圆锥曲线8

圆锥曲线向量点乘知识讲解一、相关向量知识点1.三点共线： ①；②存在实数，使；③若存在实数，且，使． 2.给出，等于已知，即是直角； 给出，等于已知是钝角， 给出，等于已知是锐角．3.给出，等于已知是4.在中，给出垂心是三角形三条高的交点）．5.如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化．二、垂直与角度1.垂直以AB 为直径的圆过原点O 121200OA OB x x y y ⇔⋅=⇔+=2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ 21222221kmb x x k a b+=-+ 故222222222121212122222222(1)(1)0(1)()11m k m k b b x x y y k x x km x x m mk k a b a b +-=+=++++=-+++ A B C ，，//AB AC λAB AC λ=αβ，1αβ+=OC OA OB αβ=+0MA MB ⋅=MA MB ⊥AM B ∠0MA MB ⋅<AM B ∠0MA MB ⋅>AM B ∠MA MB MP MA MB λ⎛⎫⎪+= ⎪⎝⎭MP AM ∠ABC △OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅两边同时乘以2221k a b+，整体处理得222222222221(1)(1)()0m k m k k m b b a b+--++= 消去高次项222k m b得2222210m m k b a --+=即找了,,,a b m k 的关系式. 推广：以AB 为直径的圆过焦点1F1112120()()0F A FB x c x c y y ⇔⋅=⇔+++=⇔可以看得出，同样可以采用整体法处理.2.角度问题成锐角或钝角原点O 在以AB 为直径的圆内0OA OB x ⇔⋅<⇔易得2222210m m k b a--+<原点O 在以AB 为直径的圆外121200OA OB x x y y ⇔⋅>⇔+>易得2222210m m k b a--+>经典例题一．选择题（共7小题）1．（2018•重庆三模）直线l过抛物线y2=ax（a＞0）的焦点F且与抛物线交于A，B两点，则=（）A．B．C．2a D．4a【解答】解：抛物线的焦点F（，0），设直线l的方程为x=ky+，联立方程组，消去y得：x2﹣（+k2a）x+=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=+k2a，x1x2=，又|AF|=x1+，|BF|=x2+，∴====．故选：B．2．（2018•三明模拟）设F1，F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，M，N为直线bx﹣ay=0上两点，且，，∠MAN=135°，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：如图，F1，F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，，，即以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M、N两点，∴直线MN：bx﹣ay=0，圆的方程为：x2+y2=c2，联立，解得M（a，b），N（﹣a，﹣b），∵A（﹣a，0），∴=（2a，b），=（0，﹣b），∵∠MAN=135°，∴cos＜，＞==﹣，解得b=2a，∴c==a，∴e==．故选：A．3．（2018•乌鲁木齐模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0）与圆F：x2+y2﹣px=0，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D，则下列关于|AB|•|CD|的值的说法中，正确的是（）A．等于B．等于4p2C．最小值为p2D．最大值为p2【解答】解：圆F的半径为，设A（x A，y A），D（x D，y D），由抛物线的定义可知|AB|=|AF|﹣|BF|=x A+﹣=x A，同理可得|CD|=x D．∴|AB|•|CD|=x A x D．（1）当直线l与x轴垂直时，x A=x D=，∴|AB|•|CD|=．（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=kx﹣，联立方程组，消去y得：k2x2﹣（k2p+2p）x+=0，∴x A x D=，即|AB|•|CD|=．综上，|AB|•|CD|=．故选：A．4．（2018•宁城县模拟）椭圆的焦点为F1，F2，点M在椭圆上，且=0，则△MF1F2的内切圆半径为（）A．B．C．D．2﹣【解答】解：设，，椭圆的焦距为：2c=2，a=2，因为点M在椭圆上，且=0，可得m2+n2=12，m+n=4，可得mn=2，△MF1F2的内切圆半径为：r．mn=（m+n+2c）r，解得r===2﹣．故选：D．5．（2018•上饶二模）已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点）且|PF1|=λ|PF2|，则实数λ的值为（）A．3 B．2 C．D．【解答】解：由双曲线方程可得a=2，b=，c=，∴||=又∵使，∴（+）（﹣）=0，∴﹣=0，∴||=||=，故△PF1F2是以P为直角的直角三角形又∵P是双曲线右支上的点∴|PF1|＞|PF2|，∴|PF1|=|PF2|+4，由勾股定理可得|PF2|2+（|PF2|+4）2=4C2=40，解得|PF2|=2，|PF1|=6故λ=3故选：A．6．（2018•乌鲁木齐模拟）已知抛物线y2=4x与圆F：x2+y2﹣2x=0，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D，则下列关于|AB|•|CD|的值的说法中，正确的是（）A．