(同步复习精讲辅导)北京市高中数学 直线和圆的位置关系课后练习二(含解析)新人教A版必修2

高中数学高考总复习直线与圆圆与圆的位置关系及空间坐标系习题及详解一、选择题1．(文)(2019·黑龙江哈三中)直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1，2＋1)C ．(－2－1，2＋1)D ．(0，2＋1)[答案] A[解析] 圆的方程x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意知圆心(0，a )到直线x ＋y －1＝0距离大于a ，即|a －1|2>a ，解得－1－2<a <－1＋2，∵a >0，∴0<a <2－1.(理)(2019·宁德一中)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．－3<m <1B ．－4<m <2C ．0<m <1D ．m <1 [答案] C[解析] 根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d 小于半径．∵圆x 2＋y 2－2x －1＝0的圆心是(1,0)，半径是2，∴d ＝|1－0＋m |2<2，∴|m ＋1|<2，∴－3<m <1，故所求的m 的取值集合应是(－3,1)的一个真子集，故选C. 2．直线l ：2x sin α＋2y cos α＋1＝0，圆C ：x 2＋y 2＋2x sin α＋2y cos α＝0，l 与C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定[答案] A[解析] 圆心C (－sin α，－cos α)到直线l 的距离为 d ＝|－2sin 2α－2cos 2α＋1|(2sin α)2＋(2cos α)2＝12，圆半径r ＝1，∵d <r ，∴直线l 与⊙C 相交．3．(文)(2019·青岛市质检)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋ 2C ．2＋22D ．1＋2 2[答案] B[解析] 圆心C (1,1)到直线x －y －2＝0距离d ＝2，∴所求最大值为d ＋r ＝2＋1. (理)(2019·山东肥城联考)若圆x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线ax －y ＋1＝0(a 是实数)的距离为1，则a 等于( )A ．±1B ．±24C ．±2D ．±32[答案] B[解析] 圆(x －3)2＋(y －1)2＝4，半径为2， 由题意圆心(3,1)到直线的距离是1， ∴|3a |a 2＋1＝1，∴a ＝±24.4．(2019·深圳中学)过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，则( )A ．l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0B ．l 的方程为5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．l 的方程为5x －12y ＋20＝0D ．l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0 [答案] A[解析] 圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，圆心C (－1,2)，半径r ＝5，点在圆内，设l 斜率为k ，方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0，∵|AB |＝8，∴圆心到直线距离为52－42＝3， ∴|－k －2＋4k |k 2＋1＝3，∴k ＝－512，当斜率不存在时，直线x ＝－4也满足．故选A.5．设直线x ＋ky －1＝0被圆O ：x 2＋y 2＝2所截弦的中点的轨迹为M ，则曲线M 与直线x －y －1＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定[答案] C[解析] ∵直线x ＋ky －1＝0过定点N (1,0)，且点N (1,0)在圆x 2＋y 2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M 是以ON 为直径的圆，圆心为P ⎝⎛⎭⎫12，0，半径为12，∵点P ⎝⎛⎭⎫12，0到直线x －y －1＝0的距离为24<12， ∴曲线M 与直线x －y －1＝0相交，故选C.6．已知直线ax ＋by －1＝0(a ，b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条[答案] B[解析] 因为在圆x 2＋y 2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有12×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax ＋by －1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.7．(2019·温州十校)在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的一条切线(切点为T )交双曲线的右支于点P ，若M 为FP 的中点，则|OM |－|MT |等于( )A ．b －aB ．a －b C.a ＋b2D ．a ＋b[答案] A[解析] 如图，F ′是双曲线的右焦点，由双曲线的定义得，|PF |－|PF ′|＝2a .又M 为PF 的中点，∴|MF |－|OM |＝a ，即|OM |＝|MF |－a .又直线PF 与圆相切， ∴|FT |＝OF 2－OT 2＝b ，∴|OM |－|MT |＝|MF |－a －(|MF |－|FT |)＝|FT |－a ＝b －a ，故选A.8．(文)(2019·广东茂名)圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0D.