江苏省南通市、泰州市2020届高三上学期期末联考数学试题(含答案)

2020届江苏省泰州市高三上学期期末考试数学试题一、填空题1．函数()sin2的最小正周期为．f x x2．已知集合A＝｛4，｝，B＝｛－1，16｝，若A∩B，则＝__.3．复数z满足（i是虚数单位），则｜z｜＝__.4．函数的定义域是__.5．从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为___.6．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是__.7．已知数列｛｝满足＝1，则＝__.8．若抛物线的准线与双曲线＝1的一条准线重合，则p＝__.9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1－MBC的体积为V1，四棱锥A1－BB1C1C的体积为V2，则的值是__.10．已知函数，若，则实数的取值范围为__.11．在平面直角坐标系xoy中，过圆C1：＝1上任一点P作圆C2：＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ长最小时，k＝__.12．已知点P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足，，则 ＝__.13．已知函数，若存在＜0，使得＝0，则实数的取值范围是__.14．在△ABC中，已知，其中，若为定值，则实数＝__.二、解答题15．已知向量，，其中。

（1）若，求x的值；（2）若，求｜｜的值。

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD。

（1）求证：直线PB∥平面OEF；（2）求证：平面OEF⊥平面ABCD。

17．如图，三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米。

（1）将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小。

南通、泰州2020届高三第一学期期末调研试题解析数学I 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．答案：{1,2}-解析：因为{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，所以{1,2}A B =-2．解析：22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-，则||z =3．答案：40解析：3535413851405++++=4．答案：11解析：模拟演示：1,1a i == 2,2a i == 4,3a i == 7,4a i ==11,5a i ==此时输出11a =5．答案：1解析：由题意得：2214a a a =⋅，则2111()(3)a d a a d +=⋅+，整理得1a d =，所以11a d= 6．答案：38解析：223113()()228P C =⋅⋅=7．解析：112232V =⨯⨯⨯8．答案：5解析：由题意得：2632k ωππππ-=+，k z ∈，则512k ω=+，k z ∈，因为0ω>，所以当0k =时ω取得最小值，即5ω=9．答案：1a < 10．答案：1211．答案：1000解析：10003lg lg 2121=⇒=-E E E E 12．答案：334 解析：13．答案：}52,852-{8,8+ 解析：14．答案：)31,1(-- 解析：二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分14分）16.（本小题满分14分）17.（本小题满分14分）18.（本小题满分16分）19.（本小题满分16分）20.（本小题满分16分）数学II卷 40分附加题21．【选做题】本题包含A、B、C小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）B．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）C．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）23.（本小题满分10分）。

2020-2021学年江苏省泰州市高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若集合A ={x|x 2−4<0}，B ={x|lgx <0}，则A ∩B =( )A. (−2,1)B. (−2,2)C. (0,1)D. (0,2)2. 设x ∈R ，则“|x|<1”是“x 3<1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3. 若复数z =2−i ，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是( )A. z 的虚部为iB. |z|=5C. z −=−2−iD. z 2=3−4i4. 人的心脏跳动时，血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg 为标准值设某人的血压满足函数式p(t)=102+24sin(160πt)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t 为时间(单位：min)，则下列说法正确的是( )A. 收缩压和舒张压均高于相应的标准值B. 收缩压和舒张压均低于相应的标准值C. 收缩压高于标准值、舒张压低于标准值D. 收缩压低于标准值、舒张压高于标准值5. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”日：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.意思是：球的体积V 乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d ，由此我们可以推测当时球的表面积S 计算公式为( )A. S =278d 2 B. S =272d 2C. S =92d 2D. S =1114d 26. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ,sinθ)，则△ABC 的面积最大值为( ) A. √32B. 12C. √52D. 17. 已知x =log 0.15，y =log 7√5，则( )A. x +y <xy <0B. xy <x +y <0C. x +y <0<xyD. xy <0<x +y8. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(1−x)=f(7−x)，且当0≤x <3时，f(x)={a +log √2(x +1),0≤x ≤12(x −2)2,1<x <3，其中a 为常数，则f(2019)+f(2020)+f(2021)的值为( )A. 2B. −2C. 12D. −129. 已知抛物线Γ：x 2=4y 的焦点为F ，过F 与y 轴垂直的直线交抛物线Γ于点M ，N ，则下列说法正确的有( )A. 点F 坐标为(1,0)B. 抛物线Γ的准线方程为y =−1C. 线段MN 长为4D. 直线y =x −2与抛物线Γ相切10. 已知函数f(x)=sin(cosx)，则下列关于该函数性质说法正确的有( )A. f(x)的一个周期是2πB. f(x)的值域是[−1,1]C. f(x)的图象关于点(π,0)对称D. f(x)在区间(0,π)上单调递减11. 引入平面向量之间的一种新运算“⊗”如下：对任意的向量m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，n ⃗ =(x 2,y 2)，规定m ⃗⃗⃗ ⊗n ⃗ =x 1x 2−y 1y 2，则对于任意的向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，下列说法正确的有( )A. a ⃗ ⊗b ⃗ =b ⃗ ⊗a ⃗B. (λa ⃗ )⊗b ⃗ =λ(a ⃗ ⊗b ⃗ )C. a ⃗ ⋅(b ⃗ ⊗c ⃗ )=(a ⃗ ⊗b ⃗ )⋅c ⃗D. |a ⃗ |⋅|b ⃗ |≥|a ⃗ ⊗b ⃗ |12. 已知(1+x +x 2)n =T n 0+T n 1x +T n 2x 2+⋯+T n 2n x 2n ，n ∈N ∗，其中T ni 为(1+x +x 2)n 展开式中x i 项系数，i =0，1，2，…，2n ，则下列说法正确的有( )A. T 7i =T 714−i，其中i =0，1，2，…，14 B. T 72+T 73=T 83 C. ∑T 7i 14i=1=2∑3i6i=0D. T 77是T 70，T 71，T 72，…，T 714的最大项 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=e x +x(其中e 为自然对数的底数)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为______ ．14. 党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”.为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作、若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为______ ． 15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线Γ：x 2−y 27=1的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心，F 1F 2长为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线交于M ，N 两点，若OM ≥ON ，则OMON 的值为______ ．16. 已知随机变量X 有三个不同的取值，分别是0，1，x ，其中x ∈(0,1)，又P(X =0)=12，P(X =1)=14，则当x = ______ 时，随机变量X 的方差的最小值为______ ．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos C，b cos B，c cos A成等差数列．(1)求角B的大小；(2)若cosA=45，求sin C的值．18.已知数列{a n}的前n项和为S n=n(n−1)2，各项均为正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，_____，且b3=4．在①T2=3；②T3=7；③b4−b3=2b2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并进行解答．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)设数列{a nb n }的前n项和为An，求证：A n<2．19.在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为√3的等边三角形ABC，AA1=2，点A1在底面上的射影是△ABC的中心O．(1)求证：平面A1AO⊥平面BCC1B1；(2)求二面角C1−AB−C的余弦值．20.2020年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础.在产业扶贫政策的大力支持下，西部某县新建了甲、乙两家玩具加工厂，加工同一型号的玩具.质检部门随机抽检了两个厂的各100件玩具，在抽取中的200件玩具中，根据检测结果将它们分为“A”、“B”、“C”三个等级，A、B等级都是合格品，C等级是次品，统计结果如表所示：等级A B C频数2012060(表一)厂家合格品次品合计甲75乙35合计(表二)在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由原厂家自行销毁．(1)请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表(表二)，并判断是否有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关？(2)每件玩具的生产成本为30元，A、B等级产品的出厂单价分别为60元、40元.另外已知每件次品的销毁费用为4元.若甲厂抽检的玩具中有10件为A等级，用样本的频率估计概率，试判断甲、乙两厂是否都能盈利，并说明理由．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．21.已知函数f(x)=13x3−12ax2−2x的两个极值点(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)分别为x1，x2，且x1<x2．(1)证明：函数f(x)有三个零点；(2)当x∈[m,+∞)时，对任意的实数a，f(x2)总是函数f(x)的最小值，求整数m的最小值．22.如图，已知椭圆Γ：x24+y22=1，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，C，D在椭圆Γ上，点D在第一象限.CB的延长线交椭圆Γ于点E，直线AE与椭圆Γ、y轴分别交于点F、G，直线CG交椭圆Γ于点H，DA的延长线交FH于点M．(1)设直线AE、CG的斜率分别为k1、k2，求证：k1为定值；k2(2)求直线FH的斜率k的最小值；(2)证明：动点M在一个定曲线上运动．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={x|x2−4<0}={x|−2<x<2}，B={x|lgx<0}={x|0<x<1}，∴A∩B=(0,1)．故选：C．求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了一元二次不等式的解法，对数函数不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由|x|<1，解得：−1<x<1，由x3<1，解得：x<1，故“|x|<1”是“x3<1”的充分不必要条件，故选：A．解不等式，根据集合的包含关系判断即可．本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及不等式问题，是一道基础题．3.【答案】D【解析】解：复数z=2−i的虚部为−1，故A错误；|z|=√22+(−1)2=√5，故B错误；z−=2+i，故C错误；z2=(2−i)2=3−4i，故D正确．故选：D．由复数的基本概念判断A与C；求出|z|判断B；利用复数代数形式的乘除运算判断D．本题考查复数的基本运算，考查复数的有关概念，是基础题．4.【答案】C【解析】解：p(t)=102+24sin(160πt)， ∴−1≤sin(160πt)≤1， ∴p(t)∈[78,126]，即为收缩压为126，舒张压为78，∵120∈[78,126]，读数120/80mmHg 为标准值， ∴收缩压高于标准值、舒张压低于标准值， 即选项C 符合， 故选：C ．先根据函数p(t)=102+24sin(160πt)，求出最大值和最小值，进而可得到收缩压和舒张压的值，确定答案．本题主要考查正弦函数的最值的求法，属基础题．5.【答案】A【解析】解：根据题意： d =√16V 93，整理得V =916d 3，由于球的体积公式V =43⋅π⋅R 3=43⋅π(12d)3=16πd 3， 所以16π=916， 所以π=278，故S 表=4π⋅R 2=278d 2．故选：A ．