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高中数学第四章-三角函数考试内容：角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义． （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示． （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． （8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sin α/cos α=tan α,tan α•cos α=1”．§04. 三角函数 知识要点1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180|ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαkSIN \COS 三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180π≈0.01745（rad ）3、弧长公式：r l ⋅=||α. 扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则=αsin rx=αcos ； x y =αtan ； yx =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切余弦、正割正弦、余割6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.7. 三角函数的定义域：(6个)8、同角三角函数的基本关系式：αααt a n c o s s i n =αααc o t s i n c o s =1c o t t a n =⋅αα 1sin csc =α⋅α 1c o s s e c =α⋅α1c o s s i n 22=+αα1tan sec 22=-αα1cot csc 22=-αα9、诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系公式组二 公式组三x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ x x x x xx x x c o t)c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=-=--=-公式组四 公式组五 公式组六公式组一sin x ·csc x =1tan x =xx cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x =xx sin cos 1+tan 2x =sec 2x tan x ·cot x =1 1+cot 2x =csc 2x =1(3) 若 o<x<2,则sinx<x<tanx16. 几个重要结论:xx x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππx x x x x x x x c o t)2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (-=--=-=--=-ππππx x xx x x xx c o t)c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=--=-=-ππππ（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααc o s s i n 22s i n= βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2t a n 1t a n 22t a n -=βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2c o s12s i n αα-±= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 2cos 12cos αα+±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 公式组三 公式组四 公式组五2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan1cos 22ααα+-=2tan 12tan2tan 2αα-=42675cos 15sin -== ,42615cos 75sin +== ,3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +== . 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：(定义域，值域，图像，周期性，单调性，)注意：①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反；x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相反.一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）.②x y sin =与x y cos =的周期是π.③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期ωπ2=T .2tanx y =的周期为2π（πωπ2=⇒=T T ，如图，翻折无效）.④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)c o s (ϕω+=x y 的()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 21sin sin cos cos 21cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21cos sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,21ππ+k ）；)t a n (ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）. x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当αtan ·,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα；αtan ·,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα.⑥x y cos =与⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(ϕω+=x y 是偶函数，则)cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)31tan(π+=x y 是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ∉0的定义域，则无此性质）⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）；x y cos =是周期函数（如图）；x y cos =为周期函数（=T 212cos +=x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： R k k x f x f y ∈+===),(5)(.⑩abb a b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. 11、三角函数图象的作法： １）、几何法：２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.３）、利用图象变换作三角函数图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的振幅|A|，周期2||T πω=，频率1||2f Tωπ==，相位;x ωϕ+初相ϕ（即当x ＝0时的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A 替换y ）y=|cos2x +1/2|图象由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω倍，得到y ＝sin ω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx替换x)由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．(用x ＋φ替换x)由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．（用y+(-b)替换y ）由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。
