第43讲简单的线性规划问题1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示平面区域(1)二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．(2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分. (3)画或判断二元一次不等式表示的平面区域常采用直线定界，特殊点定“域”．2．线性规划的有关概念(1)线性约束条件——由条件列出的二元一次不等式组；(2)线性目标函数——由条件列出的一次函数表达式；(3)线性规划——求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为线性规划问题．(4)可行解、可行域、最优解：满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解．3．利用线性规划求最值的一般步骤：(1)根据线性约束条件画出可行域；(2)设z＝0，画出直线l0；(3)观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解；(4)求出目标函数的最大值或最小值．热身练习1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的点是(C) A．(0,0) B．(－1,1) C．(－1,3) D．(2，－1) 将上述各点代入不等式检验，若满足不等式，则点在所表示的平面区域内，否则，不在．因为(0,0)，(－1,1)，(2，－1)都满足不等式，所以这些点都在所表示的平面区域内，而(－1,3)不满足不等式，故选C. 2．如图所示，不等式2x－y＜0表示的平面区域是(B) 直线定界，因为2x－y＝0不经过(2,1)点排除D,2x－y<0不包括边界，排除A，再取特殊点(1,0)代入得2－0>0，故(1,0)不在2x－y<0表示的区域内，故排除C，选B. 3．不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域的面积等于(C) A.32B.23C.43D.34不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，作出不等式组表示的平面区域如右图：所以S阴＝12×4－43×1＝43. 4．目标函数z＝x＋2y，将其看成直线方程时，z的意义是(C) A．该直线的截距B．该直线的纵截距C．该直线纵截距的2倍D．该直线纵截距的12将z＝x＋2y化为y＝－12x＋z2，可知z＝2b，表示该直线的纵截距的2倍．5．(2015·北京卷)如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z＝2x＋3y的最大值为7. 把z＝2x＋3y变形为y＝－23x＋13z，通过平移直线y＝－23x知，当过点A(2,1)时，z＝2x＋3y取得最大值且zmax＝2×2＋3×1＝7.
1 [第35讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题]
(时间：45分钟 分值：100分)
基础热身
1．[2013·宁德质检] 不等式组4x＋3y＋8>0，x<0，y<0表示的平面区域的整点坐标是( )
A．(－2，0)
B．(－1，0)
C．(－1，－1)
D．(－1，－2)
2．若平面区域0≤x≤2，－2≤y≤0，y≥kx＋2是一个梯形，则实数k的取值范围是( )
A．(－2，－1)
B．(－∞，－1)
C．(－2，＋∞)
D．(－∞，－2)
3．[2013·广东卷] 已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2，y≤2，x≤2y给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM→·OA→的最大值为( )
A．3 B．4
C．32 D．42
4．[2013·浙江卷] 设z＝x＋2y，其中实数x，y满足x－y＋1≥0，x＋y－2≤0，x≥0，y≥0，则z的取值范围是________．
能力提升
5．[2013·课程标准卷] 已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是( )
A．(1－3，2)
B．(0，2)
C．(3－1，2) 2 D．(0，1＋3)
6．[2013·肇庆一模] 已知x，y满足x≤3，2y≥x，3x＋2y≥6，3y≤x＋9，则z＝2x－y的最大值是( )
A.152 B.92
C.94 D．2
7．已知向量a＝(x－z，1)，b＝(2，y＋z)，且a⊥b，若变量x，y满足约束条件x≥－1，y≥x，3x＋2y≤5，则z的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
8．已知点M(a，b)在由不等式组x≥0，y≥0，x＋y≤2确定的平面区域内，则点N(a＋b，a－b)所在平面区域的面积是( )
专题 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
一、考点全归纳
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式(组) 表示区域
Ax＋By＋C>0(＜0) 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0(≤0) 包括边界直线
不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
3．线性规划的有关概念
名称 意义
约束条件 由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数 关于变量x，y的函数解析式，如z＝x＋2y
线性目标函数 关于变量x，y的一次解析式
可行解 满足线性约束条件的解(x，y)
可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
常用结论
1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域；
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实数．
(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证．
2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有
(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；
(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
3．平移规律
当b>0时，直线z＝ax＋by向上平移z变大，向下平移z变小；当b<0时，直线z＝ax＋by向上平移z变小，向下平移z变大．
二、题型全归纳
题型 一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
7．3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2．线性规划
(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________的问题，统称为线性规划问题．
(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做________．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________．
线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．
(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
①首先，要根据_________________ (即画出不等式组所表示的公共区域)．
②设__________，画出直线l0.
③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．
