第四章环与域

抽象代数中的环论与域论抽象代数是数学的一个重要分支，它研究的是代数结构及其性质。

在抽象代数中，环论和域论是两个重要的研究方向，它们对于理解代数结构的基本概念和定理具有重要意义。

本文将重点讨论抽象代数中的环论和域论，并介绍它们的基本概念和一些重要的定理。

一、环论1. 环的定义与性质在抽象代数中，环被定义为一个非空集合R，集合中的元素满足一系列定义的运算法则。

具体来说，对于集合中的任意元素a、b和c，环满足以下性质：(1) 封闭性：a + b和ab都属于R。

(2) 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)和(ab)c = a(bc)。

(3) 交换律：a + b = b + a和ab = ba。

(4) 零元素存在性：存在元素0，使得对任意a都有a + 0 = a。

(5) 负元素存在性：对于任意a，存在元素(-a)，使得a + (-a) = 0。

2. 环的例子除了常见的整数集合Z和实数集合R，还有一些其他的环的例子。

例如，多项式环F[x]，其中F是一个域，多项式的系数来自于F。

另一个例子是矩阵环M(n, F)，其中n是一个正整数，F是一个域，矩阵的元素来自于F。

3. 环的子环与理想在一个环R中，如果一个子集S满足封闭性、加法逆元素存在性和对加法和乘法封闭性，则称S为R的一个子环。

另一方面，如果一个子集I满足封闭性、加法逆元素存在性以及与R的乘法的交换性，则称I为R的一个理想。

4. 环的同态与同构在环的研究中，同态和同构是两个重要概念。

若存在两个环R和S以及一个映射φ：R → S，满足φ(a + b) = φ(a) + φ(b)和φ(ab) = φ(a)φ(b)，则称φ为一个环的同态。

特别地，若一个同态φ是一一映射和满射，即双射，则称φ为一个环的同构。

二、域论1. 域的定义与性质域是一种包含两个二元运算的代数结构，记作(F, +, *)，其中F是一个非空集合。

域满足以下性质：(1) 加法封闭性：对于任意a、b∈F，a+b∈F。

答疑辅助1.怎样理解数）域与（多项式）环的概念，环与域有何特征？答群、环、域这些基础概念在近世代数课程中引进，并有精确的定义，这里先借用而不可能详细介绍，我们仅记住构成环或域的简要特征：环对加（减）法、乘法运算是封闭的，如多项式环，即多项式经加（减）、乘法后仍为多项式；域对四则运算（加、减、乘、除）都是封闭的，如Ｑ、Ｒ、Ｃ等．域是至少含有两个元素的环，它对乘法有单位元、逆元和交换律．２．中学数学中的多项式与高等代数中的多项式有何异同？答从结构形式、诸名称叫法上是一样的，但至少有如下三点不同．１°中学数学里把前述多项式（１）中的x 看作变数；这里把x 看作一般的文字、符号，它可以是变数，也可以是矩阵、线性变换等，具有更一般的意义．２°中学数学里有单项式与多项式之分，多项式是单项式的代数和；这里不出现单项式名词，把单项式（甚至数）也看作特殊的多项式，无单项式与多项式之分．３．多项式相等与方程有无区别？答有区别．例如ax２＋bx＋c＝０，（１）若把式（１）看作多项式相等，则必有a＝b＝c＝０；但若把式（Ａ）看作方程，则不要求a、b、c 全为零．４．常数有无次数？零多项式能否定义次数？答非零常数c滁c·x０≠０是零次多项式，它的次数是０，它有次数，但它非常数０；而“０”（零多项式）是惟一不定义次数的多项式（有的书上也规定零多项式的次数为－∞）．要特别注意非零常数（即零次多项式）与０（即零多项式）的区别，一个次数是数０，另一个不定义次数.１．整除还有哪些简单性质？１°任一多项式f（x）一定整除它自身，即f│f．２°任一多项式f（x）一定整除０多项式，即f│０．３°零次多项式（即非零常数）能整除任一多项式，即c│f．４°零次多项式只能被零次多项式整除．５°零多项式只能整除零多项式．。

