高等数学第5章课件-§5.3 唯一性

. 指数 p 的可能取值是0，1，…，r ，共 r + 1 种. 即有
§5.3 唯一性
r =0, p=0 r =1, p = 0, 1 ⋮ r = n , p = 0 ,1 , 2 ,⋯ , n
1种 2种 1 n＋1种
1 故共有 1 + 2 + ⋯ + ( n + 1) = ( n + 1)( n + 2) 类. 2
§5.3 唯一性
即 Z = GY （4）
（5）
5 方程组（5）中未知量的个数为 n，方程的个数为
q + ( n − p) = n − ( p − q ) < n, 所以（5）有非零解. 5 .
令 Y0 = ( k1 , ⋯ , k p , k p+1 , ⋯ kn ) 为（5）的非零解， 0 则有 k p +1 = ⋯ = k n = 0, 而 k1 , k 2 ⋯ k p 不全为0. 3 将 Y0 代入（3）的左端，
A B 推论 两个复对称矩阵A、B合同 ⇔ 秩 ( A) = 秩 ( B ).
§5.3 唯一性
4 定理4 任意一个实二次型，经过一适当的非退化 . 线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的. 即，任一实对称矩阵 A合同于一个对角矩阵
⎛1 ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⋱ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ ⋱ ⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⋱ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠
§5.3 唯一性
推论2、实二次型 f , g 具有相同的规范形
⇔ 秩f = 秩g，且 f 的正惯性指数= g 的正惯性指数.
推论3、实对称矩阵A、B合同
⇔ 秩 ( A) = 秩 ( B ) 且二次型 X ' AX 与X ' BX 的正惯性
指数相等.
§5.3 唯一性
例1、设 A ∈ Cn×n , A ' = A，证明：存在 B ∈ C n×n 使 A = B ' B. 证：设 R( A) = r , 则存在可逆矩阵 C ∈ Cn×n ,
§5.3 唯一性
例2、如果两实 n 元二次型的矩阵是合同的，则认为 它们是属于同一类的，那么实数域 R 上的一切 n 元二次 1 型可分为 ( n + 1)( n + 2) 类. 2 f ( X ) = X ' AX , A' = A ∈ R n×n , 证：任取实n元二次型 设 秩 f = 秩 ( A) = r , 0 1 2 则 r 的可能取值是0，1，2， 而对任意给定的 r (0 ≤ r ≤ n), f 的正惯性 …，n，
矛盾. 所以，p ≤ q . 同理可证 q ≤ p ，故 p = q .
§5.3 唯一性
定义
实二次型 f ( x1 ⋯ xn ) 的规范形
2 y1 + ⋯ + y 2 − y 2 +1 − ⋯ − yr2 p p
正惯性指数 中正平方项的个数 p 称为 f 的正惯性指数 正惯性指数； 负惯性指数 负惯性指数； 负平方项的个数 r − p 称为 f 的负惯性指数 符号差 它们的差 p − ( r − p ) = 2 p − r 称为 f 的符号差.
⎧ g11 y1 + ⋯ + g1n yn = 0 ⎪ ⋯⋯⋯⋯ ⎪ gq1 y1 + ⋯ + gqn yn = 0 (5) ⎨y = 0 ⎪ p +1 ⎪ ⋯⋯⋯⋯ ⎩ yn = 0
得 Z 0 = GY0 = (0 , ⋯ 0 , zq +1 , ⋯ zn )
2 − z g +1 − ⋯ − zr2 ≤ 0 将其代入（3）的右端，得其值为
§5.3 唯一性
A 推论1、任一实对称矩阵A合同于一个形式为
⎛1 ⎞ ⎜ ⋱ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎞ ⎜ −1 ⎟ ⎛ Ep ⎜ ⎟=⎜ ⋱ − Er − p ⎟ 的对角矩阵 . ⎜ ⎟ ⎜ −1 0⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⋱ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠
其中 ± 1 的个数 r = 秩 ( A) ，+1的个数 p等于 X ' AX 1 的正惯性指数；－1的个数 r − p等于X ' AX 的负惯性 . 指数.
