谈谈数学问题中的“隐含条件”

螽　解题技巧与方法　邋壤数学　雹咿蚴　舍鸯　◎周会明（广东省午山市建斌中学　５２８４１５）　【摘要】数学问题中的隐含条件直接关系到数学Ｉ＂５题能　否顺利解决，隐含条件存在的形式多种多样，因而发现隐含　条件的途径也是多样的．本文对隐含条件的发现和运用进行　了一些粗浅的探讨．　【关键词】数学问题；隐含条件　所谓“隐含条件”，是相对“显条件”而言的　是数学问题　中已知条件（显条件）没有明确表明，且对解决问题至关重要　的一些条件，如数学问题“幕后”所固有的性质、公式等．在解　题过程巾．要善于发现并运用隐含条件．　发现隐含条件．必须具备扎实的数学基础知识、丰富的　解题经验和严谨的逻辑思维．运用隐含条件．要把握时机，恰　到好处，可使解题过程如行云流水，解题结论完美无缺．　Ｉ．在语言转化中发现隐含条件．寻找开启解题思路的钥匙　数学语言简单精练，形式多样．表达形式包括文字、符号、　图形等．语言的巧妙组合，构造出千变万化的数学问题，在解决　数学问题的时候，要善于将各种形式的语言相互转化，使隐含　在问题中的条件逐渐显现出来，慢慢开启解决问题的思路．　例１讨论ｌ　一４１一ａ＝０的解的个数．　这是一个带有绝对值的一元二次方程的问题．因其中参　数ｎ是不确定的，乍看起来似乎无从着手．如果试着将问题用　图形来描述．可充分暴露问题的条件、结论之间的内在联系．　从网形上看．问题的实质是讨论两个图形交点的个数．随着　隐含条件的显现，结果也浮出水面．　解作Ｙ　＝　一４Ｉ与Ｙ２＝ａ的图像（如　分类讨论　交点个数　原方程解的个数　ｎ＜０　０（如ｆ】）　０　ａ＝０　２（如　轴）　２　０＜Ⅱ＜４　４（如ｌ２）　４　ａ＝４　３（如ｌ　）　３　ｎ＞４　２（如１　）　２　ｌ　ｌ　１　Ｉ　４　Ｉ／／，　、　Ｖ　Ｖ　一２　Ｄ　２　，　，　４　图ｌ　若不结合图像．是很难得出完整结论的．　２．在解析概念内涵时发现隐含条件．寻找解题捷径　数学概念的内涵是指反映概念中的本质属性的总和，它　往往是隐含条件的“藏身”之处．因此，要发现隐含条件，必须　对概念的内涵进行剖析，揭开其“面纱”．抓住其本质，从而将　问题简化．找到解决问题的简单方法．　例２已知二次函数ｖ＝　＋ｂｘ＋Ｃ与　轴的两个交点　横坐标分别为一１和３．与Ｙ轴交点的纵坐标是一４，求这个二　次函数解析式．　求二次函数解析式的方法很多，通过对本题已知条件的　分析，函数图像通过三个点（一１，０），（３，０），（０，～４），可用二次　函数的一般式，通过解方程组求出ｎ，ｂ，Ｃ．但是进一步剖析二　次函数的特点．其中与　轴的两个交点横坐标分别为一１和３　可看成是一元二次方程似　＋ｂｘ＋ｃ＝０的两个根．于是隐含　条件显现出来了．利用求二次函数解析式的“两根式”形式，　可迅速得出．　数学学习与研究２０１０．６　●　．，１　１０３　ｔ　．１．－Ｉ，＿．　●　解设二次函数的解析式为Ｙ＝０（　＋１）（　一３）．　将点（０，一４）代入上式，得Ⅱ＝　．　ｊ　故解析式为　：　４（　＋１）（　一３）：　４　２一　一４．　Ｊ　ｊ　ｊ　这种解法可谓干净利落，简明快捷．　３．在联想中发现隐含条件，突破解题难点　解决数学问题，要敢于联想，善于联想，如果固守成规，　僵化思维，则难以抓住问题的症结，不利于突破问题的难点．分　析时，如果将已知条件进行发散思维，普遍联系，其蕴含在问题　中的隐含条件必将暴露无遗，对问题的顺利解决也大有裨益．　