南通市、扬州市、泰州市、淮安市2016届高三第三次调研测试(十八)

南通市、扬州市、泰州市、淮安市2016届高三第三次调研测试(十八)

参考公式：

样本数据x1，x2，„，xn的方差s2＝1ni＝1n(xi－x－)2，其中x－＝1ni＝1nxi.

柱体的体积V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

甲 乙

9 8 8 7 9

2 1 0 9 0 1 3

(第3题)

1.已知集合U＝{－1，0，1，2}，A＝{－1，1，2}，则∁UA＝________．

2.已知复数z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则z的共轭复数为________．

3.如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定(方差较小)的那一位同学的方差为__________．

(第4题)

4.右图是一个算法流程图，则输出的S的值为__________．

5.已知正三棱柱的各条棱长均为a，圆柱的底面直径和高均为b.若它们的体积相等，则a3∶b3的值为________．

6.将一枚骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线y＝12x下方的概率为__________．

7.函数f(x)＝1lgx－2的定义域为__________．

8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2－y2＝1与抛物线y2＝－12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为__________．

9.已知两曲线f(x)＝cosx，g(x)＝3sinx，x∈0，π2相交于点A，若两曲线在点A处的切线与x轴分别相交于B，C两点，则线段BC的长为__________．

(第10题)

10.如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若|AB→|＝3，|AC→|＝5，则(AP→＋AQ→)·(AB→－AC→)的值为__________．

11.设数列{an}满足a1＝1，(1－an＋1)(1＋an)＝1(n∈N*)，则k＝1100(akak＋1)的值为__________．

12.已知函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，g(x)＝ (f′(x)为f(x)的导函数)．若方程g(f(x))＝0有四个不等的实根，则a的取值范围是__________． (第13题)

13.如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，顶点C，D在函数y＝x＋1x(x＞0)的图象上．记AB＝m，BC＝n，则mn2的最大值为__________．

14.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x－1)2＋y2＝2，圆C2：(x－m)2＋(y＋m)2＝m2.若圆C2上存在点P满足：过点P向圆C1作两条切线PA，PB，切点为A，B，△ABP的面积为1，则正数m的取值范围是__________．

二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.(本小题满分14分)

已知△ABC是锐角三角形，向量m＝cosA＋π3，sinA＋π3，n＝(cosB，sinB)，且m⊥n.

(1) 求A－B的值；

(2) 若cosB＝35，AC＝8，求BC的长．

16. (本小题满分14分)

如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD＝2AB＝2BC，M，N分别是棱PA，CD的中点．求证：

(1) PC∥平面BMN；

(2) 平面BMN⊥平面PAC.

17.(本小题满分14分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，长轴长为4.过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝a2于相异两点P，Q.

(1) 若直线l的斜率为12，求APAQ的值；

(2) 若PQ→＝λAP→，求实数λ的取值范围．

18.(本小题满分16分)

某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形．现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口．

(1) 若窗口ABCD为正方形，且面积大于14m2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；

(2) 若四根木条总长为6m，求窗口ABCD面积的最大值．

19.(本小题满分16分)

已知数列{an}，{bn}均为各项都不相等的数列，Sn为{an}的前n项和，an＋1bn＝Sn＋1(n∈N*)．

(1) 若a1＝1，bn＝n2，求a4的值；

(2) 若{an}是公比为q的等比数列，求证：存在实数λ，使得{bn＋λ}为等比数列；

(3) 若{an}的各项都不为零，{bn}是公差为d的等差数列，求证：a2，a3，„，an，„成等差数列的充要条件是d＝12.

20.(本小题满分16分)

设函数f(x)＝xex－asinxcosx(a∈R，其中e是自然对数的底数)．

(1) 当a＝0时，求f(x)的极值；

(2) 若对于任意的x∈0，π2，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；

(3) 是否存在实数a，使得函数f(x)在区间0，π2上有两个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

1.{0} 解析：∁UA＝{0}．本题主要考查补集的概念．本题属于容易题．

2.3＋4i 解析：z＝3－4i，则z的共轭复数为3＋4i.本题主要考查共轭复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．

3.2 解析：通过数据发现乙同学的数据波动大，即方差大，则成绩较稳定(方差较小)的是甲，他的平均成绩为90，方差为2.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式．本题属于容易题．