2 2 2 = z1 + ⋯ + zq − zq +1 − ⋯ − zr2
3 （3）
Z = C −1 X = C −1 ( BY ) = (C −1 B )Y 且
§5.3 唯一性
令 C −1 B = G = ( gij ) ∈ R n×n , 则G可逆，且有 ⎧ z1 = g11 y1 + ⋯ + g1n yn ⎪ z2 = g 21 y1 + ⋯ + g2 n yn ⎨ ⋮ ⎪z = g y + ⋯ + g y ⎩ n n1 n nn n 考虑齐次线性方程组 ⎧ g11 y1 + ⋯ + g1 n yn = 0 ⎪ ⋯⋯⋯⋯ ⎪ gq1 y1 + ⋯ + gqn yn = 0 ⎨y =0 ⎪ p +1 ⎪ ⋯⋯⋯⋯ ⎩ yn = 0
第五章 二次型
§5.1 二次型的矩阵表示 §5.2 标准形 §5.3 唯一性 §5.4 正定二次型 章小结与习题
§5.3 唯一性
一、复数域上的二次型的规范形 二、实数域上的二次型的规范形 三、小结
§5.3 唯一性
问题的产生：
1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化 线性替换有关. 如：二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 x 2 − 6 x 2 x 3 + 2 x1 x 2 作非退化线性替换 ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 1 ⎜ x ⎟ ⎜0 ⎝ 3⎠ ⎝ 11 2 3 1 ⎛ y1⎛⎞z1 ⎞ ⎞ ⎞ 1 1 −11 ⎜ y1⎜⎟z1 ⎟ − 2 − ⎟ 3⎟ ⎜ ⎟⎜ 0 11 ⎟3 y3 ⎟z3 ⎟ 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎠
得标准形
§5.3 唯一性
1 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 z − 2 y2 + 6 y32 z3 y − z化线性替换所得的标准形中， 系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所 作的非退化线性替换无关 . 作的非退化线性替换无关. ∵若 f ( x1 , ⋯ , xn ) = X ' AX 作非退化线性替换
其中， d i > 0, i = 1 , 2 ⋯ r , r = 秩 f = 秩( A). 再作非退化线性替换
§5.3 唯一性
1 ⎧ ⎪ y1 = d z1 1 ⎪ ⎪ ⋯ ⎪ 1 zr , ⎨ yr = dr ⎪ ⎪ yr + 1 = z r + 1 ⎪ ⋯ ⎪ yn = z n ⎩
或 Y=D Z,
1 1 D = diag( ,⋯ , , 1 , ⋯ , 1) dr d1
2 2 f ( X ) = Z '( D ' C ' ACD ) Z = z1 + z2 + ⋯ + zr2
规范形 规范形. 称之为复二次型 f ( X )的规范形.
§5.3 唯一性
注意： 1 0 . ①复二次型的规范形中平方项的系数只有1和0两种. . ②复二次型的规范形是唯一的，由秩 f 确定.
1 （1）
§5.3 唯一性
经过非退化线性替换 X = CZ 化成规范形
2 2 2 f ( X ) = z1 + ⋯ + zq − zq+1 − ⋯ − zr2
（2）
只需证 p = q . 由(1)、(2)，有
用反证法，设 p > q ,
2 y1 + ⋯ + y 2 − y 2 +1 − ⋯ − yr2 p p
X = CY 化为标准形 Y ' DY ，则有 D = C ' AC ,
秩 ( D ) = 秩 (C ' AC ) = 秩 ( A)
(D) D . 而秩(D) 等于D 的主对角线上不为零的元素的个数.
§5.3 唯一性
定义 二次型 f ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) = X ' AX 的秩等于矩阵A的秩， 等于矩阵A 即秩 f ＝秩（A）. ＝秩（ 3. 问题： 如何在一般数域 P上，进一步“规范” 平方项非零系 数的形式？（这样产生了唯一性的问题）
d i ≠ 0, i = 1 , 2 ⋯ r , 这里 r = 秩 f = 秩（A ）.
再作非退化线性替换
§5.3 唯一性
1 ⎧ ⎪ y1 = d z1 1 ⎪ ⎪ ⋯ ⎪ 1 zr , ⎨ yr = dr ⎪ ⎪ yr + 1 = zr + 1 ⎪ ⋯ ⎪ yn = z n ⎩ 则
或 Y=D Z,
(同前 )
1 1 D = diag( ,⋯, , 1 , ⋯ ,1) dr d1
则 f ( X ) = Z '( D ' C ' ACD) Z
2 = z1 + ⋯ + z 2 − z 2 +1 − ⋯ − zr2 p p
规范形 称之为实二次型 f ( X ) 的规范形. 规范形.
§5.3 唯一性
注意 ① 实二次型的规范形中平方项的系数只有1，－1，0. ② 实二次型的规范形中平方项的系数中 1 的个数与
§5.3 唯一性
三、小结
基本概念
f ( x1 , x2 ⋯ xn ) 1、n元复二次型 的规范形
2 2 z1 + z2 + ⋯ + zr2
这里，r ＝秩( f ).
2、 n元实二次型 f ( x1 , x2 ⋯ xn )的规范形
2 y1 + ⋯ + y 2 − y 2 +1 − ⋯ − yr2 p p
1. 实二次型的规范形的定义