一类非线性微分方程极限环的不存在性

微分方程的稳定性理论微分方程的稳定性理论是研究微分方程解的行为随参数变化而产生的稳定性问题的数学分支。

在许多实际问题中，人们常常需要分析微分方程在不同参数下的解的性质，以便更好地理解系统的行为和动态特性。

稳定性的概念稳定性是指微分方程解在初始条件或参数扰动下的响应行为。

在微分方程中，对解的稳定性主要分为几种类型：1.渐近稳定：解会收敛到一个稳定的状态。

2.指数稳定：解在某稳定状态附近呈指数形式衰减或增长。

3.李雅普诺夫稳定：指解相对于初始值的具体指数速度趋于稳定。

4.中立稳定：解在稳定状态周围有振荡。

稳定性分析方法微分方程的稳定性理论为研究者提供了一些方法来分析解的稳定性：李雅普诺夫方法李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造一个李雅普诺夫函数来研究解的收敛性。

这种方法适用于线性和非线性系统，并且可以用来证明解的全局稳定性。

极限环方法极限环方法是另一种常用的稳定性分析方法，通过将微分方程线性化为极限环系统，探索极限环周围解的动态特性来确定系统的稳定性。

这种方法对周期解和周期性解的稳定性问题有很好的应用。

拉普拉斯变换方法拉普拉斯变换方法是用于求解线性微分方程的一种方法，可以将微分方程转化为代数方程，从而快速得到解的稳定性特性。

这种方法适用于线性系统和光滑函数的稳定性分析。

应用领域微分方程的稳定性理论在许多领域都有着广泛的应用，例如控制理论、动力系统和生态学等。

通过稳定性分析，研究者可以更好地理解系统的稳定性特性和动态行为，为实际问题的解决提供理论支持。

结论微分方程的稳定性理论是微分方程研究中一个重要而深刻的领域，它为研究者提供了丰富的稳定性分析方法和技术工具。

通过深入研究微分方程的稳定性问题，我们可以更好地理解系统的动态特性，为科学研究和工程实践提供理论支持。

非线性微分方程的近似解法一、泰勒级数方法泰勒级数方法可以将非线性微分方程转化为线性微分方程，从而获得其近似解。

该方法基于泰勒公式展开，将未知函数用其导数的级数表达式来逼近。

通过截取级数的前几项，可以得到方程的近似解。

这种方法的主要局限性在于，泰勒级数的收敛范围很小，因此只能用于小范围的近似计算。

二、微扰解法微扰解法是一种将非线性微分方程转化为近似线性微分方程的方法。

该方法假设非线性微分方程的解可以写成一个级数形式，其中级数中的项按照幂次递减。

然后，通过求解线性微分方程的级数项，可以得到原方程的近似解。

这种方法非常适用于具有小参数的问题。

三、极限环法极限环法是一种通过运用线性微分方程的解来解决非线性微分方程的方法。

该方法假设非线性微分方程的解为两个相近解的线性组合。

然后，通过运用极限环理论，可以将原方程转化为一系列线性微分方程的组合，进而求得方程的近似解。

四、变分法变分法是一种通过设定未知函数的一些形式，将非线性微分方程转化为一个变分问题的方法。

通过求解该变分问题，可以得到非线性微分方程的近似解。

变分法的核心思想是将问题转化为求一个泛函的驻定问题，通过变分法的原理求解该泛函，进而得到近似解。

五、数值解法数值解法是一种通过数值计算的方法，来近似求解非线性微分方程。

这种方法将微分方程离散化，将其转化为一个差分方程，通过计算机进行迭代运算，最终得到方程的近似解。

数值解法的优点在于适用范围广，对各种类型的非线性微分方程都适用，但精度较低。

总结起来，非线性微分方程的近似解法有泰勒级数方法、微扰解法、极限环法、变分法和数值解法等。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决非线性微分方程问题。