§3.3 除环、域（Division ring and field ）教学目的和要求：与整环相比，除环少了“交换性”这个“好性质”，但也同时增添了*R 为乘群”这个更好的性质。

整环与除环相比，相同处为：都有单位元，都是无零因子环；不相同处为：前者可以是零环，而后者不行；前者可换而后者不一定可换；前者不具备“*R 为乘群”，但后者具备。

我们把整环的优点（可换性）与除环的优点（可逆性）凑合在一起，则成了另一个更“好”的代数体系---域。

学习本讲要求掌握：1. 整环与除环的区别和联系。

2. 整环的几种判定。

3. 四元数除环的意义。

4. 域的运算规则和域的判定法则。

教学难点和重点：重点①除环的几个判定法则; ②域的运算法则的证明。

难点:无。

一、 除环定义1：设R 是一个环，如果满足下列条件，则称R 是一个除环(也可以称为体)： ① R 至少包含一个非零元。

② 1R ∈③ *\{0}R R =中每个元都有逆元.注：上述定义可以简述为，R 是除环⇔R 是一个含单位元的非零环且的每个非零元都可逆。

性质1. 除环R 必是无零因子环，但反之不成立.证明: 设R a ∈≠0.如果a 是左零因子R b ∈≠∃⇒0 使 0=ab .但除环中每个非零元都有逆元R a ∈∃⇒-1 使11aa -=，∴ ()11000a ab a b --==⇒=,矛盾。

反之，无零因子环显然未必是除环。

例如，整数环是无零因子环，但不是除环。

性质2.除环R 中，*R 是一个乘法群.证明：利用§2中结论2，易得。

利用性质2. 得到判断除环的一种方法.结论1: 非零环R 是除环*R ⇒是一个乘法群.注：对于除环R 而言,乘法群*R 习惯上叫做除环R 的乘群.因此，除环R 是由两个群—加群{}+,R 和乘群{}*,R ⋅凑合而成的;而环中的分配律恰似一座桥,在这个群间建立了联系. 结论2. 设R 是一个有限的非零环,那么R 是除环⇔R 是无零因子环.证明: ⇒由性质1⇐ R 是无零因子环⇒*R 是乘法半群,又 R 中满足消去律⇒*R 中也满足消去律,由于*R 有限,由第二章有限群的判断定理，{}*,R ⋅是一个群,∴R 是除环.二、域整环是可交换的,而除环是可逆的,将这两者统一在一起，则得到一种新的代数体系：域.定义2:交换的除环称为域,一般记为F .注:域必是除环⇒域具有除环所有的性质.前面曾介绍的很多数环都是域(称为数域)，例如：有理数域Q ,实数域R ,复数域C .当p 为素数时,p Z 也是域。