直接利用球的体积公式和球的表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数学文化，球的体积公式和球的表面积，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：因为向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ,sinθ)， 所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，可得S △ABC =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |sinα=√52sinα， 可得当sinα=1时，即α为直角时△ABC 的面积最大，△ABC 的面积最大值为√52．故选：C ．由题意可求|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，利用三角形的面积公式可得S △ABC =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinα=√52sinα，根据正弦函数的性质即可求解． 本题主要考查了三角形的面积公式，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了向量的运算，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：∵x =log 0.15<0，y =log 7√5>0， ∴xy <0，1x +1y =lg0.1lg5+lg712lg5=lg4.9lg5=log 54.9∈(0,1)，∴xy <x +y <0． 故选：B ．利用对数函数的单调性可得x <0，y >0，再利用对数运算性质化简1x +1y ，即可得出结论．本题考查了换底公式和对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由f(1−x)=f(7−x)，得f(1−x)=f[6+(1−x)]， 可得f(x)是周期为6的周期函数，又f(x)为奇函数，且当0≤x <3时，f(x)={a +log √2(x +1),0≤x ≤12(x −2)2,1<x <3，∴f(2019)=f(336×6+3)=f(3)， f(2020)=f(336×6+4)=f(4)， f(2021)=f(336×6+5)=f(5)， 且f(0)=0，则a +log √21=0，即a =0． ∴f(x)={log √2(x +1),0≤x ≤12(x −2)2,1<x <3．∴f(5)=f(−1)=−f(1)=−log √22=−2， f(4)=f(−2)=−f(2)=0，f(3)=f(−3)=−f(3)，得f(3)=0．∴f(2019)+f(2020)+f(2021)=−2+0+0=−2． 故选：B ．由已知求解函数周期，再由周期性及已知函数解析式求解f(2019)，f(2020)，f(2021)的值，作和得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】BC【解析】解：A ，B 中：由抛物线的方程可得准线方程为：y =−1，焦点F 坐标(0,1)， 直接可得A 不正确，B 正确；C 中：过M ，N 作准线的垂线交于M′，N′，由抛物线的性质可得|MN|=|MM′|+|NN′|=2+2=4，所以C 正确；联立{y =x −2x 2=4y，整理可得：x 2−4x +8=0，D 中：因为△=16−4×8<0，所以方程无解，及直线与抛物线相离，所以D 不正确， 故选：BC ．由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，进而可得选项A 不正确，B 正确，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离可得MN 的值，可判断C 正确，将直线y =x −2与抛物线联立可得判别式小于0，可得直线与抛物线相离，判断D 选项错误． 本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系的判断，属于中档题．10.【答案】AD【解析】解：由于f(x)=sin(cosx)，对于A ：所以函数满足f(x +2π)=f(x)，故A 正确；对于B ：由于x ∈R ，函数的cos x 的值域为[−1,1]，所以f(x)∈[−sin1,sin1]，故B 错误； 对于C ：当x =π时，f(π)=−sin1，故C 错误；对于D ：对于cos x 在(0,π)上单调递减，所以sin(cosx)单调递减，故正确． 故选：AD ．直接利用三角函数的关系式的变换，函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11.【答案】ABD【解析】解：设a⃗=(x1,y1)，b⃗ =(x2,y2)，c⃗=(x3,y3)，对于A，a⃗⊗b⃗ =x1x2−y1y2，b⃗ ⊗a⃗=x2x1−y2y1，所以a⃗⊗b⃗ =b⃗ ⊗a⃗，故A正确；对于B，λa⃗=(λx1,λy1)，则(λa⃗ )⊗b⃗ =λx1x2−λy1y2，λ(a⃗⊗b⃗ )=λ(x1x2−y1y2)=λx1x2−λy1y2，所以(λa⃗ )⊗b⃗ =λ(a⃗⊗b⃗ )，故B正确；对于C，因为b⃗ ⊗c⃗=x2x3−y2y3，则a⃗⋅(b⃗ ⊗c⃗ )=(x2x3−y2y3)a⃗=(x1x2x3−x1y2y3,y1x2x3−y1y2y3)，(a⃗⊗b⃗ )⋅c⃗=(x1x2−y1y2)c⃗=(x1x2x3−x3y1y2,y3x1x2−y1y2y3)，故a⃗⋅(b⃗ ⊗c⃗ )与(a⃗⊗b⃗ )⋅c⃗不一定相等，故C错误；对于D，若|a⃗|⋅|b⃗ |=√x12+y12⋅√x22+y22，|a⃗⊗b⃗ |=|x1x2−y1y2|，(|a⃗|⋅|b⃗ |)2=(x12+y12)(x22+y22)=x12x22+y12y22+x12y22+x22y12，(|a⃗⊗b⃗ |)2=x12x22+y12y22−2x1x2y1y2，(|a⃗|⋅|b⃗ |)2−(|a⃗⊗b⃗ |)2=x12y22+x22y12+2x1x2y1y2=(x1y2+x2y1)2≥0，所以(|a⃗|⋅|b⃗ |)2≥(|a⃗⊗b⃗ |)2，即|a⃗|⋅|b⃗ |≥|a⃗⊗b⃗ |，故D正确．故选：ABD．由平面向量的新运算，逐个选项计算即可得出结论．本题主要考查新定义的应用，考查平面向量数量积的坐标运算，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：(1+x+x2)7=[(1+x)+x2]7=C70(1+x)7+C71(1+x)6x2+C72(1+x)5x4+C73(1+x)4x6+C74(1+x)3x8+C75(1 +x)2x10+C76(1+x)x12+C77x14=1+7x+28x2+77x3+245x4+266x5+357x6+393x7+357x8+266x9+245x10+77x11+28x12+7x13+x14，由上式可知，选项ACD正确；由式子可得，T 72+T 73=105，而T 83=112，故选项B ，不正确； 故选：ACD ．将(1+x +x 2)n =T n 0+T n 1x +T n 2x 2+⋯+T n 2n x 2n ，n ∈N ∗，展开，可得出结论．本题考查了二项式定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2x −y +1=0【解析】解：f(x)=e x +x 的导数为f′(x)=e x +1， 可得切线的斜率为k =f′(0)=1+1=2， 切点为(0,1)，则切线的方程为y −1=2(x −0)， 即为2x −y +1=0， 故答案为：2x −y +1=0．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程． 本题考查导数的运用：求切线方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14.【答案】90【解析】解：根据题意，将5名应届大学毕业生按2、2、1分组，则方法数为C 52C 32A 22=15种，再分配到该山区的3所乡村小学，共有A 33=6种， 根据分步计数原理，共有15×6=90种， 故答案为：90．根据分步计数原理，将5名应届大学毕业生按2、2、1分组，再分配该山区的3所乡村小学去，可得结论．本题考查排列组合知识，考查分步计数原理，属于基础题．15.【答案】32【解析】解：双曲线Γ：x 2−y 27=1的两个焦点分别为F 1(−2√2,0)，F 2(2√2,0)，渐近线方程为y =±√7x ，圆F 2的方程为(x −2√2)2+y2=32，由{y =√7x (x −2√2)2+y 2=32，解得{x =−√2y =−√14或{x =3√22y =3√142，则√x 2+y 2=4或6，由OM ≥ON ，可得OM =6，ON =4， 则OMON =32， 故答案为：32．求得双曲线的焦点和渐近线方程，以及圆F 2的方程，求得M ，N 的坐标，由两点的距离公式，计算可得所求值．本题考查双曲线和圆的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】13 16【解析】解：由题意可得P(X =x)=1−P(X =0)−P(X =1)=1−12−14=14， 则E(X)=0×12+1×14+14x =14(1+x)，则D(X)=E(X 2)−E 2(X)=14+14x 2−116(1+x)2=316x 2−18x +316=316(x −13)2+16，x ∈(0,1)，所以当x =13时，D(X)取得最小值为16． 故答案为：13，16．由随机变量分布列的性质可得P(X =x)，进而求得E(X)，由公式D(X)=E(X 2)−E 2(X)将方差用x 表示，利用二次函数的性质即可求得结论．本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，考查二次函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由题，a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，∴2bcosB =acosC +ccosA ， 又acosC +ccosA =b ，∴cosB =12，即B =π3． (2)由B =π3，得A +C =2π3，得C =2π3−A ，又cosA =45，所以sinA =35， ∴sinC =sin(2π3−A)=sin 2π3cosA −cos2π3sinA =√32×45−(−12)×35=4√3+310，故sin C 的值4√3+310．【解析】本题考查等差数列的性质及解三角形，熟练掌握掌握双基是解答本题的关键，本题属于基础题，难度中档．(1)先由等差数列的性质建立方程，再由acosC +ccosA =b 可得出B 的余弦值，从而求出角B 的值； (2)结合第一问得出C =2π3−A ，再利用正弦的差角公式展开即可求出sin C 的值．18.【答案】(1)∵S n =n(n−1)2，∴当n ≥2时，有a n =S n −S n−1=n(n−1)2−(n−1)(n−2)2=n −1，又当n =1时，a 1=S 1=0也适合上式， ∴a n =n −1，设等比数列{b n }的公比为q(q >0)， 若选条件①：由题设可得：{b 1q 2=4b 1(1+q)=3，解得：{b 1=1q =2，∴b n =2n−1； 若选条件②：由题设可得：{b 1q 2=4b 1(1+q +q 2)=7，解得：{b 1=1q =2， ∴b n =2n−1； 若选条件③：由题设可得：{b 1q 2=4b 1(q 3−q 2)=2b 1q ，解得：{b 1=1q =2， ∴b n =2n−1，综上，a n =n −1，b n =2n−1；(2)由(1)可得：a nb n=n−12n−1，∴A n =020+121+222+⋯+n−12n−1， 又12A n =021+122+⋯+n−22n−1+n−12n，两式相减得：12A n =12+122+⋯+12n−1+1−n 2n=12[1−(12)n−1]1−12+1−n 2n=1−n+12n，∴A n =2−n+12n−1<2．【解析】(1)先利用a n =S n −S n−1求得a n ，再利用所选条件及题设求得等比数列{b n }的首项b 1与公比q ，即可求得b n ；(2)先由(1)求得a nb n，再利用错位相减法求得A n ，进而证明结论．本题主要考查数列通项公式的求法、等比数列基本量的计算及错位相减法在数列求和与不等式证明中的应用，属于中档题．19.【答案】(1)证明：∵点A 1在底面上的射影是O ，∴A 1O ⊥平面ABC ，∴A 1O ⊥BC ， ∵O 为等边△ABC 的中心， ∴AO ⊥BC ，又A 1O ∩AO =O ，A 1O 、AO ⊂平面A 1AO ， ∴BC ⊥平面A 1AO ， ∵BC ⊂平面BCC 1B 1， ∴平面A 1AO ⊥平面BCC 1B 1．(2)解：取AB 的中点M ，取BC 靠近点B 的三等分点N ，连接OM ，ON ，则OM ⊥ON ， 以O 为原点，OM ，ON ，OA 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(12,−√32,0)，B(12,√32,0)，C(−1,0，0)，A 1(0,0，√3)，C 1(−32,√32,√3)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,√3,√3)，∵A 1O ⊥平面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量为OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，√3)，设平面ABC 1的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{√3y =0−2x +√3y +√3z =0，令z =2，则x =√3，y =0，∴n ⃗ =(√3,0，2)，∴cos <OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√3×√3+4=2√77， 由图可知，二面角C 1−AB −C 为锐角， 故二面角C 1−AB −C 的余弦值为2√77．【解析】(1)易知A 1O ⊥平面ABC ，从而有A 1O ⊥BC ，由等边三角形的性质知，AO ⊥BC ，再结合线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理，得证；(2)取AB 的中点M ，取BC 靠近点B 的三等分点N ，连接OM ，ON ，以O 为原点，建立空间直角坐标系，由A 1O ⊥平面ABC ，知平面ABC 的一个法向量为OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出平面ABC 1的法向量n ⃗ 后，由cos <OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ >=OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |，即可得解． 本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)根据所提供的数据，可得2×2列联表：由χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，可得K 2=200×(75×35−25×65)2100×100×140×60=2.38<3.841．故没有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关． (2)甲厂10件A 等级，65件B 等级，25件次品， 对于甲厂，单件产品利润X 的取值可能为30，10，−34， X 的分布列如下：则E(X)=30×110+10×1320−34×14=1>0，故甲厂能盈利；对于乙厂有10件A等级，55件B等级，35件次品；对于乙厂，单位产品利润Y的取值可能为30，10，−34，X的分布列如下：则E(Y)=30×110+10×1120−34×720=−175<0，故乙厂不能盈利．