一类三次系统极限环的存在性与唯一性方成鸿【摘要】In this paper, the cubic planar system x=-y（1-ax）＋a1x＋a2x2＋a3x3,.y=x（1-ax）, is studied, and the sufficient conditions for nonexistence, existence and uniqueness of limit cycle are obtained.%研究三次多项式系统.x=-y（1-ax）＋a1x＋a2x2＋a3x3,.y=x（1-ax）,得到了极限环不存在、存在唯一的若干条件.【期刊名称】《宁德师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(023)002【总页数】4页(P122-125)【关键词】三次系统;极限环;存在性;唯一性【作者】方成鸿【作者单位】景德镇陶瓷学院信息工程学院,江西景德镇333403【正文语种】中文【中图分类】O175对于给定的微分方程，其中pn，Qn是x、y的次数不高于n的实系数多项式，研究方程有几个极限环以及它们的相对位置是大家关心的问题.当n=2即平面二次多项式系统的研究，结果较丰富，文[1－2]有论述，三次系统的研究近年来倍受人们的关注,许多学者在这方面作了大量的工作.对于如下三次系统文[3]在a2=0，a=c，b=d的情形下得到了极限环存在唯一的充分必要条件，文[4－5]分别研究了a2=0，b=d，以及a2=0的情形下系统存在极限环的条件.本文考虑a=c，b=d=0的情形，即给出了系统不存在极限环、存在唯一极限环的若干充分条件，扩展了文[3]中的部分结果.1 极限环的不存在性原点 O（0,0）是系统（2）的奇点，不难得知：引理 1 当 a1＜0（＞0）时，原点是系统（2）的稳定（不稳定）的焦点或结点.当a1=0时，使用定正函数进行中心焦点判别[6]，取 V(x，y)=x2+y2-2a2x2y-a2y3－a22x4-（a2a+a3）x3y- （a2a+a3）xy3，在原点的充分小的去心邻域内，V(x，y)＞0，沿系统（2）的轨线求 V (x，y)的导数得│（2）=（a2a+a3）（x2+y2）2+…，省略的部分是x，y的五次以及五次以上的多项式.于是得到引理 2 当 a 1=0 时，若 a 2a+a3＜0(＞0)，原点是系统（2）的稳定（不稳定）的焦点；若 a 2a+a3=0，则（a2a+a3），向量场关于y轴对称，O是中心.当a≠0且a1a2+a2a+a3=0，系统（2）还有一个奇点A(1/a,0)，是高阶奇点.定理1 下列条件之一成立时，系统（2）不存在闭轨线：（i）a1（a2a+a3）≥0，+≠0；（ii）a≠0，a1＜0＜a2a+a3≤－a1a2或－a1a2≤a2a+a3＜0＜a1.证明当a ≠0 时，x=1/a 是无切直线，若系统有闭轨线，必位于其左边（a＞0）或右边（a＜0）.（i）取 D ulac 函数 B (x，y)=，有（BP）+（BQ）=[2（a2a+a3）（1－ax）x2+（a2a+a3）x2+a1]，当 a =0 时，若a 1a3≥0 且 a 1、a3不同时为 0 ，上式右端不变号；当 a ＞0（a＜0）时，若 a 1（a2a+a3）≥0且 a 1、a2a+a3不同时为0，上式右端对任意 x ＜1/a（x＞1/a）不变号；因此系统（2）不存在闭轨线.（ii）取 D ulac 函数 B (x，y)=有 [ －（a2a+a3）（1－ax）2+（a1a2+a2a+a3）]，在给定的条件下，当 a ＞0（a＜0）时，上式右端对任意 x＜1/a（x＞1/a）不变号，故系统（2）不存在闭轨线.2 极限环的存在性与唯一性定理 2 设 a=0，如果 a1＜0＜a3（a3＜0＜a1），则系统（2）存在唯一的不稳定（稳定）极限环.证明设a1＜0＜a3，作时间反演变换，系统（2）可化为Li nard型方程这时F（x）=a1x+a2x2+a3x3有两个非零实根x1与x2，有两个驻点x01与x02，且x2＜x02＜0＜x01＜x1，当x∈(x2，0)时F（x）＞0，当x∈(0，x1)时F（x）＜0.记k1=F（x02），k2=F（x01），则k2＜k1.由F（x）的单调性知，存在M＞max{－x2，x1}使得x＞M时F（x）＞k1，x＜－M时F（x）＜k2，根据Драгилёв 定理[7]，系统（3）存在闭轨线.记 f （x）=F′（x），则f∈C0(－∞，+∞)且 f （0）=a1≠0，又）=3a3－＞0，故f（x）/x是增函数，根据张芷芬的唯一性定理[7]，系统（3）至多存在一个极限环，如果存在必是稳定的.综上，并注意到变换的性质，可知当a1＜0＜a3时，系统（2）存在唯一的不稳定极限环.若a3＜0＜a1，根据注 1 可化成上述情形.注 1 ：作变换x=x，y=－y，d t=－d t，系统（2）变为 d/d=－（1－a）+b1+b2+b，d/d=（1－a），其中bi=－ai，i=1～3.考虑a≠0的情形，以下不妨设a＞0，否则作变换=－x，=－y即可.作时间变换d t=－（1－a）d t并仍用t记 t，系统（2）可化为 L inard型方程因为系统（2）的极限环只可能位于直线x＝1／a的左边，故只需研究方程（4）在直线x＝1／a的左边是否存在极限环.引理 3 若 a 1（a1a2+a2a+a3）＜0，则方程（4）至多存在一个极限环.证明由注 1 ，只证 a 1＜0＜a1a2+a2a+a3的情形.记F（x）={（1－ax）[（a2a+a3）x2－a1]+2{（1－ax）[－a1a2x2－a1]+2[－a1a2x2+a1ax]}= －xa21＞0，由张芷芬的唯一性定理[7]，方程（4）至多存在一个极限环.