第四章 域扩张理论初步§4.1 域的一般扩张定义 4.1.1 设,F K 为域．若作为环，F 是K 的子环，则称F 是K 的子域（subfield ），称K 是F 的扩域（extension field ）或K 是F 的扩张（extension ），并记为F K /．当F K /为域扩张时，若域E 既是K 的子域又是F 的扩域（即有域扩张/K E 及/E F ），则称E 是F 与K （或F K /）的中间域（intermediate field ）．例 4.1.1 实数域 是有理数域 的扩域（即 / ），而复数域 既是 的扩域（即 / ）也是 的扩域（即 / ），于是， 为 / 的中间域．例 4.1.2 设F K /为域扩张，则K 与F 共用同一个零元与同一个单位元．亦即，一个域的零元与单位元也分别是它任意扩域的零元与单位元．证明 因作为加群，(, )+F 是(, )+K 是子群，由定理 2.2.1之推论1知，(, )+F 与(, )+K 共用同一个单位元，亦即K 与F 拥有共同的零元．同理，作为乘群，*(, )⋅F 是*(, )⋅K 的子群，于是它们共用同一个单位元，亦即K 与F 拥有共同的单位元．易知，群的最小子群是仅由单位元构成的子集，环的最小子环是仅由零元构成的子集．通常将一个域的最小子域称为素域（prime field ），那么，素域具有什么样的结构呢？例 4.1.3 设F 为域，则c h a r 1≠F ．因F 的所有子域的交集也是域，且该子域是F 的最小子域，故F 的素域一定存在．记F 的素域为0F ，则当char 0=F 时，0≅F ，当0char 1>F 时，0p ≅F ，其中p 为素数．证明 因10≠F ，char 1≠F ．当char 0=F 时，令1:{1|}n n =∈F F则01⊂F F 且为整环，于是1F 的分式域也包含在0F 中，但0F 是最小域，故1F 的分式域只能是0F ，亦即0{1/1|,, 0}n m n m m =∈≠F F F而映射0, /1/1n m n m →F F F显然是同构．当char 1>F 时，由定理3.1.6知，:char p =F 为素数，而模p 整数环p 此时构成域（参见例3.1.6），令0:, 1p n n ϕ→F F 因 ,p n m ∀∈ ，n m =⇔ ( )n m kp k =+∃∈ ，故有1()11(1)1n m kp m k p m =+=+=F F F F F说明ϕ是映射．显然，ϕ还是满同态． ,n m ∀∈ ，若11n m =F F ，则()10n m -=F ，于是|()p n m -，说明n m =，由此知ϕ也是单的，从而ϕ是环同构，于是Im p ϕ≅ 为域．但0Im ϕ⊂F ，由0F 的最小性即知，0Im ϕ=F ，于是0p ≅F ，且此时0{0,1,21,,(1)1}p =-F F F F ．在第3章中，我们已经介绍了生成环的概念．设R 为环，X ⊂R ，则X 在R 中生成的子环[]X 为R 中所有包含X 的R 的子环的交集（见定义 3.1.6）．设'R 为R 的扩环，U '⊂R ，则U 在R 上生成的环[]U R 为集合U ⋃R 在环'R 中生成的子环[]U ⋃R （见定理3.8.7及其推论1和定理3.8.14）．同样地，当F K /为域扩张时，S ⊂K ，则[]S F 仍表示由F 与S （即由S ⋃F ）在域K 中生成的子环．此外，也可以完全类似地定义生成（子）域的概念．定义 4.1.2 设F K /为域扩张，S ⊂K ，则K 中包含F 与S 的所有子域的交也是K 的子域，称该子域为S 在F 上生成的域（field generated by S over F ），记为()S F ．显然，F 上的生成域()S F 为F 的一个扩张．当12{,,,}n S ααα= 为有限集时，记12(,,,)()n S ααα=F F ，并称12(,,,)n αααF 为域F 上的有限生成扩张（finitely generated extension of F ）．特别地，称()αF 为域F 上的单扩张（simple extension of F ）．显然，若F K /为域扩张，S ⊂K ，则()S F 是K 中包含F 与S 的最小域．同时，和生成环的情况一样（见例3.8.5），若12,S S ⊂K ，则有121221()()()()()S S S S S S ⋃==F F F特别地，121121(,,,)()(,,,,)n n n n αααααααα--=F F ．由此，域扩张12(,,,)/n αααF F 与生成元12,,,n ααα 的次序无关．若,0αβ≠为域中元，则通常记1:αβαβ-=．定理 4.1.1 设F K /为域扩张，S ⊂K ，,i αα∈K ，则1）12[]{(,,,)|n S f n ααα=∈F 1212,,,,,[,,,]}n n S f x x x ααα+∈∈F ．2）[]u S ∀∈F ，12,,,n S ααα∃∈ ，使得12[,,,]n u ααα∈F ．3）(){()()|,[],()0}f g f g x g αααα=∈≠F F ．4）12(,,,)n ααα=F 12121212{(,,,)(,,,)|,[,,,],(,,,)0}n n n n f g f g x x x g ααααααααα∈≠F ．