⎝⎛⎭⎫－∞，14 [答案] A[解析] 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，故选A. (理)(2019·泰安质检)如果直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y ≥0表示的平面区域的面积是( )A.14B.12 C ．1D ．2[答案] A[解析] ∵直线y ＝kx ＋1与圆的两交点M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，∴圆心在直线x ＋y ＝0上，且两直线y ＝kx ＋1与x ＋y ＝0垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1－k 2＋⎝⎛⎭⎫－m 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1m ＝－1，∴不等式组化为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≤0y ≥0，表示的平面区域如图，故其面积S ＝12|OA |·y B ＝14.9．(文)若动圆C 与圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4内切，则动圆C 的圆心的轨迹是( )A ．两个椭圆B ．一个椭圆及双曲线的一支C ．两双曲线的各一支D ．双曲线的一支 [答案] D[解析] 设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得 |C 1C |＝r ＋1，|C 2C |＝r －2， ∴|C 1C |－|C 2C |＝3，故C 点的轨迹为双曲线的一支．(理)台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时[答案] B[解析] 以A 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系，则A (102t,102t )，B (40,0)．当满足下列条件时，B 城市处于危险区内，即(102t －40)2＋(102t )2≤302，解得2－12≤t ≤2＋12，故选B.10．(2019·山东聊城模考)若在区间(－1,1)内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交的概率为( )A.38 B.516 C.58D.316[答案] B[解析] 由题意知，圆心C (1,2)到直线ax －by ＝0距离d <1，∴|a －2b |a 2＋b 2<1，化简得3b －4a <0，如图，满足直线与圆相交的点(a ，b )落在图中阴影部分，E ⎝⎛⎭⎫34，1，∵S 矩形ABCD ＝2，S 梯形OABE ＝⎝⎛⎭⎫14＋1×12＝58，由几何概型知，所求概率P ＝582＝516.二、填空题11．(2019·四川广元市质检)已知直线l ：x －2y －5＝0与圆O ：x 2＋y 2＝50相交于A 、B 两点，则△AOB 的面积为______．[答案] 15[解析] 圆心(0,0)到直线l 距离d ＝5，圆半径R ＝52，∴弦长|AB |＝2(52)2－(5)2＝65，∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×65×5＝15.12．(文)(2019·天津南开区模拟)过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线OA 、OB ，A 、B 为切点，则线段AB 的长为________．[答案] 4[解析] 圆(x －3)2＋(y －4)2＝5的圆心C (3,4)，半径为r ＝5，|CO |＝5，∴切线长|OA |＝25，由12|OA |·|CA |＝12|OC |·d ，得d ＝2， ∴弦长|AB |＝2d ＝4.(理)(2019·甘肃质检)若直线2x －y ＋c ＝0按向量a ＝(1，－1)平移后与圆x 2＋y 2＝5相切，则c 的值为________．[答案] 8或－2[解析] 设直线2x －y ＋c ＝0上点P (x 0，y 0)，按a 平移后移到点P ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋1y ＝y 0－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －1y 0＝y ＋1代入直线2x －y ＋c ＝0中得2x －y －3＋c ＝0，此时直线与圆x 2＋y 2＝5相切， ∴|－3＋c |5＝5，∴c ＝8或－2. 13．(2019·湖南文)若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________；圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称的圆的方程为________．[答案] －1 x 2＋(y －1)2＝1[解析] 过P 、Q 两点的直线的斜率k PQ ＝b －(3－a )a －(3－b )＝a ＋b －3a ＋b －3＝1，∴线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为－1，线段PQ 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫a －b ＋32，b －a ＋32，∴PQ 的垂直平分线l 的方程为y －b －a ＋32＝－⎝⎛⎭⎫x －a －b ＋32，即y ＝－x ＋3，设圆心(2,3)关于直线l ：y ＝－x ＋3的对称点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋32＝－a ＋22＋3b －3a －2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1，故所求的圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1.14．(2019·江苏，9)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 由题意知，圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d <1，∴|c |13<1，∴－13<c <13.