

定理7.4（象的坐标计算公式）设)(V L ∈σ在数域P 上的n 维线性空间V 上的基n ααα,,,21 下的矩阵是A ，V ∈α在基n ααα,,,21 下的坐标是),,,(21n x x x ，)(ασ在基n ααα,,,21 下的坐标是),,,(21n y y y ，那么：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y 2121； 定理7.5（线性变换关于不同基的矩阵相似定理）设)(V L ∈σ在数域P 上的n 维线性空间V 上的基n ααα,,,21 和n βββ,,,21 下的矩阵分别是A 和B ，基n ααα,,,21 到n βββ,,,21 的过渡矩阵是T ，那么：AT T B 1-=；定理7.6 （线性变换关于不同基的矩阵相似定理）同一线性变换在不同基下的矩阵是相似矩阵；反之，两个相似的矩阵一定可以成为同一个线性变换在两组基下的矩阵；定理7.7 相似矩阵的特征多项式相等；定理7.8 （线性变换对角化的条件）设σ是数域P 上的n 维线性空间V 上的一个线性变换，那么σ在V 的某个基下的矩阵是对角矩阵的充分必要条件是：σ有n 个线性无关的特征向量，即V 有一个由σ的特征向量构成的基； 定理7.9 属于不同特征值的特征向量一定是相性无关的；推论7.1设σ是数域P 上的n 维线性空间V 上的一个线性变换，如果σ的特征多项式在数域P 上有n 个不同的特征值，那么σ可以对角化； 推论7.2 设σ是复数域上的n 维线性空间V 上的一个线性变换，如果σ的特征多项式没有重根，那么σ可以对角化；定理7.10 设t λλλ,,,21 是线性变换σ所有不同的特征值iisi i ααα,,,21是σ的属于特征值i λ的线性无关的特征向量，那么：iiisi i s s ααααααααα,,,;;,,,;,,,21222211121121线性无关；定理7.11设σ是数域P 上的n 维线性空间V 上的一个线性变换，n ααα,,,21 是V 的一个基，σ在基n ααα,,,21 下的矩阵是A ，那么 （1）))(,),(),(()(21n L V ασασασσ =； （2）σ的秩)(A R =；定理7.12设σ是数域P 上的n 维线性空间V 上的一个线性变换，则σ的值域的一个基的原象和σ的核的一个基并起来构成V 的一个基；由此得：σ的秩+σ的零度n =。

第七章 线性变换§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算教学目的：变换简单地讲就是映射，对线性变换的学习是本章的基础。

教学重点：线性变换的性质，逆变换。

课时：4。

教学方法：讲练结合。

教学内容：一、定义：对P k V ∈∀∈∀,,βα，有)()()()()(ααβαβαkA k A A A A =⋅+=+则称V V A →:为V 上的线性变换。

二、几个特殊的线性变换：1、恒等（单位）变换E ：V E ∈∀=ααα,)(。

2、零变换0：V ∈∀=αα,0)(0。

3、数乘变换k ：V k k ∈∀=ααα,)(。

三、性质：1、)()(,0)0(ααA A A -=-=。

2、若rr k k k αααβ+++= 2211，则)()()()(2211r r A k A k A k A αααβ+++= 。

3 若r ααα,,,21 线性相关，则)(,),(),(21r A A A ααα 也线性相关。

练习：323P 1。

四、记{}的线性变换是V A A V M =)(1 定义乘法：对()()()()()ααB A AB V M B A =∈∀，，可证()V M AB ∈，设()VM C ∈有)()(BC A C AB =。

2、定义加法：()()()()αααB A B A +=+，可证)(V M B A ∈+。

则()V M 也是P 上的线性空间。

（若又有()()CABA A C B AC AB C B A +=++=+,，则()V M 作成一个环）。

五、逆变换：()V M A ∈若()V M B ∈∃，使EBA AB ==，则称A 是可逆的线性变换，而B 称为A 的逆变换，记为1-=AB ，则1-A 也是可逆的线性变换。

