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2021年江苏省扬州市中考数学第一次模拟试卷

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2021年江苏省扬州市中考数学第一次模拟试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）实数3的相反数是( )A ．3B ．3-C ．3±D ．132．（3分）下列计算中正确的是( )A ．326b b b =B ．336x x x +=C ．220a a ÷=D ．326()a a -=3．（3分）已知点A 在第二象限，到x 轴的距离是5，到y 轴的距离是6，点A 的坐标为( )A ．(5,6)-B ．(6,5)-C ．(5,6)-D ．(6,5)-4．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．5．（3分）中考结束后，小明想了解今年杭州各普高的录取分数线，他需要通过什么方法获得这些数据？( )A ．测量B ．查阅文献资料、互联网C ．调查D ．直接观察 6．（3分）已知多边形的每个内角都是108︒，则这个多边形是( )A ．五边形B ．七边形C ．九边形D ．不能确定7．（3分）如图，半径为1的O 中，BC ，AC 为弦，D ，N 为BC 三等分点，M 为AD 的中点，则sin ACB ∠的值可表示为( )A ．DNB ．DMC ．BDD ．MN8．（3分）小聪上午8:00从家里出发，骑“共享单车“去一家超市购物，然后从这家超市原路返回家中，小聪离家的路程S（米)和经过的时间t（分)之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是()A．从小聪家到超市的路程是1300千米B．小聪从家到超市的平均速度为100米/分C．小聪在超市购物用时35分钟D．小聪从超市返回家中的平均速度为26米/分二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）9．（3分）根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为．10．（3分）因式分解：39a b ab-=．11．（3分）要使代数式4x-有意义，则x的取值范围是．12．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为22*a b a b=-，根据这个规则，方程(1)*30x+=的解为．13．（3分）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为．14．（3分）如图，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那么一个长为15米的云梯（填“能”或“否”)到达墙的顶端．15．（3分）在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有个．16．（3分）如图，正六边形ABCDEF，连接AE，CF，则CFAE=．17．（3分）如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若6CD=，17AB=，则ABD∆的面积是．18．（3分）如图，在ABC∆中，45BAC∠=︒，8AB AC==，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为．三．解答题（共10小题，满分96分）19．（8分）（1）计算：021( 3.14)23()2π---︒+；（2）化简：2211a aa a+-÷．20．（8分）解不等式：（1）解不等式组2105202347xxx x+⎧⎪+>⎨⎪->-⎩的整数解；（2）3(2)41213x x x x ---⎧⎪+⎨>-⎪⎩． 21．（8分）近段时间，“垃圾分类”一词频上热搜，南开中学初一年级开展了“垃圾分类”的主题班会．为了解同学们对垃圾分类知识的掌握情况，小南就“玻璃碎片属于什么垃圾”在初一年级随机抽取了若干名同学进行了抽样调查，并绘制了如图两幅不完整的统计图：（1）本次抽样调查中，样本容量为 ，扇形统计图中，B 类观点对应的圆心角度数是 度．（2）请补全条形统计图；（3）估计该校4000名学生中赞成D 观点的人数约有多少人？22．（8分）在这场疫情中，“新型冠状性病毒”拆散了许多家庭，也有不少人的生命戛然而止，令人心痛．小明为了纪念这场疫情，自己动手做了四张扑克牌，四张扑克牌的文字分别为“武”、“汉”、“加”、“油”．小明将4张扑克牌翻成反面，然后搅匀扑克牌，搅匀后从中随机抽取一张牌，记录字后然后放回去，接着抽取一张牌，记录第二张牌上的字．请用画树状图或列表的方法，求出摸到两次“武”字的概率．23．（10分）新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控工作，某市为了尽快完成100万只口罩的生产任务，安排甲、乙两个大型工厂完成．已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天能生产口罩的数量的1.5倍，并且在独立完成60万只口罩的生产任务时，甲厂比乙厂少用5天．问至少应安排两个工厂工作多少天才能完成任务？24．（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 为对角线BD 上的两点，且BAF DCE ∠=∠．求证：BE DF =．25．（10分）如图，直线AD经过O上的点A，ABC∆为O的内接三角形，并且∠=∠．CAD B（1）判断直线AD与O的位置关系，并说明理由；π（2）若30∠=︒，O的半径为1，求图中阴影部分的面积．（结果保留)CAD26．（10分）在我校艺术节的各项比赛中，七年级（1）班同学取得了优秀的成绩，为了表彰同学们，林老师特意到瑞安书城买书给学生作为奖励，书城二楼专设8折售书架，销售文教类图书，部分书籍和标价如下表：原价（元)中国历史故事50名人名言20幻夜25（1）若林老师在书城买了《中国历史故事》和《名人名言》一共20本，共付了440元钱，请求出这两种书林老师各买了多少本？（2）若林老师买了以上三种书（每种都有）20本，共付了360元钱，其中《名人名言》书买了本．（直接写出答案）27．（12分）定义：有三条边相等的四边形称为三等边四边形．（1）如图①，平行四边形ABCD中，对角线CA平分BCD．将线段CD绕点C旋转一个角度(0)B αα︒<<∠至CE ，连结AE ．①求证：四边形ABCE 是三等边四边形；②如图②，连结BE ，DE ．求证：BED ACB ∠=∠．（2）如图③，在（1）的条件下，设BE 与AC 交于点G ，3ABE EBC ∠=∠，10AB =，3cos 5BAC ∠=，求以BG ，GE 和DE 为边的三角形的面积． 28．（12分）如图，动点M 在函数3(0)y x x=>的图象上，过点M 分别作x 轴和y 轴的平行线，交函数1(0)y x x=>的图象于点B 、C ，作直线BC ，设直线BC 的函数表达式为y kx b =+．（1）若点M 的坐标为(1,3)①B 点坐标为 ，C 点坐标为 ，直线BC 的函数表达式为 ；②点D 在x 轴上，点E 在y 轴上，且以点B 、C 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D 、E 的坐标；（2）连接BO 、CO ．①当OB OC =时，求OB 的长度；②试证明BOC ∆的面积是个定值．2021年江苏省扬州市中考数学第一次模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）实数3的相反数是( )A ．3B ．3-C ．3±D ．13【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：实数3的相反数是：3-．故选：B ．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（3分）下列计算中正确的是( )A ．326b b b =B ．336x x x +=C ．220a a ÷=D ．326()a a -=【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】解：325b b b =，故选项A 不合题意；3332x x x +=，故选项B 不合题意；221a a ÷=，故选项C 不合题意；326()a a -=，正确，故选项D 符合题意．故选：D ．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项的法则，熟记相关运算法则是解答本题的关键．3．（3分）已知点A 在第二象限，到x 轴的距离是5，到y 轴的距离是6，点A 的坐标为( )A ．(5,6)-B ．(6,5)-C ．(5,6)-D ．(6,5)-【分析】根据第二象限内点到x 轴的距离是点的纵坐标，点到y 轴的距离是横坐标的相反数，可得答案．【解答】解：A 位于第二象限，到x 轴的距离为5，到y 轴的距离为6，则点A 的坐标为(6,5)-， 故选：B ．【点评】本题考查了点的坐标，第二象限内点到x轴的距离是点的纵坐标，点到y轴的距离是横坐标的相反数．4．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是()A．B．C．D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．5．（3分）中考结束后，小明想了解今年杭州各普高的录取分数线，他需要通过什么方法获得这些数据？()A．测量B．查阅文献资料、互联网C．调查D．直接观察【分析】根据获得数据的特点，选择适当的方法进行收集和整理．【解答】解：想了解今年杭州各普高的录取分数线，只要上网查阅或查阅文献资料即可，故选：B．【点评】考查数据的收集与整理，根据收集数据的特点，采取灵活多样的方法．6．（3分）已知多边形的每个内角都是108︒，则这个多边形是()A．五边形B．七边形C．九边形D．不能确定【分析】首先计算出多边形的外角的度数，再根据外角和÷外角度数=边数可得多边形的边数．【解答】解：多边形的每个内角都是108︒，∴每个外角是18010872︒-︒=︒，∴这个多边形的边数是360725︒÷︒=，∴这个多边形是五边形，故选：A ．【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，关键是掌握多边形的外角与它相邻的内角互补．7．（3分）如图，半径为1的O 中，BC ，AC 为弦，D ，N 为BC 三等分点，M 为AD 的中点，则sin ACB ∠的值可表示为( )A ．DNB ．DMC ．BD D ．MN【分析】连接AB ，连接AO 并延长交O 于E 点，连接BE ，则AE 为直径，AEB ACB ∠=∠．求得sin ACB ∠，即得出sin AEB ∠，从而得出答案．【解答】解：连接AB ，连接AO 并延长交O 于E 点，连接BE ，AE ∴为直径，90ABE ∠=︒，AEB ACB ∠=∠． 2sin sin 2AB MN ACB AEB MN AE ∴∠=∠===． 故选：D ．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义、垂径定理以及圆周角定理是基础知识要熟练掌握．8．（3分）小聪上午8:00从家里出发，骑“共享单车“去一家超市购物，然后从这家超市原路返回家中，小聪离家的路程S （米)和经过的时间t （分)之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是( )A ．从小聪家到超市的路程是1300千米B ．小聪从家到超市的平均速度为100米/分C ．小聪在超市购物用时35分钟D ．小聪从超市返回家中的平均速度为26米/分【分析】仔细观察图象的横纵坐标所表示的量的意义，从而进行判断．【解答】解：A 、观察图象发现：从小聪家到超市的路程是1800米，故错误；B 、小聪去超市共用了10分钟，行程1800米，速度为180010180÷=米/分，故错误；C 、小聪在超市逗留了451035-=分钟，故正确；D 、(18001300)(5045)5005100-÷-=÷=，所以小聪从超市返回的速度为100米/分，故错误；故选：C ．【点评】本题考查了函数的图象，能够仔细读图并从中整理出进一步解题的有关信息是解答本题的关键，难度不大．二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）9．（3分）根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为 94.410⨯ ．【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【解答】解：94400000000 4.410=⨯．故答案为：94.410⨯【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．10．（3分）因式分解：39a b ab -= (31)(31)ab a a +- ．【分析】原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式2(91)(31)(31)ab a ab a a =-=+-． 故答案为：(31)(31)ab a a +-【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11．（3有意义，则x 的取值范围是 4x ． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得40x -，再解即可． 【解答】解：根据题意可得：40x -， 解得：4x ， 故答案为：4x ．【点评】此题主要考查了二次根式有意义，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 12．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为22*a b a b =-，根据这个规则，方程(1)*30x +=的解为 12x =，24x =- ．【分析】先根据新定义得到22(1)30x +-=，再移项得2(1)9x +=，然后利用直接开平方法求解．【解答】解：(1)*30x +=，22(1)30x ∴+-=， 2(1)9x ∴+=， 13x +=±，所以12x =，24x =-． 故答案为12x =，24x =-．【点评】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：如果方程化成2x p =的形式，那么可得x p =±；如果方程能化成2()(0)nx m p p +=的形式，那么nx m p +=±．13．（3分）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为 3π ． 【分析】根据圆锥的侧面积公式：122S r l rl ππ=⨯⋅=侧．即可得圆锥的侧面展开图的面积．【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形，313S rl πππ∴==⨯=侧，∴该圆锥的侧面展开图的面积为3π．故答案为：3π．【点评】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面展开图的扇形面积公式． 14．（3分）如图，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那么一个长为15米的云梯 能 （填“能”或“否” )到达墙的顶端．【分析】根据已知得出斜边与直角边再利用勾股定理求出即可． 【解答】解：设这把梯子能够到达的墙的最大高度是h 米，则： 根据勾股定理2215912h =-（米) 1211.7h =>∴一个长为15米的云梯能够到达墙的顶端．故答案为：能．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解决问题的关键．15．（3分）在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有 5 个．【分析】设袋中白球有x 个，根据题意用黄球数除以白球和黄球的总数等于黄球的频率列出等式即可求出白球数．【解答】解：设袋中白球有x 个，根据题意，得 150.7515x =+， 解得5x =．所以袋中白球有5个． 故答案为5．【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．16．（3分）如图，正六边形ABCDEF ，连接AE ，CF ，则CFAE= 23 ．【分析】连接BD 交CF 于K ．四边形ABDE 是矩形，设FG CK a ==，则2AF BC AB a ===，推出4CF a =，于是得到结论． 【解答】解：连接BD 交CF 于K ．