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三角函数及其有关概念

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文化理论课教案

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【组织教学】 科

目 （高中起点升本、专科）《数学》 授

课

日

期 课时 2

课

题 第七章 三角函数及其有关概念 班

级

教

学

目

的 1.理解任意角、象限角及终边角相同的概念；

2.理解弧度的概念会进行弧度与角度的换算；

3.理解任意角三角函数的概念，掌握三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值； 选

用

教

具

挂

图

教学重点 任意角、象限角及终边角相同的概念，弧度的概念和与角度的换算，任意角三角函数的概念，掌握三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值 教

学

难

点 弧度的概念，任意角和任意角三角函数的概念

教学

回

顾 函数的极限、导数、极值、最值、单调性与极值的判别

说

明

教学过程

1 oAB.1图7o(,)(,)(,)(,).2图7yx1. 起立，师生互相问好

2. 坐下，清点人数，指出和纠正存在问题

【导入新课】

1．提问：什么是函数的极限、导数、极值、最值？单调性与极值如何判别?

2．运算：已知331531003yxxx,求y

【讲授新课】

第七章 三角函数及其有关概念

一、角的概念

1. 角 角是以一点为公共端点的两条射线组成的图形.公共端点叫做角的顶点, 两条射线叫做角的边。角可以看作是一条射线绕着它的端点旋转形成的，即一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O旋转到另一位置OB，就形成角α（图7.1）．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．

突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”

2.正角、负角、零角 正角与负角是由旋转的

方向决定的，我们把按逆时针方向旋转所形成的角

叫做正角(图7.1中的角)，把按顺时针方向旋转

所形成的角叫做负角(图7.1中的角)， 如果一条

射线没有作任何旋转，它就形成一个数值为0的角，

我们把这个角叫做零角。

3．终边相同的角 具有相同的终边的角叫做终边相同的角，如图7.1中的和就是终边相同的角。

①终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；

②终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍，如：

与360()kkZ，与360()kkZ，与360()kkZ都是终边相同的角。

例 设176，则与终边相同的最小正角是多少？

解 1717777236066666

所以，与176终边相同的最小正角是76。

例 设203，则与终边相同的绝对值最小的负角是多少？

解 2020444436033333

所以，所求之角是43。

4. 象限角 在平面直角坐标系中，我们将角的顶点置在坐

标原点，角的始边与轴的正半轴重合，这样一来，角的终边落

在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角，如与都是

第一象限的角。若角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何

一个象限,我们称其为界限角。

例 90016是第几象限的角？ 教学过程

2 orr.3图71弧度解 90016236018016，所以90016是第二象限的角。

一、角的度量

1. 角度制

当射线绕端点逆时针方向旋转使终边与始边第一次重

合时所形成的角叫做周角，规定1周角为360º。1周角的1360为1度，

1度的160为1分，1分的160为1秒。这种用度、分、秒作单位来测量

角的制度叫做角度制。度、分、秒分别用“º”、“′”、“″”表示，故：

160， 160

2. 弧度制 等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角。用弧

度作单位来测量角的制度叫做弧度制。1弧度也记为1rad

规定正角的的弧度数为正数，负角的的弧度数为负数，零角的弧度数为零。

设为已知角的弧度数，l为角作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径，则它们之间的关系是：

lr，lrlr

3.角度与弧度的换算关系

2360弧度, 360157.3057172弧度,

10.017435180弧度弧度

几个常用的特殊角的角度与弧度的换算关系如下表：

例 150º是多少弧度？116弧度是多少角度

解 51501501806（弧度），

1111180()33066弧度

三、任意角的三角函数

1. 任意角的概念 锐角是大于0º 而小于90º的角，在直角坐标系中，顶点在原点，始边在x轴正半轴，终边在任意象限中的角叫做任意角。

2. 任意角的三角函数 设直角坐标系中任一点(,)Pxy是角终边上的任意一点，它与坐标原点的

距离为(0)rr，则比值,,,,,yxyxrrrrxyxy分别叫做角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，即：

sin,cos,tan,cot,sec,cscyxrryxxyrrxy

以上六个比值叫做任意角三角函数。

例 求证(1)sincsc1、(2)22sincos1、(3)2tan1sec 0 30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º