【解析】(1)根据题目所给的数据可得2×2列联表，再由公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)计算k的值，从而查表即可；(2)用样本的频率估计概率，分别计算甲、乙两厂的获利期望可判断是否都能盈利．本题考查了独立性检验的应用问题，考查了概率、期望及计算能力的应用问题，是基础题目．21.【答案】解：(1)证明：∵函数f(x)=13x3−12ax2−2x的两个极值点分别为x1、x2，且x1<x2．∴f′(x)=x2−ax−2=0有两个不等的实根x1，x2，∴x1x2=−2<0，∴x1<0<x2，令f(x)=16x(2x2−3ax−12)=0，得x=0或2x2−3ax−12=0，由2x2−3ax−12=0，可知△=9a2+96>0，∴2x2−3ax−12=0有两个不等的非零实根，∴函数f(x)有三个零点．(2)根据f(x)的两个极值点分别为x1、x2，且x1<x2，可得f′(x)=x2−ax−2=0的两根为x1，x2，且x1<x2，根据二次函数知识可知当x<x1或x>x2时，f′(x)>0，当x1<x<x2时，f′(x)<0，∴f(x)在(−∞,x1)，(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，当x≠x2时，令f(x)=f(x2)⇒13x3−12ax2−2x=13x23−12ax22−2x2⇒(x −x 2)[2x 2+(2x 2−3a)x +2x 22−3ax 2−12]=0，∴2x 2+(2x 2−3a)x +2x 22−3ax 2−12=0有一根为x 2(x 2>0)，设另一根为x 3，∴x 2+x 3=−2x 2−3a2，∴x 3=3a−4x 22，又x 22−ax 2−2=0，即ax 2=x 22−2，∴x 3=3ax 2−4x 222x 2=3(x 22−2)−4x 222x 2=−x 22−62x 2=−(12x 2+3x 2)≤−2√32=−√6，依题意根据三次函数的图象，可得m ≥x 3恒成立，而x 3的最大值为−√6， ∴m ≥−√6，∵m ∈Z ，∴m ≥−2， ∴整数m 的最小值为−2．【解析】(1)由f(0)=0以及方程2x 2−3ax −12=0的判别式大于0，可知f(x)有3个零点；(2)利用导数可得f(x)在(−∞,x 1)，(x 2,+∞)上单调递增，在(x 1,x 2)上单调递减，当x ≠x 2时，令f(x)=f(x 2)，求出该方程的另一个根x 3的最大值为−√6，根据三次函数的图象可得结果．本题考查了函数的零点，利用导数研究函数的单调性和最值，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．22.【答案】证明：(1)设A(x 0,0)，B(−x 0,0)，C(−x 0,y 0)，D(x 0,y 0)，E(−x 0,−y 0)，则直线AE 的方程为：y =y2x 0x −y 02， 令x =0，解得y G =−y02，∴G(0,−y2)，则k CG =−3y02x 0，故k 1k 2=y 02x 0−3y 02x 0=−13，即k1k 2为定值；解：(2)由(1)知，直线CG 的方程为y =−3y2x 0x −y 02，将直线CG 与椭圆方程联立，可得(1+9y 022x 02)x 2+3y 02x 0x +12y 02−4=0．由x H +(−x 0)=−3y 02x 01+9y 022x 02，得x H =(2x 02+3y 02)x 02x 02+9y 02，∴H((2x 02+3y 02)x 02x 02+9y 02,−(4x 02+9y 02)y 02x 02+9y 02)，同理，将AE 的方程与椭圆方程联立，可得(1+y 022x 02)x 2−y 02x 0x +12y 02−4=0．由−x 0+x F =y 02x 01+y 022x 02，得x F =(2x 02+3y 02)x 02x 02+y 02，∴F((2x 02+3y 02)x 02x 02+y 02,y 032x 02+y 02). 则k =y H −yF x H−x F=−(4x 02+9y 02)y 02x 02+9y 02−y 032x 02+y 02(2x 02+3y 02)x 02x 02+9y 02−(2x 02+3y 02)x 02x 02+y 02=2x 02+3y 024y 02⋅y 0x 0≥2√6x 02y 024y 02⋅y 0x 0=√62，当且仅当2x 02=3y 02时取等号． ∴k min =√62； 证明：(3)HF 所在直线方程为y =2x 02+3y 024y 02⋅y 0x 0(x −2x 02+3y 022x 02+y 02x 0)+y 022x 02+y 02y 0， 令x =x 0，得y M =−y2， ∵x 024+y 022=1，∴x M24+2y M 2=1，可知动点M 在一个定曲线x 24+2y 2=1上运动．【解析】(1)设A(x 0,0)，B(−x 0,0)，C(−x 0,y 0)，D(x 0,y 0)，E(−x 0,−y 0)，写出直线AE 的方程，得到AE 的斜率，求出G 的坐标，进一步得到CG 的斜率，即可证明k 1k 2为定值；(2)分别写出直线CG 的方程与AE 的方程，与椭圆方程联立，求得H 与F 的坐标，写出FH 所在直线当斜率，然后利用基本不等式求最值； (3)写出HF 所在直线方程y =2x 02+3y 024y 02⋅y0x 0(x −2x 02+3y 022x 02+y 02x 0)+y 022x 02+y 02y 0，令x =x 0，得y M =−y02，结合x 024+y 022=1，即可证明动点M 在一个定曲线x 24+2y 2=1上运动．本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，综合性强，运算量大，属难题．。

2019-2020学年度第一学期期末考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积V ＝Sh ，锥体的体积V ＝13Sh一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 函数f(x)＝sin 2x 的最小正周期为________．2. 已知集合A ＝{4，a 2}，B ＝{－1，16}，若A ∩B ≠∅，则实数a ＝________． 3. 复数z 满足z i ＝4＋3i (i 是虚数单位)，则|z|＝________． 4. 函数y ＝1－x 2的定义域是________．5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________．6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值是________．7. 已知数列{a n }满足log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，则a 5＋a 3a 3＋a 1＝________．8. 若抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与双曲线x 2－y 2＝1的一条准线重合，则p ＝________． 9. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．10. 已知函数f(x)＝2x 4＋4x 2，若f(a ＋3)>f(a －1)，则实数a 的取值范围为________． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k)2＋(y ＋k －4)2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 的长最小时，k ＝________．12. 已知P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足PA →＋PB →＋2PD →＝0，λPA →＋μPB→＋PC →＝0，则λμ＝________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ＋2a ，x ≥a ，x 3＋3x －4a ，x<a ，若存在x 0＜0，使得f(x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，已知sin A sin B sin (C －θ)＝λsin 2C ，其中tan θ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，若1tan A ＋1tan B ＋2tan C为定值，则实数λ＝________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分) 已知向量a ＝(sin x ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos x ，其中x ∈(0，π)． (1) 若a ∥b ，求x 的值；(2) 若tan x ＝－2，求|a ＋b |的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为对角线BD 的中点，E ，F 分别为棱PC ，PD 的中点，已知PA ⊥AB ，PA ⊥AD.求证：(1) 直线PB∥平面OEF；(2) 平面OEF⊥平面ABCD.如图，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，Q 是弧AB 的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P(不与点O ，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB ，已知OA ＝2千米，∠AOB ＝π3，记∠APQ ＝θ rad ，地下电缆管线的总长度为y 千米．(1) 将y 表示成θ的函数，并写出θ的范围；(2) 请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，B 是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设点Q 的横坐标为x 0，求x 0的取值范围．设A ，B 为函数y ＝f(x)图象上相异两点，且点A ，B 的横坐标互为倒数，过点A ，B 分别作函数y ＝f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．(1) 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，0<x<1，ax 2， x>1不存在“优点”，求实数a 的值；(2) 求函数f(x)＝x 2的“优点”的横坐标的取值范围； (3) 求证：函数f(x)＝ln x 的“优点”一定落在第一象限．已知首项不为0的数列{a n}的前n项和为S n，2a1＋a2＝a3，且对任意的n∈N，n≥2都有2nS n＋1－(2n＋5)S n＋S n－1＝ra1.(1) 若a2＝3a1，求r的值；(2) 数列{a n}能否是等比数列？说明理由；(3) 当r＝1时，求证：数列{a n}是等差数列．2018～2019学年度第一学期期末考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t(t 为参数)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)设正数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝1，求1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝1.(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2) 求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值．23. (本小题满分10分)已知函数f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，设f n(x)＝f n－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)，方程f n(x)＝0和方程f n(x)＝1根的个数分别为g n(0)，g n(1)．(1) 求g2(1)的值；(2) 证明：g n(0)＝g n(1)＋1.2018～2019学年度第一学期期末考试数学参考答案1. π2. ±43. 54. [－1，1]5. 15 6. 87. 4 8. 2 9. 14 10. (－1，＋∞) 11. 212. －34 13. [－1，0) 14. 51015. (1) 因为a∥b ，所以sin x cos x ＝12，即sin 2x ＝1.因为x ∈(0，π)，所以x ＝π4. (2) 因为tan x ＝sin xcos x ＝－2，所以sin x ＝－2cos x .因为a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋12，1＋cos x ， 所以|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋（1＋cos x ）2＝94＋sin x ＋2cos x ＝32.16. (1) O 为BD 的中点，F 为PD 的中点， 所以PB∥FO.因为PB ⊄平面OEF ，FO ⊂平面OEF ， 所以PB∥平面OEF.(2) 连结AC ，因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AC 与BD 交于点O ，O 为AC 的中点． 因为E 为PC 的中点， 所以PA∥OE.因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PA⊥平面ABCD ，所以OE⊥平面ABCD. 因为OE ⊂平面OEF ， 所以平面OEF⊥平面ABCD.17. (1) 因为Q 为弧AB 的中点，由对称性，知PA ＝PB ，∠AOP＝∠BOP＝π6，又∠APO＝π－θ，∠OAP＝θ－π6，由正弦定理，得PA sinπ6＝OAsin （π－θ）＝OPsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6，又OA ＝2， 所以PA ＝1sin θ，OP ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6sin θ，所以y ＝PA ＋PB ＋OP ＝2PA ＋OP ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6sin θ＝3sin θ－cos θ＋2sin θ，因为∠APQ＞∠AOP，所以θ>π6，∠OAQ＝∠OQA＝12(π－π6)＝5π12，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12. (2) 令f(θ)＝3sin θ－cos θ＋2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12，f′(θ)＝1－2cos θsin 2θ＝0，得θ＝π3， f(θ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上单调递减，在区间(π3，5π12)上单调递增，所以当θ＝π3，即OP ＝233千米时，f(θ)有唯一的极小值，即是最小值，则f(θ)min＝2 3.答：当工作坑P 与O 的距离为233千米时，地下电缆管线的总长度最小．