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高中数学解题中隐含条件的挖掘方法和技巧隐含条件，是指在数学问题中没有直接给出的条件，这些条件需要解题的学生自己去挖掘。
在解题时，学生需要具备挖掘隐含条件的意识，即在审题时，就要意识到“题目中是不是包含了隐含条件？”接下来，就要能够从题目的特征中分析出题目可能存在哪些隐含条件，然后应用挖掘隐含条件的技巧来挖掘出隐含条件。
1结合习题中的概念和性质挖掘隐含条件有些题目没有直接给出隐含条件，然而这些条件包含在概念或性质中，只有挖掘出这些隐含条件，才能够正确的确定一些数值的取值范围。
在审题时，学生就需要关注概念和性质中有没有隐含条件。
例1：无穷数列中，时，则此数列的各项和为，请完成命题的证明。
解：分析数列通项，可将数列视为分段函数，这是一个隐含条件。
数列是一种特殊的函数，它的自变量是自然数构成的集合，它的值域为自然数组成的分数。
并且当n=3k-1时，即n被3除不足1时，该项将以的形式呈现，否则，当时，该项将以的形式呈现，那么将数列呈现的形式表达出来，它将以的方式呈现。
从数列的概念和性质中挖掘出题目包含的隐含条件，可以缩小无穷数列的范围，得到三个首项不同，而公比相同的三个“无穷递缩等比数列”（1）（2）（3）结合隐含条件完成证明：在解题时，需要分析数学问题的定义与性质，找出题目中可能存在的隐含条件，比如较为常见的数学问题定义和性质中包含的隐含条件为：一元二次方程的二次项系数不为零，指数函数的底数是非1正数等。
只有正确分析隐含条件，才能够正确界定变量的取值范围。
2挖掘出数学图形中呈现的隐含条件在解题时，有些隐含条件在文字中难以呈现出来，而如果忽略这些隐含条件，则解题会出现条件不足的问题。
然而如果抽象化的文化转化为直观化的图形，便会发现图形中包含着隐含条件能够呈现出。
当发现习题的条件不充分时，可以思考把文字转化为图形，挖掘图形中的隐含条件。
图1例2：已知正方形，边长为4，，F分别是AB，AD的中点，平面ABCD且GC=2，求B点到平面EFG的距离。
浅谈数学问题中的隐含条件所谓隐含条件是指题中若明若暗、含蓄不露的已知条件。
它们常是巧妙地隐蔽在题设的背后,不易为人们所觉察。
发掘隐含条件,实质上就是要使题设条件明朗化、完备化和具体化,以便明确解题方向,寻求解题思路。
从总体上说,发掘隐含条件,需要扎实的基础知识,熟练的基本技能,灵活的思想方法,严谨的思维能力。
通常可以从数学题所及的概念、题设、图形等方面的具体特征入手,通过分析、比较、观察、联想等方法,逐步探索和转化。
一、根据概念特征挖掘隐含条件有些数学题,可以从分析概念的本质特征入手,挖掘隐含条件,发现解题契机。
例12+x 与()21-y 互为相反数，求代数式：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+---y x xy xy y x xy y x 2222481433 的值。
分析 本题的隐含条件是互为相反数的两数和为零。
由2+x 是一个非负数，()21-y 也是一个非负数，并且2+x 与()21-y 是互为相反数的。
由互为相反数的意义，得到12=-=y x ， ，这样就创造了代入求值的条件。
解： ∵ 2+x 与()21-y 互为相反数 ∴ 2+x ()012=-+y ∴ 02=+x ，()012=-y ∴ 12=-=y x ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+---y x xy xy y x xy y x 2222481433y x xy xy y x xy y x 2222421433---+-=xy xy y x 2341022--= 当12=-=y x ，原式()()()1223124121022⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯= 3840++= 51=所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+---y x xy xy y x xy y x 2222481433 的值为51。
二、从题设条件中挖掘隐含条件有些数学问题中，只要分析题设中的条件，挖掘出隐含的条件，就能达到“柳暗花明又一村”的效果。