5）1212(){(,,,)(,,,)|n n S f g n αααααα=∈F ,+121212,[,,,],,,,,(,,,)0}n n n f g x x x S g αααααα∈∈≠F6）()u S ∀∈F ，12,,,n S ααα∃∈ ，使得12(,,,)n u ααα∈F ．证明 1）记12:{(,,,)|n f n αααΓ=∈ 1212,,,,,[,,,]}n n S f x x x ααα+∈∈F显然S ⋃⊂ΓF ．由定理3.1.4易知，Γ构成了K 的子环．若S ⊃⋃H F 为K 的子环，则12(,,,)n f ααα∀∈Γ ，易知12(,,,)n f ααα∈H ，于是Γ⊂H ．至此，[]S Γ=F ．2）由1）知，12 ,,,n S ααα∃∈ ，及12 [,,,]n f x x x ∃∈F ，使得12(,,,)n u f ααα= ，但1212(,,,)[,,,]n n f αααααα∈F ，故12[,,,]n u ααα∈F ．3）记:{()()|,[],()0}f g f g x g αααψ=∈≠F显然{}α⋃⊂ψF ．下面证明ψ构成K 的子域．设11()(),()()f g f g αααα∈ψ，11,,,[]f f g g x ∈F ,1(),()0g g αα≠．令11():()()()()[]u x f x g x f x g x x =-∈F1():()()[]v x f x f x x =∈F ，1():()()[]w x g x g x x =∈F则由定理3.8.7之推论1知，11()()()()()u f g f g ααααα=-，1()()()v f f ααα=，1()()()0w g g ααα=≠ 于是()()()11111()()()()()()()()()()()()f g f g f g f g g g u w αααααααααααα-=-=∈ψ()()1111()()()()()()()()()()f g f g f f g g v w αααααααααα==∈ψ由定理3.1.4，ψ构成了K 的子环．又若0()()f g αα≠∈ψ，则()0f α≠，于是()()g f αα∈ψ且为()()f g αα的逆元．这说明ψ中的任意非零元都是可逆元，ψ构成了K 的子域．若{}α⊃⋃E F 为K 的子域，则,[]f g x ∀∈F 且()0g α≠，因又有,[]f g x ∈E ，故()()f g αα∈E ，这说明ψ⊂E ．于是，至此知()αψ=F ．4）与3）的证法相同．5）将要证明的等号右边的集合记为Ω．显然，S ⋃⊂ΩF ．下证Ω构成K 的子域． 设1212112112(,,,)(,,,),(,,,)(,,,)n n m m f g f g ααααααββββββ∈Ω ，其中,n m ∈ ,+12,[,,,]n f g x x x ∈F ，1112,[,,,]m f g x x x ∈F ，并且12(,,,)0n g ααα≠ ，112(,,,)0m g βββ≠ ，诸,i j S αβ∈．令12121211212112(,,,,,,,):(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n n n n m n n n n m n n n n m u x x x x x x f x x x g x x x g x x x f x x x +++++++++=-121212112(,,,,,,,):(,,,)(,,,)n n n n m n n n n m v x x x x x x g x x x g x x x ++++++= 121212112(,,,,,,,):(,,,)(,,,)n n n n m n n n n m w x x x x x x f x x x f x x x ++++++=则1212,,[,,,,,,,]n n n n m u v w x x x x x x +++∈F ，且121212112(,,,,,,,)(,,,)(,,,)0n m n m v g g αααβββαααβββ=≠ ．而()()121211************(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,,,,,)(,,,,,,,)n n m m n m n m f g f g u v ααααααββββββαααβββαααβββ-=∈Ω ()()121211************(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,,,,,)(,,,,,,,)n n m m n m n m f g f g w v ααααααββββββαααβββαααβββ=∈Ω由定理3.1.4即知，Ω构成了K 的子环．又若12120(,,,)(,,,)n n f g αααααα≠∈Ω ，则12(,,,)0n f ααα≠ ，于是有1212(,,,)(,,,)n n g f αααααα∈Ω 且为1212(,,,)(,,,)n n f g αααααα 的逆元．至此知，Ω构成了K 的子域． 