六边形ABCDEF 是正六边形， 120BAF AFE ∴∠=∠=︒，FA FE =， 30FAE ∴∠=︒，90BAE ∴∠=︒，同理可证90AED BDE ∠=∠=︒，设FG CK a ==，则2AF BC AB a ===， 4CF a ∴=，223AE AG a ==，∴2323CF AE ==， 23【点评】本题考查正六边形的性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．17．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若6CD =，17AB =，则ABD ∆的面积是 51 ．【分析】根据作图过程可得，AD 是CAB ∠的平分线，过点D 作DE AB ⊥于点E ，根据90C ∠=︒，可得DC AC ⊥，可得6DE CD ==，进而可得ABD ∆的面积．【解答】解：根据作图过程可知：AD 是CAB ∠的平分线，如图，过点D 作DE AB ⊥于点E ， 90C ∠=︒， DC AC ∴⊥， 6DE CD ∴==， 111765122ABD S AB DE ∆∴==⨯⨯=． 故答案为：51．【点评】本题考查了作图-基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．18．（3分）如图，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，8AB AC ==，P 为AB 边上一动点，以PA 、PC 为边作平行四边形PAQC ，则对角线PQ 的最小值为 42 ．【分析】由平行四边形的性质可知O 是PQ 中点，PQ 最短也就是PO 最短，所以应该过O 作AB 的垂线P O '，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ 的最小值．【解答】解：设AC 、PQ 交于点O ，如图所示： 四边形PAQC 是平行四边形， AO CO ∴=，OP OQ =，PQ 最短也就是PO 最短，∴过O 作OP AB '⊥于点P '，45BAC ∠=︒，∴△AP O '是等腰直角三角形，118422AO AC ==⨯=， 222OP AO ∴'==， PQ ∴的最小值242OP ='=，故答案为：42．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形． 三．解答题（共10小题，满分96分）19．（8分）（1）计算：021( 3.14)23()2π---︒+；（2）化简：2211a a a a+-÷．【分析】（1）运用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可； （2）先分解因式，然后约分． 【解答】解：（1）原式31234=-+134=-+2=；（2）原式2211a a a a+-=÷21(1)(1)a a a a a +=+- 1aa =-． 【点评】本题考查了实数的运算和分式的乘除法，熟练运用零指数幂、负整数指数幂法则和分解因式是解题的关键． 20．（8分）解不等式：（1）解不等式组2105202347x x x x +⎧⎪+>⎨⎪->-⎩的整数解；（2）3(2)41213x x x x ---⎧⎪+⎨>-⎪⎩．【分析】（1）分别求出不等式组中各不等式的解集，找出公共部分确定出不等式组的解集，即可确定出整数解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出公共部分即可． 【解答】解：（1）2105202347x x x x +⎧⎪+>⎨⎪->-⎩①②③，由①得：12x -， 由②得：52x >-，由③得：2x <，∴不等式组的解集为122x -<， 则不等式组的整数解为0，1； （2）()3241213x x x x ⎧---⎪⎨+>-⎪⎩①②，由①得：1x ， 由②得：4x <，则不等式组的解集为1x．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．21．（8分）近段时间，“垃圾分类”一词频上热搜，南开中学初一年级开展了“垃圾分类”的主题班会．为了解同学们对垃圾分类知识的掌握情况，小南就“玻璃碎片属于什么垃圾”在初一年级随机抽取了若干名同学进行了抽样调查，并绘制了如图两幅不完整的统计图：（1）本次抽样调查中，样本容量为200，扇形统计图中，B类观点对应的圆心角度数是度．（2）请补全条形统计图；（3）估计该校4000名学生中赞成D观点的人数约有多少人？【分析】（1）根据选A的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，然后即可得到类观点对应的圆心角度数；（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据可以得到选择C和D的女生人数，然后即将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校4000名学生中赞成D观点的人数约有多少人．【解答】解：（1）本次抽样调查中，样本容量为(2515)20%200+÷=，B类观点对应的圆心角度数是：3040 360126200+︒⨯=︒，故答案为：200，126；（2）选择C的女生人数为：20018%1125⨯-=，选择D的女生人数为：200(120%18%)(3040)3420⨯---+-=，补全的条形统计图如右图所示；（3）342040001080200+⨯=（人)，答：该校4000名学生中赞成D观点的人数约有1080人．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．（8分）在这场疫情中，“新型冠状性病毒”拆散了许多家庭，也有不少人的生命戛然而止，令人心痛．小明为了纪念这场疫情，自己动手做了四张扑克牌，四张扑克牌的文字分别为“武”、“汉”、“加”、“油”．小明将4张扑克牌翻成反面，然后搅匀扑克牌，搅匀后从中随机抽取一张牌，记录字后然后放回去，接着抽取一张牌，记录第二张牌上的字．请用画树状图或列表的方法，求出摸到两次“武”字的概率．【分析】将武汉加油分别记为1、2、3、4，先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．【解答】解：将武汉加油分别记为1、2、3、4，列表如下：1234 111121314221222324331323334441424344由表可知共有16种等可能结果，其中摸到两次“武”字的只有1种结果，∴摸到两次“武”字的概率为116． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（10分）新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控工作，某市为了尽快完成100万只口罩的生产任务，安排甲、乙两个大型工厂完成．已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天能生产口罩的数量的1.5倍，并且在独立完成60万只口罩的生产任务时，甲厂比乙厂少用5天．问至少应安排两个工厂工作多少天才能完成任务？【分析】设乙厂每天能生产口罩x 万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x 万只，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合在独立完成60万只口罩的生产任务时甲厂比乙厂少用5天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验即可得出x 的值，再设应安排两个工厂工作y 天才能完成任务，根据要生产的口罩数量=甲、乙厂每天生产的数量之和⨯时间结合至少生产100万只口罩，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【解答】解：设乙厂每天能生产口罩x 万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x 万只， 依题意，得：606051.5x x-=， 解得：4x =，经检验，4x =是原方程的解，且符合题意， 1.56x ∴=．再设应安排两个工厂工作y 天才能完成任务， 依题意，得：(64)100y +， 解得：10y ．答：至少应安排两个工厂工作10天才能完成任务．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出分式方程（一元一次不等式）是解题的关键．24．（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 为对角线BD 上的两点，且BAF DCE ∠=∠．求证：BE DF =．【分析】利用平行四边形的性质可得AB CD=，//AB CD然后证明ABF CDE∆≅∆，进而可得BF DE=，再利用等式的性质进行计算即可．【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，AB CD∴=，//AB CD，ABF CDE∴∠=∠，在ABF∆和CDE∆中BAF DCE AB CDABF EDC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABF CDE ASA∴∆≅∆，ED BF∴=，BD CF BD DE∴-=-，BE DF∴=．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．25．（10分）如图，直线AD经过O上的点A，ABC∆为O的内接三角形，并且CAD B∠=∠．（1）判断直线AD与O的位置关系，并说明理由；（2）若30CAD∠=︒，O的半径为1，求图中阴影部分的面积．（结果保留)π【分析】（1）作直径AE，连接CE，求出90OAD∠=︒，根据切线的判定得出即可；（2）求出OAC∆是等边三角形，再分别求出OAC∆和扇形OCA的面积，即可得出答案．【解答】解：（1）直线AD与O 的位置关系是相切，理由是：作直径AE，连接CE，AE 为直径，90ACE ∴∠=︒，90E EAC ∴∠+∠=︒，B DAC ∠=∠，B E ∠=∠，E DAC ∴∠=∠，90EAC DAC ∴∠+∠=︒，即OA AD ⊥， OA 过O ，∴直线AD 与O 的位置关系是相切；（2）连接OC ，过O 作OF AC ⊥于F ，则90OFA ∠=，30CAD ∠=︒，90DAO ∠=︒，60OAC ∴∠=︒，1OC OA ==，OAC ∴∆是等边三角形，1AC OA ∴==，60AOC ∠=︒，OA OC =，OF AC ⊥，12AF FC ∴==， 由勾股定理得：22111()322OF =-= ∴阴影部分的面积为260111313360226ππ⨯-⨯=． 【点评】本题考查了切线的性质和判定，扇形的面积计算和圆周角定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．26．（10分）在我校艺术节的各项比赛中，七年级（1）班同学取得了优秀的成绩，为了表彰同学们，林老师特意到瑞安书城买书给学生作为奖励，书城二楼专设8折售书架，销售文教类图书，部分书籍和标价如下表：（1）若林老师在书城买了《中国历史故事》和《名人名言》一共20本，共付了440元钱，请求出这两种书林老师各买了多少本？（2）若林老师买了以上三种书（每种都有）20本，共付了360元钱，其中《名人名言》书买了 15 本．（直接写出答案）【分析】（1）设《中国历史故事》买了x 本，《名人名言》买了y 本，等量关系有两个：《中国历史故事》和《名人名言》一共20本，共付了440元钱；（2）设三种书分别是x 本、y 本、z 本，等量关系：三种书（每种都有）20本，共付了360元钱．【解答】解：（1）设《中国历史故事》买了x 本，《名人名言》买了y 本，由题意得20500.8200.8440x y x y +=⎧⎨⨯+⨯=⎩， 解得515x y =⎧⎨=⎩． 答：《中国历史故事》买了5本，《名人名言》买了15本；（2）设三种书分别是x 本、y 本、z 本，由题意得20500.8200.8250.8360x y z x y z ++=⎧⎨⨯+⨯+⨯=⎩消去z 得20440x y -=-510y x ∴=+x 、y 都是正整数，∴1154x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．故答案是：15．【点评】本题考查了三元一次方程组、二元一次方程组的应用，解此题的关键是把语言叙述转化成数学式子，题目比较好，但是有一定的难度．27．（12分）定义：有三条边相等的四边形称为三等边四边形．（1）如图①，平行四边形ABCD 中，对角线CA 平分BCD ．将线段CD 绕点C 旋转一个角度(0)B αα︒<<∠至CE ，连结AE ．①求证：四边形ABCE 是三等边四边形；②如图②，连结BE ，DE ．求证：BED ACB ∠=∠．（2）如图③，在（1）的条件下，设BE 与AC 交于点G ，3ABE EBC ∠=∠，10AB =，3cos 5BAC ∠=，求以BG ，GE 和DE 为边的三角形的面积． 【分析】（1）①证明平行四边形ABCD 是菱形，得出AB BC CD ==，则AB BC CE ==，即可得出结论；②如图②，延长EC 至点H ，证得2BCD BED ∠=∠，2BCD ACB ∠=∠，则结论得证；（2）如图③，连接BD ，DG ，BD 与AC 交于点O ，过点G 作GP BC ⊥于点P ，求出OA ，OC ，在Rt GPC ∆中，得出222()OC OG OG PC --=，求出83OG =，103GC =，证明BED BCG ∆∆∽，得出BD BE DE BG BC CG==，可求出BE ，DE 的长，得出90GDE BDE GDB BGC GBD GOB ∠=∠-∠=∠-∠=∠=︒，求出803GDE S ∆=，则答案可求出． 【解答】解：（1）①证明：如图①，四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，BAC ACD∴∠=∠，∠，CA平分BCD∴∠=∠，BCA ACDBAC BCA∴∠=∠，∴=，AB BC∴平行四边形ABCD是菱形，AB BC CD∴==，=，CE CD∴==，AB BC CE∴四边形ABCE是三等边四边形．②证明：如图②，延长EC至点H，=，CE CD∴∠=∠，CDE CED∴∠=∠+∠=∠，2HCD CDE CED CED=，BC CE∴∠=∠，CBE CEB∴∠=∠+∠=∠，2HCB CBE CEB CEB∴∠-∠=∠-∠，HCD HCB CED CEB2()即2∠=∠，BCD BED四边形ABCD是菱形，∴∠=∠，2BCD ACB∴∠=∠．BED ACB（2）如图③，连接BD，DG，BD与AC交于点O，过点G作GP BC⊥于点P，四边形ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥，12AO AC =，2BD BO =，12DBC ABC ∠=∠， 在Rt ABO ∆中，10AB =，3cos 5BAC ∠=， 365AO AB ∴==， 6OC AO ∴==，228BO AB AO =-，216BD BO ∴==，3ABE EBC ∠=∠，4ABC EBC ∴∠=∠，12DBC ABC ∠=∠， 2DBC EBC ∴∠=∠，DBE EBC ∴∠=∠，GO BD ⊥，GP BC ⊥，GO GP ∴=，8BP BO ==，1082PC BC BP ∴=-=-=，在Rt GPC ∆中，222GC GP PC -=，222()OC OG OG PC ∴--=，即22(6)4OG OG --=，83OG ∴=，103GC =， 228103BG BO OG ∴+ BED ACB ∠=∠，DBE EBC ∠=∠，BED BCG ∴∆∆∽， ∴BD BE DE BG BC CG==，1610BD BC BE BG ∴==⨯=10163BD CG DE BG ==⨯= AC 垂直平分BD ，DG BG ∴=， GDB GBD ∴∠=∠，90GDE BDE GDB BGC GBD GOB ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠=︒，1180223GDE S DG DE ∆∴==⨯， ∴以BG ，GE 和DE 为边的三角形的面积是803． 【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，三角形的面积等知识，正确理解新定义，熟练掌握几何图形的性质是解题的关键．28．（12分）如图，动点M 在函数3(0)y x x=>的图象上，过点M 分别作x 轴和y 轴的平行线，交函数1(0)y x x=>的图象于点B 、C ，作直线BC ，设直线BC 的函数表达式为y kx b =+．（1）若点M 的坐标为(1,3)①B 点坐标为 1(3，3) ，C 点坐标为 ，直线BC 的函数表达式为 ； ②点D 在x 轴上，点E 在y 轴上，且以点B 、C 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D 、E 的坐标；（2）连接BO 、CO ．①当OB OC =时，求OB 的长度；②试证明BOC ∆的面积是个定值．。