高中数学解题中隐含条件的挖掘【关键词】高中数学;解题;隐含条件;挖掘数学问题的完整性通常包括条件与目标两个方面.问题条件主要具有显性条件与隐含条件以及干扰项.显性条件在解答方面能够提供非常直接的帮助;隐含条件普遍都受忽视，因此需要学生独立挖掘;干扰项使题目难度增加，对学生的思考设置产生影响.在解题的过程中，学生只要对显性条件进行确认，对隐含条件进行挖掘，对干扰项进行排除，才可以使解题的效率得到提升.一、意义有些数学问题即使表面上看比较有难度，但是若是能够把数学题内存在的隐含条件挖掘出来，就可以使解题步骤得到快速简化，将题中具有的数量关系理清，使解决数学问题的效率提高.二、方法（一）已知条件方面解决高中数学问题的过程，本质就是对学生逻辑思维的考查过程.分析题中存在的隐含条件就是通过逻辑思维进行的.在学习高中数学知识的过程中，虽然教师的讲解十分重要，但是学生进行练习也是十分关键的.学生进行数学的日常练习时，基本上都会把教师在课堂上传授的知识进行变形或者拓展，属于将知识进行延伸.所以，学生在练习时，题目难度就会变大.学生在进行具体题目的解决时，若是想得到其中存在的隐含条件，就需要全面分析与研究已知条件，对已知定理或者设定进行透彻理解与分析，准确找到题目条件所包含的定义与公式，再利用公式变形将题中存在的隐含条件找出.例如：已知函数f（x）=loga（x+1）（a0，且a≠1），g（x）=loga （4-2x）.求使函数f（x）-g（x）的值为正数的x的取值范围.题目自身较为复杂，学生在表象认识方面存在困难.學生第一眼看到此题目时，会认为此题所给的条件不够，无法解答.有些学生还会被禁锢于题目呈现的简单条件之中，这时若是想在其中发现隐含的条件就非常困难了.因此，学生在做题时，必须将题面上所给的全部已知内容都找到，且在其中找到需要解决的问题与高中数学内一些定理的相似之处.解析：令f（x）-g（x）0，得f（x）g（x），即loga（x+1）loga（4-2x）.当a1时，可得x+14-2x，解得x1.因为-1x2，所以1x当0a1时，可得x+14-2x，解得x1，因为-1x2，所以-1x1.综上所述，当a1时，x的取值范围是（1，2）;当0a1时，x的取值范围是（-1，1）.由解析所表达的内容可以清晰地看到，本题的解题关键在于通过已知条件进行转化，从而找到该题目的解题核心即“令f（x）-g（x）0，得f （x）g（x）”.在找到解题关键后，该题由已知条件不完整，变成了一道简单的不等式问题，这在极大程度上降低了解题难度.同时，在上述的题目解析中可以发现，高中数学问题的条件通常不会直接呈现给解题者，而是需要解题者在利用平时课堂上所学内容的基础上，合理运用逻辑思维在题干中找到解题关键.因此我们可以说，高中阶段的数学题目正是为了有效考察学生的逻辑思维，并以此锻炼学生的思维能力.（二）推理方面学生在进行高中数学的学习时，只需对方法有一定的掌握就能够使题目难度得到明显降低.题目内具有的隐含条件是将数学问题彻底解决的重要内容.学生只有不断推理和探究题目，才能发现解决问题的方法，发现解题时需要的实质内容.但是一部分题目非常复杂，很难挖掘其中存在的隐含条件，只有利用具有严密性的逻辑推理与求证，才能够将隐含条件推导出来，最终将问题解决.例如：已知A+B+C=π，求证：tan2A2+tan2B2+tan2C2≥1.学生在看到此题时，第一反应就是题目中条件不够，没有办法解题.但是若是经过较为严密的推理就可以将此题中存在的隐含条件找到.解析：利用基本不等式a2+b2≥2ab，同向不等式相加，可以得到tan2A2+tan2B2+tan2C2≥tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2;然后只需证明tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2=1即可.由两角和的正切公式的变形可得tan α+tan β=tan（α+β）（1-tan αtan β），结合三角形内角的关系可得tanC2=cot（A+B）2，至此即可求出结果.