第四章三角函数、解三角形第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式练好题·考点自测1.已知下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关;③若sin α=sin β，则α与β的终边相同；④若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确的个数是（）A.1B.2 C。
3 D。
42。
sin 2·cos 3·tan 4的值（）A。
小于0 B。
大于0C。
等于0 D.不存在3.已知点P(cos 300°,sin 300°)是角α终边上一点,则sin α—cos α= （）A.√32+12B。
-√32+12C。
√32−12D。
-√32−124.[2019全国卷Ⅰ,7，5分]tan 255°= （）A.-2—√3B。
—2+√3C。
2—√3 D.2+√35.[2020全国卷Ⅱ，2,5分］［理]若α为第四象限角,则 （ ) A 。
cos 2α>0 B 。
cos 2α〈0 C 。
sin 2α>0 D.sin 2α<06。
已知sin α+cos α=12，α∈(0,π),则1-tanα1+tanα= ( )A.—√7B.√7C.√3 D 。
-√3图4-1—17。
[2019北京,8,5分］如图4—1-1，A ，B 是半径为2的圆周上的定点,P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 （ ） A 。
4β+4cos β B.4β+4sin β C.2β+2cos β D.2β+2sin β8.[2018全国卷Ⅰ，11，5分］已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A （1，a ）,B （2,b )，且cos 2α=23，则｜a -b ｜=（ ）A.15B .√55C 。
2√55D.1拓展变式1.在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB 中用电焊切割成扇形，现有如图4-1—3所示两种方案,既要充分利用废料,又要切割时间更短，则方案更优.2.（1）［2021洛阳市联考］已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合，终边与直线y=3x重合,且sin α<0，P（m，n）是角α终边上一点，且｜OP｜=√10(O为坐标原点）,则m-n 等于（）A.2B.-2C.4 D。
掌门1对1教育 高中数学 【数学】2013版《6年高考4年模拟》 第四章 三角函数及三角恒等变换第一节 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式第一部分 六年高考荟萃2013年高考题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-答案：C 因为，又sin 2α+cos 2α=1，联立解得，或故tan α==，或tan α=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故选C2．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））004cos50tan 40-=( )A.2B.232+ C.3 D.221- 答案：C【命题立意】本题考查两角和差的正弦公式以及倍角公式。
sin 404cos50tan 404cos50cos 40-=-000000004cos50cos 40sin 404sin 40cos 40sin 40cos 40cos 40--== 00000002sin80sin 402sin(6020)sin(6020)cos 40cos 40-+--==000033cos 20sin 202sin(6020)sin(6020)22cos 40cos 40++--== 03cos 403cos 40==，选C. 3．（2013年高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______答案：255-. f （x ）=sinx ﹣2cosx=（sinx ﹣cosx ）=sin （x ﹣α）（其中cos α=，sin α=），因为x=θ时，函数f （x ）取得最大值，所以sin （θ﹣α）=1，即sin θ﹣2cos θ=， 又sin 2θ+cos 2θ=1，联立解得cos θ=﹣．4．（2013年高考四川卷（理））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是_________.答案：3因为sin2α=2sin αcos α=﹣sin α，α∈（，π）， 所以cos α=﹣，sin α==，所以tan α=﹣，则tan2α===．5．（2013年高考上海卷（理））若12cos cos sin sin,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=答案：2sin()3x y +=. 【解答】1cos()2x y -=，2sin 2sin 22sin()cos()3x y x y x y +=+-=，故2s i n ()3x y +=．6．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知α是第三象限角,1sin 3a =-,则cot a =____________. 答案：22由α是第三象限的角，得到cos α＜0， 又sin α=﹣，所以cos α=﹣=﹣则cot α==27．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=________. 答案：105-因为tan （θ+）==，所以tan θ=﹣，因为θ为第二象限角，所以cos θ=﹣=﹣，sin θ==，则sin θ+cos θ=﹣=﹣．2012年高考题1.[2012·湖北卷] 函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5C ．6 D ．7答案：C [解析] 令f (x )＝0，得x ＝0或cos x 2＝0，由x ∈[]0，4，得x 2∈[]0，16.因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋k π＝0()k ∈Z ，故方程cos x 2＝0中x 2的解只能取x 2＝π2，3π2，5π2，7π2，9π2∈[]0，16.所以零点个数为6.故选C.2.[2012·辽宁卷] 已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．1 答案：A [解析] 本小题主要考查同角三角函数基本关系的应用．解题的突破口为灵活应用同角三角函数基本关系．∵sin α－cos α＝2⇒()sin α－cos α2＝2⇒1－2sin αcos α＝2⇒sin αcos α＝－12⇒sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－12⇒tan αtan 2α＋1＝－12⇒tan α＝－1.故答案选A. C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 3.[2012·重庆卷] 设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 答案：A [解析] 因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.4.[2012·安徽卷] 在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－72，－2)B ．(－72，2)C ．(－46，－2)D ．(－46，2) 答案：A [解析] 本题考查三角函数的和角公式，点的坐标．设∠POx ＝α，因为P ()6，8，所以OP →＝(10cos α，10sin α)⇒cos α＝35，sin α＝45，则OQ →＝⎝⎛⎭⎫10cos ⎝⎛⎭⎫θ＋3π4，10cos ⎝⎛⎭⎫θ＋3π4＝(－72，－2)．故答案为A. 5.[2012·全国卷] 已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝( ) A ．－53 B ．－59 C.59 D.53答案：A [解析] 本小题主要考查三角函数中和角公式与二倍角公式的运用，解题的突破口为原式两边平方后转化为二倍角结构及任何情况下均要考虑“符号看象限”． 由sin α＋cos α＝33及α为第二象限角有2k π＋π2<α<2k π＋3π4(k ∈Z )，∴4k π＋π<2α<4k π＋3π2(k ∈Z )．原式两边平方得2sin αcos α＝sin2α＝－23，∴cos2α＝－53，故选A.6.[2012·山东卷] 若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74 D.34 答案：D [解析] 本题考查三角函数的二倍角公式，考查运算求解能力，中档题． 法一：∵θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin2θ＝378，∴cos2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫3782＝1－2sin 2θ，解之得sin θ＝34.