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2021年江苏省扬州中考数学真题(word版,手写参考答案)

2021年江苏省扬州中考数学真题(word版,手写参考答案)

y x k 2x A O x B A O扬州市2021年初中毕业、升学统一考试数学试题（满分：150分，时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共24分） 1.实数100的倒数是 ( ▲ ) A ．100 B ．-100 C ．1100 D ．11002.把右图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是( ▲ )A ．五棱锥B ．五棱柱C ．六棱锥D ．六棱柱第2题图 第5题图 第6题图3. 下列生活中的事件，属于不可能事件的是( ▲ )A ．3天内将下雨B ．打开电视，正在播新闻C ．买一张电影票，座位号是偶数号D ．没有水分，种子发芽 4. 不论x 取何值，下列代数式，的值不可能为0的是( ▲ ) A ．1xB ．21xC ．11x D ．2(1)x5. 如图，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ，若∠BCD=100°，则∠A+∠B+∠D+∠E= ( ▲ )A ．220°B ．240°C ．260°D ．280°6.如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A 、B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C ，使得△ABC 是等腰直角．．．．三角形，满足条件的格点C 的个数是( ▲ ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．57.如图，一次函数2yx 的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，把直线AB 绕点B 顺时针旋转30°交x 轴于点C ，则线段AC 长为( ▲ ) A 2 B ． C ．23 D 328. 11(0k y k x ＞轴的垂线，，交函数22(00)k y k x x ＞，＞CD 、AB ，其中1k ，下列结论：①CD ∥AB 122COD k k △；③2121()2DCP k k S k △，其中正确的是( ▲ )A ．①②B ．①③C ．②③D ．① 二、填空题（每小题3分，共30分）9.2021年扬州世界园艺博览会以“绿色城市，健康生活”为主题，在某搜索引擎中输入“扬州世界园艺博览会”约有3 020 000个相关结果，数据3 020 000用科学记数法表示为 ． 10.计算：2220212020 ．11.在平面直角坐标系中，若点P （1-m ，5-2m ）在第二象限，则整数m 的值为 ． 12.已知一组数据：a 、4、5、6、7的平均数为5，则这组数据的中位数是 ．13.扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及这？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马 追上慢马．14.如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为10 cm 的正方形，该果罐的侧面积为 cm 2．第14题图 第15题图15.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接CD ，若CD=5，BC=8，则DE= ．16.如图，在□ABCD 中，点E 在AD 上，且EC 平分∠BED ，若∠EBC=30°，BE=10，则□ABCD 的面积为 ．第16题图17.如图，在△ABC 中，AC=BC ，矩形BC 、AC 上，若CF=4，BF=3，且DE=2EF ，则EF 18.图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10重新排列成一组新数据，则新数据中的第个数为 ．三、解答题（共96分） 19.（8分）计算或化简：（1）01()33tan 603（2）11()()a b a b+÷+20.（8分）已知方程组271x y x y +=⎧⎨=-⎩的解也是关于x 、y 的方程4ax y +=的一个解，求a 的值．21.（8分）为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”，某校开展“每日健身操”活动，为了解学生对“每日健身操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结果绘制成如下尚不完整的统计图表：根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的校本容量是 ；（2）扇形统计图中表示A 程度的扇形的圆心角度数为 °，统计表中m= ； （3）根据抽样调查的的结果，请你估计该校2000名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动（包括非常喜欢和比较喜欢）．22.（8分）一张圆桌旁设有的个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能的坐到①、②、③中的两个座位上． （1）甲坐在①号座位的概率是 ；（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．23.（10分）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少天，问原来每天生产多少万剂疫苗？24.（10分）如图，在△ABC 中，∠BAC 的角平分线交BC 于点点D ，DE （1）试判断四边形AFDE 的形状，并说明理由；ED B 丙③②①（2）若∠BAC=90°，且AD=22，求四边形AFDE 的面积．25.（10分）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD=90°，CB=CD ，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作⊙B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与⊙B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB=23，∠BCD=60°，求图中阴影部分的面积．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于点A(-1，0)、B(3，0)，交y 轴于点C ．（1）b = ，c = ；（2）若点D 在该二次函数的图像上，且S △ABD =2S △ABC ，求点D 的坐标；（3）若点P 是该二次函数图像上位于x 轴上方的一点，且S △APC =2S △APB ，直接写出点P 的坐标．27.（12分）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A 的位置不唯一，它在以BC 为弦的圆弧上（点B 、C 除外），……。

2021年江苏省扬州市中考数学试卷(附答案详解)

2021年江苏省扬州市中考数学试卷(附答案详解)