0 6 3 2 23 56  76 86 32 53 116 2

o(,)(,)(,)(,)(,)Pxyyx图7.4教学过程

3 oyxoyxoyx.5图7sin,csc tan,cot cos,sec 证 (1)原式左边sincsc1yrry，原式右边=1，所以sincsc1

(2)原式左边2222sincos()()1yxrr，原式右边=1，所以22sincos1

(3) 原式左边22tan1()1secyrxx，原式右边=sec，所以2tan1sec

3. 任意角的三角函数值的正负 任意角的三角函数值的正负由角的终边所在的象限决定，见图7.5

4. 特殊角的三角函数值

30º、45º、60º函数值的记忆法

例 已知cot0sin试确定是第几象限的角

解 (1)cot0,sin0

由cot0 知，是第一或第三象限的角，由sin0 知，是第一或第二象限的角，所以 30º 36º

45º 60º 90º 120º 150º 180º 270º 360º

6 5 4 3 2 23 56  32 2

sin 12 15522 22 32 1 32 12 0 1 0

cos 32 154 22 12 0 12 32 1 0 1

tan 33 525 1 3 不存在 3 33 0 不存在 0

cot 3 5255 1 33 0 33 3 不存在 0 不存在

sec 233 51 2 2  2 233 1 不存在 1

csc 2 55210 2 233 1 233 2 不存在 1 不存在

604530132112231.6图7教学过程

4 是第一象限的角

(2) cot0,sin0

由cot0 知，是第二或第四象限的角，由sin0 知，是第三或第四象限的角，所以

是第四象限的角

所以，是第一或第四象限的角

例 已知是锐角且sin0.8，求cos、tan、cot、sec、csc

解 是锐角且sin0.8可得函数关系如图7.7，因此：

0.6cos0.61， 0.81tan10.63， 0.6cot0.750.8

12sec10.63， 1csc1.250.8

【课堂总结】

一、课堂纪律和学习气氛

二、课程教学内容

1. 角是以一点为公共端点的两条射线组成的图形，角可以看作是一条射线绕着它的端点旋转形成的，角有正角、负角、零角。逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，它就形成一个数值为0的角，我们把这个角叫做零角

2. 具有相同的终边的角叫做终边相同的角。终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；

终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。

3. 在平面直角坐标系中，我们将角的顶点置在坐标原点，角的始边与轴的正半轴重合，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角

4. 用度、分、秒作单位来测量角的制度叫做角度制。规定1周角为360º。1周角的1360为1度

5. 用弧度作单位来测量角的制度叫做弧度制。等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角

6. 360157.3057172弧度10.017435180弧度弧度，

7. 任意角是任意象限中的角，任意角的三角函数值的正负由角的终边所在的象限决定。sin,cos,tan,cot,ec,cscyxyxrrsrrxyxy 六个比值叫做任意角三角函数. 0.810.6.7图7

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小学数学重点认识三角函数和三角关系的概念

小学数学重点认识三角函数和三角关系的概念

小学数学重点认识三角函数和三角关系的概念

在小学数学学习中，三角函数和三角关系是重要的概念。通过学习这些概念，学生可以更好地理解和解决与角度、边长以及图形相关的问题。本文将详细介绍小学数学中三角函数和三角关系的定义和应用。

一、认识三角函数

三角函数是描述角度与边长之间关系的一类函数。在小学数学中，最常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

1. 正弦函数（sin）

正弦函数是一个周期函数，用于描述角度与三角形的对边与斜边之间的比值关系。在一个直角三角形中，角A的正弦值等于对边a与斜边h之间的比值，表示为sinA=a/h。

2. 余弦函数（cos）

余弦函数也是一个周期函数，用于描述角度与三角形的邻边与斜边之间的比值关系。在同一个直角三角形中，角A的余弦值等于邻边b与斜边h之间的比值，表示为cosA=b/h。

3. 正切函数（tan）

正切函数同样是一个周期函数，用于描述角度与三角形的对边与邻边之间的比值关系。在直角三角形中，角A的正切值等于对边a与邻边b之间的比值，表示为tanA=a/b。 二、认识三角关系

三角关系是指角度和线段之间的数学关系。在小学数学中，最常见的三角关系有勾股定理和正弦定理、余弦定理。

1. 勾股定理

勾股定理用于描述直角三角形中的线段关系。设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，则有勾股定理成立，即a² + b² =

c²。

2. 正弦定理

正弦定理用于描述任意三角形中的线段关系。假设三角形的三个内角为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c，则有正弦定理成立，即a/sinA = b/sinB = c/sinC。

3. 余弦定理

余弦定理也用于描述任意三角形中的线段关系。设三角形的三个内角为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c，则有余弦定理成立，即c² = a² + b² - 2ab*cosC。

三、三角函数和三角关系的应用

三角函数和三角关系在实际生活及其他学科中有着广泛的应用。以下是一些具体的应用场景：

高一数学三角函数的基本概念与性质

高一数学三角函数的基本概念与性质

高一数学三角函数的基本概念与性质

三角函数是数学中一个重要的分支，广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域。在高一数学中，学生首次接触到三角函数，并开始学习其基本概念和性质。本文将围绕高一数学课程中的三角函数展开讨论，探讨其基本概念和性质，以及其在几何图形和实际问题中的应用。

一、基本概念

1. 正弦函数

在直角三角形中，如果将一个锐角的对边除以斜边的长度，所得到的比值被称为该锐角的正弦值。而正弦函数就是这种比值在函数图像上的表现形式。在单位圆中，正弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1, 1]。