法二：联立⎩⎪⎨⎪⎧2sin θcos θ＝378，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解之得sin θ＝34.7.[2012·湖南卷] 函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3] C ．[－1,1] D.⎣⎡⎦⎤－32，32 答案：B [解析] 考查三角函数化简求值，关键是三角函数的化简，三角公式的识记． 函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，所以函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为[－3，3]，故选B.8.[2012·江西卷] 若tan θ＋1tan θ＝4，则sin2θ＝( )A.15 B.14 C.13 D.12答案：D [解析] 考查同角三角函数的关系、二倍角公式，以及“1”的代换及弦切互化等方法．解题的突破口是通过“1”的代换，将整式转化为齐次分式，再通过同除以cos θ达到化切目的．∵tan θ＋1tan θ＝tan 2θ＋1tan θ＝4，∴sin2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝24＝12，故选D.9.[2012·重庆卷] 设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 答案：A [解析] 因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.10.[2012·重庆卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.答案：145 [解析] 因为cos A ＝35，cos B ＝513，所以sin A ＝45，sin B ＝1213，因为sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665，由正弦定理知c sin C ＝bsin B ，即c 5665＝31213，解得c ＝145. 11.[2012·四川卷] 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝( ) A.31010 B.1010 C.510 D.515答案：B [解析] 法一：由已知，∠CED ＝∠BED －∠BEC ＝45°－∠BEC ， 而结合图形可知tan ∠BEC ＝12，∴tan ∠CED ＝tan(45°－∠BEC )＝1－121＋12＝13，∴sin ∠CED ＝1010. 法二：由已知，利用勾股定理可得DE ＝2，CE ＝5，又CD ＝1，利用余弦定理得：cos ∠CED ＝2＋5－12×2×5＝31010，∴sin ∠CED ＝1010.法三：同法二，得DE ＝2，CE ＝5，又CD ＝1，有S △CED ＝12CD ·AD ＝12，又S △CED ＝12CE ·ED sin ∠CED ＝102sin ∠CED ，对比得sin ∠CED ＝1010.12.[2012·上海卷] 在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定答案：C [解析] 考查正弦定理和判断三角形的形状，考查考生的转化思想，关键是利用正弦定理，把角转化边，再利用边之间的关系，判断三角形的形状．由正弦定理可把不等式转化为a 2＋b 2<c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，所以三角形为钝角三角形．故选C.13.[2012·湖南卷] 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( )A. 3B.7 C ．2 2 D.23答案：A [解析] 考查向量的数量积运算和解三角形，主要是余弦定理的运用，是此题的关键．由AB →·BC →＝1可得2||BC cos(180°－B )＝1，即2|BC |cos B ＝－1，又由三角形的余弦定理可得32＝||BC 2＋22－2×2||BC cos B ，把2||BC cos B ＝－1代入，解得9＝||BC 2＋4＋2，即||BC ＝3，故选A. 14.[2012·陕西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32 B.22 C.12 D ．－12答案：C [解析] 本小题主要考查余弦定理和不等式的知识，解题的突破口为利用余弦定理写出cos C 的表达式，然后用基本不等式去计算即可．cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.故选C.15.[2012·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425答案：A [解析] 本题考查三角函数的倍角公式及正弦、余弦定理，考查运算求解能力，中档题．由正弦定理得8sin B ＝5sin C ，∵C ＝2B ，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝2⎝⎛⎭⎫452－1＝725.16.[2012·江苏卷] 设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 答案：17250 [解析] 本题考查三角函数求值问题．解题突破口为寻找已知角和所求角之间的整体关系．由条件得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，从而sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425，cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2×1625－1＝725， 从而sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π4＝2425×22－725×22＝17250. 17.[2012·北京卷] 在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.答案：4 [解析] 本题考查余弦定理和解三角形等基础知识，考查对数据的运算能力． cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－14，可得cos B ＝4＋c －bc ＋b4c＝－14，4＋c －bc＝－1,8c －7b ＋4＝0，结合b ＋c ＝7，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，c ＝3，答案为4.18.[2012·湖北卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案：2π3 [解析] 由已知条件(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，化简得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12.又C 是三角形的内角，则C ∈()0，π，所以C ＝2π3.19.[2012·浙江卷] 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案：－16 [解析] 本题主要考查平面几何的性质、平面向量的线性运算与数量积． 法一：AB →·AC →＝(MB →－MA →)·(MC →－MA →)＝MB →·MC →－MB →·MA →－MA →·MC →＋MA →2＝5×5×cos180°－5×3×cos ∠BMA －3×5×cos ∠AMC ＋32＝－16，故应填－16.法二：特例法：假设△ABC 是以AB 、AC 为腰的等腰三角形，如图，AM ＝3，BC ＝10，AB ＝AC ＝34，cos ∠BAC ＝34＋34－1002×34＝－817，AB →·AC →＝|AB →|·|AC→|·cos ∠BAC ＝－16.[点评] 对平面向量进行正确的线性分解是解决本题的关键，同时注意向量的夹角之间的关20.[2012·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①若ab >c 2，则C <π3；②若a ＋b >2c ，则C <π3；③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2；④若(a ＋b )c <2ab ，则C >π2；⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C >π3.答案：①②③ [解析] 本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本不等式等．