2021年江苏省扬州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.实数100的倒数是()A. 100B. −100C. 1100D. −11002.把如图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是()A. 五棱锥B. 五棱柱C. 六棱锥D. 六棱柱3.下列生活中的事件，属于不可能事件的是()A. 3天内将下雨B. 打开电视，正在播新闻C. 买一张电影票，座位号是偶数号D. 没有水分，种子发芽4.不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是()A. x+1B. x2−1C. 1x+1D. (x+1)25.如图，点A、B、C、D、E在同一平面内连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=100°，则∠A+∠B+∠D+∠E=()A. 220°B. 240°C. 260°D. 280°6.如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 57.如图，一次函数y=x+√2的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为()A. √6+√2B. 3√2C. 2+√3D. √3+√2(k1>0,x>0)的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴8.如图，点P是函数y=k1x(k2>0,x>0)的图象于点C、D，连的垂线，垂足分别为点A、B，交函数y=k2x接OC、OD、CD、AB，其中k1>k2.下列结论：①CD//AB；②S△OCD=k1−k2；2③S△DCP=(k1−k2)2，其中正确的是()2k1A. ①②B. ①③C. ②③D. ①二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）9.2021年扬州世界园艺博览会以“绿色城市，健康生活”为主题，在某搜索引擎中输入“扬州世界园艺博览会”约有3020000个相关结果，数据3020000用科学记数法表示为______ ．10.计算：20212−20202=______ ．11.在平面直角坐标系中，若点P(1−m,5−m)在第二象限，则整数m的值为______ ．12.已知一组数据：a、4、5、6、7的平均数为5，则这组数据的中位数是______ ．13.扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马______ 天追上慢马．14.如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为10cm的正方形，该果罐侧面积为______ cm2．15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD=5，BC=8，则DE=______ ．16.如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC=30°，BE=10，则▱ABCD的面积为______ ．17.如图，在△ABC中，AC=BC，矩形DEFG的顶点D、E在AB上，点F、G分别在BC、AC上，若CF=4，BF=3，且DE=2EF，则EF的长为______ ．18. 将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为______ ． 三、计算题（本大题共1小题，共8.0分） 19. 计算或化简：(1)(−13)0+|√3−3|+tan60°．(2)(a +b)÷(1a +1b).四、解答题（本大题共9小题，共88.0分）20. 已知方程组{2x +y =7x =y −1的解也是关于x 、y 的方程ax +y =4的一个解，求a 的值．21. 为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”，某校开展“每日健身操”活动，为了解学生对“每日健身操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结果绘制成如下尚不完整的统计图表：抽样调查各类喜欢程度人数统计表喜欢程度人数A.非常喜欢50人B.比较喜欢m人C.无所谓n人D.不喜欢16人根据以上信息，回答下列问题：(1)本次调查的样本容量是______ ；(2)扇形统计图中表示A程度的扇形圆心角为______ °，统计表中m=______ ；(3)根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动(包含非常喜欢和比较喜欢)．22.一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．(1)甲坐在①号座位的概率是______ ；(2)用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．23.为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天.问原先每天生产多少万剂疫苗？24.如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE//AB，DF//AC．(1)试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；(2)若∠BAC=90°，且AD=2√2，求四边形AFDE的面积．25.如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，CB=CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．(1)试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；(2)若AB=2√3，∠BCD=60°，求图中阴影部分的面积．26.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(−1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C．(1)b=______ ，c=______ ；(2)若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD=2S△ABC，求点D的坐标；(3)若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC=S△APB，直接写出点P的坐标．27.在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段BC=2，使用作图工具作∠BAC=30°，尝试操作后思考：(1)这样的点A唯一吗？(2)点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC 为弦的圆弧上(点B、C除外)，….小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图1)．(1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为______ ；②△ABC面积的最大值为______ ；(2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C>30°．(3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD．的边长AB=2，BC=3，点P在直线CD的左侧，且tan∠DPC=43①线段PB长的最小值为______ ；S△PAD，则线段PD长为______ ．②若S△PCD=2328.甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费−月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润−月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：(1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是______ 元；当每个公司租出的汽车为______ 辆时，两公司的月利润相等；(2)求两公司月利润差的最大值；(3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元(a>0)给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【知识点】倒数，【解析】解：100的倒数为1100故选：C．直接根据倒数的定义求解．本题考查了倒数的定义：a(a≠0)的倒数为1． a2.【答案】A【知识点】展开图折叠成几何体【解析】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形，则该几何体为五棱锥，故选：A．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键．3.【答案】D【知识点】随机事件【解析】解：A、3天内将下雨，是随机事件；B、打开电视，正在播新闻，是随机事件；C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件；D、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件；故选：D．根据事件发生的可能性大小判断即可．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4.【答案】C【知识点】分式的值为零的条件【解析】解：A、当x=−1时，x+1=0，故不合题意；B、当x=±1时，x2−1=0，故不合题意；≠0，故符合题意；C、分子是1，而1≠0，则1x+1D、当x=−1时，(x+1)2=0，故不合题意；故选：C．分别找到各式为0时的x值，即可判断．本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．5.【答案】D【知识点】三角形的外角性质、三角形内角和定理、多边形内角与外角【解析】解：连接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°−100°=80°，∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°−∠CBD−∠CDB=360°−80°=280°，故选：D．连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．6.【答案】B【知识点】等腰直角三角形【解析】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．7.【答案】A【知识点】一次函数图象与几何变换【解析】解：∵一次函数y=x+√2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，令x=0，则y=√2，令y=0，则x=−√2，则A(−√2,0)，B(0,√2)，则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB=√(√2)2+(√2)2=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，∴AC=√AD2+CD2=√2x，∵旋转，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD=√BC2−CD2=√3x，又BD=AB+AD=2+x，∴2+x=√3x，解得：x=√3+1，∴AC=√2x=√2(√3+1)=√6+√2，故选：A．根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．8.【答案】B【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义、平行线的判定与性质【解析】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在y=k1x 上，点C，D在y=k2x上，设P(m,k1m)，则C(m,k2m )，A(m,0)，B(0,k1m)，令k1m=k2x，则x=k2mk1，即D(k2mk1,k1m)，∴PC=k1m −k2m=k1−k2m，PD=m−k2mk1=m(k1−k2)k1，∵PDPB =m(k1−k2)k1m=k1−k2m，PCPA=k1−k2mk1m=k1−k2m，即PDPB=PCPA，又∠DPC=∠BPA，∴△PDC∽△PBA，∴∠PDC=∠PBC，∴CD//AB，故①正确；△PDC的面积=12×PD×PC=(k1−k2)22k1，故③正确；S△OCD=S四边形OAPB−S△OCA−S△DPC=k1−12k2−12k2−(k1−k2)22k1=k12−k222k1，故②错误；故选：B．设P(m,k1m )，分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断PDPB和PCPA的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用S△OCD= S四边形OAPB−S△OCA−S△DPC计算△OCD的面积，可判断②．此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．9.【答案】3.02×106【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：将3020000用科学记数法表示为3.02×106．故答案为：3.02×106．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10.【答案】4041【知识点】平方差公式【解析】解：20212−20202=(2021+2020)(2021−2020)=4041×1=4041故答案为：4041．利用平方差公式进行简便运算即可．本题考查了平方差公式的应用，解题时注意运算顺序．11.【答案】2【知识点】坐标确定位置【解析】解：由题意得：{1−m <05−2m >0，解得：1<m <52， ∴整数m 的值为2， 故答案为：2．根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0列出不等式组，然后求解即可． 本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．12.【答案】5【知识点】算术平均数、中位数 【解析】解：∵这组数据的平均数为5， 则a+4+5+6+75=5，解得：a =3，将这组数据从小到大重新排列为：3，4，5，6，7， 观察数据可知最中间的数是5， 则中位数是5． 故答案为：5．根据平均数的定义先算出a 的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．本题考查了平均数和中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．13.【答案】20【知识点】一元一次方程的应用【解析】解：设快马行x 天追上慢马，则此时慢马行了(x +12)日， 依题意，得：240x =150(x +12)， 解得：x =20， ∴快马20天追上慢马， 故答案为：20．设良马行x 日追上驽马，根据路程=速度×时间结合两马的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．14.【答案】100π【知识点】圆柱的计算、几何体的表面积、作图-三视图、由三视图判断几何体【解析】解：由题意得圆柱的底面直径为10cm，高为10cm，∴侧面积=10π×10=100π(cm2).故答案为：100π．此几何体为圆柱，那么侧面积=底面周长×高．本题考查了由三视图判断几何体，难点是确定几何体的形状，关键是找到等量关系里相应的量．15.【答案】3【知识点】三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线【解析】解：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴DE//AC，∵点D是AB的中点，∴E是BC的中点，AB=2CD=10，∴AC=2DE，∵BC=8，∴AC=√AB2−BC2=√102−82=6，∴DE=3．故答案为3．由直角三角形的性质得出AB=10，由三角形中位线定理得出AC=2DE，由勾股定理求出AC=6，则可求出答案．本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．16.