2. 余弦函数

同样在直角三角形中，如果将一个锐角的邻边除以斜边的长度，所得到的比值被称为该锐角的余弦值。余弦函数即为这种比值在函数图像上的表示。和正弦函数一样，在单位圆中，余弦函数的定义域是实数集，值域也是[-1, 1]。

3. 正切函数

在直角三角形中，正切值是指这个锐角的对边与邻边的比值。正切函数即为这个比值在函数图像上的表现形式。在单位圆中，正切函数的定义域是除去所有cot数的实数集，值域为(-∞, ∞)。 二、基本性质

1. 奇偶性

正弦函数是一个奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，其图像以原点对称；余弦函数是一个偶函数，即cos(-x) = cos(x)，其图像以y轴对称；正切函数是一个奇函数，即tan(-x) = -tan(x)，图像关于原点对称。

2. 周期性

正弦函数和余弦函数的周期是2π，即sin(x+2π) = sin(x)，cos(x+2π)

= cos(x)；而正切函数的周期是π，即tan(x+π) = tan(x)。

3. 函数图像

正弦函数和余弦函数都是连续的，它们的图像在定义域内是光滑的曲线。而正切函数由于定义域中存在不连续点，图像是由一组分段连续的直线段组成。

4. 函数值的性质

在定义域内，正弦函数和余弦函数的取值范围是[-1, 1]，正切函数的值域是所有实数。另外，正切函数在一些特殊点，比如π/2的倍数点，不存在定义。

三角函数的基本概念与公式整理

三角函数的基本概念与公式整理

三角函数的基本概念与公式整理

三角函数是数学中重要的概念，它们在几何学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。本文将对三角函数的基本概念及其相关的公式进行整理和归纳。

一、正弦函数（Sine Function）

正弦函数是最基本的三角函数之一，以sin表示，其定义域是所有实数集合，值域为[-1, 1]。正弦函数的图像是一条连续的正弦曲线。

正弦函数的主要公式如下：

1. 正弦函数的周期性：sin(x) = sin(x + 2πn)，其中n为整数。

2. 正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)。

3. 正弦函数的和差角公式：

- sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)

- sin(x ± π/2) = ±cos(x)

4. 正弦函数的倍角公式：

- sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

- sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)

- sin(4x) = 8sin^4(x) - 8sin^2(x) +1

二、余弦函数（Cosine Function） 余弦函数也是三角函数中常见的一种，以cos表示，其定义域是所有实数集合，值域为[-1, 1]。余弦函数的图像是一条连续的余弦曲线。

余弦函数的主要公式如下：

1. 余弦函数的周期性：cos(x) = cos(x + 2πn)，其中n为整数。

2. 余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)。

3. 余弦函数的和差角公式：

- cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)

- cos(x ± π/2) = ∓sin(x)

4. 余弦函数的倍角公式：

- cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

- cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)

三角函数与函数的概念

三角函数与函数的概念

三角函数与函数的概念

函数是数学中的一个重要概念，而三角函数则是函数中的一个特殊类别。本文将探讨三角函数的定义、性质以及在数学和实际生活中的应用。

一、三角函数的定义

考虑一个以原点为中心的单位圆O（0, 0）和坐标轴x轴、y轴。对于单位圆上的每一个点P(x, y)，与x轴正半轴之间的角θ，我们定义三角函数如下：

1. 正弦函数（Sine Function）：sin(θ) = y

2. 余弦函数（Cosine Function）：cos(θ) = x

3. 正切函数（Tangent Function）：tan(θ) = y / x

二、三角函数的性质

1. 周期性：三角函数的值在一定区间内呈周期性变化。正弦函数和余弦函数的周期均为2π，而正切函数的周期为π。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sin(θ)；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cos(θ)；正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tan(θ)。

3. 诱导公式：三角函数之间存在一系列的诱导公式，如sin^2(θ) +

cos^2(θ) = 1和tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)。

三、三角函数的应用 1. 几何应用：三角函数在几何中有广泛应用，例如可以利用正弦定理和余弦定理计算三角形的边长和角度。此外，三角函数还可用于计算图形的面积和体积等几何问题。

2. 物理应用：三角函数在物理学中也有重要的应用。例如，振动和波动的描述中经常涉及到正弦函数。光的传播、声音的传播以及电流的变化等也可以通过三角函数进行解析。

3. 工程应用：工程中的测量和调整常常需要用到三角函数。例如，在建筑设计和土木工程中，我们可以利用正切函数计算倾斜角度和高度等参数。

4. 统计学应用：在统计学中，三角函数可以用于分析和处理周期性数据。例如，天气预测和经济预测中，常常需要用到周期性变化的数据分析。

综上所述，三角函数是函数中的一个特殊类别，通过单位圆上的点与坐标轴之间的关系进行定义。三角函数具有周期性、奇偶性以及一系列的诱导公式等性质。在数学、物理、工程和统计学等领域都有广泛的应用。通过理解和应用三角函数，我们可以更好地理解和分析周期性的现象和问题。