高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合问题导学案 新人教A版选修23

1.2.2 组合

问题导学

一、组合概念的理解与应用

活动与探究1

判断下列问题是排列问题还是组合问题，并分别求出对应的方法数．

(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？

(2)从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？

(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同选法？

迁移与应用

1．若已知集合P＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P的子集中含有3个元素的子集数为__________．

2．中国、日本、韩国、朝鲜四国举行女足邀请赛，赛制采取单循环赛方式，请列举出所有各场比赛的双方．

区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．

二、与组合数有关的计算与证明

活动与探究2

1．计算：(1)3C38－2C25＋C88；(2)C98100＋C199200；

(3)C16＋C26＋C37．

2．证明：mCmn＝nCm－1n－1．

迁移与应用

1．计算：C22＋C23＋C24＋…＋C210＝__________．

2．若Cx15＝C2x－615，则x＝__________．

3．证明下列各等式：

(1)Cmn＝nmCm－1n－1；

(2)Cmn＝m＋1n＋1Cm＋1n＋1；

(3)C0n＋C1n＋1＋C2n＋2＋…＋Cm－1n＋m－1＝Cm－1n＋m．

(1)组合数公式的选取：涉及具体数字的可以用展开式计算，涉及字母的可以用阶乘式计算．

(2)性质1：Cmn＝Cn－mn主要应用于简化运算．性质2：Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n从右到左两个组合数合为一个，实现了由繁到简的化简过程，主要应用于组合数的化简．

三、简单组合问题

活动与探究3

现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．

(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？

(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？

(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？

迁移与应用

1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )

A．60种 B．63种 C．65种 D．66种

2．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色

的不同取法有__________种．

解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．

四、有限制条件的组合问题

活动与探究4

1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )

A．30种 B．35种 C．42种 D．48种

2．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，且既会划左舷又会划右舷的最多选1人，则不同的选法有( )

A．4种 B．36种 C．40种 D．92种

迁移与应用

1．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )

A．360 B．520 C．600 D．720

2．(2013辽宁大连模拟)有8名男生和5名女生，从中任选6人．

(1)有多少种不同的选法？

(2)其中有3名女生，有多少种不同的选法？

(3)其中至多有3名女生，有多少种不同的选法？

(4)其中有2名女生，4名男生，分别负责6种不同的工作，共有多少种不同的分工方法？

(5)其中既有男生又有女生，有多少种不同的选法？

(1)解有约束条件的组合问题与解有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法．

(2)要正确理解题中的关键词(如“都”与“不都”，“至少”与“至多”，“含”与“不含”等)的确切含义，正确分类，合理分步．

(3)分配问题的一般思路是先选取，再分配．

答案：

课前·预习导学

【预习导引】

1．组合

预习交流1 提示：联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．

区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．

2．(1)组合数 Cmn (2)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！ n！m！(n－m)！