【答案】50【知识点】平行四边形的性质【解析】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵∠EBC=30°，BE=10，∴EF=BE=5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠DEC=∠BCE，又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC=10，∴四边形ABCD的面积=BC×EF=10×5=50，故答案为：50．过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键．17.【答案】125【知识点】矩形的性质、相似三角形的判定与性质【解析】解：∵DE=2EF，设EF=x，则DE=2x，∵四边形DEFG是矩形，∴GF//AB，∴△CGF∽△CAB，∴GFAB =CFCB=44+3=47，即2xAB=47，∴AB=7x2，∴AD+BE=AB−DE=7x2−2x=32x，∵AC=BC，在△ADG和△BEF中，{∠A=∠B∠ADG=∠BEF DG=EF，∴△ADG≌△BEF(AAS)，∴AD=BE=34x，在△BEF中，BE2+EF2=BF2，即(34x)2+x2=32，解得：x=125或−125(舍)，∴EF=125，故答案为：125．根据矩形的性质得到GF//AB，证明△CGF∽△CAB，可得AB=7x2，证明△ADG≌△BEF，得到AD=BE=34x，在△BEF中，利用勾股定理求出x值即可．本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是根据相似三角形的性质得到AB的长．18.【答案】1275【知识点】图形规律问题【解析】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：(1+2)×22=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：(1+3)×32=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：(1+4)×42=10，…第n个图形中的黑色圆点的个数为n(n+1)2，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，…，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=16…1，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50×512=1275，故答案为：1275．首先得到前n 个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n 个图形中的黑色圆点的个数为n(n+1)2，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可． 此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．19.【答案】解：(1)原式=1+3−√3+√3=4；(2)原式=(a +b)÷a+b ab=(a +b)×aba +b=ab ．【知识点】绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、实数的运算、分式的混合运算 【解析】(1)分别化简各数，再作加减法；(2)先通分，计算加法，再将除法转化为乘法，最后约分计算．本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．20.【答案】解：方程组{2x +y =7①x =y −1②，把②代入①得：2(y −1)+y =7， 解得：y =3，代入①中， 解得：x =2，把x =2，y =3代入方程ax +y =4得，2a +3=4， 解得：a =12．【知识点】二元一次方程组的解【解析】求出方程组的解得到x 与y 的值，代入方程计算即可求出a 的值．此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．21.【答案】200 90 94【知识点】扇形统计图、用样本估计总体、统计表【解析】解：(1)16÷8%=200，则样本容量是200；(2)50200×360°=90°，则表示A程度的扇形圆心角为90°；200×(1−8%−20%−50200×100%)=94，则m=94；(3)50+94200×2000=1440名，∴该校2000名学生中大约有1440名学生喜欢“每日健身操”活动．(1)用D程度人数除以对应百分比即可；(2)用A程度的人数与样本人数的比值乘以360°即可得到对应圆心角，算出B等级对应百分比，乘以样本容量可得m值；(3)用样本中A、B程度的人数之和所占样本的比例，乘以全校总人数即可．本题考查了扇形统计图，统计表，样本估计总体等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22.【答案】13【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)、概率公式【解析】解：(1)∵丙坐了一张座位，∴甲坐在①号座位的概率是13；(2)画树状图如图：共有6种等可能的结果，甲与乙两同学恰好相邻而坐的结果有4种，∴甲与乙相邻而坐的概率为46=23．(1)直接根据概率公式计算即可；(2)画树状图，共有6种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有4种，再由概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23.【答案】解：设原先每天生产x万剂疫苗，由题意可得：240(1+20%)x +0.5=220x，解得：x=40，经检验：x=40是原方程的解，∴原先每天生产40万剂疫苗．【知识点】分式方程的应用【解析】设原先每天生产x万剂疫苗，根据现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天可得方程，解之即可．此题主要考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性．24.【答案】解：(1)四边形AFDE是菱形，理由是：∵DE//AB，DF//AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD，∵DE//AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE，∴平行四边形AFDE是菱形；(2)∵∠BAC=90°，∴四边形AFDE是正方形，∵AD=2√2，∴AF=DF=DE=AE=√2√2=2，∴四边形AFDE的面积为2×2=4．【知识点】平行四边形的判定与性质、角的平分线、三角形的中位线定理【解析】(1)根据DE//AB，DF//AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明；(2)根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．25.【答案】解：(1)过点B作BF⊥CD，垂足为F，∵AD//BC，∴∠ADB=∠CBD，∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB．在△ABD和△FBD中，{∠ADB=∠FDB ∠BAD=∠BFD BD=BD，∴△ABD≌△FBD(AAS)，∴BF=BA，则点F在圆B上，∴CD与⊙B相切；(2)∵∠BCD=60°，CB=CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD=60°∵BF⊥CD，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB =BF =2√3，∴AD =DF =AB ·tan30°=2，∴阴影部分的面积=S △ABD −S 扇形ABE=12×2√3×2−30×π×(2√3)2360=2√3−π．【知识点】扇形面积的计算、圆周角定理、直线与圆的位置关系【解析】(1)过点B 作BF ⊥CD ，证明△ABD≌△FBD ，得到BF =BA ，即可证明CD 与圆B 相切；(2)先证明△BCD 是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD =30°，求出AD ，再利用S △ABD −S 扇形ABE 求出阴影部分面积．本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确作出辅助线． 26.【答案】−2 −3【知识点】二次函数综合【解析】解：(1)∵点A 和点B 在二次函数y =x 2+bx +c 图像上，则{0=1−b +c 0=9+3b +c ，解得：{b =−2c =−3， 故答案为：−2，−3；(2)连接BC ，由题意可得：A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3)，y =x 2−2x −3，∴S △ABC =12×4×3=6，∵S △ABD =2S △ABC ，设点D(m,m 2−2m −3)，∴12×AB ×|y D |=2×6，即12×4×|m 2−2m −3|=2×6，解得：m =1+√10或1−√10，代入y =x 2−2x −3，可得：y 值都为6，∴D(1+√10,6)或(1−√10,6)；(3)设P(n,n 2−2n −3)，∵点P 在抛物线位于x 轴上方的部分，∴n <−1或n >3，当点P 在点A 左侧时，即n <−1，可知点C 到AP 的距离小于点B 到AP 的距离，∴S △APC <S △APB ，不成立；当点P 在点B 右侧时，即n >3，∵△APC 和△APB 都以AP 为底，若要面积相等，则点B 和点C 到AP 的距离相等，即BC//AP ，设直线BC 的解析式为y =kx +p ，则{0=3k +p −3=p，解得：{k =1p =−3， 则设直线AP 的解析式为y =x +q ，将点A(−1,0)代入，则−1+q =0，解得：q =1，则直线AP 的解析式为y =x +1，将P(n,n 2−2n −3)代入，即n 2−2n −3=n +1，解得：n =4或n =−1(舍)，n 2−2n −3=5，∴点P 的坐标为(4,5)．(1)利用待定系数法求解即可；(2)先求出△ABC的面积，设点D(m,m2−2m−3)，再根据S△ABD=2S△ABC，得到方程求出m值，即可求出点D的坐标；(3)分点P在点A左侧和点P在点A右侧，结合平行线之间的距离，分别求解．本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离，一次函数，解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离．27.【答案】2 √3+2√97−547√2 4【知识点】圆的综合【解析】解：(1)①设O为圆心，连接BO，CO，∵∠BCA=30°，∴∠BOC=60°，又OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=OC=BC=2，即半径为2；②∵△ABC以BC为底边，BC=2，∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，∴BE=CE=1，DO=BO=2，∴OE=√BO2−BE2=√3，∴DE=√3+2，∴△ABC的最大面积为12×2×(√3+2)=√3+2；(2)如图，延长BA′，交圆于点D ，连接CD ，∵点D 在圆上，∴∠BDC =∠BAC ，∵∠BA′C =∠BDC +∠A′CD ，∴∠BA′C >∠BDC ，∴∠BA′C >∠BAC ，即∠BA′C >30°；(3)①如图，当点P 在BC 上，且PC =32时，∵∠PCD =90°，AB =CD =2，AD =BC =3，∴tan∠DPC =CD PC =43，为定值， 连接PD ，设点Q 为PD 中点，以点Q 为圆心，12PD 为半径画圆，∴当点P 在优弧CPD 上时，tan∠DPC =43，连接BQ ，与圆Q 交于P′，此时BP′即为BP 的最小值，过点Q 作QE ⊥BE ，垂足为E ，∵点Q 是PD 中点，∴点E 为PC 中点，即QE =12CD =1，PE =CE =12PC =34，∴BE =BC −CE =3−34=94，∴BQ =√BE 2+QE 2=√974， ∵PD =√CD 2+PC 2=52，∴圆Q 的半径为12×52=54，∴BP′=BQ −P′Q =√97−54，即BP 的最小值为√97−54；②∵AD=3，CD=2，S△PCD=23S△PAD，则CDAD =23，∴△PAD中AD边上的高=△PCD中CD边上的高，即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，则点P到AD和CD的距离相等，即点P在∠ADC的平分线上，如图，过点C作CF⊥PD，垂足为F，∵PD平分∠ADC，∴∠ADP=∠CDP=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，又CD=2，∴CF=DF=√2=√2，∵tan∠DPC=CFPF =43，∴PF=3√24，∴PD=DF+PF=√2+3√24=7√24．(1)①设O为圆心，连接BO，CO，根据圆周角定理得到∠BOC=60°，证明△OBC是等边三角形，可得半径；②过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，以BC为底，则当A与D重合时，△ABC的面积最大，求出OE，根据三角形面积公式计算即可；(2)延长BA′，交圆于点D，连接CD，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；(3)①根据，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，可得点P 在优弧CPD上，连接BQ，与圆Q交于P′，可得BP′即为BP的最小值，再计算出BQ和圆Q的半径，相减即可得到BP′；②根据AD，CD和推出点P在∠ADC的平分线上，从而找到点P的位置，过点C作CF⊥PD，垂足为F，解直角三角形即可求出DP．本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P的轨迹．28.【答案】48000 37【知识点】二次函数的应用【解析】解：(1)[(50−10)×50+3000]×10−200×10=48000元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为x辆，由题意可得：[(50−x)×50+3000]x−200x=3500x−1850，解得：x=37或x=−1(舍)，∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；(2)设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，则y甲=[(50−x)×50+3000]x−200x，y乙=3500x−1850，当甲公司的利润大于乙公司时，0<x<37，y=y甲−y乙=[(50−x)×50+3000]x−200x−(3500x−1850)=−50x2+1800x+1850，当x=−1800−50×2=18时，利润差最大，且为18050元；当乙公司的利润大于甲公司时，37<x≤50，y=y乙−y甲=3500x−1850−[(50−x)×50+3000]x+200x=50x2−1800x−1850，∵对称轴为直线x=−−180050×2=18，当x=50时，利润差最大，且为33150元；综上：两公司月利润差的最大值为33150元；(3)∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则利润差为y=−50x2+1800x+1850−ax=−50x2+(1800−a)x+1850，对称轴为直线x=1800−a100，∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，∴16.5<1800−a<17.5，100解得：50<a<150．(1)用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；(2)设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，同(1)可得y甲和y乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于x的表达式，根据二次函数的性质，结合x的范围求出最值，再比较即可；(3)根据题意得到利润差为y=−50x2+(1800−a)x+1850，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为17辆，结合x为整数可得关于a的不等式，即可求出a的范围．本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其(3)中要根据x为整数得到a的不等式．。