18. (1) 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a ＋a 2c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(2) 由(1)知，A(－2，0)，设AB ：x ＝my －2，m≠0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，3x 2＋4y 2＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6m 2－83m 2＋4，y ＝12m3m 2＋4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0， 即B(6m 2－83m 2＋4，12m 3m 2＋4)，则P(－83m 2＋4，6m3m 2＋4)，所以k OP ＝－3m 4，OP ：y ＝－3m 4x.因为AB⊥BQ，所以k BQ ＝－m ，所以直线BQ 的方程为BQ ：y ＝－mx ＋6m 3＋4m3m 2＋4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3m 4x ，y ＝－mx ＋6m 3＋4m3m 2＋4，得x 0＝8（3m 2＋2）3m 2＋4＝8－163m 2＋4∈(4，8)．19. (1) 由题意可知，f′(x)＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 对x∈(0，1)∪(1，＋∞)恒成立，不妨取x∈(0，1)，则f′(x)＝1x ＝2a x ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 恒成立，即a ＝12， 经验证，a ＝12符合题意．(2) 设A(t ，t 2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，1t 2(t ≠0且t≠±1)，因为f′(x)＝2x ，所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝2tx －t 2，y ＝2t x －1t 2，令2tx －t 2＝2t x －1t 2，解得x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以“优点”的横坐标取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(3) 设A(t ，ln t)，b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，－ln t ，t∈(0，1)， 因为f′(x)＝1x，所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝1t x ＋ln t －1，y ＝tx －ln t －1，令1t x ＋ln t －1＝tx －ln t －1， 解得x ＝2ln tt －1t>0，所以y ＝1t ·2ln t t －1t ＋ln t －1＝t 2＋1t 2－1(ln t －t 2－1t 2＋1)，设h(m)＝ln m －m 2－1m 2＋1，m∈(0，1)，则h′(m)＝（m 2－1）2m （m 2＋1）2>0，所以h(m)单调递增， 所以h(m)<h(1)＝0， 即ln t －t 2－1t 2＋1<0.因为t 2＋1t 2－1<0，所以y ＝1t ·2ln tt －1t＋ln t －1>0，所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限．20. (1)令n ＝2，得4S 3－9S 2＋S 1＝ra 1， 即4(a 3＋a 2＋a 1)－9(a 2＋a 1)＋a 1＝ra 1， 化简，得4a 3－5a 2－4a 1＝ra 1. 因为2a 1＋a 2＝a 3，a 2＝3a 1， 所以4×5a 1－5×3a 1－4a 1＝ra 1， 解得r ＝1.(2) 假设数列{a n }是等比数列，公比为q ，则由2a 1＋a 2＝a 3得2a 1＋a 1q ＝a 1q 2，且a 1≠0，解得q ＝2或q ＝－1，由2nS n ＋1－(2n ＋5)S n ＋S n －1＝ra 1， 得4S n ＝2na n ＋1－a n －ra 1(n≥2)，所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－ra 1(n≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n ， 两边同除以a n －1，可得2n(q 2－q)＝3q －1. 因为q ＝2或－1， 所以q 2－q≠0，所以上式不可能对任意n≥3恒成立， 故数列{a n }不可能是等比数列． (3) r ＝1时，令n ＝2， 整理得－4a 1－5a 2＋4a 3＝a 1，又由2a 1＋a 2＝a 3可知a 2＝3a 1，a 3＝5a 1， 令n ＝3，可得6S 4－11S 3＋S 2＝a 1， 解得a 4＝7a 1，由(2)可知4S n ＝2na n ＋1－a n －a 1(n≥2)， 所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－a 1(n≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n (n≥3)， 所以2(n －1)a n ＋a n －2＝(2n ＋1)a n －1(n≥4)，两式相减，可得2n[(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)]＝(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)(n≥4)． 因为(a 4－a 3)－(a 3－a 2)＝0，所以(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)＝0(n≥4)， 即a n －a n －1＝a n －1－a n －2(n≥4)， 又因为a 3－a 2＝a 2－a 1＝2a 1，所以数列{a n }是以a 1为首项，2a 1为公差的等差数列．21. A. 将λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1－2－52λ－x＝λ2－(x －1)λ－(x ＋5)＝0，得x ＝3，B. 由题意得曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t代入(x ＋1)2＋y 2＝4得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋t 2＝4，即4t 2－4t －3＝0， 解得t 1＝－12，t 2＝32，则AB ＝2|t 1－t 2|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－32＝2 2.C. 因为3a ＋2b ＋c ＝1， 所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c＝(2a ＋a ＋b ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ≥(2a ×1a＋a ＋b ×1a ＋b ＋b ＋c ×1b ＋c)2＝(2＋1＋1)2＝6＋42，当且仅当1a2a＝1a ＋ba ＋b ＝1b ＋cb ＋c时，等号成立， 所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c的最小值为6＋4 2.22. (1) 以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则A 1(0，0，3)，B(1，0，0)，C 1(1，1，3)，所以BA 1→＝(－1，0，3)，AC 1→＝(1，1，3)，所以cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝－1＋910×11＝411055.(2) 由题意得C(1，1，0)，D(0，1，0)，所以A 1B →＝(1，0，－3)，A 1C →＝(1，1，－3)，AC 1→＝(1，1，3)，AD →＝(0，1，0)， 设平面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧A 1B →·n 1＝0，A 1C →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－3z 1＝0，x 1＋y 1－3z 1＝0， 令z 1＝1，则n 1＝(3，0，1)．设平面AC 1D 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧AC 1→·n 2＝0，AD →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋3z 2＝0，y 2＝0， 令z 2＝1，则n 2＝(－3，0，1)， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－9＋110×10＝－45，所以平面A 1BC 与平面AC 1D 所成二面角的正弦值为35.23. (1) 当n ＝2时，f 2(x)＝f 1(1－|2x －1|)＝f(1－|2x －1|)＝1－|2(1－|2x －1|)－1|＝1，所以2(1－|2x －1|)＝1， 所以1－|2x －1|＝12，所以2x －1＝±12，所以x ＝14或x ＝34，所以g 2(1)＝2.(2) 因为f(0)＝f(1)＝0， 所以f n (0)＝f n (1)＝0.因为f 1(x)＝1－|2x －1|∈[0，1]，当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f 1(x)单调递增，且f 1(x)∈(0，1]， 当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，f 1(x)单调递减，且f 1(x)∈[0，1)． 下面用数学归纳法证明：方程f n (x)＝0(x∈(0，1])、方程f n (x)＝1(x∈(0，1])、方程f n (x)＝0(x∈[0，1))、方程f n (x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为g n (1)．(ⅰ) 当n ＝1时，方程f 1(x)＝0(x∈(0，1])、方程f 1(x)＝1(x∈(0，1])、方程f 1(x)＝0(x∈[0，1))、方程f 1(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为1，上述命题成立．(ⅱ) 假设n ＝k 时，方程f k (x)＝0(x∈(0，1])、方程f k (x)＝1(x∈(0，1])、方程f k (x)＝0(x∈[0，1))、方程f k (x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为g k (1)，则当n ＝k ＋1时，有f k ＋1(x)＝f k (f 1(x))．当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f 1(x)∈(0，1]，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数为g k (1)．当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，f 1(x)∈[0，1)，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数也为g k (1)． 所以方程f k ＋1(x)＝0(x∈(0，1])的根的个数为g k ＋1(0)＝2g k (1)，同理可证：方程f k ＋1(x)＝1(x∈(0，1])、方程f k ＋1(x)＝0(x∈[0，1))、方程f k ＋1(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为2g k (1)，由(ⅰ)(ⅱ)可知，命题成立， 又因为f n (0)＝f n (1)＝0， 所以g n (0)＝g n (1)＋1.。

2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期期末联考数学试题一、填空题1．已知集合A ＝{-1，0，2}，B ＝{-1，1，2}，则A ∩B =________. 【答案】{}1,2-【解析】根据交集的定义求解即可 【详解】由题,{}1,2A B ⋂=-, 故答案为：{}1,2- 【点睛】本题考查交集的运算,属于基础题2．已知复数z 满足(1+ i ) z ＝2i ，其中i 是虚数单位，则z 的模为_______.【解析】利用复数的除法法则可得1z i =+,进而求得模即可 【详解】 由题,()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-,所以z ==【点睛】本题考查复数的模,考查复数除法法则的应用,属于基础题3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为_______. 【答案】40【解析】根据平均数的公式计算即可 【详解】由题,则平均值为()13535413851405⨯++++=, 故答案为：40 【点睛】本题考查求平均数,考查运算能力,属于基础题 4．根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为_______.【答案】11【解析】根据已知中的语句可知,该程序的功能是循环计算a ,i 并输出满足条件的a 的值,模拟程序的运行过程,即可得答案 【详解】当1a =时,14i =≤,则112a =+=,1124i =+=≤, 则224a =+=,2134i =+=≤, 则437a =+=,3144i =+=≤, 则7411a =+=,415i i =+=>, 所以输出11a =, 故答案为：11 【点睛】本题考查循环结构和算法语句,当程序的运行次数不多时,采用模拟程序运行结果的办法进行解答即可5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 2，a 4成等比数列，则1a d的值为_____. 【答案】1【解析】由等比中项可得2214a a a =⋅,再根据等差数列{}n a 可得()()21113a d a a d +=+,即可求得1a 与d 的关系【详解】由0d ≠的等差数列{}n a ,因为124,,a a a 成等比数列,则2214a a a =⋅,即()()21113a d a a d +=+,可得1a d =,则11a d=, 故答案为：1 【点睛】本题考查等差数列定义的应用,考查等比中项的应用,属于基础题6．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为______. 【答案】38【解析】先求得正面向上的概率,再求得恰好出现2次正面向上的概率即可 【详解】设“正面向上”为事件A ,则()12P A =,则()11122P A =-=, 所以恰好出现2次正面向上的概率为223113228P C ⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故答案为：38【点睛】本题考查独立重复试验求概率,属于基础题7．在正三棱柱ABC - A 1B 1C 1 中，AA 1＝AB ＝2 ，则三枝锥A 1 - BB 1C 1 的体积为______.【解析】根据正三棱柱的性质可得各棱长均为2,则111111A BB C B A B C V V --=,进而求解即可 【详解】因为正三棱柱111ABC A B C -,则1BB ⊥底面111A B C ,111A B C △是等边三角形 又因为12AA AB ==,则三棱柱各棱长均为2,则1111112112sin 602323A BB C B A B C V V --⎛⎫==⨯⨯⨯︒⨯=⎪⎝⎭【点睛】本题考查三棱锥的体积的计算,考查正三棱柱的性质应用,考查转化思想 8．