三、解答题15．(2019·广东湛江)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标．[解析] (1)将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得|－k －2|k 2＋1＝2，即k ＝2±6，从而切线方程为y ＝(2±6)x .②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y －a ＝0， 由直线与圆相切得x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0. ∴所求切线的方程为y ＝(2±6)x x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0(2)由|PO |＝|PM |得，x 12＋y 12＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2⇒2x 1－4y 1＋3＝0. 即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上，|PM |取最小值时即 |OP |取得最小值，直线OP ⊥l ， ∴直线OP 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝02x －4y ＋3＝0得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 16．(文)(2019·北京延庆县模考)已知长方形ABCD ，AB ＝22，BC ＝1，以AB 的中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy .(1)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程；(2)过点P (0,2)的直线l 交(1)中椭圆于M 、N 两点，判断是否存在直线l ，使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点，并说明理由．[解析] (1)由题意可得点A ，B ，C 的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，(2，1)． 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则有2a ＝|AC |＋|BC |＝(－2－2)2＋(0－1)2＋(2－2)2＋(0－1)2＝4>22， ∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－2＝2， 椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)假设满足条件的直线l 存在，由条件可知直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为：y ＝kx ＋2(k ≠0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4y ＝kx ＋2，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋4＝0∴x 1＋x 2＝－8k 1＋2k 2，x 1x 2＝41＋2k 2若以弦MN 为直径的圆恰好过原点，则OM →⊥ON →， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝0， ∴4(1＋k 2)1＋2k 2－16k 21＋2k 2＋4＝0，即8－4k 21＋2k 2＝0，解得k ＝±2检验知k 值满足判别式Δ>0∴直线l 的方程为y ＝2x ＋2或y ＝－2x ＋2. (理)(2019·哈三中)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝16.(1)由动点P 引圆C 的两条切线P A 、PB ，若直线P A 、PB 的斜率分别为k 1、k 2，且满足k 1＋k 2＋k 1·k 2＝－1，求动点P 的轨迹方程；(2)另作直线l ：kx －y －k ＝0，若直线l 与圆C 交于Q 、R 两点，且直线l 与直线l 1：x ＋2y ＋4＝0的交点为M ，线段QR 的中点为N ，若A (1,0)，求证：|AM |·|AN |为定值．[解析] (1)由k 1＋k 2＋k 1·k 2＝－1得，(k 1＋1)(k 2＋1)＝0，∴k 1＝－1或k 2＝－1.设切线方程为x ＋y ＝m ，则由圆心到直线距离公式得：m ＝－7±42，∴P 点轨迹方程为：x ＋y －7±42＝0；(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x ＋2y ＋4＝0得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －42k ＋1，－5k 2k ＋1 由⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －4)2＝16y ＝k (x －1)消去y 得(k 2＋1)x 2－(2k 2＋8k ＋6)x ＋k 2＋8k ＋9＝0此方程两根即Q 、R 两点的横坐标，由根与系数的关系及中点坐标公式可得x N ＝k 2＋4k ＋3k 2＋1，代入y ＝k (x－1)得y N ＝4k 2＋2kk 2＋1，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1，4k 2＋2k k 2＋1，又A (1,0)则由两点间距离公式可得： |AM |·|AN |＝10为定值．17．(文)已知定直线l ：x ＝－1，定点F (1,0)，⊙P 经过 F 且与l 相切. (1)求P 点的轨迹C 的方程.(2)是否存在定点M ，使经过该点的直线与曲线C 交于A 、B 两点，并且以AB 为直径的圆都经过原点；若有，请求出M 点的坐标；若没有，请说明理由.