4.3 解析：由流程图知循环体执行3次，第1次循环S＝11，n＝3；第2次循环S＝8，n＝5；第3次循环S＝3，n＝7.本题考查了算法语句及流程图的基本概念．本题属于容易题．

5.π∶3 解析：由正三棱柱的体积为34a3，圆柱的体积为πb34，34a3＝πb34，则a3∶b3的值为π∶3.本题考查了圆柱与棱柱的体积公式．本题属于容易题．

6.16 解析：一枚骰子连续抛掷2次的基本事件数为36种，点P(m，n)在直线y＝12x下方，即y＜12x，当y＝1时，x＝3，4，5，6；当y＝2时，x＝5，6；共有6种基本事件，所求的概率为16.本题考查古典概型，属于容易题．

7.(1，10] 解析：由1lgx≥2，即0

8.y＝±24x 解析：抛物线y2＝－12x的焦点坐标为(－3，0)，双曲线x2a2－y2＝1中c＝3，a2＋1＝9，a2＝8，则双曲线的两条渐近线的方程为y＝±24x.本题考查了抛物线方程、双曲线方程的结构特征，以及双曲线的渐近线的方程．本题属于容易题．

9.433 解析：由cosx＝3sinx，x∈0，π2，则x＝π6，A(π6，32)，k1＝－sinπ6＝－12，k2＝3cosπ6＝32.两条切线方程分别为y－32＝－12x－π6，y－32＝32x－π6.它们与x轴交点的横坐标分别为π6＋3、π6－33.则线段BC的长为π6＋3－π6－33＝433.本题考查了三角函数的图象与性质，导数的几何意义以及直线方程．本题属于中等题．

10.－16 解析：由AP→＝AQ→－PQ→，PQ→·CB→＝0，则(AP→＋AQ→)·(AB→－AC→)＝(2AQ→－PQ→)·CB→＝2AQ→·CB→＝(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝AB→ 2－AC→

2＝9－25＝－16.本题考查了向量线性分解、向量数量积的运算．本题属于中等题．

11.100101 解析：由(1－an＋1)(1＋an)＝1得1an＋1－1an＝1，则an＝1n，原式＝11×2＋12×3＋13×4＋„＋1100×101＝1－12＋12－13＋13－14＋„＋1100－1101＝1－1101＝100101.本题考查了等差数列的定义、通项公式，以及裂项法．本题属于中等题．

12.a＜0或a＞2 解析：g(x)＝x2＋ax，x≥0，2x＋a，x<0.

当a＝0时，显然不成立；

当a>0时，g(x)的图象如图①.

图①

g(t)＝0有2个不等实根t1＝0，t2＝－a2，则t1＝f(x)＝0需有2个不等实根，t2＝f(x)＝－a2需有2个不等实根，f(x)的图象如图②. 图②

只要－a2>－a24，即a>2；

当a<0时，g(x)的图象如图③.

图③

g(t)＝0有2个不等实根t1＝0，t2＝－a，则t1＝f(x)＝0需有2个不等实根，t2＝f(x)＝－a需有2个不等实根，f(x)的图象如图④.

图④

只要－a>－a24即a<0即可．

综上a<0或a>2.

本题考查了二次函数的性质、分段函数，函数的导数以及数形结合思想和分类讨论思想．本题属于难题．

13.14 解析：设D(x1，n)，C(x2，n)(0

14.[1，3＋23] 解析：如图，设∠APC1＝θ，则AP＝2tanθ.

∴S△ABP＝12AP2sin2θ＝12·2tan2θ·sin2θ＝2cos3θsinθ＝1，即1－tan2θ1＋tan2θ＝tanθ－1.

∵θ∈0，π2，∴tanθ＝1，即θ＝π4，此时PC1＝2.则点P在圆C1′：(x－1)2＋y2＝4上，又点P在圆C2：(x－m)2＋(y＋m)2＝m2上，∴圆C1′与圆C2有交点，即|2－m|≤C1′C2≤2＋m，解之得1≤m≤3＋23，∴正数m的取值范围时[1，3＋23]．本题考查了圆的切线的性质、三角函数的运用、圆与圆相交的条件．本题属于难题．

15.解：(1) 因为m⊥n，