特别地：()EA A n A AA A n ==0,,个 ；()()0,,,≥==+n m AAA A A mnnmn mnm ；()()+--∈=Z n AAnn,1。

第 7 章 线性变换7.1 知识点归纳与要点解析．线性变换的概念与判别1. 线性变换的定义域 P 中的任意数 k ，都有： 注： V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。

2. 线性变换的判别设 为数域 P 上线性空间 V 的一个变换，那么：3. 线性变换的性质也线性无关。

如果：是V 中任意一组向量，如果:数域P 上的线性空间V 的一个变换称为线性变换, 如果对 V 中任意的元素和数kk为V 的线性变换lk V, k,l P性质 性质 性质 设V 是数域P 上的线性空间, 为V 的线性变换,2,L , S , V 。

1.2. 3. 0 0,若1,2丄，s 线性相关，那么 2,LS 也线性相关。

设线性变换 为单射， 如果2,LS 线性无关，那么 2,L ,注：设V 是数域P 上的线性空间，2,L 2,L ,S 是V 中的两个向量组,c 11 1c 12记：1, 2,L , mc 21 1 LLc 22 2 2LLc 1s sc 2S Sc m1 1c m2 22,L , Sc 11c 21c m1c 12 Mc 22 M c m2Mc 1sc ms于是，若 dim V n ，2,L ,n 是V 的一组基, 是V 的线性变换,1, 2,L1b 11 12b 21 1LL Lmb m1 1记:1, 2,L ,m那么：1, 2,L , mb 11 b 21L c m1 b 12b 22Lcm2， 12，1, 2,LMM Mb 1n b 2n Lc mnb 12 2 L b 1n nb 22 2 Lb 2n n1, 2 Lmb 11 b 21 Lc m1 , ,L , b 12b 22Lc m21,2 ,L ,nM MMb 1nb 2nLc mnm 是矩阵B 的列向量组， 如果i 1 , i 2 ,L , i r是1, 2,L , m 的 一 个 极 大 线性 无 关 组 ， 那 么2L m 的一个极大线性无关组，因此向量组秩等于秩 B 。

第七章 线性变换一. 内容概述1. 线性变换的概念设n V 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间n V 中的变换，且满足1） 对任意向量n V ∈βα,,有 )()()(βαβαT T T +=+ 2） 对任意向量F k V n ∈∈,α,有)()(ααkT k T =则称为中的线性变换。

2. 线性变换的性质及运算1)0)0(=T )()(ααT T -=-2) )()()()(22112211n n n n T k T k T k k k k T αααααα+++=+++3）设向量组n ααα,,,21 线性相关，则向量组)(),(),(21n T T T ααα 也线性相关。

线性变换的和：)()())((2121αααT T T T +=+ 线性变换的积：))(())((2121ααT T T T = 数乘变换：)())((αλαλT T = 线性变换T 可逆时，逆变换1-T都是线性变换。

线性变换的多项式：0111)(a a a a f m m m m ++++=--σσσσ 3. 线性变换的矩阵设σ是V 的一个线性变换，n εεε,,,21 是V 的一个基，且n n a a a εεεεσ12211111)(+++= n n a a a εεεεα22221122)(+++=n nn n n n a a a εεεεσ ++=2211)(记))(),(),((),,,(2121n n εσεσεσεεεσ =A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121εεεεσεσεσεεεσ ==则称A 为线性变换σ在基n εεε,,,21 下的矩阵。

4. 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式)(*对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1） 线性变换的和对应与矩阵的和； 2） 线性变换的积对应与矩阵的积；3） 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对于与逆矩阵。

第七章线性变换总结篇（高等代数）第7章线性变换7.1知识点归纳与要点解析一•线性变换的概念与判别1.线性变换的定义数域P上的线性空间V的一个变换称为线性变换，如果对V中任意的元素，和数域P中的任意数k，都有：，k k 。

注：V的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。

2.线性变换的判别设为数域P上线性空间V的一个变换，那么:Ik l ,,V, k,l P 为V的线性变换k3.线性变换的性质设V是数域P上的线性空为V的线性变换，1, 2,|||, s, V 间，性质1. 0 0, ；性质2.若1, 2, , s线性相关，那么 1 , 2 J I s也线性相关。