已如函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭.若当x ＝6π时，函数f (x )取得最大值，则ω的最小值为______.【答案】5 【解析】根据当6x π=能取到最大值可得()2632k k Z πππωπ-=+∈,则()512k k Z ω=+∈,由0>ω,对k 赋值,即可求解【详解】 由题,()2632k k Z πππωπ-=+∈,即()512k k Z ω=+∈,因为0>ω,则当0k =时,5ω=, 故答案为：5 【点睛】本题考查正弦型函数对称性的应用,属于基础题9．已知函数f (x )＝(m -2)x 2+(m -8)x (m ∈R )是奇函数.若对于任意的x ∈R ，关于x 的不等式f (x 2+1)<f (a )恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】1a <【解析】先由奇函数可得2m =,代回解析式则可判断函数单调递减,进而可将()()21f x f a +<恒成立转化为21x a +>恒成立,从而求解即可【详解】因为()f x 是奇函数, 所以()()()()()()()2222828220f x f x m x m x m x m x m x -+=---+-+-=-=,则2m =, 所以()6f x x =-,所以()f x 在R 上单调递减,因为()()21f x f a +<恒成立,所以21x a +>恒成立,则()2min11a x <+=,故答案为：1a < 【点睛】本题考查已知函数奇偶性求参数,考查利用函数单调性解不等式恒成立问题10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 分别在双曲线C : x 2-y 2＝1的两条渐近线上，且双曲线C 经过线段AB 的中点.若点 A 的横坐标为2，则点B 的横坐标为______. 【答案】12【解析】先得到渐近线方程为y x =±,则可设A 为()2,2-,(),B x x ,AB 的中点为22,22x x +-+⎛⎫⎪⎝⎭,再将中点坐标代入双曲线C 中,解得x 即为所求 【详解】由题,双曲线C 的渐近线方程为：y x =±,因为点A 的横坐标为2,则设A 为()2,2-,(),B x x ,则AB 的中点为22,22x x +-+⎛⎫⎪⎝⎭, 所以2222122x x +-+⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得12x =, 则点B 的横坐标为12, 故答案为：12【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的应用,考查中点公式的应用11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lgE ＝4.8 +1.5M . 2008年5月汶川发生里氏8.0 级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的______倍. 【答案】1000【解析】由题意分别求得6M =和8时的能量E ,进而求得能量的比 【详解】由题,当8M =时,lg 4.8 1.58E =+⨯,则16.810E =； 当6M =时,lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=,则13.810E =,所以16.8313.81010100010==,故答案为：1000 【点睛】本题考查对数的运算性质的应用,考查阅读分析能力12．已知△ABC 的面积3，且AB ＝AC .若2CD DA =u u u r u u u r,则BD 的最小值为______.【答案】3【解析】由题可设AD x =,则3AB AC x ==,利用余弦定理可得222222cos 106cos BD AB AD AB AD A x x A =+-⋅⋅=-⋅,再根据三角形面积公式可得11sin 33sin 322S AB AC A x x A =⋅⋅=⋅⋅⋅=,则22sin 3A x =,进而cos A =则2BD 为关于x 的函数,利用换元法和导函数求得最值即可 【详解】由题,设AD x =,则3AB AC x ==, 所以()22222222cos 323cos 106cos BD AB AD AB AD A x x x x A x x A=+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=-⋅, 因为11sin 33sin 322S AB AC A x x A =⋅⋅=⋅⋅⋅=,所以(]22sin 0,13A x=∈,因为大边对大角,所以令A 为锐角,则cos A =所以222210610BD x x x =-=-设223t x t ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭,则()10f t t =-所以()10f t '=令()0f t '=,则56t =,则()f t 在25,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,在5,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,所以()min551610663f t f ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭,所以min BD ==,【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形,考查利用导函数求最值,考查运算能力 13．在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2＝8与圆C 2 : x 2+y 2+2x +y -a ＝0相交于A ，B 两点.若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为______.【答案】{8,8-+【解析】先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可【详解】由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d , 因为ABP △等腰直角三角形, 所以12d AB =,即d =所以2d =,2d ==,解得8a =±当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =,故答案为：{8,8-+ 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想14．已知函数11,0(),01x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨<⎪-⎩，若关于x 的方程f 2(x )+2af (x )+1-a 2＝0有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是___.【答案】(1,1-【解析】画出图像,令()t f x =,由5个不相等的实根可得()10,1t ∈,()21,t ∈+∞,则可列出不得关系,进而求得参数范围即可 【详解】由题,画出()f x 的图像,设()t f x =,则方程22210t at a ++-=有5个不相等的实根, 由图可得,()10,1t ∈,()21,t ∈+∞,所以22101210a a a ⎧->⎪⎨++-<⎪⎩,解得113a -<<-, 故答案为：()1,13-- 【点睛】本题考查已知零点个数求参问题,考查数形结合思想二、解答题15．如图，在三棱锥P - ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PC ⊥ AB ，D ，E 分别为BC ，AC 的中点.求证:(1) AB / /平面PDE ; (2)平面PAB ⊥平面PAC .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）根据中位线的性质可得//AB DE ,进而得证； （2）先证得AB ⊥平面PAC ,进而得证 【详解】证明：（1）,D E Q 分别为,BC AC 的中点,//AB DE ∴,DE ⊂Q 平面PDE ,AB ⊄平面PDE ,//AB ∴平面PDE（2）PA ⊥Q 平面ABC ,AB Ì平面ABC ,PA AB ∴⊥,PC AB ⊥Q ,PA PC P =I ,,PA PC ⊂平面PAC , AB ∴⊥平面PAC ,∴平面PAB ⊥平面PAC【点睛】本题考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查推理论证能力 16．在△ABC 中，已知AC ＝4，BC ＝3，cosB ＝－14. (1)求sin A 的值；(2)求BA BC u u u r u u u rg 的值.【答案】（1；（2）32-【解析】（1）先求得sin B =再根据正弦定理求得sin A 即可； （2）根据余弦定理解得2AB =,再由数量积的定义求解即可 【详解】 （1）1cos 4B =-Q ,sin 4B ∴=,根据正弦定理可得,sin sin BC ACA B=,即3sin A =,sin A ∴=（2）根据余弦定理可得,2222cos AC AB BC AB AC B =+-⋅⋅, 即2223432AB AB =++,解得2AB =,13cos2342BA BC BA BC B ⎛⎫∴⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r【点睛】本题考查利用正弦定理求角,考查向量的数量积运算,考查运算能力17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为4，两条准线间的距离为8，A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知图中四边形ABCD 是矩形，且BC ＝4，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，AM 与BN 相交于第一象限内的点P .①若M ，N 分别是BC ，CD 的中点，证明:点P 在椭圆E 上；②若点P 在椭圆E 上，证明:BMCN为定值，并求出该定值. 【答案】(1) 22184x y +=；(2)①证明见解析；②证明见解析【解析】（1）由22428c a c=⎧⎪⎨=⎪⎩求得,a c ,进而求得椭圆的方程；（2）①分别求得M ,N 坐标,再求得直线AM 与直线BN 方程,即可求得交点坐标,进而得证；②分别设直线AP 的方程为(()11220y k x k =+>,直线BP 的方程为(()22220y k x k =-<,求得点M ,N 坐标,则12222M N y BM k CN x ==-,利用斜率公式求证即可 【详解】（1）由题,22428c ac=⎧⎪⎨=⎪⎩,则222c a =⎧⎪⎨=⎪⎩,所以2224b a c =-=,所以椭圆E 的标准方程为：22184x y +=（2）证明：①由（1）可得()A -,()B , 因为4BC =,且四边形ABCD 是矩形,所以()4C,()4D -, 因为点,M N 分别是,BC CD 的中点,所以()M ,()0,4N , 则直线AM20y -=-,即0x -+=, 直线BN404y -=-,即20x -=,所以020x x ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩,解得585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即85P ⎫⎪⎪⎝⎭因为2285+=184⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以点P 在椭圆E 上②设直线AP的方程为(()110y k x k =+>,令x =得1M y =, 设直线BP的方程为(()220y k x k=-<,令4y =,得24N x k -=, 12BMk CN ∴==, 设()00,P x y ()000,0x y >>,则2200184x y +=,()22001222001812882x y k k x x -∴====---,22BM CN ∴=【点睛】本题考查由几何性质求椭圆的方程,考查椭圆的定值问题,考查运算能力与推理证明能力 18．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a 的正三角形ABC 绕其中心O 逆时针旋转θ到三角形A 1B 1C 1，且20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.顺次连结A ，A 1，B ，B 1，C ，C 1，A ，得到六边形徽标AA 1BB 1CC 1 .(1)当θ＝6π时，求六边形徽标的面积； (2)求六边形徽标的周长的最大值. 【答案】(1)234a ；(2) 3a 【解析】（1）连接OB ,则123AOB πθ∠=-,由等边三角形ABC 的边长为a ,可得33OA OB a ==,再利用三角形面积公式求解即可； （2）根据三角形的对称性可得1232sinsin 232AA OA a θθ==,123312sin sin 32222A B OB πθθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,则周长为关于θ的函数,进而求得最值即可 【详解】（1）Q 等边三角形ABC 的边长为a ,3OA OB a ∴==, 连接OB ,123AOB πθ∴∠=-, 2123sin sin 236S OA ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=⨯+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, ∴当6πθ=时,六边形徽标的面积为234S a =（2）在1AOA V 中,12sinsin 232AA OA a θθ==, 在1BOA V 中,112sin sin 32222A B OB πθθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 设周长为()f q ,则()()113sin 23f AA A B θπθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,20,3θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 当且仅当232θππ+=,即3πθ=时,()max fθ=【点睛】本题考查三角形面积的应用,考查正弦型函数的最值问题,考查三角函数在几何中的应用,考查数形结合思想19．已知数列{a n }满足：a 1＝1，且当n ≥2时，11(1)()2nn n a a R λλ---=+∈（1）若λ＝1，证明数列{a 2n -1}是等差数列；（2）若λ＝2.①设223n n b a =+，求数列{bn }的通项公式；②设2113ni n i Cn a n ==⋅∑，证明：对于任意的p ，m ∈ N ，当p > m ，都有p C ≥ C m . 