现设S ⊃⋃E F 为K 的子域，则n ∀∈ ,+ (1,2,,)i S i n α∀∈= ，12,[,,,]n f g x x x ∀∈F 且12(,,,)0n g ααα≠ ，都有121(,,,),(,,,)n n f g αααααα∈E ，于是1212(,,,)(,,,)n n f g αααααα∈E ，由此即知Ω⊂E ．至此知，()S Ω=F ．6）由5）知， n ∃∈ ,+ (1,2,,i S i n α∃∈= ，12 ,[,,,]n f g x x x ∃∈F 且12(,,,)0n g ααα≠ ，使得1212(,,,)(,,,)n n u f g αααααα= ．但由4）知，121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n f g ααααααααα∈F故12(,,,)n u ααα∈F ．□定义 4.1.3 设F K /为域扩张．α∈K ，若 0()[]f x x ∃≠∈F，使得()0f α=，则称α为域F 上的代数元（algebraic element ），否则，称α为域F 上的超越元（transcendental element ）．若K 的每个元都是F 上的代数元，则称域K 为域F 的代数扩张（algebraic extension ），否则，称域K 为域F 的超越扩张（transcendental extension ）．当α为F 上的代数元时，称使得()0f α=的次数最小的首一多项式()[]f x x ∈F 为α的最小多项式．由定义知，域F 上的代数元是由F 上所有非零多项式的根组成．这里代数元与超越元的概念与在第3章第8节中所给出的关于环上的代数元与超越元的概念是一致的．例 4.1.4 若α为域F 上的代数元，则 0()[]f x x ∃≠∈F ，使得()0f α=．于是集合:{deg ()|0()[], ()0}f x f x x f αΓ=≠∈=F非空且+Γ⊂ ．由+的良序性知，Γ有最小元．于是，存在次数最小的非零多项式()[]m x x ∈F 使得()0m α=．设()m x 的首项系数为c ∈F ，若1c =F ，则()m x 已是α的最小多项式，否则，1()c m x -是α的最小多项式．以上讨论说明，任意代数元的最小多项式都一定存在．又 0()[]f x x ∀≠∈F 满足()0f α=，由带余除法（定理 3.9.2）知， (),()[]q x r x x ∃∈F ，其中deg ()deg ()r x m x <，使得()()()()f x q x m x r x =+若()0r x ≠，由上式即得()0r α=，这与()m x 是α的最小多项式矛盾，故()0r x =．于是，()|()m x f x ．这说明，α的最小多项式能整除所有使得()0f α=的多项式()[]f x x ∈F ．由此还易知，最小多项式是惟一的．例 4.1.5 设F K /为域扩张．α∀∈F ，因0():[]f x x x α≠=-∈F 且()0f α=，于是α为F 上的代数元．又由α∈F 的任意性即知，F 的每个元都是F 上的代数元．例 4.1.6 在域扩张 / 中，因,e π∈ 是 上的超越数，故域扩张 / 为超越扩，由定理4.1.1之3）知{}/|,[], 0f g f g x g =∈≠因2=∈ ，故()[]f x x ∀∈ ，01 ,a a ∃∈ ，使得0f a a =+．于是，若00g b b =+≠（其中01,b b ∈ ），则01,b b 不全为零．令01():h x b b x =-，则220120g h b b =-≠2201/b b =为有理数，矛盾），于是22010///(2)f g f h g h f h b b c c ==+=+其中01,c c ∈ ，这说明{}001,a a a a =+∈它是 / 的中间域．0u a a ∀=+ ，若10a =，则0u a =∈ ，u 是 上的代数元；若10a ≠，令2222210101():22f x a x a a x a a ---=-+-∈ []x ，则()0f x ≠，但()0f u =，u 也是 上的代数元．至此知，域上的单扩张 是 的代数扩张．例 4.1.7 我们知道，整数环 是一个典型的整环，它的分式域即为有理数域 {|,a b a b =∈ ,0}b ≠．对于一般的整环，也有同样的结果，即每个整环都有分式域（参见定理3.6.4之推论1）．现在设F 为域，则多项式环12[,,,]n x x x F 是一整环（见定理3.8.9），记12[,,,]n x x x F 的分式域为12(,,,)n x x x F ，则1212(,,,){|,[,,,],0}n n x x x f g f g x x x g =∈≠F F12(,,,)n x x x F 中元的加法与乘法运算（见定理3.6.2）与我们所熟知的分数运算是一样的．通常称12(,,,)n x x x F 为域F 上关于未定元12,,,n x x x 的有理函数域（field of rational functions ），称12(,,,)n x x x F 中元f g 为有理函数（rational function ）． 在域扩张12(,,,)n x x x F F 中，每个未定元i x 显然都是F 上的超越元．不仅如此，其实12(,,,)\n x x x F F 中的每个元也都是F 上的超越元．