[解析] (1)由题设知点P 到点F 的距离与点P 到直线l 的距离相等． ∴点P 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线 ∴点P 的轨迹C 的方程为：y 2＝4x(2)设AB 的方程为x ＝my ＋n ，代入抛物线方程整理得：y 2－4my －4n ＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4my 1y 2＝－4n .∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ，∴y 1y 2＋x 1x 2＝0.即y 1y 2＋y 124·y 224＝0.∴y 1y 2＝－16，∴－4n ＝－16，n ＝4. ∴直线AB ：x ＝my ＋4恒过存在M (4,0)点．(理)设点F ⎝⎛⎭⎫0，32，动圆P 经过点F 且和直线y ＝－32相切，记动圆的圆心P 的轨迹为曲线w .(1)求曲线w 的方程；(2)过点F 作互相垂直的直线l 1、l 2，分别交曲线w 于A 、C 和B 、D 两个点，求四边形ABCD 面积的最小值．[解析] (1)由抛物线的定义知点P 的轨迹为以F 为焦点的抛物线，p 2＝32，即p ＝3，∴w ：x 2＝6y .(2)设AC ：y ＝kx ＋32，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋32(k ≠0)x 2＝6y ⇒x 2－6kx －9＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，易求|AC |＝6(k 2＋1)， ∵l 1与l 2互相垂直，∴以－1k 换k 得|BD |＝6⎝⎛⎭⎫1k 2＋1， S ABCD ＝12|AC ||BD |＝12×6(k 2＋1)×6⎝⎛⎭⎫1k 2＋1 ＝18⎝⎛⎭⎫2＋k 2＋1k 2≥18(2＋2)＝72， 当k ＝±1时取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为72.。

最新人教版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》（含答案解析）一、选择题(每小题5分，共40分)1.如果a2+b2=c2，那么直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.相交或相切2.设直线过点(a，0)，其斜率为-1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为( )A.±B.±2C.±2D.±43.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为( )A.1B.2C.4D.44.过点P(-2，4)作圆O：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m间的距离为( )A.4B.2C.D.5.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )A.y=xB.y=-xC.y=xD.y=-x6.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C 截得的弦长为2时，a等于( )A. B.2-C.-1D.+17.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为( )A.1B.2C.D.38.过点P(-，-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )A.0°<α<30°B.0°<α≤60°C.0°≤α≤30°D.0°≤α≤60°二、填空题(每小题5分，共10分)9.过点A(1，)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=________.10.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|= .三、解答题(每小题10分，共20分)11.已知圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1，P点坐标为(2，3)，求圆的过P 点的切线方程以及切线长.12.已知过点A(-1，0)的动直线l与圆C：x2+(y-3)2=4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)当|PQ|=2时，求直线l的方程.参考答案与解析1选C.圆的半径r=1，圆心(0，0)到直线ax+by+c=0的距离d===>1.2选B.因为切线的方程是y=-(x-a)，即x+y-a=0，所以=，a=±2.3选C.由(x-1)2+(y-2)2=5得圆心(1，2)，半径r=，圆心到直线x+2y-5+=0的距离d==1，在半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形中，弦长l=2=2=4.4选A.根据题意，知点P在圆上，所以切线l的斜率k=-=-=.所以直线l的方程为y-4=(x+2).即4x-3y+20=0.又直线m与l平行，所以直线m的方程为4x-3y=0.故直线l与m间的距离为d==4.5选C.设切线方程为y=kx，圆的方程化为(x+2)2+y2=1，而圆心(-2，0)到直线y=kx 的距离为1，所以=1.所以k=±.又因为切点在第三象限，所以k=.6选C.因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为，所以圆心到直线的距离为1，即=1，解得a=±-1，因为a>0，所以a=-1.7选C.设圆心为C(3，0)，P为直线上一动点，过P向圆引切线，切点设为N，所以(PN)min=()min=，又(PC)min==2，所以(PN)min=.8选D.设过点P与圆相切的直线方程为y+1=k(x+)，则圆心到该直线的距离d= =1，解得k1=0，k2=，画出图形可得直线l的倾斜角的取值范围是0°≤α≤60°.9点A(1，)在圆(x-2)2+y2=4内，当劣弧所对的圆心角最小时，l垂直于过点A(1，)和圆心M(2，0)的直线.