比如“ｌ”是我们最熟悉、最简单的数字，但其作用是　不可估量的．发挥我们的联想，“１”可看成ａ×１．ｓｉｎ　＋　口　ＣＯＳ２０ｇ．ｔａｎ　．等等．Ａ－　斗　例３已知　，Ｙ∈１１＋，且　十　＝１，求　＋Ｙ的最小值．　Ｙ　针对这一问题，学生马上会联想到均值定理．但很难得　到满足均值定理的“积一定”的条件．于是从已知条件中的“１”　出发，联想到“１”参与运算的特殊性，得出如下巧妙的解法．　解　４－Ｙ：（　＋ｙ）．（１ｌ＋９）：１０＋　４－旦　≥１６．　Ｙ　Ｙ　当且仅当　＝　，即　＝４，ｙ＝１６时，等号成立．　Ｙ　４．在质疑中发现隐含条件，查漏补缺　有一些数学问题，按常规的思路求解，往往会遗漏答案，　有时也会产生一些增根，这些不完整的结果都是因为没有发　现问题的隐含条件而导致的．如果我们对解题过程中某些疑　点加以重视，带着疑点审慎分析问题的条件和结论，从中发　现隐含条件。可以及时将解答补充完整，验证结论的准确性．　例４求过点（１，４）且与圆　＋１）　＋　＝４相切的直线方程．　解设切线方程Ｙ一４＝ｋ（　一１），圆心为（一１，０），半径为　２，则ｄ：　：２，解得：ｋ：孚．　、／　＋ｌ　所求圆的切线方程为Ｙ一４＝　一　一１），即３ｘ～４ｙ＋１３＝０．　叶　事实上答案是不完整的．显然，点（１，４）在圆外，过圆外一　点作圆的切线一共有两条，而本题结论却只有一条，并且解　题过程又没有错误．那还有一条直线呢？这是我们该提出质疑　的地方．应带着疑问分析失根的原因，原来问题出在“直线的　斜率”．直线的斜率有的存在，有的不存在，当斜率不存在的时　候、自然无法通过计算求得，容易被忽略．我们只有通过分析　条件。确定斜率不存在的直线是否与圆相切，从而将问题结　论补充完整．　所以．所求圆的切线还有一条为　＝１．　５．“显”中掘“隐”。正确求解　有些隐含条件是已知条件的“变体”。须将已知条件适当　变形，就不难发现其蕴藏的“玄机”．

　●　・　・　解题技巧与方法　１　西腰　ｏ，　６　谢　雾　魏　穗蚴螬恭　在数学教学中培养学生的发散思维能力是数学新课标　的要求．然而在应试教育的指引下，课堂教学中，教师往往用　固定的模式去培养学生，以教师自己的思维去代替学生的思　维，从狭隘的正确性和外表的完全一致性，迫使学生就范，束　缚了学生的创造性思维包括发散思维，致使有些学生放弃了　自己的独特见解．如何培养学生的发散思维能力呢？　发散思维是对同一个问题从多种角度着眼，搜寻多种可　能性，从多方面探求答案的思维过程，教学过程中要鼓励学　生发散思维，使学生敢于发表与常人相异，而又高于常人的　真知灼见．一题多解．就反映了思维的广阔性、多向性．一题　多解的教学价值在于开拓学生的思路，培养学生思维的广阔　性，从而培养学生的发散思维能力，对提高解题能力具有重　要意义．下面我们就从一道高考题的分析来看一看一题多解　对培养学生发散思维能力的重要性．　例（２００９年广东卷２ｌ题）已知曲线Ｃ　：　一２ｎｘ＋ｖ　＝　０（ｎ＝１，２，３…），从点Ｐ（一ｌ，０）向曲线　引斜率为　（　＞０）　的切线　，切点为　（‰，　）．求数列｛Ｘ　｝与｛Ｙ　｝的通项公武．　分析此题以数列的形式ｍ现，实质是从曲线外一点向　曲线引切线．求切点坐标问题．　思路一方程思想，建立关于未知量　，ｙｎ的方程组．　