于是，有理函数域12(,,,)n x x x F 不但是域F 的超越扩张，而且该扩张除了F 上的元外没有其它代数元．定理 4.1.2 设F K /为域扩张．若α∈K 为F 上的超越元，则()()x α≅F F ．证明 因(){()()|(),()[],()0}x f x g x f x g x x g x =∈≠F F ，考虑映射:(),()()()()x f x g x f g ϕαα→F K因()0g x ≠及α为超越元，故()0g α≠，于是1()()()(())f g f g αααα-=∈K ． 设11()(),()()()f x g x f x g x x ∈F ，因 11111()()()()(()()()())()()f x g x f x g x f x g x f x g x g x g x +=+1111(()())(()())()()()()f x g x f x g x f x f x g x g x =故有111111111(()()()())(()()()())()()()()()()(()())(()())f xg x f x g x f g f g g g f g f g f x g x f x g x ϕααααααααααϕϕ+=+=+=+11111111(()())(()()))()()()()(()())(()())(()())(()())f xg x f x g x f f g g f g f g f x g x f x g x ϕααααααααϕϕ===说明ϕ为环同态．()()()f x g x x ∀∈F ，由α的超越性有，()()0()0()0f g f f x ααα=⇔=⇔=，于是ker {()()()|()()0}{()()()|()0}{()()()|()0}{0}f xg x x f g f x g x x f f x g x x f x ϕααα=∈==∈==∈==F F F说明ϕ是单同态．于是，()Im x ϕ≅F ，但 Im {(()())|()()()}{()()|(),()[],()0}f x g x f x g x x f g f x g x x g x ϕϕαα=∈=∈≠F F 由定理4.1.1之5）知，Im ()ϕα=F ，故()()x α≅F F ．□定理 4.1.3 设F K /为域扩张，α∈K 为F 上的代数元，则1）()[]αα=F F ．2）()[](())x f x α≅F F ，其中()[]f x x ∈F 为满足()0f α=的首一不可约多项式．证明 考虑映射:[][], ()()x f x f ϕαα→F F由定理3.8.7之推论1知，ϕ是环同态且还是满同态．由环的第一同构定理有[]ker []x ϕα≅F F因ker ϕ是[]x F 的理想，而[]x F 是主理想整环（见定理3.9.3），于是，存在()[]f x x ∈F ，使得()0f α=且ker (())f x ϕ=．不妨设()f x 是首一的（不然，若c 是()f x 的首项系数，则1()c f x -是首一的且有1(())(())c f x f x -=，这时用1()c f x -代替()f x ．）作为域的子环，[]αF 是整环，亦即[]ker x ϕF 是整环，于是(())f x 为[]x F 的素理想（见定理3.3.3），从而由定理3.7.2知，()f x 是不可约多项式．于是，若(())g x 为[]x F 的理想且(())(())f x g x ⊂，则由()(())f x g x ∈知， ()[]h x x ∃∈F ，使得()()()f x h x g x =，但()f x 不可约，于是，或者()h x 是可逆的或者()g x 是可逆的，亦即，或者(())(())g x f x =或者(())[]g x x =F ，这说明(())f x 是[]x F 的极大理想．再由定理3.3.7知，[](())x f x F 为域．由同构关系，[]αF 也为域．因()[]()ααα⋃⊂⊆F F F ，而()αF 是包含α⋃F 的最小域，故有()[]αα=F F ． □由例4.1.4知，对于定理4.1.3之2）中的多项式()f x ，有()|()m x f x ，但由于()f x 是不可约的且首一，故必有()()m x f x =，即()f x 是α的最小多项式．于是，定理4.1.3之2）可以表为如下形式．推论 1 设F K /为域扩张，α∈K 为F 上的代数元，则()[](())x m x α≅F F其中()[]m x x ∈F 为α的最小多项式．□习题4.11. 证明：在实数域 与复数域 之间没有中间域．2. 证明：在有理数域 与实数域 之间有无限多个中间域，并构造之．3. 证明：\c ∀∈ ，()c = ．4. 证明： 构成数域．5. 求 ．6. 证明：= ．7. 设,p q +∈ 为素数且p q ≠．证明：= ．8. 设/K F 为域的代数扩张，R 为整环且⊂⊂F R K ．证明：R 是域．9. 设/K F 为域扩张，α∈K ．证明：α是F 上的代数元⇔()[]αα=F F ．10. 设12(,,,)n x x x F 为域F 上的有理函数域．证明，12(,,,)\n f x x x ∀∈F F ，f 为域F上的超越元．11. 设/K F 为域扩张，α∈K 为[]f x ∈F 的根。