2021年江苏省扬州市数学中考试题(word版含答案)

2021年江苏省扬州市数学中考试题(word版含答案)

扬州市2021年初中毕业、升学统一考试数学试题说明：1．本试卷共6页,包含选择题（第1题一第8题,共8题）、非选择题（第9题一第28题,共20题）两部分。

本卷满分150分,考试时间为120分钟。

考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上,同时务必在试卷的装订线内将本人的姓名、准考证号、毕业学校填写好,在试卷第一面的右下角写好座位号。

3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答,选择题用2B 铅笔作答、非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答。

在试卷或草稿纸上答题无效。

4．如有作图需要,请用2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。

一、选择题（本大题共有8小题,每小题3分,共24分．在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）１．－2的倒数是A ．－B ．C ．－2D ．22．下列运算中,结果是a 的是A ．a·a B ．a ÷a C ．(a ) D ．（一a)3．下列说法正确的是 A ．“明天降雨的概率是80％”表示明天有80％的时间都在降雨B ．“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上 C ．“彩票中奖的概率为1％”表示买100张彩票肯定会中奖D ．“抛一枚均匀的正方体般子,朝上的点数是2的概率”,表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数是2”这一事件发生的频率稳定在附近4．某几何体的三视图如图所示,则这个几何体是A ．三棱柱B ．圆柱C ．正方体D ．三棱锥5．下列图形中,由AB ∥CD 能得到∠1=∠2的是6．一个多边形的每个内角均为108º,则这个多边形是 A ．七边形 B ．六边形 C ．五边形 D ．四边形21216231223362161617．如图,在菱形ABCD 中,∠BAD=80º,AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF 等于 A ．50ºB ．60ºC ．70ºD ．80º8．方程x ＋3x －1＝0的根可视为函数y ＝x ＋3的图象与函数y ＝的图象交点的横坐标,则方程x ＋2x －1＝0的实根x 所在的范围是 A ．0＜x ＜ B ．＜x ＜C ．＜x ＜D ．＜x ＜1二、填空题（本大题共有10小题,每小题3分,共30分．不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．据了解,截止2021年5月8日,扬泰机场开通一年,客流量累计达到450000人次．数据450000用科学记数法可表示为 ▲ ．10．因式分解：a 一4ab ＝ ▲ ．11．在温度不变的条件下,一定质量的气体的压强p 与它的体积V 成反比例．当V=200时,p=50,则当p=25时,V=　▲　．12．为了估计鱼塘中鱼的条数,养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记,然后放归鱼塘．经过一段时间,等有标记的鱼完全混合于鱼群中,再打捞200条鱼,发现其中带标记的鱼有5条,则鱼塘中估计有 ▲ 条鱼．13．在△ABC 中,AB=AC=5,sin ∠ABC ＝0.8,则BC ＝ ▲ ．14．如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=AD= CD, BC =12,∠ABC= 60º,则梯形ABCD 的周长为 ▲ ．2x13004141031310212103215．如图,在扇形OAB 中,∠AOB ＝110º,半径OA ＝18,将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠,点O 恰好落在⌒AB 上的点D 处,折痕交OA 于点C,则⌒ AD 的长为 ▲ ．16．已知关子x 的方程＝2的解是负数,则n 的取值范围为 ▲ ．17．矩形的两邻边长的差为2,对角线长为4,则矩形的面积为 ▲ ．18．如图,已知⊙O 的直径AB ＝6,E 、F 为AB 的三等分点,从M 、N 为⌒AB 上两点,且∠MEB ＝∠NFB= 60º,则EM ＋FN ＝ ▲ ．三、解答题（本大题共有10小题,共96分．请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.（本题满分8分） (1）计算：()一2sin60º＋。

江苏省扬州市2021年中考数学试题(解析版)

江苏省扬州市2021年中考数学试题(解析版)