由引理1、引理2、引理3及Hopf分枝定理[6]可知下述结论成立.定理 3 当 a2a+a3＞0 且－1＜＜a1＜0（a2a+a3＜0 且 0＜a＜＜1）时，系统（2）存在唯一不稳定（稳定）的极限环.引理 4 若 a1（a1a2+a2a+a3）＜0 且 a1a3＜0，则方程（4）存在极限环.证明不妨设a1＜0＜a1a2+a2a+a3且 a3＞0，否则如注1作变换即可.存在 x=0的去心邻域使xF（x）＜0成立；给定的条件下函数 a 1+a2x+a3x2在区间（0，1/a）内有唯一零点 r ，且x ∈（0，r）时F（x）＜0，x∈（r，1/a）时F（x）＞0，令 C =max+1，则当x ∈（0，1/a）时F（x）+C＞0，又0≤x≤r在[0，1/a]连续，存在正数M使d x≤M；inf F（x）=－∞； sup F（x）=+∞，于是定理 1 [8]的 4 个条件都可以满足，从而方程（4）存在x＜00＜x＜1/a极限环.定理 4 若 a3＞0 且－（a2a+a3）/a2＜a1＜0 （a3＜0 且 0＜a1＜－（a2a+a3）/a2），系统（2）存在唯一的不稳定（稳定）极限环.在a2a+a3＞0的条件下，定理3说明当a1＜0且充分接近0时，系统（2）存在一个极限环，但没有给出a1的变化范围.若a3＞0，定理 4 表明只要－（a2a+a3）/a2＜a1＜0 成立，系统（2）始终存在一个不稳定的极限环.对于a3＜0的情形，有如下结果：定理 5 若 a3＜0，max{－（a2a+a3）/a2,（a2a+a3）/a2－4}＜a1＜0，系统（2）存在唯一的不稳定极限环.为证明定理5，先给出一个引理，它可以看作Филиппов定理[7]的一个变形，用类似的方法可以证明该引理.引理5 给定微分方程并记 f （x）=F′（x），，α 是正常数，=G（α），0＜λ＜.如果（i）f（x），g（x）在（－∞，α）上连续；F（0）=0，（x）=+∞；xg（x）＞0，x≠0；G（－∞）=+∞；（ii）作Ф илиппов变换，方程（5）当x＞0 和x＜0 时分别等价于下列两个方程=F1（z）－y （z＞0），=F2（z）－y （z＞0），其中F i（z）=F[xi（z）]，xi（z）是z =G（x）在（－1）i－1x＞0 时的反函数，i=1,2.并且存在δ ＞0，当 0 ＜z＜δ时，F2（z）≥F1（z），F1（z）＜λ,F2（z）＞－λ（iii）存在z 0∈（δ，δ），使（F1（z）－F2（z））d z＞0，当z0＜z＜时，F2（z）≤F1（z），F1（z）＞－λ,F2（z）＜λ，则方程（5）在直线x=α的左半平面上至少有一条闭轨线.定理5的证明只需证明在给定的条件下方程（4）存在极限环.令α=1/a，显然引理5的（i）满足.当a1＜0＜a1a2+a2a+a3时，函数φ （x）=a1+a2x+a3x2在区间（0，1/a）内有唯一零点 r ，且φ （x）＜0，x∈（0，r）；φ（x）＞0，x∈（r,1/a）.又令δ =r2/2，则引理5 的（ii）满足.∫z01这里=G（α）=1/（2a2），因[F1（z）－F2（z）]=+∞，故存在z 01∈（δ，δ）使0F1（z）－F2（z）d z＞0，且当z01＜z＜时，F2（z）≤F1（z），F1（z）＞－λ，由 a 3＜0 及（a2a－a3）/a2－4＜a1＜0，可知 0 ＜λ＜，又 F 2（z）＜λ等价于a3（）2+ （aλ－a2）+a1+λ＞0，而左边当z=时大于 0 ，故存在 z 02＜δ，使 z 02＜z＜时 F 2（z）＜λ成立，令 z 0=max{z01，z02}，即得引理 5的（iii）满足，于是方程（4）在直线x=1/a的左边存在极限环.推论若a3＞0，0＜a1＜max{-（a2a+a3）/a2，（a2a－a3）/a2+4}，系统（2）存在唯一的稳定极限环.3 结论综上可知，若有极限环，系统（2）至多有一个.定理6 设a=0，则系统（2）存在极限环的充分必要条件是a1a3＜0.当a≠0时，根据定理 1 知道系统（2）存在极限环的必要条件是 a1（a2a+a3）＜0 且 a1（a1a2+a2a+a3）＜0.令a2=0，文[3]的定理6表明，这个条件也是充分的，即系统（2）存在极限环的充分必要条件是a1a3＜0且＜.而a2≠0时，情况就不一样了.定理 7 设a≠0，若 a 1a3＜0 且 a 1（a1a2+a2a+a3）＜0，则系统（2）存在一个极限环.定理 8 设a≠0，若 a 1a3＞0、a1（a1a2+a2a+a3）＜0 且 a 1（a1a2-a2a+a3）＜4a2，则系统（2）存在一个极限环.参考文献：[1]叶彦谦.极限环论 [M].上海：上海科学技术出版社，1984.263－373.[2]叶彦谦.多项式微分系统定性理论 [M].上海：上海科学技术出版社，1995.204－287.[3]李健全，马知恩.一类三次系统极限环的存在唯一性[J].系统科学与数学，1999，19（1）：16－18.[4]梁锦鹏.一类三次系统的极限环 [J].系统科学与数学，2003，23（3）：398－404.[5]梁锦鹏.一类三次系统的极限环 II[J].系统科学与数学，2008，28（5）：576－587.[6]张锦炎，冯贝叶.常微分方程几何理论与分支问题 [M].（第三版）.北京：北京大学出版社，2000.47，169，207－210.[7]张芷芬，丁同仁，黄文灶，等.微分方程定性理论 [M].北京：科学出版社，1985.161－170，208－210.[8]丁大正.Lienard 方程极限环的存在性 [J].应用数学学报，1984，7（2）：166－174.。