【答案】（1）证明见解析；（2）①243nn b =⋅；②证明见解析 【解析】（1）分别可得()2+12+1221112n n n n a a a --=+=+,()222121112nn n n a a a ----=+=,二者求和可得21211n n a a +--=,进而得证；（2）①分别可得()2222212111222n n n n a a a ++++--=+=,()212122112212n n n n a a a ++--=+=+,二者整理可得22242n n a a +=+,即可证明{}n b 是首项为83,公比为4的等比数列,进而求得通项公式；②先求得{}2n a 与{}21n a -的通项公式,则()()213212421ni n n i a aa a a a a -==+++++++∑L L ()4413nn =--,则1111444343333n n n n n n C n n n +++⎛⎫--=--= ⎪⋅⋅⎝⎭,进而利用数列的单调性证明即可 【详解】（1）证明：当1λ=时,()1112nn n a a ---=+, ()2+12+1221112n n n n a a a --∴=+=+①，()222121112n n n n a a a ----=+=②,则①+②得21211n n a a +--=, 当1n =时,11a =,{}21n a -∴是首项为1,公差为1的等差数列 （2）①当2λ=时,()11122nn n a a ---=+,当2n =时,()22111222a a --=+=, ()2222212111222n n n n a a a ++++--∴=+=①,()212122112212n n n n a a a ++--=+=+②,①+②2⨯得22242n n a a +=+,22222433n n a a +⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭,即14n n b b +=, 122282333b a =+=+=Q ,{}n b \是首项为83,公比为4的等比数列, 1824433n n n b -∴=⋅=⋅②由（2）①知()22413nn a =-,同理由212221212n n n n a a a a +-=+⎧⎨=⎩可得212141n n a a +-=+,212111433n n a a +-⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭, 当1n =时,11141333a +=+=, 2113n a -⎧⎫∴+⎨⎬⎩⎭是首项为43,公比为4的等比数列,12114144333n n n a --∴+=⋅=⋅,()211413n n a -∴=-()()213212421ni n n i a a a a a a a -=∴=+++++++∑L L()()()()()481414248433414141143143993n n n n n n n n n--=-+-=-+--=----, 1111444343333n n n n n n C n n n +++⎛⎫--∴=--= ⎪⋅⋅⎝⎭,()()211214314434133n n n n n n n n C C n n +++++-+----=-+⋅⋅ ()()()()21243143143413n n n n n n n n n +++⎡⎤-+--+--⎣⎦=+⋅()()122346681213n n n n n n n n ++-++++=+⋅()()122346141213n n n n n n n ++-⋅+++=+当1n =时,21321661412023C C -⨯+++-==⨯； 当2n =时,213642428120233C C -+++-==⨯⨯； 当3n ≥时,10n n C C +->,∴对于一切n *∈N ,都有1n n C C +≥,故对任意,p m N *∈,当p m >时,p m C C ≥【点睛】本题考查等差数列的证明,考查等比数列通项公式的应用,考查等比数列求和公式的应用,考查运算能力与推理论证能力20．设函数1()(x f x ax a e a R x ⎛⎫=--∈⎪⎝⎭，其中e 为自然对数的底数. （1）当a ＝0时，求函数f (x )的单调减区间；（2）已知函数f (x )的导函数f '(x )有三个零点x 1，x 2，x 3(x 1 < x 2 < x 3).①求a 的取值范围；②若m 1，m 2(m 1 < m 2)是函数f (x )的两个零点，证明：x 1<m 1<x 1 +1. 【答案】（1）(1,)+∞；（2）①40,27⎛⎫⎪⎝⎭②证明见解析 【解析】（1）当0a =时,()xe f x x =-,令()0f x ¢<,即可求得单调减区间； （2）①()()321x e f x ax x x'=-+,令()31g x ax x =-+,将()f x ¢有三个零点转化为()g x 有三个零点,对()g x 求导,可得()g x 的单调性,进而得到a 的范围；②将()f x 有两个零点转化为方程210ax ax --=有两个零点,则可得2111am am =+,2111a m m =-,进而得到()10g m >,()110g m -<,从而得证【详解】（1）当0a =时,()xe f x x =-, ()()21x e x f x x--'∴=, 令()0f x ¢<,可得1x >,()f x \的单调减区间为(1,)+∞（2）①由题,()()332221111x xx ax x e f x e ax e ax x x x x x⎛⎫-+⎛⎫'=-+==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0x ≠, 0x e >Q ,20x >,设()31g x ax x =-+,123,,x x x ∴是()g x 的三个零点,()231g x ax '∴=-,当0a ≤时,()0g x ¢<,则()g x 单调递减,不符合条件；当0a >时,令()0g x ¢=,则x =()g x ∴在,⎛-∞ ⎝,⎫+∞⎪⎪⎭单调递增,在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,⎛ ⎝单调递减, ()010g =>Q,0g ∴<,即310a <, ∴427a <,40,27a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭②12,m m Q 是()f x 的两个零点,令()0f x =,则方程210ax ax --=的两根分别为12,m m ,1210m m ∴=-<,12m m <Q ,10m ∴<,21110am am ∴--=,即2111am am =+,2111a m m =-,由①()()3221111111111111110g m am m am m m am m m am =-+=⋅-+=+-+=+>Q ,11m x ∴>,又()()()33111112111111111120g m a m m m m m m m -=--++=--+=<-Q , 111m x ∴-<,即111m x <+,故1111x m x <<+ 【点睛】本题考查利用导函数求函数单调区间,考查已知零点个数求参数问题,考查利用导函数处理零点问题,考查运算能力。

南通市2020届高三第一次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合，，则▲.【答案】2．已知复数满足，其中是虚数单位，则的模为▲.【答案】3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为，则这5名党员教师学习积分的平均值为▲.【答案】40 a←1 i←14．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为▲．While i≤4【答案】11a←a+i i←i+1 End While5．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，Print a 则的值为▲．（第4题）【答案】16．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为▲.【答案】7．在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为▲.【答案】8．已知函数．若当时，函数取得最大值，则的最小值为▲.【答案】59．已知函数是奇函数．若对于任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是▲．【答案】10．在平面直角坐标系中，已知点A，B分别在双曲线的两条渐近线上，且双曲线经过线段AB的中点．若点的横坐标为2，则点的横坐标为▲．【答案】11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的▲倍．【答案】100012．已知△ABC的面积为3，且．若，则的最小值为▲．【答案】13．在平面直角坐标系中，已知圆与圆相交于A，B两点．若圆上存在点，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数的值组成的集合为▲.【答案】14．已知函数若关于的方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是▲.【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面，，分别为的中点．求证：（1）AB∥平面；（2）平面平面．【证】（1）在中，因为分别为的中点，所以AB∥DE．……3分又因为平面，平面，所以AB∥平面．……6分（2）因为平面，平面，所以．……8分又因为，平面，，所以平面．……11分因为平面，所以平面平面．……14分16．（本小题满分14分）在△ABC中，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．【解】（1）在△ABC中，因为，，由，得．……2分又，，由正弦定理，得，……4分所以．……6分（2）（方法一）由余弦定理，得，……8分即，解得或（舍去）．……11分所以．……14分（方法二）在△ABC中，由条件得，所以，所以．所以．……8分所以．……10分由正弦定理，得，所以．……12分所以．……14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，两条准线间的距离为，分别为椭圆的左、右顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知图中四边形是矩形，且，点分别在边上，与相交于第一象限内的点．①若分别是的中点，证明：点在椭圆上；②若点在椭圆上，证明：为定值，并求出该定值．【解】（1）设椭圆的焦距为，则由题意，得解得所以．所以椭圆的标准方程为．……3分（2）①由已知，得，，，．直线的方程为，直线的方程为．联立解得即．……6分因为，所以点在椭圆上．……8分②（解法一）设，，则，．直线的方程为，令，得．……10分直线的方程为，令，得．……12分所以．……14分（解法二）设直线的方程为，令，得．设直线的方程为，令，得．……10分而．……12分设，，则，所以，所以．……14分18．（本小题满分16分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为的正三角形绕其中心逆时针旋转到三角形，且．顺次连结，得到O 六边形徽标．（1）当时，求六边形徽标的面积；（第18题）（2）求六边形徽标的周长的最大值．【解】连结．在正三角形中，，，，．……2分当正三角形绕中心逆时针旋转到正三角形位置时，有，，，所以≌≌，≌≌，所以，．……4分（1）当时，设六边形徽标的面积为，则……6分．答：当时，六边形徽标的面积为．……9分（2）设六边形徽标的周长为，则……11分，．……13分所以当，即时，取最大值．答：六边形徽标的周长的最大值为．……16分19．（本小题满分16分）已知数列满足：，且当时，．（1）若，证明：数列是等差数列；（2）若．①设，求数列的通项公式；②设，证明：对于任意的，当时，都有．【解】（1）时，由，得……2分所以，即（常数），所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．……4分（2）时，，时，．①时，所以．……6分所以．又，所以．……8分又，所以（常数）．所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为．……10分②由①知，，．所以，所以．……12分所以．……14分当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以．所以若，则．……16分20．（本小题满分16分）设函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）已知函数的导函数有三个零点，，．①求的取值范围；②若，是函数的两个零点，证明：．【解】（1）时，，其定义域为，．令，得，所以函数的单调减区间为．……3分（2）①，设，则导函数有三个零点，即函数有三个非零的零点．又，若，则，所以在上是减函数，至多有1个零点，不符合题意，所以．……5分令，．列表如下：极大值极小值所以即解得．……8分又，所以在上有且只有1个非零的零点．因为当时，，，，且，又函数的图象是连续不间断的，所以在和上各有且只有1个非零的零点．所以实数的取值范围是．……10分②（证法一）由，得设，且，所以．又因为，所以．所以或时，；时，．由①知，．因为，所以，，所以，．……14分所以成立．……16分（证法二）依题设知：，由①知，设，由①知，所以，在上单调递减．……12分又由，得：，即，所以，又，故，．于是（Ⅰ），即，又，，所以；……14分（Ⅱ），即，又，，故，又，所以，即．所以，得证．……16分21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知，向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵；（2）若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求点的坐标．【解】（1）因为向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，所以，即，所以解得所以．……5分（2）设，则，所以解得所以点的坐标为．……10分B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为(为参数)．求椭圆C上的点到直线的距离的最大值．【解】（方法一）直线的普通方程为．……2分设，则点到直线的距离．……8分当，即（）时，．……10分（方法二）直线的普通方程为．椭圆C的普通方程为．……4分设与直线平行的直线方程为，由消，得．令，得．……8分所以直线与椭圆相切．当时，点到直线的距离最大，．……10分C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知都是正实数，且．证明：（1）；（2）．【证】（1）因为都是正实数，所以．又因为，所以，即，得证．……4分（2）因为都是正实数，所以，①，②．③……6分由①+②+③，得，所以，又因为，所以，得证．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在直四棱柱中，，，．（1）求二面角的余弦值；（2）若点为棱的中点，点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【解】在直四棱柱中，（第22题）因为平面，，平面，所以，．又，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．由，得，．……2分（1），，设平面的一个法向量，则即不妨取，则，，所以．……4分因为平面，所以平面的一个法向量为．设二面角的平面角的大小为，根据图形可知，．所以二面角的余弦值为．……6分（2）设，则．又为的中点，则，，．设平面的一个法向量，由得取，则，，所以．……8分设直线与平面所成角的大小为，则，所以或（舍去）.所以.……10分23．(本小题满分10分)一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只.现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球.（1）当时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量表示次取球中取到红球的次数，随机变量求的数学期望（用表示）.【解】（1）当时，从装有5只小球的口袋中有放回的取球6次，共有个基本事件.记“恰好取到3次红球”为事件，事件包含基本事件有个.因为上述个基本事件发生的可能性相同，故.答：当时，恰好取到3次红球的概率为.……3分（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为.则...……5分所以.……7分令，，则，.，所以.所以.答：的数学期望为.……10分。