等于1 B．等于16 C．最小值为4 D．最大值为4【解答】解：∵y2=4x，焦点F（1，0），准线：x=﹣1．由定义得：|AF|=x A+1，又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=x A，同理：|CD|=x D，当l⊥x轴时，则x D=x A=1，∴|AB|•|CD|=1当l：y=k（x﹣1）时，代入抛物线方程，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x A x D=1，∴|AB|•|CD|=1综上所述，|AB|•|CD|=1，故选：A．7．（2018•济南二模）已知抛物线C：x2=4y，过抛物线C上两点A，B分别作抛物线的两条切线PA，PB，P为两切线的交点O为坐标原点若，则直线OA与OB的斜率之积为（）A．B．﹣3 C．D．﹣4【解答】解：设A（，），B（，），由抛物线C：x2=4y，得，则y′=．∴，，由，可得，即x1x2=﹣4．又，，∴．故选：A．二．填空题（共6小题）8．（2018•襄城区校级一模）已知直线l：x+y+m=0与双曲线C：﹣=1（a ＞0，b＞0）右支交于M，N两点，点M在第一象限，若点Q满足+=（其中O为坐标原点），且∠MNQ=30°，则双曲线C的渐近线方程为y=±x．【解答】解：由题意可知：M，Q关于原点对称，设M（m，n），N（u，v），则Q（﹣m，﹣n），即有﹣=1，﹣=1，两式相减可得=，可得k MN•k QN=•==，∵k MN=﹣，k QN=tan150°=﹣，∴=1，即a=b，∴双曲线C的渐近线方程为y=±x，即y=±x，故答案为：y=±x．9．（2018•赤峰一模）抛物线y2=2px （p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线相交于M，N 两点，若=14，则p=．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，焦点F（，0）．把x=﹣代入双曲线方程：，化简得：y2=﹣9，∴M（﹣，），N（﹣，﹣），∴=（﹣p，），=（﹣p，﹣），∴=p2﹣+9=14，又p＞0，∴p=．故答案为：．10．（2018•黑龙江模拟）M，N分别为双曲线﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|•|的最小值为4．【解答】解：由向量数量积的定义知•即向量在向量上的投影||模长的乘积，故求|•|的最小值，即求在x轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图象可知|•|的最小值为4故答案为：411．（2018•黄州区校级模拟）已知点F2、P分别为双曲线（a＞0，b ＞0）的右焦点和右支上的点，O为坐标原点，若，，且，则此双曲线的离心率为．【解答】解：∵，∴M是PF2的中点，∵，∴OF2=F2M=c，∵，则2c2cos（π﹣∠OF2M）=a2+b2=c2，∴∠OF2M=120°．∴M（，），∵F2（c，0），M是PF2的中点，∴P（2c，c），∵P在双曲线上，∴，即4b2c2﹣3a2c2﹣a2b2=0，∵b2=c2﹣a2，∴4c2（c2﹣a2）﹣3a2c2﹣a2（c2﹣a2）=0，即4c4﹣8a2c2+a4=0，4e4﹣8e2+1=0，解得e2=．∴．故答案为：．12．（2014秋•杭州期末）已知动点P（x，y）在椭圆=1上，若A点的坐标为（6，0），||=1，且•=0，则||的最小值为．【解答】解：∵•=0，∴PM⊥AM，∴|PM|2=|AP|2﹣|AM|2，又∵||=1，∴|AP|越小，|PM|就越小，设P（10cosx，8sinx），则|AP|2=（10cosx﹣6）2+（8sinx﹣0）2=100cos2x﹣120cosx+36+64sin2x=36cos2x﹣120cosx+100=（6cosx﹣10）2，∴|AP|的最小值为=4，∴|PM|的最小值为：=，故答案为：．13．（2007•南通模拟）经过双曲线＞，＞上任一点M，作平行于实轴的直线，与渐近线交于P，Q两点，则=a2．【解答】解：设M（x，y），则有： ⇒x2=①且P（﹣y，y），Q（y，y），∴，，，∴=（﹣）•（）+0=x2﹣=﹣=a2．故答案为a2．三．解答题（共6小题）14．（2018•定远县模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且|OP|=5，•=16（O 为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（0，﹣1）且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过该点？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），则由|OP|=5，得=25，由=16，得（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=16，∴﹣c2=16，∴c2=9，c=3，∵，∴a2=18，b2=9，∴椭圆方程为=1．（2）设动直线l的方程为y=kx﹣1，由，得（2k2+1）x2﹣4kx﹣16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=﹣，假设在y轴上存在M（0，m），满足题设，则=（x1，y1﹣m），=（x2，y2﹣m），=x1x2+（y1﹣m）（y2﹣m）==x1x2+（kx1﹣1）﹣m（kx1﹣1+kx2﹣1）+m2===，由假设得对于任意的k∈R，=0恒成立，即，解得m=3．∴在y轴上存在定点M，使以AB为直径的圆恒过该点，点M的坐标为（0，3）．15．