非线性系统的闭环控制策略与稳定性分析非线性系统的闭环控制策略与稳定性分析是控制理论中的一个重要领域，它涉及到对复杂系统行为的理解和控制。

非线性系统因其内在的复杂性和不确定性，使得其控制策略和稳定性分析比线性系统更加复杂和富有挑战性。

本文将探讨非线性系统的闭环控制策略，以及如何进行稳定性分析。

一、非线性系统的特点与挑战非线性系统是指系统的行为不能用线性方程来描述的系统。

这类系统在自然界和工程领域中非常普遍，例如生物系统、经济系统、机械系统等。

非线性系统的特点包括但不限于：- 系统的输出与输入之间的关系不是简单的比例关系。

- 系统的行为可能随时间、状态或外部条件的变化而变化。

- 系统可能表现出混沌、多稳态、周期性等复杂动态行为。

由于这些特点，非线性系统的控制面临着诸多挑战，如：- 控制策略的设计需要考虑系统的非线性特性。

- 系统的稳定性分析更加复杂，传统的线性化方法可能不适用。

- 需要更高级的数学工具和计算方法来分析和设计控制策略。

二、非线性系统的闭环控制策略闭环控制是指系统根据反馈信息来调整其行为的过程。

对于非线性系统，闭环控制策略的设计需要特别考虑系统的非线性特性。

以下是一些常见的非线性闭环控制策略：1. 反馈线性化控制反馈线性化是一种将非线性系统通过适当的非线性状态反馈转化为线性系统的方法。

一旦系统被线性化，就可以应用线性控制理论来设计控制器。

这种方法的关键在于找到合适的变换和反馈律，使得转换后的系统具有线性特性。

2. 滑模控制滑模控制是一种鲁棒性很强的控制策略，它通过设计一个滑动面，使得系统状态能够在该面上滑动，从而达到期望的性能。

滑模控制对参数变化和外部干扰具有很强的不敏感性，适用于非线性系统的控制。

3. 自适应控制自适应控制是一种能够根据系统参数或外部环境的变化自动调整控制策略的方法。

对于非线性系统，自适应控制可以在线调整控制器参数，以适应系统的变化，提高系统的鲁棒性和性能。

4. 模糊控制模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制策略，它通过模糊集合和模糊推理来处理不确定性和模糊性。