证明：因为tan2A2+tan2B2≥2tanA2tanB2，tan2C2+tan2B2≥2tanC2tan B2，tan2A2+tan2C2≥2tanA2tanC2，所以将三个不等式相加可得：tan2A2+tan2B2+tan2C2≥tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2=tanA2ta nB2+tanC2tanA2+tanB2=tanA2·tanB2+cotA+B2tanA+B21-tanA2tanB2=1，即tan2A2+tan2B2+tan2C2≥1.由上述题目解析可知，仅凭题干的已知条件进行证明是无法直接解开此题的，需要学生进一步利用自身的知识积累来找到题中的隐含条件.类似于上述形式的数学题目，在高中阶段的“出镜率”较高，并且具有一定的难度.但是通过上述解题过程不难发现，该类题目的出题意图在于考察学生的知识储备，学生只有掌握固定的不等式关系，才能满足上述题目的解题要求.同时，学生在解题过程中，依旧需要将自身积累的数学知识运用于解题过程中，从而为题目“凑齐”解题条件.而这种思维在学生未来进行科学或学术研究时，能够为其起到一定的支撑作用.在学术研究过程中必须通过已知的知识来求证未知知识，在条件不满足的情况下，科研人员一定要具有上述的“拼凑”思维，巧妙且合理地将所有知识及条件汇聚在一起，才能解开未知的谜题.因此，学习与练习数学题目能够在一定程度上培养学生的思考能力，为其日后的工作及学习奠定良好的基础.（三）定义方面定义和性质是数学解题过程中的着手处，属于浅显的隐含条件，但若是不够重视就会成为非常隐蔽的隐含条件.例如，一元二次方程中的二次项系数不能是0，指数函数中底数必须是不是1的正数，等等.例如：已知数列{an}中，a1=3，前n项和Sn=12（n+1）·（an+1）-1.求证：数列{an}是等差数列.解析：由Sn=12（n+1）（an+1）-1，得Sn+1=12（n+2）·（an+1+1）-1，两式相减后整理可得nan+1=（n+1）an-1，则（n+1）an+2=（n+2）an+1-1，两式相减整理后利用等差中项公式可判断.证明：因为Sn=12（n+1）（an+1）-1，所以Sn+1=12（n+2）（an+1+1）-1，所以an+1=Sn+1-Sn=12[（n+2）（an+1+1）-（n+1）（an+1）]，整理可得，nan+1=（n+1）an-1，①所以（n+1）an+2=（n+2）an+1-1，②②-①可得，（n+1）an+2-nan+1=（n+2）an+1-（n+1）an，所以2（n+1）an+1=（n+1）（an+2+an），所以2an+1=an+2+an，所以数列{an}为等差数列.通过上述题目解析可知，在进行数学题目解答时，学生需要准确掌握使数学概念成立的充分与必要条件.在高中阶段的数学学习过程中，很多定理的存在与成立都需要一定的固有基础，同时根据定理又能得到相应的固有结论.因此，在一般的数学题目中，既定的充要条件通常不会直接呈现，学生需要通过自身对于定理的熟练掌握在解题过程中自行进行补充，从而满足题目的解题需求.因此，教师在日常的数学教学中，需要对学生在该方面进行强调，并在讲解新定理的过程中要求学生对定理的结论及条件进行记忆.但需要注意的是，教师在课程中对学生提出定理记忆要求时，需要直接配合上述类型的题目要求学生进行练习，从而使学生直观感受到记忆定理的作用.（四）联系方面在单独地、孤立无援地对已知条件进行审视时，能够在已知条件的联系中发现新的隐含条件.例如：锐角α，β满足条件sin4αcos2β+cos4αsin2β=1，求证：α+β=π2.证明：由已知可设sin2αcos β=cos θ，cos2αsinβ=sin θ，则sin2α=cos θcos β，① cos2α=sin θsin β，②①+②得：cos（θ-β）=1θ-β=2kπ，所以θ=2kπ+β（k∈Z），所以sin2α=cos θcos β=cos2β，cos2α=sin θsin β=sin2β，因为α，β为锐角，所以sin α=cos β=sinπ2-β，所以α=π2-β，即有α+β=π2.由上述类型的题目及对应解析可知，学生在进行数学习题解答的过程中，需要充分认识到题干中所存在的固有关系，而该类固有关系正是题目的隐含条件，学生只有及时发现该类隐含关系才能有效解开该类题目.此类题目在发现隐含条件后的整体运算并难，故需要教师在日常练习过程中帮助学生进行解答，并指导学生进行相应的积累.其中在要求学生进行积累时，教师要有所侧重的为学生指出解题重点，意在培养学生发现隐含条件的思维能力，切忌放任学生死记硬背.