江苏省扬州市2021年中考数学试题一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1. 实数100的倒数是（ ）A. 100B. 100-C. 1100D. 1100- 【答案】C【解析】【分析】直接根据倒数的定义求解．【详解】解：100的倒数为1100， 故选C ．【点睛】本题考查了倒数的定义：a （a ≠0）的倒数为1a ． 2. 把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（ ）A. 五棱锥B. 五棱柱C. 六棱锥D. 六棱柱【答案】A【解析】 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形，则该几何体为五棱锥，故选A ．【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键．3. 下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ）A. 3天内将下雨B. 打开电视，正在播新闻C. 买一张电影票，座位号是偶数号D. 没有水分，种子发芽【答案】D【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【详解】解：A 、3天内将下雨，是随机事件；B 、打开电视，正在播新闻，是随机事件；C 、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件；D 、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件；故选D ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4. 不论x 取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）A. 1x +B. 21x -C. 11x +D. ()21x + 【答案】C【解析】【分析】分别找到各式为0时的x 值，即可判断．【详解】解：A 、当x =-1时，x +1=0，故不合题意；B 、当x =±1时，x 2-1=0，故不合题意；C 、分子是1，而1≠0，则11x +≠0，故符合题意； D 、当x =-1时，()210x +=，故不合题意；故选C ．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．5. 如图，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ，若100BCD ∠=︒，则A B D E ∠+∠+∠+∠=（ ）A. 220︒B. 240︒C. 260︒D. 280︒【解析】【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．【详解】解：连接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，故选D．【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形． 的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得ABC是6. 如图，在44等腰直角．．．．三角形，满足条件的格点C的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC 其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．=+的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B顺时针旋转30交7. 如图，一次函数y xx轴于点C，则线段AC长为（）+ B. C. 2++【答案】A【解析】【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．=的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，【详解】解：∵一次函数y x令x=0，则y，令y=0，则x=，则A（，0），B（0），则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB，过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，∴AC x ，∵旋转，∴∠ABC =30°，∴BC =2CD =2x ，∴BD ，又BD =AB +AD =2+x ，∴2+x x ，解得：x +1，∴AC +1）故选A ．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．8. 如图，点P 是函数()110,0k y k x x =>>的图像上一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A 、B ，交函数()220,0k y k x x=>>的图像于点C 、D ，连接OC 、OD 、CD 、AB ，其中12k k >，下列结论：①//CD AB ；②122OCD k k S -=；③()21212DCP k k S k -=，其中正确的是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ① 【答案】B【解析】【分析】设P （m ，1k m ），分别求出A ，B ，C ，D 的坐标，得到PD ，PC ，PB ，P A 的长，判断PD PB 和PC PA 的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC 的面积，可判断③；再利用OCD OAPB OBD OCA DPC S S S S S =---△△△△计算△OCD 的面积，可判断②．【详解】解：∵PB ⊥y 轴，P A ⊥x 轴，点P 在1k y x =上，点C ，D 在2k y x =上， 设P （m ，1k m）， 则C （m ，2k m ），A （m ，0），B （0，1k m），令12k k m x =， 则21k m x k =，即D （21k m k ，1k m）， ∴PC =12k k m m-=12k k m -，PD =21k m m k -=()121m k k k -， ∵()121121m k k k k k PD PB m k --==，121211k k k k PC m k PA k m--==，即PD PC PB PA =， 又∠DPC =∠BP A ，∴△PDC ∽△PBA ，∴∠PDC =∠PBC ，∴CD ∥AB ，故①正确；△PDC 的面积=12PD PC ⨯⨯=()1212112m k k k k k m --⨯⨯=()21212k k k -，故③正确； OCD OAPB OBD OCA DPC S S S S S =---△△△△ =()112221222112k k k k k k ---- =()2121122k k k k k --- =()()21121112222k k k k k k k ---=()22112211222k k k k k k --- =221212k k k -，故②错误； 故选B ．【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k 的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 9. 2021年扬州世界园艺博览会以“绿色城市，健康生活”为主题，在某搜索引擎中输入“扬州世界园艺博览会”约有3020000个相关结果，数据3020000用科学记数法表示为______．【答案】3.02×106 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：将3020000用科学记数法表示为3.02×106． 故答案为：3.02×106． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．10. 计算：2220212020-=__________．【答案】4041【解析】【分析】利用平方差公式进行简便运算即可．【详解】解：2220212020-=()()2021202020212020+⨯-=40411⨯=4041故答案为：4041．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题时注意运算顺序．11. 在平面直角坐标系中，若点()1,52P m m --在第二象限，则整数m 的值为_________．【答案】2【解析】【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0列出不等式组，然后求解即可．【详解】解：由题意得：10 520mm-<⎧⎨->⎩，解得：512m<<，∴整数m的值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．12. 已知一组数据：a、4、5、6、7的平均数为5，则这组数据的中位数是__________．【答案】5【解析】【分析】根据平均数的定义先算出a的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．【详解】解：∵这组数据的平均数为5，则456755a++++=，解得：a=3，将这组数据从小到大重新排列为：3，4，5，6，7，观察数据可知最中间的数是5，则中位数是5．故答案为：5．【点睛】本题考查了平均数和中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．13. 扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马_______天追上慢马．【答案】20【解析】【分析】设良马行x日追上驽马，根据路程=速度×时间结合两马的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设快马行x 天追上慢马，则此时慢马行了（x +12）日，依题意，得：240x =150（x +12），解得：x =20，∴快马20天追上慢马，故答案为：20．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．14. 如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为10cm 的正方形，该果罐侧面积为_____2cm ．【答案】100π【解析】【分析】根据圆柱体的主视图为边长为10cm 的正方形，得到圆柱的底面直径和高，从而计算侧面积．【详解】解：∵果罐的主视图是边长为10cm 的正方形，为圆柱体，∴圆柱体的底面直径和高为10cm ，∴侧面积1010π⨯=100π，故答案为：100π．【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是根据三视图得到几何体的相关数据．15. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，连接CD ，若5CD =，8BC =，则DE =________．【答案】3【解析】【分析】根据直角三角形的性质得到AB =10，利用勾股定理求出AC ，再说明DE ∥AC ，得到为12DE BD AC AB ==，即可求出DE ． 【详解】解：∵∠ACB =90°，点D 为AB 中点，∴AB =2CD =10，∵BC =8，∴AC =6，∵DE ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴DE ∥AC ， ∴12DE BD AC AB ==，即162DE BD AB ==， ∴DE =3，故答案为：3．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是通过平行得到比例式．16. 如图，在ABCD 中，点E 在AD 上，且EC 平分BED ∠，若30EBC ∠=︒，10BE =，则ABCD 的面积为________．【答案】50【解析】【分析】过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，利用直角三角形的性质求出EF ，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE =∠BEC ，可得BE =BC =10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．【详解】解：过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，∵∠EBC =30°，BE =10，∴EF =12BE =5， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DEC =∠BCE ，又EC 平分∠BED ，即∠BEC =∠DEC ，∴∠BCE =∠BEC ，∴BE =BC =10，∴四边形ABCD 的面积=BC EF ⨯=105⨯=50，故答案为：50．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF 的长是解题的关键．17. 如图，在ABC 中，AC BC =，矩形DEFG 的顶点D 、E 在AB 上，点F 、G 分别在BC 、AC 上，若4CF =，3BF =，且2DE EF =，则EF 的长为________．【答案】125【解析】 【分析】根据矩形的性质得到GF ∥AB ，证明△CGF ∽△CAB ，可得72x AB =，证明△ADG ≌△BEF ，得到AD =BE =34x ，在△BEF 中，利用勾股定理求出x 值即可． 【详解】解：∵DE =2EF ，设EF =x ，则DE =2x ，∵四边形DEFG 是矩形，∴GF ∥AB ，∴△CGF ∽△CAB ， ∴44437GF CF AB CB ===+，即247x AB =， ∴72x AB =，∴AD +BE =AB -DE =722x x -=32x ， ∵AC =BC ， ∴∠A =∠B ，又DG =EF ，∠ADG =∠BEF =90°，∴△ADG ≌△BEF （AAS ），∴AD =BE =1322x ⨯=34x ， 在△BEF 中，222BE EF BF +=， 即222334x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 解得：x =125或125-（舍）， ∴EF =125， 故答案为：125． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是根据相似三角形的性质得到AB 的长．18. 将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275【解析】【分析】首先得到前n 个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1， 第②个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3， 第③个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10， ...第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +， 则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=16...1，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275， 故答案为：1275．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19. 计算或化简：（1）01|3|tan 603⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭； （2）()11a b a b ⎛⎫+÷+ ⎪⎝⎭． 【答案】（1）4；（2）ab【解析】【分析】（1）分别化简各数，再作加减法；（2）先通分，计算加法，再将除法转化为乘法，最后约分计算．【详解】解：（1）013|tan 603⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭=13+-=4；（2）()11a b a b ⎛⎫+÷+⎪⎝⎭ =()a b a b ab++÷ =()ab a b a b+⨯+ =ab【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．20. 已知方程组271x y x y +=⎧⎨=-⎩的解也是关于x 、y 的方程4ax y +=的一个解，求a 的值． 【答案】12a =【解析】【分析】求出方程组的解得到x 与y 的值，代入方程计算即可求出a 的值．【详解】解：方程组271x y x y +=⎧⎨=-⎩①②， 把②代入①得：()217y y -+=，解得：3y =，代入①中，解得：2x =，把2x =，3y =代入方程4ax y +=得，234a +=， 解得：12a =． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．21. 