对于①，由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C <ab 得2cos C ＋1>a 2＋b 2ab ＝b a ＋a b ≥2，则cos C >12，因为0<C <π，所以C <π3，故①正确；对于②，由4c 2＝4a 2＋4b 2－8ab cos C <a 2＋b 2＋2ab 得ab ()8cos C ＋2>3()a 2＋b 2即8cos C ＋2>3⎝⎛⎭⎫a b ＋b a ≥6，则cos C >12，因为0<C <π，所以C <π3，故②正确；对于③，a 3＋b 3＝c 3可变为⎝⎛⎭⎫a c 3＋⎝⎛⎭⎫b c 3＝1，可得0<a c <1,0<b c<1，所以1＝⎝⎛⎭⎫a c 3＋⎝⎛⎭⎫b c 3<⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2，所以c 2<a 2＋b 2，故C <π2，故③正确；对于④，()a ＋b c <2ab 可变为2×1c >1a ＋1b ≥2ab，可得ab >c ，所以ab >c 2，因为a 2＋b 2≥2ab >ab >c 2，所以C <π2，④错误；对于⑤，()a 2＋b 2c 2<2a 2b 2可变为1a 2＋1b 2<2c 2，即1c 2>1ab ，所以c 2<ab ≤a 2＋b 22，所以cos C >a 2＋b 222ab ≥12，所以C <π3，故⑤错误．故答案为①②③.21.[2012·福建卷] 已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________． 答案：－24 [解析] 根据题意设三角形的三边分别是：22a 、a 、2a ，最大角所对的边是2a ，根据大边对大角定理结合余弦定理得：cos α＝a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2－2a 22×22a ×a ＝－24，所以最大角的余弦值是－24. 22.[2012·福建卷] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：解法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34. 23.[2012·重庆卷] 设f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω＞0. (1)求函数y ＝f (x )的值域；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，π2上为增函数，求ω的最大值． 解：(1)f (x )＝4⎝⎛⎭⎫32cos ωx ＋12sin ωx sin ωx ＋cos2ωx ＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx＝3sin2ωx ＋1.因－1≤sin2ωx ≤1，所以函数y ＝f (x )的值域为[1－3，1＋3]．(2)因y ＝sin x 在每个闭区间⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上为增函数，故f (x )＝3sin2ωx ＋1(ω＞0)在每个闭区间⎣⎡⎦⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω(k ∈Z )上为增函数．依题意知⎣⎡⎦⎤－3π2，π2⊆⎣⎡⎦⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω对某个k ∈Z 成立，此时必有k ＝0，于是 ⎩⎨⎧－3π2≥－π4ω，π2≤π4ω，解得ω≤16，故ω的最大值为16.24.[2012·课标全国卷] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C－b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.25.[2012·重庆卷] 设f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω＞0.(1)求函数y ＝f (x )的值域；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，π2上为增函数，求ω的最大值． 解：(1)f (x )＝4⎝⎛⎭⎫32cos ωx ＋12sin ωx sin ωx ＋cos2ωx ＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx＝3sin2ωx ＋1.因－1≤sin2ωx ≤1，所以函数y ＝f (x )的值域为[1－3，1＋3]．(2)因y ＝sin x 在每个闭区间⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上为增函数，故f (x )＝3sin2ωx ＋1(ω＞0)在每个闭区间⎣⎡⎦⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω(k ∈Z )上为增函数．依题意知⎣⎡⎦⎤－3π2，π2⊆⎣⎡⎦⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω对某个k ∈Z 成立，此时必有k ＝0，于是 ⎩⎨⎧－3π2≥－π4ω，π2≤π4ω，解得ω≤16，故ω的最大值为16.26.[2012·广东卷] 已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值． 解：(1)由2πω＝10π得ω＝15.(2)∵－65＝f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝2cos ⎝⎛⎭⎫15⎝⎛⎭⎫5α＋53π＋π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－2sin α，1617＝f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝2cos ⎝⎛⎭⎫15⎝⎛⎭⎫5β－56π＋π6＝2cos β，∴sin α＝35，cos β＝817.∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫8172＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385. 27.[2012·安徽卷] 设函数f (x )＝22cos2x ＋π4＋sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期； (2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式． 解：(1)f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫cos2x cos π4－sin2x sin π4＋1－cos2x 2＝12－12sin2x . 故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin2x ，故①当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎡⎦⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，从而g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝12sin(π＋2x )＝－12sin2x . ②当x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎡⎭⎫0，π2，从而g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin2x . 综合①②得g (x )在[－π，0]上的解析式为g (x )＝⎩⎨⎧12sin2x ，x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2，－12sin2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.28.[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝x －cos xxsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝x －cos x x sin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 29.[2012·福建卷] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：解法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34. 30.[2012·安徽卷] 设函数f (x )＝22cos2x ＋π4＋sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式． 解：(1)f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫cos2x cos π4－sin2x sin π4＋1－cos2x 2＝12－12sin2x . 