第六章 非线性微分方程和稳定性6-1 对下列方程求出常数特解，并且画出方程经过()0,0x 的积分曲线的走向，从而判断各驻定解的稳定性；然后作变量替换，使非零驻定解对应于新的方程的零解。

1）+∞<<-∞>>+=02,0,0,x B A Bx Ax dtdx 2）()()0,310≥--=x x x x dtdx 解 1）方程可化为 )(x BA Bx dt dx +=，则其常数特解为B A x x -==21,0，即为驻定解。

由于方程为分离变量方程（或迫努利方程），当BA x x -≠≠,0时，分离变量得 Adt dxB A x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11 方程的通解为At Ce BxA x =+ 利用初始条件()⎪⎭⎫ ⎝⎛-≠≠=B A x x x x 000,00，得 00Bx A x C +=，故得原方程满足初始条件的解为()0)(0≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-t e B x A B At x At（1） 由式（1）和方程右端的表达式，得出当00>x 时，0>dt dx ，)(t x 递增， 又 B e B x A B B x A At →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+->+-00,时，+∞→)(t x ， 即)1ln(10+=→B x A A t t 时，+∞→)(t x 。

当 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-><+>-<>+<000,0000000 dt dx ,B A x , B x A dt dx ,B A x B x A x 时，有 ()+∞→-→t BA t x )( 所以解（1）的图像如图6-5所示。

图6-5从解的图像可以看出：解01=x 不稳定；解B A x -=2稳定。

利用变换BA x y +=，可将原方程化为 22)()(By Ay BA yB B A y A dt dy +-=-+-= 所以原方程的驻定解BA x -=2对应于方程 2By Ay dtdy +-= 的零解0=y 。

极限环第五讲分叉（分岔）⾮线性动⼒系统随着其控制参数的变化，其运动形态，如平衡点的稳定性、数⽬、拓扑轨道等也发⽣变化，就是分岔，该变化处的参数值就是分岔点0u 。

3.1 分岔的条件⼀维微分⽅程：通常分叉点（00,u x ）是⽅程的解，不仅通过此点稳定性发⽣改变，即0=??x F ，⽽且该点参数u 依赖x 的关系不是唯⼀的，即0=??u F ，那么分叉点满⾜=??=??=0|0|0)()0,0()0,0(0,0u x u x uF x F u x F 例⼦：),()(2u x F x u x x≡-= 显然，对于实空间，,00|3*2<=-=??u x u xF x ，因此不动点为0*=x 附近的扰动是渐近减⼩的，不动点0*=x 是稳定的。

⽽对于0>u ，有三个平衡点u x x ±==**0不动点为0*=x 时0|3*2>=-=??u x u xF x ，因此不动点为0*=x 附近的扰动是渐近增⼤的，不动点0*=x 是不稳定的。

不动点为u x ±=*时02|3*2<-=-=??u x u xF x ，因此不动点u x ±=*是稳定的。

我们⽤实线表⽰稳定，虚线表⽰不稳定，如上图所⽰，当经过分岔点（0,0）时，原来不动点的稳定性发⽣了改变，⽽且⼜出现了新的平衡点，形状像叉⼦，因此称为叉式分岔。

在分叉点（00,u x ）=（0,0），满⾜条件=??=??=0|0|0)()0,0()0,0(0,0u x u x uF xF u x F 。

⼆维微分⽅程==),(),(y x G yy x F x 有Jacobi 矩阵),(**y x y G x Gy F x F A= 其特征值为可以表⽰为 ])det(4)()([212A A Tr A Tr -±=λ)(A Tr 是矩阵的迹，det 是⾏列式值，随着⼆者的变化，系统的解和稳定性发⽣改变，其条件是0),(0),(****==y x G y x F0|)det(),,(0**=u y x A 例⼦：-Ω====])cos()[sin(),(),(22w x x y x G yy y x F x ⾸先看不动点)0,0(),(**=y x ，Jacobi 矩阵-Ω==01022),(**w y G x Gy F x F A y x 其特征值为222w -Ω=λ，当w <Ω，特征值为共轭虚根，因此（0,0）点为稳定的中⼼，⽽w >Ω，特征值为异号的实根，是不稳定的鞍点。