2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2020．1 参考公式：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高．样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n(x i －x －)2，其中x －＝1nx i .一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．(第3题)1. 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x|x 2＞0}，则A ∩B ＝________．2. 若复数z 满足z·i ＝1－i(i 是虚数单位)，则z 的实部为________．3. 如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________．4. 函数y ＝2x －1的定义域是________．5. 已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是________．6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为________．7. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧1x －1，x ≤0，－x 23，x ＞0，则f(f(8))＝________．8. 函数y ＝3sin(2x ＋π3)，x ∈[0，π]取得最大值时自变量x 的值为________．9. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，4a 2，2a 3，a 4成等差数列，则a 1a 7＝________．10. 已知cos （π2－α）cos α＝2，则tan 2α＝________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，过A作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B.若OB ＝2a ，则C 的离心率为________．12. 已知函数f(x)＝|lg(x －2)|，互不相等的实数a ，b 满足f(a)＝f(b)，则a ＋4b 的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2－2ax ＋y 2－2ay ＋2a 2－1＝0上存在点P 到点(0，1)的距离为2，则实数a 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，∠A ＝π3，点D 满足AD →＝23AC →，且对任意x ∈R ，|xAC →＋AB →|≥|AD →－AB →|恒成立，则cos ∠ABC ＝________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，cos B ＝33. (1) 若A ＝π3，求sin C 的值；(2) 若b ＝2，求c 的值．16.(本小题满分14分) 如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，AP ＝AD ，点M ，N 分别是线段PD ，AC 的中点．求证：(1) MN ∥平面PBC ； (2) PC ⊥AM.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆右顶点为A ，点F 2在圆A ：(x －2)2＋y 2＝1上．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 点M 在椭圆C 上，且位于第四象限，点N 在圆A 上，且位于第一象限，已知AM →＝－132AN →，求直线F 1M 的斜率．请你设计一个包装盒，ABCD是边长为10 2 cm的正方形硬纸片(如图1)，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图2中的点P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒(如图2)，设正四棱锥PEFGH的底面边长为x(cm)．(1) 若要求包装盒侧面积S不小于75 cm2，求x的取值范围；(2) 若要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的容积．已知函数f(x)＝(ax2＋2x)ln x＋a2x2＋1(a∈R)．(1) 若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为2，求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围．(e为自然对数的底数，e ≈2.718 28…)设m 为正整数，若两个项数都不小于m 的数列{A n }，{B n }满足：存在正数L ，当n ∈N *且n ≤m 时，都有|A n －B n |≤L ，则称数列{A n }，{B n }是“(m ，L)接近的”．已知无穷等比数列{a n }满足8a 3＝4a 2＝1，无穷数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1＝1，且S n （b n ＋1－b n ）b n b n ＋1＝12，n ∈N *.(1) 求数列{a n }通项公式；(2) 求证：对任意正整数m ，数列{a n }，{a 2n ＋1}是“(m ，1)接近的”；(3) 给定正整数m(m ≥5)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{b 2n ＋k}(其中k ∈R )是“(m ，L)接近的”，求L 的最小值，并求出此时的k(均用m 表示)．(参考数据：ln 2≈0.69)2020届高三模拟考试试卷(五)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-2：矩阵与变换)已知点(a ，b)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 32 4对应的变换作用下得到点(4，6)．(1) 写出矩阵A 的逆矩阵； (2) 求a ＋b 的值．B. (选修4-4：坐标系与参数方程)求圆心在极轴上，且过极点与点P(23，π6)的圆的极坐标方程．C. (选修4-5：不等式选讲) 求函数y ＝x －2x ＋6x ＋1的最小值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 批量较大的一批产品中有30%的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X表示这3个样品中优等品的个数．(1) 求取出的3个样品中有优等品的概率；(2) 求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)．23. 设集合A＝{1，2}，A n＝{t|t＝a n·3n＋a n－1·3n－1＋…＋a1·3＋a0，其中a i∈A，i＝0，1，2，…，n}，n∈N*.(1) 求A1中所有元素的和，并写出集合A n中元素的个数；(2) 求证：能将集合A n(n≥2，n∈N*)分成两个没有公共元素的子集B s＝{b1，b2，b3，…，b s}和C l＝{c1，c2，c3，…，c l}，s，l∈N*，使得b21＋b22＋…＋b2s＝c21＋c22＋…＋c2l成立．2020届高三模拟考试试卷(五)(常州)数学参考答案及评分标准1. {－1，1}2. －13. 104. [0，＋∞)5. 26. 7107. －15 8. π129. 64 10. －22 11. 2 12. 14 13. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－172，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋172 14. 5132615. 解：(1) 在△ABC 中，0＜B ＜π，则sin B ＞0.因为cos B ＝33，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－（33）2＝63.(3分) 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin [π－(A ＋B)]＝sin(A ＋B)，(5分) 所以sin C ＝sin(π3＋B)＝sin π3cos B ＋cos π3sin B ＝32×33＋12×63＝3＋66.(8分)(2) 由余弦定理得b 2＝a 2－2accos B ＋c 2，则(2)2＝1－2c·33＋c 2，(10分)所以c 2－233c －1＝0，(c －3)(c ＋33)＝0.(12分)因为c ＋33＞0，所以c －3＝0，即c ＝ 3.(14分) 16.证明：(1) 取PC ，BC 的中点E ，F ，连结ME ，EF ，FN ， 在三角形PCD 中，点M ，E 为PD ，PC 的中点， 所以EM ∥CD ，EM ＝12CD.在三角形ABC 中，点F ，N 为BC ，AC 的中点， 所以FN ∥AB ，FN ＝12AB.因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ∥CD ，AB ＝CD ，从而EM ∥FN ，EM ＝FN ，所以四边形EMNF 是平行四边形．(4分)所以MN ∥EF ，又EF ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，所以MN ∥平面 PBC.(6分) (2) 因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD.(8分)因为PA ∩AD ＝A ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD. 又AM ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AM.(10分)因为AP ＝AD ，点M 为PD 的中点，所以AM ⊥PD. 因为PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AM ⊥平面PCD.(12分)又PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥AM.(14分)17. 解：(1) 圆A ：(x －2)2＋y 2＝1的圆心A(2，0)，半径r ＝1，与x 轴交点坐标为(1，0)，(3，0)．点F 2在圆A ：(x －2)2＋y 2＝1上，所以F 2(1，0)，从而a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝22－12＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) 由题可设点M(x 1，y 1)，0＜x 1＜2，y 1＜0，点N(x 2，y 2)，x 2＞0，y 2＞0， 则AM →＝(x 1－2，y 1)，AN →＝(x 2－2，y 2)． 由AM →＝－132AN →知，点A ，M ，N 共线．(5分)由题知直线AM 的斜率存在，可设为k(k ＞0)，则直线AM 的方程为y ＝k(x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），（x －2）2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋1＋k 21＋k 2，y ＝k 1＋k 21＋k 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1＋k 21＋k 2，y ＝－k 1＋k21＋k 2，所以N(2＋1＋k 21＋k 2，k 1＋k 21＋k 2)．(7分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 2－63＋4k 2，y ＝－12k 3＋4k2，所以M(8k 2－63＋4k 2，－12k3＋4k 2)．(10分)代入AM →＝－132AN →得(8k 2－63＋4k 2－2，－12k 3＋4k 2)＝－132(1＋k 21＋k 2，k 1＋k 21＋k 2)，即(4k 2－9)(52k 2＋51)＝0，又k ＞0，解得k ＝32，(13分)所以M(1，－32)，又F 1(－1，0)，可得直线F 1M 的斜率为－321－（－1）＝－34.(14分)18. 解：(1) 在图1中连结AC ，BD 交于点O ，设BD 与FG 交于点M ，在图2中连结OP.因为ABCD 是边长为10 2 cm 的正方形，所以OB ＝10(cm)． 由FG ＝x ，得OM ＝x 2，PM ＝BM ＝10－x2.(2分)因为PM ＞OM ，即10－x 2＞x2，所以0＜x ＜10.(4分)因为S ＝4×12FG ·PM ＝2x(10－x2)＝20x －x 2，(6分)由20x －x 2≥75，得5≤x ≤15，所以5≤x<10.答：x 的取值范围是5≤x ＜10.(8分)(2) 在Rt △OMP 中，因为OM 2＋OP 2＝PM 2， 所以OP ＝PM 2－OM 2＝（10－x 2）2－（x2）2＝100－10x ，V ＝13·FG 2·OP ＝13x 2100－10x ＝13100x 4－10x 5，0＜x ＜10.(10分)设f(x)＝100x 4－10x 5，0＜x ＜10，所以f′(x)＝400x 3－50x 4＝50x 3(8－x)． 令f′(x)＝0，解得x ＝8或x ＝0(舍去)，(12分) 列表：＋－所以当x ＝8时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，(14分) 所以当x ＝8时，V 的最大值为12853.答：当x ＝8 cm 时，包装盒容积V 最大为12853(cm 3)．(16分)19. (1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝(2ax ＋2)ln x ＋(ax 2＋2x)·1x ＋ax ＝2(ax ＋1)ln x ＋2ax ＋2＝2(ax ＋1)(ln x ＋1)，(2分)则f′(1)＝2(a ＋1)＝2，所以a ＝0.(3分)此时f(x)＝2xln x ＋1，定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2(ln x ＋1)， 令f′(x)＞0，解得x ＞1e ；令f′(x)＜0，解得x ＜1e；所以函数f(x)的单调增区间为(1e ，＋∞)，单调减区间为(0，1e)．(6分)(2) 函数f(x)＝(ax 2＋2x)ln x ＋a2x 2＋1在区间[1，e]上的图象是一条不间断的曲线．