（五）认知动因方面在数学教学活动中，不但具备将认知动因进行激活的策略，也具备将认知内容和方法进行激活的策略，前面的内容依据联想，后面的内容依据类比.解题的过程不仅是联想的过程也是类比的过程.例如：在等比数列中，若S30=13S10，S10+S30=140，则S20等于多少？分析：这是一道关于等比数列的题目，要回忆等比数列的前n项和的公式.首先，由已知条件可得q≠1，S10=10，S30=130，接下来就可以利用等比数列的前n项和公式将其进行变形，进而得到关于q的方程，即可求出q10的值，然后利用等比數列的前n项和公式进行解答就可以了.解：因为S30=13S10，且数列为等比数列，所以q≠1.因为S30=13S10，S10+S30=140，所以S10=10，S30=130，所以a1（1-q10）1-q=10，且a1（1-q30）1-q=130，所以q20+q10-12=0，所以q10=3，所以S20=a11-q201-q=S10（1+q10）=10×（1+3）=40.从该类题目的解题过程中可以看出，此类题目能够很好地检验学生对题干的拆解能力，教师在为学生讲解过题目后，一定要重点对其隐含条件“q≠1”及等比数到的特征进行总结，其目的在于吸引学生对题干的注意力，从而在后续解题过程中能够发现题干中的隐藏条件.（六）图形方面一位法国数学家曾经说过，代数和几何一旦分道扬镳，那么它们的发展范围就会变得十分缓慢，它们在应用方面就十分狭窄，但是把它们相互结合、相互联系，它们就能相辅相成、互相影响，就能够加快发展的步伐，变得更加完善.例如：已知点A（1，2），B（3，-5），P为x轴上一动点，求P到A，B的距离之差的绝对值最大时P点的坐标.分析：从题中能够看出，若不通过数形结合，则很难算出P到A，B 的距离之差的绝对值最大时P点的坐标，因此，可以利用数形结合的方式进行解题，如下图所示.易得当B′，A，P三点共线时，|PA-PB|最大，设直线AB′的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AB′的解析式，点P即是此函数与x轴的交点坐标.解：设B关于x轴的对称点为B′，连接PB′，AB′，则B′（3，5），PB′=PB，所以|PA-PB|=|PA-PB′|≤AB′，则B′，A，P三点共线时，|PA-PB|最大.设直线AB′的解析式为y=kx+b，则有2=k+b，5=3k+b，可得k=32，b=12，所以直线AB′的解析式为y=32x+12.令y=0，可得x=-13，所以符合题意的点P的坐标为-13，0.数形结合不仅是数学发展历史中的重要发现，也是当下高中数学题目中隐藏条件的最好手段.因此，教师需要充分培养学生将图形与函数进行联系的能力，往往题干中的隐藏条件就存在于图形与函数之间.此外，高中数学的教学内容中包含了多种函数形式，并进一步提升了学生对于函数的理解要求.故教师要重视在日常教学中加强学生于函数的理解，并在适当时间要求学生自行进行函数图像的描绘，或通过建立函数图像来要求学生写出对应的函数表达式.三、结语学生在学习高中数学知识时，需要把所学的知识不断运用，这样才可以实现学习的目的.学生在解题时挖掘题中蕴含的隐含条件，并采取与之相关的定义将问题解决，对解题效率的提高有很大的帮助.。
如何发掘数学题中的隐含条件作者：庄明勇来源：《考试周刊》2013年第40期发掘并利用题中，含而不露的隐含条件，是解数学题的关键，对提高学生解题能力具有重要的意义.发掘隐含条件，通常可以从数学题所涉及的概念、图形、结构等方面的特征入手，通过分析、比较、观察、联想等方法进行探索.常见的途径有以下几种.一、从概念特征发掘隐含条件有些数学题，一部分已知条件隐含于概念之中，可以从分析概念的本质特征着手，发掘隐含条件，探明解题思路.二、从结构特征发掘隐含条件有些数学题，已知条件由这样或那样的关系式给出，部分条件巧妙地隐含于这些关系式中.这时，可以从关系式的结构特征上发掘隐含条件.观察PB、PA、OA、OO′四线段所处的位置，若BO′∥PO，则可得到上述比例式.发现了上述隐含条件，原题就不难证出.四、从结构中发掘隐含条件有些数学证明题，部分条件隐含于结论之中.在这种情况下，可以从分析结构入手，通过适当变形把某些条件从结构中分离出来.例4：已知△ABC中，AB=AC，∠ABC=100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC.思考方法：可以先根据结论，在BC边上找一点E使BE=BD，再证明AD=EC.即把隐于结论中的一部分条件从结论中分离出来，使证明方向比较明确，便于作进一步证明.五、从相关知识发掘隐含条件有些数学题，其内容涉及物理、化学等其他学科的知识.解题时只有充分注意相关知识的特点和性质，才能顺利发现隐含条件，获取解决问题的方法.例5：在△ABC中，D在BC上，使BD∶DC=3∶2，E在AD上，且使AE∶ED=5∶6，若BE与AC相交，交点为P，求BE∶EP.思考方法：本题若用平面几何方法求解，则需作辅助线，且过程比较复杂.如果能注意到应用杠杠平衡原理，把线段之比转化为受力之比，则不需添加辅助线，便可巧妙、简捷地解决.故有EA=6，所以ED=EA+EC=9.故BE∶EP=ED∶EB=9∶2.以上讨论了发掘隐含条件的一些常用途径，在实际解题时，这些途径可以而且必须结合起来运用.只有这样，才能收到好的效果.。
例谈数学题中隐含条件的挖掘标签：数学教学；隐含条件；挖掘从某种意义上讲，解数学题是一个从题目所列条件中不断地挖掘并利用其中的隐含条件，进行推理和运算的过程.本文结合教学中的几个典型例子，剖析解题时导致错误产生的原因以及如何注意挖掘题目中的隐含条件。
一、挖掘隐含集合元素的条件例1 已知集合A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且A∩B={3，7}，求实数a的值.正解：∵A={2，3，a2+4a+2}，A∩B={3，7}.∴a2+4a+2=7，解得a=1或a=-5.当a=1时，A={2，3，7}，B={0，7，3，1}，符合条件.当a=-5时，A={2，3，7}，B={0，7，3，7}，不符合集合元素互异性这一条件，应舍去.∴实数a的值为1.分析：这道题容易出错的原因是学生忽视挖掘集合元素的条件，即互异性和无序性，所以在解得a=1或a=-5后，不去检验集合B是否成立.二、挖掘隐含某一变量的条件例2 已知x≥0，y≥0，且x+2y=1，试求x2+y2的取值范围.错解：由x+2y=1，得x=1-2y.则x2+y2=（1-2y）2+y2=5（y-）2+.∵y≥0，∴5（y-）2+≥.即x2+y2≥，∴x2+y2的取值范围为[，+∞].分析：导致错误的原因是已知条件中给出了两个变量的范围，又给出了两个变量的等量关系，要运用此等量关系将所求式子转化为某个变量的二次函数式，还隐含了要利用此等量关系求得某个变量的范围.正解：∵x≥0，∴x=1-2y≥0 ，解得y≤，又∵y≥0 ，∴0≤y≤.x2+y2=（1-2y）2+y2=5（y-）2+，当0≤y≤时，≤5（y-）2+≤1 .∴≤x2+y2≤1. ∴x2+y2的取值范围为[，1].三、挖掘隐含函数奇偶性的条件例3 已知函数f（x）=ax5+bsin3x+10，且f（3）=5，求f（-3）的值.正解：设g（x）=ax5+bsin3x，则g（x）为奇函数，f（x）=g（x）+10.所以f （-3）=g（-3）+10=-g（3）+10=-[f （3）-10]+10=15 .分析：这道题容易出错的原因是忽视挖掘函数奇偶性这一条件.通常求函数值应有确切的函数解析式，本题是涉及两个参数a，b的解析式，只给出f （3）=5这一条件，无法求得参数a，b的值.仔细观察由f （3）=5，求f （-3）的值，启发我们联想函数的奇偶性，不难发现解析式中隐含着g（x）=ax5+bsin3x是奇函数这一条件，于是问题迎刃而解.四、挖掘隐含向量夹角是锐角的充要条件例4 已知向量=（1，2），=（1，m），试确定实数m的取值范围，使得与的夹角为锐角.错解：∵·=1+2m>0，与的夹角为锐角.∴·>0，即1+2m>0，解得m>-.∴实数m的取值范围是（-，+∞）.分析：导致错误的原因是忽视隐含向量夹角是锐角的充要条件.对两个非零向量与，如与的夹角θ为锐角，则·>0，反之，则不一定成立.这是因为当·=cosθ>0时，与的夹角θ也可能为0.因此与的夹角θ为锐角的充要条件是·>0且与不同向，这样在上述m的取值范围（-，+∞）中应除去与的夹角为0的情况.∵与的横坐标都是1，∴当m=2时，与同向.∴实数m的取值范围是（-，2）∪（-2，+∞）.。
挖掘隐含条件,有效解决问题高中数学题目的条件与所求的问题之间必然存在某种联系，这种联系有时是若明若暗、含而不露的，我们把它称为隐含条件。
它们常是巧妙地隐藏在题设的背后，不易被发现。