性质3.设线性变换为单射，如果1, 2, III，s线性无关，那么1 , 2，|||，s也线性无关。

注：设V是数域P上的线性空间，1, 2,III，m，1, 2,|||, s是V中的两个向量组，如果：记:1 C11 1 C12 22 C21 1 C22 2 III III HIm C m1 1 C m2 2川,于是，若dim V n ,m是V中任意一组向量,记:那么:bi2 I b21 b22b2n川,C1s sC2s sC12IGsC2s IIIn是V的一组基,如果:1 b l1 12 b21 1III III IIIC m1C m22,|||, m2，|||，mm的一个极大线性无关组,2 Hl2 HlC m1C m2是V的线性变换,b12 2b22 2IIIbm nPn nIII1，2，|||，b]1b]2Ib>21b>22nC m1C m24b2n IIIm是矩阵B的列向量组，如果i「那么i ii2 I" i r就是m的一个极大线性无关组，因此向量组m的秩等于秩B。

4.线性变换举例(1) 设V 是数域P 上的任一线性空间。

零变换：0 0, V ；恒等变换：， V 。

幕零线性变换：设 是数域P 上的线性空间V 的线性变换，如果存在正整数m ，使得m 0,就称 为幕零变换。

第七章 线性变换一、判断题1、 在向量空间3R 中, 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=-, 则σ是3R 的一个线性变换. ( ).2、σ是向量空间V 的线性变换, 向量组12,,,m αααL 线性相关, 那么12(),(),,()m σασασαL 也线性相关. ( ).3 在向量空间[]n R x 中, 则微商'(())()f x f x σ=是一个线性变换. ( ). 4、 线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的. ( ). 5、 相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵. ( ). 6、向量空间V 的线性变换σ的象与核都是σ的不变子空间. ( ). 7、 属于线性变换σ同一特征根0λ的特征向量的线性组合仍是σ的特征向量. ( ). 8、 σ在一个基下可以对角化, 则σ在任何基下可以对角化. ( ). 9、设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由σ的秩＋σ的零度＝n ，有1()(0).V V σσ-=⊕ （ ）10、n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ．( ) 11、.最小多项式是特征多项式的因式. （ ） 12、相似的矩阵有相同的特征多项式 （ ） 13、设nn P A ⨯∈，A 的特征多项式有n 个单根，则存在可逆矩阵nn P T ⨯∈，使AT T1-具有对角形。

（ ）14、若A 是数域P 上n 维线性空间的线性变换，A 的特征值为r λλλ,,,21Λ，则A 可对角化⇔特征子空间的维数之和等于n 。

（ ）15、 A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，则V V =A +A -)0(1。

（F ）二、填空题1、在3V 的基123{,,}εεε下σ的矩阵是111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么σ关于基3121{,,2}εεεε+的矩阵是_____________.2、 在3F 中的线性变换12312231(,,)(2,,)x x x x x x x x σ=-+, 那么σ关于基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===的矩阵是________________.3、0()0I A X λ-=的___________都是A 的属于0λ的特征向量.4、 设V 是数域F 上的n 维向量空间, (),L V σσ∈的不同的特征根是12,,,t λλλL , 则σ可对角化的充要条件是_____________.5、 矩阵327024005⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的特征根是______________.6、复矩阵()ij n n A a ⨯=的全体特征值的和等于________ ，而全体特征值的积等于_______ .7、数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为_______维线性空间，它与________同构.8、设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλL ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为________ . 9、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2231A ，则向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛11是A 的属于特征值 的特征向量． 10、若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100001011A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1010101k k B 相似，则k = ．11、n 阶方阵A 满足A A =2，则A 的特征值为 ．12、设A 是有限维空间V 的线性变换，f (λ)是A 的特征多项式，那么f (A)=________ 13、已知三阶实对称矩阵A 的特征值为1，2-，3，则1-A 的特征值为 。