（2018•南平二模）已知抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线C上的点M（2，y0）到F的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）斜率存在的直线l与抛物线相交于相异两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=4．若AB的垂直平分线交x轴于点G，且=5，求直线l方程．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线定义知MF=2+所以2+=3，⇒p=2．所以，抛物线方程为y2=4x．（Ⅱ）设AB中点坐标（2，m），直线l的斜率存在，所以m≠0，=，所以直线AB方程为：y﹣m=，即2x﹣my+m2﹣4=0．由得y2﹣2my+2m2﹣8=0，其中△＞0得到m2＜8，．AB的垂直平分线方程为：y﹣m=﹣，，令y=0，得x=4，所以G（4，0），，，，．因为=5，所以（x1﹣4）（x2﹣4）+y1y2=5．x1x2﹣4（x1+x2）+16+y1y2=5，③，把②代入③得（（m2﹣4）2+8（m2﹣4）﹣20=0，（m2+6）（m2﹣6）=0，m2=6＜8，m=，所以，直线l方程为2x﹣或2x+．16．（2018•黄山一模）已知椭圆Γ：＞＞的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形AF1BF2是边长为2的正方形．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若C、D分别是椭圆Γ的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于与点P．证明：为定值．【解答】解：（1）∵左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形，∴a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2，∴椭圆方程为+=1．（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），则=（x1，y1），=（2，y0）直线CM：y﹣0=（x+2），即y=x+y0．代入椭圆x2+2y2=4，得（1+）x2+y02x+y02﹣4=0，故方程的两个根分别为﹣2和x1，由韦达定理可得x1﹣2=，∴x1=，∴y1=．∴=（，）∴=+==4．17．（2018•海南一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＞＞的离心率为，A，F分别为椭圆的上顶点和右焦点，△AOF的面积为，直线AF与椭圆交于另一个点B，线段AB的中点为P．（1）求直线OP的斜率；（2）设平行于OP的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，且与直线AF交于点Q，求证：存在常数λ，使得．【解答】解：（1）根据题意，椭圆＞＞的离心率为，即e==，即a2=2b2，c2=a2﹣b2=b2，所以A（0，b），F（c，0），所以，所以c=1，所以椭圆的方程为．直线AF的方程为y=﹣x+1，联立消去y得3x2﹣4x=0，所以或x=0，所以，，从而得线段AB的中点，．所以直线OP的斜率为．（2）证明：由（1）知，直线AF的方程为y=﹣x+1，直线OP的斜率为，设直线l的方程为．联立得；所以点Q的坐标为，．所以，，，．所以．联立消去y得，由已知得△=4（3﹣2t2）＞0，又t≠0，得，，．设C（x1，y1），D（x2，y2），则，，，．所以，=，，，，故===．所以．所以存在常数，使得．18．（2018•马鞍山二模）在直角坐标系中，己知点A（﹣2，0），B（2，0），两动点C（0，m），D（0，n），且mn=3，直线AC与直线BD的交点为P．（1）求动点P的轨迹方程；（2）过点F（1，0）作直线l交动点P的轨迹于M，N两点，试求的取值范围．【解答】解：（1）直线AC的方程：（1）直线BD的方程：（2）上述两式相乘得：，又mn=3，于是：由mn=3得m≠0，n≠0，∴x≠±2所以动点P的轨迹方程：．（2）当直线MN的斜率不存在时，，，，，有：，，，，得；当直线MN的斜率存在时，设方程：y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）联立：，整理得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0有，，由；由k2＞0，可得：＜＜，综上所得：的取值范围：，．19．（2018•全国I模拟）设O为坐标原点，椭圆C：=1，动直线l （l不经过O）与C交于P、Q两点，M为线段PQ的中点．（1）设直线l的斜率为k，直线OM的斜率为k1，求k1k的值；（2）若△OPQ的面积等于，求M的轨迹方程，并|OM||PQ|的最大值．【解答】解：（1）设l：y=kx+m，代入椭圆方程整理得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4=0则设M（x，y），则x=y=故k1=，于是k1k=为常数；（本问也可用点差法）…（5分）（2）当l不与y轴平行时，同（1）可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4=0，△=8（4k2﹣m2+2），|PQ|=，d O﹣l=，S=…（8分）化简得：m2=2k2+1…①，代入△=8（4k2﹣m2+2）=8（2k2+1）＞0设M（x，y）则x=…②y=…③①②③式消去m、k可得=1当l与y轴平行时，设l：x=m，可解得：|PQ|=2S=|m|由S=解得m=，此时M（，0）也满足=1…（10分）|OM||PQ|=当k=时等号成立，故最大值为3…（12分）。