为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”，某校开展“每日健身操”活动，为了解学生对“每日健身操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结果绘制成如下尚不完整的统计图表： 抽样调查各类喜欢程度人数分布扇形统计图A ．非常喜欢B ．比较喜欢C ．无所谓D ．不喜欢抽样调查各类喜欢程度人数统计表根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量是______；（2）扇形统计图中表示A程度的扇形圆心角为_____︒，统计表中m=______；（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动（包含非常喜欢和比较喜欢）．【答案】（1）200；（2）90，94；（3）1440名【解析】【分析】（1）用D程度人数除以对应百分比即可；（2）用A程度的人数与样本人数的比值乘以360°即可得到对应圆心角，算出B等级对应百分比，乘以样本容量可得m值；（3）用样本中A、B程度的人数之和所占样本的比例，乘以全校总人数即可．【详解】解：（1）16÷8%=200，则样本容量是200；（2）50200×360°=90°，则表示A程度的扇形圆心角为90°；200×（1-8%-20%-50200×100%）=94，则m=94；（3）50942000200+⨯=1440名，∴该校2000名学生中大约有1440名学生喜欢“每日健身操”活动．【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，样本估计总体等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22. 一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．（1）甲坐在①号座位的概率是_________；（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．【答案】（1）13；（2）23【解析】【分析】（1）直接根据概率公式计算即可；（2）画树状图，共有6种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有4种，再由概率公式求解即可．【详解】解：（1）∵丙坐了一张座位，∴甲坐在①号座位的概率是13；（2）画树状图如图：共有6种等可能的结果，甲与乙两同学恰好相邻而坐的结果有4种，∴甲与乙相邻而坐的概率为46=23．【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23. 为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？【答案】40万【解析】【分析】设原先每天生产x万剂疫苗，根据现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天可得方程，解之即可．【详解】解：设原先每天生产x万剂疫苗，由题意可得：()2402200.5120%xx +=+， 解得：x =40，经检验：x =40是原方程的解，∴原先每天生产40万剂疫苗．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性． 24. 如图，在ABC 中，BAC ∠的角平分线交BC 于点D ，//,//DE AB DF AC ．（1）试判断四边形AFDE 的形状，并说明理由；（2）若90BAC ∠=︒，且AD =，求四边形AFDE 的面积．【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4【解析】【分析】（1）根据DE ∥AB ，DF ∥AC 判定四边形AFDE 是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA =∠EAD ，可得AE =DE ，即可证明；（2）根据∠BAC =90°得到菱形AFDE 是正方形，根据对角线AD 求出边长，再根据面积公式计算即可．【详解】解：（1）四边形AFDE 是菱形，理由是：∵DE ∥AB ，DF ∥AC ，∴四边形AFDE 是平行四边形，∵AD 平分∠BAC ，∴∠F AD =∠EAD ，∵DE ∥AB ，∴∠EDA =∠F AD ，∴∠EDA =∠EAD ，∴AE =DE ，∴平行四边形AFDE 是菱形；（2）∵∠BAC =90°，∴四边形AFDE 是正方形，∵AD =∴AF =DF =DE =AE ，∴四边形AFDE 的面积为2×2=4． 【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．25. 如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）π-【解析】【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD ，证明△ABD ≌△FBD ，得到BF =BA ，即可证明CD 与圆B 相切； （2）先证明△BCD 是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD =30°，求出AD ，再利用S △ABD -S 扇形ABE 求出阴影部分面积．【详解】解：（1）过点B 作BF ⊥CD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB =∠CBD ，∵CB =CD ，∴∠CBD =∠CDB ，∴∠ADB =∠CDB ，又BD =BD ，∠BAD =∠BFD =90°，∴△ABD ≌△FBD （AAS ），∴BF =BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与圆B 相切；（2）∵∠BCD =60°，CB =CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD =60°∵BF ⊥CD ，∴∠ABD =∠DBF =∠CBF =30°，∴∠ABF =60°，∵AB =BF =∴AD =DF =tan 30AB ⋅︒=2，∴阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形ABE=122⨯-=π-．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于点．()1,0A -、()3,0B ，与y 轴交于点C ．（1）b =________，c =________；（2）若点D 在该二次函数的图像上，且2ABD ABC S S =，求点D 的坐标；（3）若点P 是该二次函数图像上位于x 轴上方的一点，且APC APB S S =，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）-2，-3；（2）（1，6）或（1，6）；（3）（4，5）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出△ABC 的面积，设点D （m ，223m m --），再根据2ABD ABC SS =，得到方程求出m 值，即可求出点D 的坐标；（3）分点P 在点A 左侧和点P 在点A 右侧，结合平行线之间的距离，分别求解．【详解】解：（1）∵点A 和点B 在二次函数2y x bx c =++图像上， 则01093b c b c =-+⎧⎨=++⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， 故答案为：-2，-3；（2）连接BC ，由题意可得：A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），223y x x =--，∴S △ABC =1432⨯⨯=6， ∵S △ABD =2S △ABC ，设点D （m ，223m m --）， ∴1262D AB y ⨯⨯=⨯，即21423262m m ⨯⨯--=⨯，解得：x =1+或1，代入223y x x =--，可得：y 值都为6，∴D（1，6）或（1，6）；（3）设P （n ，223n n --），∵点P 在抛物线位于x 轴上方的部分，∴n ＜-1或n ＞3，当点P 在点A 左侧时，即n ＜-1，可知点C 到AP 的距离小于点B 到AP 的距离，∴APC APB S S <△△，不成立；当点P 点B 右侧时，即n ＞3，∵△APC 和△APB 都以AP 为底，若要面积相等，则点B 和点C 到AP 的距离相等，即BC ∥AP ，设直线BC 的解析式为y =kx +p ，则033k p p =+⎧⎨-=⎩，解得：13k p =⎧⎨=-⎩， 则设直线AP 的解析式为y =x +q ，将点A （-1，0）代入，则-1+q =0，解得：q =1，则直线AP 的解析式为y =x +1，将P （n ，223n n --）代入，即2231n n n --=+，解得：n =4或n =-1（舍），2235n n --=，∴点P 的坐标为（4，5）．在【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离，一次函数，解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离．27. 在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A 的位置不唯一，它在以BC 为弦的圆弧上（点B 、C 除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为___________；②ABC 面积的最大值为_________；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A '，请你利用图1证明30BA C '∠>︒； （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD 的边长2AB =，3BC =，点P 在直线CD 的左侧，且4tan 3DPC ∠=． ①线段PB 长的最小值为_______；②若23PCD PAD S S =，则线段PD 长为________．【答案】（1）①22；（2）见解析；（3 【解析】【分析】（1）①设O 为圆心，连接BO ，CO ，根据圆周角定理得到∠BOC =60°，证明△OBC 是等边三角形，可得半径；②过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，以BC 为底，则当A 与D 重合时，△ABC 的面积最大，求出OE ，根据三角形面积公式计算即可；（2）延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；（3）①根据4tan 3DPC ∠=，连接PD ，设点Q 为PD 中点，以点Q 为圆心，12PD 为半径画圆，可得点P 在优弧CPD 上，连接BQ ，与圆Q 交于P ′，可得BP ′即为BP 的最小值，再计算出BQ 和圆Q 的半径，相减即可得到BP ′；②根据AD ，CD 和23PCD PAD S S =推出点P 在∠ADC 的平分线上，从而找到点P 的位置，过点C 作CF ⊥PD ，垂足为F ，解直角三角形即可求出DP ．【详解】解：（1）①设O 为圆心，连接BO ，CO ，∵∠BAC =30°，∴∠BOC =60°，又OB =OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴OB =OC =BC =2，即半径为2；②∵△ABC 以BC 为底边，BC =2，∴当点A 到BC 的距离最大时，△ABC 的面积最大，如图，过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，∴BE =CE =1，DO =BO =2，∴OE∴DE 2+，∴△ABC 的最大面积为)1222⨯⨯+2；（2）如图，延长BA′，交圆于点D，连接CD，∵点D在圆上，∴∠BDC=∠BAC，∵∠BA′C=∠BDC+∠A′CD，∴∠BA′C＞∠BDC，∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；（3）①如图，当点P在BC上，且PC=32时，∵∠PCD=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，∴tan∠DPC=CDPC=43，为定值，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，12PD为半径画圆，∴当点P在优弧CPD上时，tan∠DPC=43，连接BQ，与圆Q交于P′，此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊥BE，垂足为E，∵点Q是PD中点，∴点E为PC中点，即QE=12CD=1，PE=CE=12PC=34，∴BE =BC -CE =3-34=94， ∴BQ， ∵PD=52， ∴圆Q 的半径为155224⨯=， ∴BP ′=BQ -P ′QBP；②∵AD =3，CD =2，23PCD PAD S S =， 则23CD AD =， ∴△P AD 中AD 边上的高=△PCD 中CD 边上的高，即点P 到AD 的距离和点P 到CD 的距离相等，则点P 到AD 和CD 的距离相等，即点P 在∠ADC 的平分线上，如图，过点C 作CF ⊥PD ，垂足F ， ∵PD 平分∠ADC ，∴∠ADP =∠CDP =45°，∴△CDF 为等腰直角三角形，又CD =2，∴CF=DF， ∵tan ∠DPC =CF PF =43， ∴PF ， ∴PD =DF+PF． 的为【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P 的轨迹．28. 甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：说明：①汽车数量为整数．．； ②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a 元()0a >给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围．【答案】（1）48000，37；（2）33150元；（3）50150a <<【解析】【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为x 辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；（2）设两公司的月利润分别为y 甲，y 乙，月利润差为y ，同（1）可得y 甲和y 乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y 关于x 的表达式，根据二次函数的性质，结合x 的范围求出最值，再比较即可；（3）根据题意得到利润差为()25018001850y x a x =-+-+，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为17辆，结合x 为整数可得关于a 的不等式180016.517.5100a -<<，即可求出a 的范围． 【详解】解：（1）()50105030001020010-⨯+⨯-⨯⎡⎤⎣⎦=48000元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出汽车为x 辆，由题意可得：()5050300020035001850x x x x -⨯+-=-⎡⎤⎣⎦，解得：x =37或x =-1（舍），∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；（2）设两公司的月利润分别为y 甲，y 乙，月利润差为y ，则y 甲=()50503000200x x x -⨯+-⎡⎤⎣⎦，y 乙=35001850x -，当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x ＜37，y =y 甲-y 乙=()()5050300020035001850x x x x -⨯+---⎡⎤⎣⎦=25018001850x x -++，当x =1800502--⨯=18时，利润差最大，且为18050元； 当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x ≤50，y =y 乙-y 甲=()3500185050503000200x x x x ---⨯++⎡⎤⎣⎦=25018001850x x --，∵对称轴为直线x =1800502--⨯=18， 当x =50时，利润差最大，且为33150元；综上：两公司月利润差的最大值为33150元；（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则利润差为25018001850y x x ax =-++-=()25018001850x a x -+-+，对称轴为直线x =1800100a -， ∵x 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大， ∴180016.517.5100a -<<， 的解得：50150a <<．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据x 为整数得到a 的不等式．。