笔者在教学中发现：不少学生在解题过程中，由于有时寻求原问题的隐含条件比较困难，不便于求解，从而丧失了成功的机会.为此，笔者以从数学问题涉及的定义、图形、结构等方面的具体特征入手，对已知条件及所求问题的特征进行全面分析，多角度思考，瞻前顾后，从中管窥到它们之间的隐含条件，获得解题思路。
1、从概念中发现隐含条件例1 ：已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求f(x)的值域。
分析：此题学生可以由f(x)是偶函数，很容易得出b=0，然后根据二次函数求值域的步骤谈论a的正负以及a=0的情况，分别求出f(x)的值域，最终结果中都含有参数a。
表面看来，解答似乎很完善，运用了分类讨论的思想方法。
他们错误的认为，但其实函数奇偶性的前提是定义域要关于原点对称，于是可从定义域的概念中发现出隐含条件.故得：a-1+2a=0, 问题变成了一个确定函数在确定的区间上求值域的问题。
2、从问题条件的相互制约中发现隐含条件例2 ：已知，则的值域为分析：本题的典型错解是：由已知得，而，从而，又，由换元法可以求出的值域为。
上述解法错在何处呢？错在忽略了题目中由于两个变量的相互制约所隐含的变量的取值范围。
因为，所以，再结合，所以，有的值域为。
3、从数量关系中发现隐含条件.例3：已知函数f(x)=log3x+2,x∈[1,9],则函数的最大值是多少？分析：此题的关键是所求函数的定义域.许多学生认为定义域就是[1,9],这是不对的。
事实上，所求函数解析式中的f(x2)中隐含着x的另一范围。
解：因为f(x)的定义域是[1,9]，所以f(x2)中的x应满足从而得1≤x≤3.即函数的定义域为[1,3].又4、从公式、结论的适用范围中发现隐含条件例4：设是方程的两实根，当时，有最小值，最小值为？分析：本题的典型错解为：由韦达定理可得，，则，由二次函数的图象可知，当时，有最小值。
目录一引言 (1)二．从概念与性质中挖掘隐含条件 (1)（一）严格查看概念与性质，从概念与性质中去挖掘隐含条件 (1)三．从类比中去挖掘隐含条件 (2)（一）仔细分析已知条件，从类比中挖掘隐含条件 (2)（二）利用“降维思想”将空间问题转化为平面问题，从类比中挖掘隐含条件 (2)四．从推理中挖掘隐含条件 (3)（一）严格审视求证结论，从推理中挖掘隐含条件 (3)（二）联系数列方程与韦达定理，从推理中去挖掘隐含条件 (3)五．从题目的结构特征中挖掘隐含条件 (4)（一）从题目中挖掘数学公式 (4)（二）从题目中挖掘几何图形 (4)六．从联想中挖掘隐含条件 (5)（一）类比联想数量关系，从认知动因与方法中挖掘隐含条件 (6)（二）联想数列方程，从抽象函数中挖掘隐含条件 (6)七．从联系中挖掘隐含条件 (7)（一）联想中审视已知条件，从联系中挖掘隐含条件 (7)（二）仔细分析条件，从联系中挖掘隐含条件 (7)八．从数形结合中挖掘隐含条件 (7)（一）仔细分析已知条件，从图形特征中挖掘隐含条件 (7)（二）利用转化思想，从图形特征中挖掘隐含条件 (8)九．结束语 (9)十．参考文献 (10)引 言随着近几年高考数学难度的增大，减轻了计算难度，加大了对思维能力的考查。
许多数学试题看起来很常见，但做起来却非常困难，原因这几年的高考题所给题的信息比较隐晦，有隐含条件，这是高考数学成绩低的一个重要原因之一。
因此，为了提高高考学子的挖掘隐含条件的能力，使他们在较短的时间内提高数学解题的能力，提高他们的数学成绩本文拟从概念与性质中，从类比中，从推理中，从题目的结构特征中，从联想中，从联系中，从数形结合中七个方面去挖掘隐含条件。
隐含条件是指数学问题中那些若明若暗,含而不露的已知条件,或者从题设中不断挖掘并利用条件进行推理和变形而从新发现的条件.它的表现形式主要包括:(1)问题中的字母,变量或关系式所隐含的制约条件和取值范围;(2)问题中的字母,变量或关系式所隐含的几何图形的特征和位置关系;(3)问题所涉及的基本概念,它所属对象的性质;(4)问题所适合的数学模型或公式,定理,法则;(5)生产,生活的实际问题中所讨论的变量的适用范围及相互间满足的关系.一． 从概念与性质中挖掘隐含条件（一）严格查看定义，从概念与性质中挖掘隐含条件定义与性质是数学解题（证明）的出发点，虽然这是浅层次的隐含条件，但不注意也会变成深层次的隐蔽条件，如一元二次方程的二次项系数不为零，指数函数的底数是非1正数等。