圆锥曲线焦点弦的八大结论圆锥曲线是几何学中的一类重要的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

在圆锥曲线的研究中，焦点和弦是两个重要的概念，它们之间有着许多有趣的关系。

本文将介绍圆锥曲线焦点弦的八大结论。

一、椭圆的焦点弦椭圆有两个焦点，分别为F1和F2。

对于任意一条经过椭圆两个焦点的弦AB，有以下结论：1. 弦中点M在线段F1F2上；2. 焦点到弦的距离之和等于弦长，即AF1 + BF2 = AB；3. 焦点到弦的距离之差等于弦段所在直线与椭圆长轴的距离之差，即AF1 - BF2 = PM - PN，其中P和N分别为弦AB的两个端点在椭圆上的垂足；4. 焦点到弦的距离之比等于弦段所在直线与椭圆焦点连线的斜率，即AF1/AF2 = MF/MG，其中M为弦中点，G为椭圆长轴的中点；5. 弦中点M到椭圆两个焦点的距离之差等于弦段所在直线与椭圆长轴的距离之差，即MF1 - MF2 = PM - PN；6. 弦端点P和N到椭圆两个焦点的距离之差相等，即PF1 - PF2 = NF1 - NF2；7. 椭圆的两个焦点到弦的距离之积等于椭圆长轴的平方减去弦长的平方，即AF1·BF2 = AC - AB，其中AC为椭圆长轴的长度；8. 弦段所在直线与椭圆中心连线的斜率等于椭圆长轴和短轴的比值，即PG/PM = b/a，其中a和b分别为椭圆长轴和短轴的长度。

二、双曲线的焦点弦双曲线有两个焦点，分别为F1和F2。

对于任意一条经过双曲线两个焦点的弦AB，有以下结论：1. 弦中点M在线段F1F2的延长线上；2. 焦点到弦的距离之差等于弦长，即AF1 - BF2 = AB；3. 焦点到弦的距离之和等于弦段所在直线与双曲线渐近线的距离之和，即AF1 + BF2 = PM + PN，其中P和N分别为弦AB的两个端点在双曲线上的垂足；4. 焦点到弦的距离之比等于弦段所在直线与双曲线渐近线的斜率，即AF1/AF2 = MF/MG，其中M为弦中点，G为双曲线渐近线的中点；5. 弦中点M到双曲线两个焦点的距离之和等于弦段所在直线与双曲线渐近线的距离之和，即MF1 + MF2 = PM + PN；6. 弦端点P和N到双曲线两个焦点的距离之差相等，即PF1 - PF2 = NF2 - NF1；7. 双曲线的两个焦点到弦的距离之积等于双曲线的常数c的平方减去弦长的平方，即AF1·BF2 = c - AB，其中c为双曲线的常数；8. 弦段所在直线与双曲线中心连线的斜率等于双曲线焦点之间的距离和双曲线渐近线的斜率之和的倒数，即PG/PM = (F1F2/c) + (c/PN)。

最全圆锥曲线知识点总结的定义是指平面内一个动点P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数（PF1+PF2=2a>F1F2），那么这个动点P的轨迹就是椭圆。

这两个定点被称为椭圆的焦点，两焦点的距离被称为椭圆的焦距。

注意：如果PF1+PF2=F1F2，则动点P的轨迹是线段F1F2；如果PF1+PF2<F1F2，则动点P的轨迹无图形。

2）对于椭圆，如果焦点在x轴上，那么它的参数方程是x=acosθ，y=bsinθ（其中θ为参数），如果焦点在y轴上，那么它的参数方程是y=acosθ，x=bsinθ。