由(1)知f′(x)＝2(ax ＋1)(ln x ＋1)，1) 当a ≥0时，对任意x ∈(1，e)，ax ＋1＞0，ln x ＋1＞0，则f′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，此时对任意x ∈(1，e)，都有f(x)＞f(1)＝a2＋1＞0成立，从而函数f(x)在区间(1，e)上无零点；(8分)2) 当a ＜0时，令f′(x)＝0，得x ＝1e 或－1a ，其中1e＜1，①若－1a ≤1，即a ≤－1，则对任意x ∈(1，e)，f ′(x)＜0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递减，由题意得f(1)＝a 2＋1＞0，且f(e)＝ae 2＋2e ＋a2e 2＋1＜0，解得－2＜a ＜－2（2e ＋1）3e 2，其中－2（2e ＋1）3e 2－(－1)＝3e 2－4e －23e 2＞0，即－2（2e ＋1）3e 2＞－1，所以a 的取值范围是－2＜a ≤－1；(10分)②若－1a ≥e ，即－1e ≤a ＜0，则对任意x ∈(1，e)，f ′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，此时对任意x ∈(1，e)，都有f(x)＞f(1)＝a2＋1＞0成立，从而函数f(x)在区间(1，e)上无零点；(12分)③若1＜－1a ＜e ，即－1＜a ＜－1e ，则对任意x ∈(1，－1a )，f ′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，－1a ]上单调递增，对任意x ∈(1，－1a ]，都有f(x)＞f(1)＝a2＋1＞0成立；(1分)对任意x ∈(－1a ，e)，f ′(x)＜0，函数f(x)在区间[－1a ，e]上单调递减，由题意得f(e)＝ae 2＋2e ＋a2e 2＋1＜0，解得a ＜－2（2e ＋1）3e 2，其中－2（2e ＋1）3e 2－(－1e )＝3e －4e －23e 2＝－e －23e 2＜0，即－2（2e ＋1）3e 2＜－(－1e )， 所以a 的取值范围是－1＜a ＜－2（2e ＋1）3e 2.(15分)综上，实数a 的取值范围是－2＜a ＜－2（2e ＋1）3e 2.(16分)20. 解：(1) 设等比数列{a n }公比为q ，由8a 3＝4a 2＝1得8a 1q 2＝4a 1q ＝1， 解得a 1＝q ＝12，故a n ＝12n .(3分)(2) |a n －(a 2n ＋1)|＝⎪⎪⎪⎪12n －（14n ＋1）＝⎪⎪⎪⎪（12n －12）2＋34＝(12n －12)2＋34.(5分) 对任意正整数m ，当n ∈N *，且n ≤m 时，有0＜12m ≤12n ≤12，则(12n －12)2＋34＜14＋34＝1，即|a n －(a 2n ＋1)|≤1成立， 故对任意正整数m ，数列{a n }，{a 2n ＋1}是“(m ，1)接近的”．(8分) (3) 由S n （b n ＋1－b n ）b n b n ＋1＝12，得到S n (b n ＋1－b n )＝12b n b n ＋1，且b n ，b n ＋1≠0，从而b n ＋1－b n ≠0，于是S n ＝b n b n ＋12（b n ＋1－b n ）.(9分)当n ＝1时，S 1＝b 1b 22（b 2－b 1），b 1＝1，解得b 2＝2；当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝b n b n ＋12（b n ＋1－b n ）－b n －1b n2（b n －b n －1），又b n ≠0，整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n ，所以b n ＋1－b n ＝b n －b n －1，因此数列{b n }为等差数列． 因为b 1＝1，b 2＝2，则数列{b n }的公差为1，故b n ＝n.(11分)根据条件，对于给定正整数m(m ≥5)，当n ∈N *且n ≤m 时，都有⎪⎪⎪⎪1a n －（b 2n ＋k ）＝|2n －(n 2＋k)|≤L 成立， 即－L ＋2n －n 2≤k ≤L ＋2n －n 2 ①对n ＝1，2，3，…，m 都成立．(12分)考查函数f(x)＝2x －x 2，f ′(x)＝2x ln 2－2x ，令g(x)＝2x ln 2－2x ，则g′(x)＝2x (ln 2)2－2，当x ＞5时，g′(x)＞0，所以g(x)在[5，＋∞)上是增函数． 因为g(5)＝25ln 2－10＞0，所以当x ＞5时，g(x)＞0，则f′(x)＞0， 所以f(x)在[5，＋∞)上是增函数．注意到f(1)＝1，f(2)＝f(4)＝0，f(3)＝－1，f(5)＝7，故当n ＝1，2，3，…，m 时，－L ＋2n －n 2的最大值为－L ＋2m －m 2， L ＋2n －n 2的最小值为L －1.(14分) 欲使满足①的实数k存在，必有－L ＋2m －m 2≤L －1，则L ≥2m －m 2＋12，因此L 的最小值2m －m 2＋12，此时k ＝2m －m 2－12.(16分)2020届高三模拟考试试卷(常州) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2321－12.(4分) (2) 点(a ，b)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1324对应的变换作用下得到点(4，6)，所以A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤46，(6分)所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤46＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2321－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤46＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，(8分) 所以a ＝1，b ＝1，得a ＋b ＝2.(10分) B. 解：因为所求圆的圆心在极轴上，且过极点，故可设此圆的极坐标方程是ρ＝2rcos θ. 因为点P(23，π6)在圆上，所以23＝2rcos π6，解得r ＝2.因此所求圆的极坐标方程是ρ＝4cos θ.(10分) C. 解：函数y ＝x －2x ＋6x ＋1的定义域为[0，＋∞)，x ＋1＞0.(2分)x －2x ＋6x ＋1＝（x ＋1）2－4（x ＋1）＋9x ＋1＝(x＋1)＋9x ＋1－4≥2（x ＋1）·9x ＋1－4＝2， 当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝4时取到“＝”．(8分)所以当x ＝4时，函数y ＝x －2x ＋6x ＋1的最小值为2.(10分)22. 解：(1) 记“取出的3个样品中有优等品”为事件A ，则A 表示“取出的3个样品中没有优等品”，P(A)＝(1－0.3)3＝3431 000，所以P(A)＝1－P(A)＝1－3431 000＝6571 000.(3分)答：取出的3个样品中有优等品的概率是6571 000.(4分)(2) X ～B(3，0.3)，P(X ＝k)＝C k 30.3k (1－0.3)3－k ，k ＝0，1，2，3，(6分) 随机变量X 的分布如表：(8分)E(X)＝0×3431 000＋1×4411 000＋2×1891 000＋3×271 000＝910.答：随机变量X的数学期望是910.(10分)23. 解：(1) A1＝{t|t＝a1·3＋a0，其中a i∈A，i＝0，1}＝{4，5，7，8}．所以A1中所有元素的和为24，集合A n中元素的个数为2n＋1.(2分)(2) 取s＝l＝2n.下面用数学归纳法进行证明．①当n＝2时，A2＝{13，14，16，17，22，23，25，26}，(3分)取b1＝13，b2＝17，b3＝23，b4＝25，c1＝14，c2＝16，c3＝22，c4＝26，有b1＋b2＋b3＋b4＝c1＋c2＋c3＋c4＝78，且b21＋b22＋b23＋b24＝c21＋c22＋c23＋c24＝1 612成立．(4分)即当n＝k＋1时也成立．(9分)综上可得：能将集合A n，n≥2分成两个没有公共元素的子集B s＝{ b1，b2，b3，…，b s}和C l＝{c1，c2，c3，…，c l}，s，l∈N*，使得b21＋b22＋…＋b2s＝c21＋c22＋…＋c2l成立．(10分)。

2019-2020南通、泰州高三第一次调研试卷数学文科一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，则A B =I _____. 答案：{1,2}-2.已知复数z 满足(1)2i z i +=，其中i 是虚数单位，则z 的模为_______. 答案：23.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______. 答案：404.根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为______. 答案：115.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a d的值为____. 答案：16.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为___. 答案：387.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则三棱锥111A BB C -的体积为____. 答案：238.已知函数()sin()3f x x πω=-(0)ω>，若当6x π=时，函数()f x 取得最大值，则ω的最小值为_____. 答案：59.已知函数2()(2)(8)f x m x m x =-+-()m R ∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(+1)()f x f a <恒成立，则实数a 的取值范围是____.答案：1a <10.在平面直角坐标系xOy 中,已知点,A B 分别在双曲线22:1C x y -=的两条渐近线上,且双曲线C 经过线段AB 的中点，若点A 的横坐标为2，则点B 的横坐标为_____.答案：1211.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如.地震时释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震,它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的____倍. 答案：100012.已知ABC ∆的面积为3，且AB AC =，若2CD DA =u u u r u u u r，则BD 的最小值为_____.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:8C x y +=与圆222:20C x y x y a +++-=相交于,A B 两点，若圆1C 上存在点P ，使得ABP ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为____.14.已知函数||1|1|,0(),01x x f x xx x --≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，若关于x 的方程22()2()10f x af x a ++-=有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，PC AB ⊥，,D E 分别为,BC AC 的中点. 求证：（1）AB ∥平面PDE ；（2）平面PAB ⊥平面PAC .16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知4AC =，3BC =，1cos 4B =-. （1）求sin A 的值. （2）求BA BC ⋅u u u r u u u r的值.17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆2222:1x yEa b+=(0)a b>>的焦距为4，两条准线间的距离为8，A,B分别为椭圆E的左、右顶点。

2019-2020南通、泰州高三第一次调研试卷数学理科一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1.已知集合{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，则A B =I _____. 答案：{1,2}-2.已知复数z 满足(1)2i z i +=，其中i 是虚数单位，则z 的模为_______. 答案：23.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______. 答案：404.根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为______. 答案：115.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a d的值为____. 答案：16.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为___. 答案：387.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则三棱锥111A BB C -的体积为____. 答案：238.已知函数()sin()3f x x πω=-(0)ω>，若当6x π=时，函数()f x 取得最大值，则ω的最小值为_____. 答案：59.已知函数2()(2)(8)f x m x m x =-+-()m R ∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(+1)()f x f a<恒成立，则实数a的取值范围是____.答案：1a<10.在平面直角坐标系xOy中,已知点,A B分别在双曲线22:1C x y-=的两条渐近线上,且双曲线C经过线段AB的中点，若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为_____.答案：1211.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如.地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg 4.8 1.5E M=+.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震,它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的____倍.答案：100012.已知ABC∆的面积为3，且AB AC=，若2CD DA=u u u r u u u r，则BD的最小值为_____.13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆221:8C x y+=与圆222:20C x y x y a+++-=相交于,A B两点，若圆1C上存在点P，使得ABP∆为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为____.14.已知函数||1|1|,0(),01x xf x xxx--≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，若关于x的方程22()2()10f x af x a++-=有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC-中，PA⊥平面ABC，PC AB⊥，,D E分别为,BC AC的中点. 求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面PAB⊥平面PAC.16.（本小题满分14分）在ABC∆中，已知4AC=，3BC=，1 cos4B=-.（1）求sin A的值.（2）求BA BC ⋅u u u r u u u r的值.17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>的焦距为4，两条准线间的距离为8，A ,B 分别为椭圆E 的左、右顶点。