预习交流2 (1)提示：C

(2)提示：D

3．Cn－mn Cmn＋Cm－1n

预习交流3 提示：(1)C220 (2)C39

课堂·合作探究

【问题导学】

活动与探究1 思路分析：明确组合、排列的定义是解题的关键．若问题是否与顺序有

关不明显，可以尝试写出其中的一个结果进行判断，再运用排列数与组合数公式求值．

解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．分配方法有C45＝5种．

(2)是排列问题，选出的2个数有角色差异(作分子与作分母)．不同的分数有A25＝20个．

(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．不同的选法有C49＝126种．

迁移与应用 1．20 解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C36＝20种．

2．解：单循环赛，指双方只赛一场，

因此所有各场比赛双方为

中国——日本；中国——韩国；

中国——朝鲜；日本——韩国；

日本——朝鲜；韩国——朝鲜．

活动与探究2 1．思路分析：先考虑利用组合数的性质对原式进行化简，然后利用组合数公式展开计算．

解：(1)3C38－2C25＋C88＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＋1＝149．

(2)C98100＋C199200＝C2100＋C1200＝100×992×1＋200＝5 150．

(3)C16＋C26＋C37＝C27＋C37＝C38＝8×7×63×2×1＝56．

2．思路分析：式子中涉及字母，可以用阶乘式证明．

证明：左边＝m·n！m！(n－m)！

＝n·(n－1)！(m－1)！(n－m)！

＝n(n－1)！(m－1)！(n－m)！＝nCm－1n－1＝右边，

∴mCmn＝nCm－1n－1．

迁移与应用 1．165 解析：∵C22＝C33＝1，

∴原式＝C33＋C23＋C24＋…＋C210＝C311＝11×10×93×2＝165．

2．6或7 解析：由已知x＝2x－6或x＋2x－6＝15，∴x＝6或x＝7．

3．证明：(1)右边＝nm·(n－1)！(m－1)！[(n－1)－(m－1)]！

＝n！[m·(m－1)！](n－m)！＝n！m！(n－m)！

＝Cmn＝左边，

∴原式成立．

(2)右边＝m＋1n＋1·(n＋1)！(m＋1)！[(n＋1)－(m＋1)]！

＝m＋1n＋1·(n＋1)！(m＋1)！(n－m)！＝n！m！(n－m)！

＝Cmn＝左边，

∴原式成立．

(3)左边＝(C0n＋1＋C1n＋1)＋C2n＋2＋C3n＋3＋…＋Cm－1n＋m－1

＝(C1n＋2＋C2n＋2)＋C3n＋3＋…＋Cm－1n＋m－1

＝(C2n＋3＋C3n＋3)＋…＋Cm－1n＋m－1

＝C3n＋4＋C4n＋4＋…＋Cm－1n＋m－1

…

＝Cm－2n＋m－1＋Cm－1n＋m－1＝Cm－1n＋m＝右边，∴原式成立．

活动与探究3 思路分析：首先确定是否是组合问题，再确定完成事情是分步，还是分类．

解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45．

(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C24种方法，即C26＋C24＝21种．

(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有选法C26×C24＝6×52×1×4×32×1＝90种．

迁移与应用 1．D 解析：和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C44＝1种，取2奇数2偶数的取法有C24·C25＝60种，取4个数均为奇数的取法有C45＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．

2．21 解析：分两类：一类是2个白球有C26＝15种取法，另一类是2个黑球有C24＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．

活动与探究4 1．思路分析：两类选修课选3门，依据A类选修课选1门或2门进行分类，每类需要利用分步乘法计数原理解决．

A 解析：分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有C13·C24＋C23·C14＝30种选法．

2．思路分析：既会划左舷又会划右舷是多面手，是特殊元素，可以从他们的参与情况入手分类讨论．

C 解析：第一类：无既会划左舷又会划右舷的有C33·C34＝4种选法．

第二类：只有一名既会划左舷又会划右舷的有C12(C23C34＋C33C24)＝2(3×4＋6)＝36种选法．

∴共有40种选法．

迁移与应用 1．C 解析：分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有C12C35A44＝2×10×24＝480种选法．

第二类，甲、乙都参加时，则有C25(A44－A22A33)＝10(24－12)＝120种选法．

∴共有480＋120＝600种选法．

2．解：(1)是无限制条件的组合问题．适合题意的选法有C613＝1 716种．

(2)是有限制条件的组合问题．

第1步，选出女生，有C35种；第2步，选出男生，有C38种．

由分步乘法计数原理，适合题意的选法有C35·C38＝560种．

(3)是有限制条件的组合问题．

至多有3名女生包括：没有女生，1名女生，2名女生，3名女生四类情况．

第1类没有女生，有C68种；第2类1名女生，有C58·C15种；

第3类2名女生，有C48·C25种；第4类3名女生，有C38·C35种．

由分类加法计数原理，适合题意的选法共有

C68＋C58·C15＋C48·C25＋C38·C35＝1 568种．

(4)是有限制条件的组合与排列问题．

第1步，选出适合题意的6名学生，有C25·C48种；

第2步，给这6名学生安排6种不同的工作，有A66种．

由分步乘法计数原理，适合题意的分工方法共有C25·C48·A66＝504 000种．