因为点｛Ｘｎ　ｙｎ｝在曲线ｅ。上，满足　的方程，可得：　Ｘｎ２—２ｎｘ＋ｙ　Ｚ＝０．　①　对方程　一２ｎｘ＋　＝０求导可得　ｙｘ　＝　，即ｋ　＝　Ｙ　ｙ，ｌ　从另一个角度考虑．斜率的公式为ｋ＝垒二苎Ｌ．　，，２一ｙｌ　由于切线Ｌ过点　一１，ｏ）和　（‰，　），所以有　＝—　ｌ十　综合两方面思考的结果：　‘　＝　：　１＋　②　联立①②解得％＝　，Ｙ　＝，ｌ　｛　，ｎ∈Ｍ．　ｎ十Ｉ　ｎ十ｌ　此解题思路主要考查了学生思维的广阔性．因此日常教　学中教师应该引导学生从多角度去分析，找出规律之间的联　系，从而较顺利地分析题意，理出解题思路．　思路二求交点、切点，即直线与曲线的交点．设Ｌ　：Ｙ＝　◎欧德义（陕西省汉阴县汉阴中学　７２５１００）　（　＋１），联立Ｘ　一２ｎｘ＋　＝０，消Ｙ得：（１＋　）　＋（２　一　２ｎ）　＋ｋ　＝０．　因为直线与曲线相切，则Ａ＝（２ｋｎ２—２ｎ）　一４ｋ．ｚ（１＋　）＝０，　解得　ｋ：　—　，这时‰　旱等　一，　ｎ（％＋１）＝　、／２ｎ＋ｌ　ｌ十　ｎ　ｎ＋　ｎ、ｖ／　广　—　『－‘　思路三数形结合，挖掘曲线的几何特征，曲线　配方　得（　—ｎ）　＋Ｙ　＝Ｆｔ　是以Ｃ（ｎ，０）为圆心，ｎ为半径的圆，从点　Ｐ（一１，０）向上半圆引切线（斜率ｋ　＞０）求切点坐标．　由　上ＣＰ．知ｋ　・Ｋｃｐ　＝一１．得方程：　—　。．—　＝一１．　①　＋ｌ　一ｎ　由点　（　，　）在曲线　上得方程：　Ｘｎｚ＿２　＋Ｙｎ　０．　②　联立①②解得‰＝—　，　一ｎ—　２ｖ￣　＋１ｎ　，ｎ　Ｍ．　十Ｉ　几十ｌ　思路四公式法，套用切线方程公式，过切点（　，　）的切　线方程为　一ｎ（ｘ　＋　）＋　＝０．　将Ｐ（一１，０）代人，得　一ｎ（ｘ　一１）＝０，解得‰＝—　一　ｎ＋ｌ　将％＝—　代人曲线　的方程解得　ｎ＋１　．　＝　，ｎ∈Ｎ＋．　ｎ＋ｌ　此解题思路主要考查了学生运用逆向思维的能力．　从以上解题思路我们可以看出，高考题测试的是学生多　方面的知识．而且避免了学生因某一方面没有复习到而老虎　吃天，无法下抓的可能．教育家奥苏伯尔指出：“我们宁愿要　少而精的知识，不愿要多而囫囵吞枣的知识．”这就要求我们　在教学过程中，布置少量“精选”过的习题，并要求学生在做　题时，考虑多种解法或思路，运用不同的数学知识和教学方　法解同一个数学问题，做到一题多解．从而培养了学生发散　思维的能力．因为只有让学生的思维长时间处于开阔状态，　学生的思维才不会僵化，才会达到提升学习效率的目的。真　正从题海战术中解脱出来．　例５已知实数　，Ｙ满足　＋３ｙ＝３ｘ，则　＋　的最大　值是（　）．　Ａ．｝　Ｂ．｝ｃ．　Ｄ．　本题是一个选择题．大多数同学的答案是Ｃ．可以想见学　生是这样演算的：　２＋　：一｝　一手）　＋　３，当　＝手时，Ｘ２－ｔ－　有最大值　３．　解题过程似乎天衣无缝，但答案是错的．原因是隐含条件　在作怪．　因为３　＝一４ｘ　＋３ｘ≥０，即０≤　≤｝，　的取值不能　为　．　所以当　＝｝时，　＋　取最大值　．故应选Ｄ．　４　Ｉｎ　数学问题的隐含条件多种多样．需要经过不断的训练和　总结，将所学知识形成网络，对问题进行深入的分析，只有充分　发掘隐藏在问题中的条件．才不至于在解决问题时措手不及．　数学学习与研究２０１０．

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