近世代数教学大纲近世代数课程是高等学校数学专业的必修课程《近世代数》教学大纲《近世代数》课程是高等学校数学专业的必修课程，是大学数学的重要基础课程之一。

它是现代数学的一个重要分支，其主要研究对象不是代数机构中的元素特性，而是各种代数结构本身和不同代数结构之间的相互联系。

《近世代数》已成为进入现代数学的阶梯和基础，不仅在知识方面，而且在思想方法上对于学习和研究近代数学都起着明显而有力的作用，它的理论结果也已经应用到诸多相关的科学领域，如计算机科学、理论物理、理论化学等。

设置本课程的目的：向学生介绍近世代数的最基本的概念、理论和方法，介绍现代数学的基础知识，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

从而满足学生对代数学进一步学习和研究的要求，满足其他数学领域及数学应用对代数的基本要求。

学习本课程的要求：学生应了解近世代数的基本的概念和理论，掌握代数学研究代数结构的一般方法，注意培养抽象思维能力和逻辑推理能力，能为以后的代数学习或其他数学领域的学习打下良好的代数学基础。

先修课程要求：集合论初步，线性代数，高等代数本课程学时：54学时选用教材：刘绍学、章璞编著，近世代数导引，高等教育出版社（2011）教学手段：课堂讲授为主，讨论、课外辅导为辅考核方法：考试注：1、注意章节之间的相互联系，每章内容在全教材中所处的地位及作用。

2、在概念的讲授中，应注意由特殊到一般，由具体到抽象。

教学的初始阶段，宜慢不宜快。

3、不拘泥于教材，同时编写课程讲义。

4、时刻把握学生的接受能力。

5、教材中打“*”的内容根据实际情况选择讲解。

主要教学内容与重难点：第一章集合与运算一、学习目的通过本章的学习，能够熟练掌握近世代数中常见的一些基本概念和符号，初步了解近世代数课程研究的对象和一般的研究方法。

二、课程内容§1．1 集合§1．2 运算映射的定义，单射，满射，双射（一一映射）；变换的定义，单射变换，满射变换，双射变换。

《抽象代数》教学大纲一、课程基本信息课程编码：061112B中文名称：抽象代数英文名称：AbstractA1gebra课程类别：专业基础课程总学时：48（理论40,实践8）总学分：3适用专业：数学与应用数学先修课程：高等代数二、课程的性质、目标和任务抽象代数（或近世代数）是数学与应用数学专业学生的一门专业课，是高等代数的继续和提高，本课程主要研究各种代数系统一-群、环、域等的结构。