如果椭圆的标准方程是x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），那么它的范围是−a≤x≤a,−b≤y≤b，焦点是两个点(±c,0)，对称中心是(0,0)，顶点是(±a,0)和(0,±b)，长轴长为2a，短轴长为2b，离心率为e=c/a，椭圆即为0<e<1的情况。

3）关于直线与椭圆的位置关系，如果点P(x,y)在椭圆外，那么a2+b2>1；如果点P(x,y)在椭圆上，那么a2+b2=1；如果点P(x,y)在椭圆内，那么a2+b2<1.4）焦点三角形是指椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形。

5）弦长公式是指如果直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1、x2分别为A、B的横坐标，那么AB=√[1+k2(x1−x2)2]。

如果y1、y2分别为A、B的纵坐标，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。

如果弦AB所在直线方程设为x=ky+b，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。

6）圆锥曲线的中点弦问题可以用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆中，以P(x,b2x,y)为中点的弦所在直线的斜率k=−a2y。

1.已知椭圆 $m x^2 + n y^2 = 1$ 与直线 $x+y=1$ 相交于$A,B$ 两点，点 $C$ 是 $AB$ 的中点，且 $AB=2\sqrt{2}$，求椭圆的方程，若 $OC$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$，求 $m,n$ 的值。

高三数学第二轮专题复习系列(8)-- 圆锥曲线一、知识结构 1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线.点与曲线的关系 若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0； 点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0两条曲线的交点 若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则 f 1(x 0,y 0)=0 点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔f 2(x 0,y 0) =0方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点. 2.圆 圆的定义 点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2E ，半径是24F -E D 22+.配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F-E D 22+当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E); 当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内， ｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上， ｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +.(3)直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交⇔有两个公共点 直线与圆相切⇔有一个公共点 直线与圆相离⇔没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=22C Bb Aa BA +++与半径r 的大小关系来判定.3.椭圆、双曲线和抛物线椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.椭 圆 双曲线 抛物线轨迹条件 点集：({M ｜｜MF 1+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a ＝点集：{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜.=±2a,｜F 2F 2｜＞2a}. 点集{M ｜ ｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}. 圆 形标准方程 22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)y 2=2px(p ＞0)顶 点 A 1(-a,0),A 2(a,0); B 1(0,-b),B 2(0,b)A 1(0,-a),A 2(0,a) O(0,0)轴 对称轴x=0,y=0 长轴长：2a 短轴长：2b 对称轴x=0,y=0 实轴长：2a 虚轴长：2b 对称轴y=焦 点F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在长轴上 F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在实轴上 F(2P，0) 焦点对称轴上焦 距｜F 1F 2｜=2c ，c=b2-a2｜F 1F 2｜=2c, c=b2a2+准 线x=±ca 2准线垂直于长轴，且在x=±ca 2准线垂直于实轴，且在x=-2p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离曲 线 性 质椭圆外.两顶点的内侧.相等.离心率e=a c,0＜e ＜1 e=ac,e ＞1 e=14.圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率. 当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆 当e=1时，轨迹为抛物线 当e ＞1时，轨迹为双曲线 5.坐标变换坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O ′y ′中的坐标是(x ′,y ′).设新坐标系的原点O ′在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k)，则x=x ′+h x ′=x-h (1) 或(2)y=y ′+k y ′=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.方 程焦 点 焦 线对称轴 椭圆22h)-(x a +22k)-(y b=1 (±c+h,k)x=±c a 2+hx=h y=k 22h)-(x b +22k)-(y a =1 (h,±c+k) y=±c a 2+kx=h y=k 双曲线22h)-(x a -22k)-(y b=1 (±c+h,k)=±c a 2+kx=h y=k 22k)-(y a -22h)-(x b=1 (h,±c+h)y=±ca 2+kx=h y=k 抛物线 (y-k)2=2p(x-h)(2p+h,k) x=-2p +h y=k (y-k)2=-2p(x-h)(-2p+h,k) x=2p +h y=k (x-h)2=2p(y-k)(h, 2p+k)y=-2p +kx=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,-2p+k) y=2p +k x=h二、知识点、能力点提示(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.三、 考纲中对圆锥曲线的要求： 考试内容：. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程； . 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质； . 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质； 考试要求：. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程； . (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质； . (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质； . (4)了解圆锥曲线的初步应用。