故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin2x ，故 ①当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎡⎦⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，从而 g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝12sin(π＋2x )＝－12sin2x . ②当x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎡⎭⎫0，π2，从而g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin2x . 综合①②得g (x )在[－π，0]上的解析式为g (x )＝⎩⎨⎧12sin2x ，x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2，－12sin2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.31.[2012·湖北卷] 已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )．设函数f (x )＝a·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1， 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6≤1，得－1－2≤2sin 53x －π6－2≤2－ 2. 故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]． 32.[2012·安徽卷] 设函数f (x )＝22cos2x ＋π4＋sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期； (2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式． 解：(1)f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫cos2x cos π4－sin2x sin π4＋1－cos2x 2＝12－12sin2x . 故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin2x ，故 ①当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎡⎦⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，从而 g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝12sin(π＋2x )＝－12sin2x . ②当x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎡⎭⎫0，π2，从而 g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin2x .综合①②得g (x )在[－π，0]上的解析式为g (x )＝⎩⎨⎧12sin2x ，x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2，－12sin2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.33.[2012·湖北卷] 已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )．设函数f (x )＝a·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1， 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5. (2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6≤1，得－1－2≤2sin 53x －π6－2≤2－ 2. 故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]． 34.[2012·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)证明：由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22.整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1， 由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.(2)由(1)知B －C ＝π2，又B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.图1－4 35.[2012·辽宁卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值． 解：(1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，所以cos B ＝12.(2)(解法一)由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.(解法二)由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－ac 2ac，解得a ＝c ，所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34.36.[2012·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ， 由已知得sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得，sin A ＝2sin C ，②由①、②得sin 2C ＝14，于是sin C ＝－12(舍去)或sin C ＝12.又a ＝2c ，所以C ＝π6.37.[2012·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53.又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ，所以tan C ＝ 5. (2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.38.[2012·课标全国卷] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C－b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.2011年高考题1.（重庆理6）若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足22a b 4c +-=（），且C=60°，则ab 的值为A ．43B ．843-C ． 1D ．23【答案】A2.（浙江理6）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，3cos()423πβ-=，则cos()2βα+=A ．33B ．33-C ．539D ．69-【答案】C3.（天津理6）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,23,2AB CD AB BD BC BD ===，则sin C 的值为A ．33 B ．36C ．63D ．66【答案】D4.（四川理6）在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是A ．（0，6π]B ．[ 6π，π）C ．（0，3π]D ．[ 3π，π）【答案】C【解析】由题意正弦定理22222222211cos 023b c a a b c bc b c a bc A A bc π+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤5.（全国新课标理5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（A ）45-（B ）35-（C ） 35 （D ）456.（辽宁理4）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB+bcos2A=a 2，则=a b（A ）23 （B ）22（C ）3 （D ）2【答案】D7.（辽宁理7）设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ= （A ）79-（B ）19-（C ）19 （D ）79【答案】A8.（福建理3）若tan α=3，则2sin 2cos a α的值等于A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】D 二、填空题9.（上海理6）在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则A ．C 两点之间的距离是 千米。