通过本课程的学习，使学生获得一定的抽象代数基础知识，受到代数方法的初步训练，提高辩证思维和逻辑推理能力，并为进一步学习专业知识打下基础。

三、课程教学基本要求1、授课：以课堂讲授为主，采取板书配以多媒体的方式。

2、习题课：进行典型问题分析，方法总结，难题讲解，与学生黑板演题相结合，训练学生的逻辑思维能力，解题能力和思维严密性。

3、作业：每次课后配以一定量的书面作业，按学院统一要求每周批改一次。

4、辅导：每周进行答疑辅导。

四、课程教学内容及要求第一章基本概念（6学时）【教学目标与要求】1、理解代数运算，同态与同构等概念。

2、掌握等价关系，集合的分类等概念。

【教学重点与难点】1、教学重点：代数运算、同态与同构。

2、教学难点：等价关系与集合分类的内在联系。

【教学内容】1.1集合1.2映射与变换1.3代数运算14运算律1.5同态与同构1.6等价关系与集合的分类第二章群（16学时）【教学目标与要求】1、掌握群和半群的定义，熟知群和半群的一些典型实例；理解元素阶的定义和性质。

2、理解并掌握循环群的概念和表示。

3、了解变换群，理解置换群。

4、理解陪集、指数的概念和Iagrange定理。

【教学重点与难点】1、教学重点：群的概念，子群、循环群、置换群、陪集的概念和基本性质。

2、教学难点：变换群。

【教学内容】2.1群的定义和初步性质2.2群中元素的阶2.3子群2.4循环群2.5变换群2.6置换群3.7陪集、指数和1agrange定理第三章正规子群和群的同态与同构（14学时）【教学目标与要求】1、掌握正规子群和商群的定义和性质。

《抽象代数》课程思政教学大纲一、课程信息课程名称：抽象代数Abstract Algebra课程代码：06S1114B课程类别：专业核心课程/必修课适用专业：数学与应用数学课程学时：64学时课程学分：4学分修读学期：第5学期先修课程：高等代数1、高等代数2二、课程目标抽象代数以群、环、域等代数系统为其基本内容。

它对高等代数中出现的数域、多项式、矩阵、线性空间等概念进一步概括，具有抽象的特点，适宜于培养学生抽象思维和逻辑推理的能力。

它不仅是将来学习代数的一个入门，而且与其它学科，如几何、拓扑、泛函和有限数学等有密切联系。

抽象代数主要讲授群、环、域的基本概念、基本理论、基本性质等。

群方面介绍变换群、置换群、循环群、正规子群、商群、群同态、n元交错群等；环方面介绍模n剩余类环、多项式环、理想、商环、同态及同构等。

域方面介绍域的基本定理、基本性质。

先修课程为高等代数等课程。

（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.深刻理解群(半群、子群)、环(子环、理想)、域等基本概念；熟练掌握一些群(循环群、置换群、变换群、一般线性群等)，环(整环、除环、模n剩余类环、多项式环等)，域(有理分式域等)的概念以及相关概念(运算与运算律、等价关系与集合的分类、群的同态与同构、环的同态与同构、正规子群与商群、理想与商环、环的特征、单位群等)。

【支撑毕业要求指标点3.1、3.2、3.3】2.准确计算群、环、域中零元及单位元、元素的逆、元素的阶，环中的可逆元和零因子；正确写出子群的陪集，商群、商环中的元素表达式；精确确定循环群的生成元及子群、模n剩余类环的子环和理想、代数元的极小多项式等。

【支撑毕业要求指标点3.1、3.3、7.1】3.熟练应用群的同构对阶数较小的群进行同构分类；熟练应用群(环、域)的有关结果(凯莱定理、同态基本定理、同构定理等)证明群(环、域)中的有关结论。

【支撑毕业要求指标点3.1、3.3、7.1】4.了解抽象代数发展的历史脉络以及它与一些著名的初等代数、古典数论等问题之间的联系，熟练掌握抽象代数独特的处理问题的思想方法，能够把这种思想方法运用到中学数学教学之中；具备团队合作精神和一定的创新能力。