例1 无穷数列{}n a 中，111(),313,1(),313n n n n a n k k n a n k --⎧=≠-⎪⎪∈⎨⎪=-=-⎪⎩时，则此数列的各项和为21/26，证明这个命题。
挖掘隐含条件的分析：首先，数列通项是一个分段函数，这是隐含条件，其次，数列是一个以自然数为自变量的函数，它的值域也是由自然数组成的分数，当n=3k-1时，即n被3除不足1时，换句话说，n 被3除余2时，由13n⎛⎫- ⎪⎝⎭表出，否则，31n k ≠-时，即被3除余数不为2时，数列用13n⎛⎫⎪⎝⎭表出，第三，揭示这“无穷递缩等比数列”的关键 是把数列揭示出来：0123456711111111(),(),(),(),(),(),(),()33333333---从定义和性质中，挖掘隐含条件得出三个首项不同，而公比相同的三个“无穷递缩等比数列”（1）036111(),(),(),333（2）147111(),(),(),333--- （3）258111(),(),(),33303614712258312311127111()()(),()()()3332633391113,()()()263332627932126262626S S S S S S =+++==----=-=+++=-++=++=二 从类比中挖掘隐含条件（一）仔细分析已知条件，从类比中挖掘隐含条件从相似比较中挖掘隐含条件的实质是类比，是一种铺垫激活策略。
例2已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:22213a b c ++≥证明:设113a t =+,213b t =+,313c t =+,则1230t t t ++=∴222a b c ++=222123111()()()333t t t +++++=22212312312()33t t t t t t ++++++=22212313t t t +++13≥ 这是高中学习阶段的一个重要的题型，本题提供了一个很好的解法，循环增量换元法。
例题如下：已知m ，n ，k 均大于1，求证：()()()222log log log 1.m n k mnk mnk mnk ++≥如果被比较的两道题中，前者是认知者已经掌握的知识，后者是认知者目前还不会证明的，在两个中仔细观察分析中，发现隐含条件是log log log 1m n kmnk mnk mnk ++=，这样这题的解法就被激活了。
上述两题的条件一样，要证明的结论也一样，只不过第二个看起来形式复杂一些，但它们本质上是一样的。
（二） 利用降维思想将空间问题转化为平面问题，从类比中挖掘隐含条件例3求证：正四面体内任意一点到各个面的距离之和为定值 证明：如图1，将正四面体与正三角形类比：正三角形内任意一点到各个边的距离之和为定值（等于此三角形的高），只须用平积法即可得到结论，那么我们只须用体积法来处理本例。
设四面体A-BCD 内一点O 到各个面的距离分别是1234,,,h h h h ，O 点与四个面构成了四个小四面体，则它们的体积之和等于原四面体的体积，即1234112233441111,3333V V V V V h s h s h s h s =+++=+++其中1234S S S S S ====为四个三角形的面积，则1234123411(),33Sh S h h h h h h h h =+++∴+++为定值。
（h 为正四面体的高） “降维思想”是一重要的类比的方法，空间中的许多问题都可以用这一类比方法去解决。
三 从推理中挖掘隐含条件（一） 严格审视求证结论，从推理中挖掘隐含条件根据手段——目的分析的策略，解题的实质是消除或缩小当前状态与目标状态的差异，并运用数学知识与方法来缩小这种差异，直到问题解决。
例4 在三角形ABC 中，求证：2221222A B Ctg tg tg ++≥ 由此题的结构特征我们想到了“交叉不等式”，要想证明上述结论成立，不妨看一看222222A B B C C Atgtg tg tg tg tg ++是否大于或等于1。
这样或许能消除已知条件与求证之间的差异，这是推理中所需要解决的问题，事实上，122()2222221222222B CtgtgA B C B C tg tg ctg B C tg tg A B B C C A tg tg tg tg tg tg π-++=-==⇒+++= 这是由推理所得出的隐含条件，它的发现把已知和求证之间的差异彻底消除了。
所以命题B OADC图1得证。
实际上，推理的过程中也需要我们观察题目特征，联想有关的数学公式，这样或许能够帮助缩短已知、求证之间的差异，进而使推理有效的进行。
（二）联系数列方程与韦达定理，从抽象函数中挖掘隐含条件有的数列方程与降标方程一起，表明数列的两个项是二次方程之两根，于是根据韦达定理而得一可解型方程。
例5 数列{}n a满足010,5n n a a a +==求其通项。
解：去根号化为：22111010*n n n n a a a a ++-+-=降标得：22111010n n n n a a a a ---+-=也就是：22111010**n n n n a a a a ---+-=*与**式表明1n a +与1n a -是方程2210(1)0n n x a x a -+-=的两个根。
这是该题的隐含条件，利用它将该题转化为较简单的数列问题。
于是由韦达定理有：1110n n n a a a +-+=特征方程：21010,5y y y -+=⇒=±((1255nnn a c c ∴=++-注意到105a a =，有：(((1212120,1552424552424nnn c c c c c c a =+=++-⇒==-∴=+-- 本题隐含条件的挖掘不仅需要学习者有丰富的数列方程知识，而且还需要观察能力。
四 从题目的结构特征中挖掘隐含条件解题时，如果题设中隐含着与某些数学概念、公式具有类似结构的数式或图形信息，则应抓住结构特征，挖掘隐含条件，用构造的方法转化研究对象，使问题顺利解决。
（一）从题目中挖掘所应用的数学公式例6 求函数32412x x y x x -=++的值域。
分析：分子，分母为x 的高次幂且上下又无公因式，无法直接进行解答。
但是，注意到分母可以分解为()221x +，分子可以分解为()21x x -，即32242212112211x x x x y x x x x--==⋅⋅++++。
联想到三角中万能公式，令x tg α=，则 11sin 2cos 2sin 4,24y ααα=⋅=所以11,44y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦本题的函数表达式中隐含着数学公式，能挖掘出来这一条件可使问题顺利解决。
（二）从题目中挖掘所应用的几何模型例7已知锐角,,αβγ满足222cos cos cos 1αβγ++=，求证：tg tg tg αβγ++≥分析：直接用三角方法来证颇感棘手，若由条件联想到立体几何中长方体对角线的性质则茅塞顿开。
证明：构造长，宽，高分别为,,a b c 的长方体1111ABCD A B C D -，如图2，使其对角线1AC 与棱,AB AD ，1AA 的夹角分别为,,αβγ，显然222cos cos cos 1αβγ++=，且tg tg tg αβγ===则tg tg tg αβγ++≥)b c c a a b a b c +++++[()()()]b a c a c b a b a c b c +++++22)≥++=当且仅当a=b=c 时取等号，即αβγ==时结论成立。
此题也体现了数形结合思想，题目的结构特征隐藏着数学模型。
利用数形结合这一转化方法把问题的难度降低了，这有利于培养思维的独创性。
五．从联想中挖掘隐含条件（一）类比联想数量关系，从认知动因与方法中挖掘隐含条件在数学教学中，既有激活认知动因的策略，还有激活认知内容与方法的策略。
前者靠联想，后者靠类比。
解题过程既是联想过程，又是类比过程。
1D 图2A1C B1A C1B D例8 一个等比数列的前n 项和是48，前2n 项的和是60，则前3n 项的和是多少？ 挖掘隐含条件的分析：读者根据认知动因的激活策略，联想到等差数列的类似题，必须分清前n 项，次n 项与后n 项是与题设中的前n 项，前2n 项与前3n 项是完全不同的概念，为了挖掘隐含条件，解题经验说明一个等差数列的前n 项之和，次n 项之和与后n 项之和也同样成等差数列，试问此题中等比数列的前n 项之和，次n 项之和与后n 项之和是否也成等比数列呢？这即可以证明，又可以用特殊激活一般的策略，设2，4，8，16，32，64 成等比数列，前2项的和是6，次2项的和是24，后2项的和是96，同样也成等比数列，其公比是4（原公比是2）。