所以k=-=-=.答案：10取AB的中点E,连接OE,过点C作BD的垂线,垂足为F,圆心到直线的距离d= ,所以在Rt△OBE中,BE2=OB2-d2=3,所以d==3,得m=-,又在△CDF中,△FCD=30°,所以CD==4.答案:411如图，此圆的圆心C为(1，1)，CA=CB=1，则切线长|PA|===2.(1)若切线的斜率存在，可设切线的方程为y-3=k(x-2)，即kx-y-2k+3=0，则圆心到切线的距离d==1，解得k=，故切线的方程为3x-4y+6=0.(2)若切线的斜率不存在，切线方程为x=2，此时直线也与圆相切.综上所述，过P点的切线的方程为3x-4y+6=0和x=2.12(1)因为l与m垂直，且k m=-，所以k l=3，故直线l的方程为y=3(x+1)，即3x-y+3=0.因为圆心坐标为(0，3)满足直线l的方程，所以当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k(x+1)，即kx-y+k=0，因为|PQ|=2，所以|CM|==1，则由|CM|==1，得k=，所以直线l：4x-3y+4=0.故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.。

高中数学人教A 版必修Ⅱ系列训练12：直线与圆、圆与圆的位置关系一、 选择题：1、直线4x-3y-2=0与圆0114222=-+-+y x y x 的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 以上都不对2、经过点)1,2(-M 作圆522=+y x 的切线，则切线的方程为（ ）A. 52=+y xB. 052=++y xC. 052=--y xD. 052=++y x3、平行于直线012=+-y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（ ）A. 052=+-y xB. 052=--y xC. 052052=-+=++y x y x 或D. 052052=--=+-y x y x 或4、圆9)2()(:221=++-y m x C 与圆4)()1(:222=-++m y x C 外切，则m 的值为（ ）A. 2B. -5C. 2或-5D. 不确定5、圆0222=++x y x 和0422=-+y y x 的公共弦所在直线方程为（ ）A. x-2y=0B. x+2y=0C. 2x-y=0D. 2x+y=0二、填空题：6、若圆822=+y x 和圆04422=-++y x y x 关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________________7、集合(){}(){}22222)4()3(,,4,r y x y x B y x y x A =-+-==+=，其中r>0，若B A 中有且仅有一个元素，则r 的值是____________8、已知圆4)2()1(:22=-+-y x C 及直线l ：x-y+3=0，则直线l 被圆C 截得的弦长为_______________9、若经过两点)2,0(),0,1(B A -的直线l 与圆1)()1(22=-+-a y x 相切，则a=________三、解答题：10、求与圆014222=++-+y x y x 同心，且与直线012=+-y x 相切的圆的方程。

4.2.1 直线与圆的位置关系课时过关·能力提升一、基础巩固1.直线x−√3y+6=0与圆(x−1)2+(y−√3) 2=4的位置关系是()A.相交且过圆心B.相切C.相离D.相交但不过圆心(1,√3)到直线x−√3y+6=0的距离d=√1+3=42=2,所以直线与圆相切.2.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值为()A.0或2B.2C.√2D.无解(0,0)到直线x+y+m=0√2=√m,解得m=23.若A,B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点,则|AB|=()A.1B.√2C.√3D.24.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+√5=0或2x+y−√5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+√5=0或2x−y−√5=02x+y+c=0(c≠1),√22=√5,所以c=±5,故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.5.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a满足的条件是()A.0≤|a-1|≤2B.|a+1|≥2C.0≤|a+1|≤2D.|a-1|≥2x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,所以圆心到直线的距离d=√2≤r=√2,从而可得0≤|a+1|≤2.6.若圆x2+y2-2x+4y-20=0截直线5x-12y+c=0所得的弦长为8,则c的值是()A.10B.10或-68C.5或-34D.-68C(1,-2),半径r=5,圆心C到直线5x-12y+c=0的距离d=|29+c|13.又r2=d2+42,所以25=(29+c)213+16,解得c=10或c=-68.7.直线l:3x-4y-5=0被圆x2+y2=5所截得的弦长为.d=1,半径r=√5,所以弦长为2√r2-d2=4.8.已知直线5x+12y+m=0(m>0)与圆x2-2x+y2=0相交,则m的取值范围是.(1,0),半径r=1,则圆心到直线的距离d=√22=5+m13<1,解得m<8.9.若P(2,-1)为圆C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是.C(1,0),半径r=5,由于PC⊥AB,又k PC=-1-02-1=−1,所以直线AB的斜率为1,所以直线AB的方程是y+1=x-2,即x-y-3=0.3=010.已知圆C与y轴相切,圆心C在直线l1:x-3y=0上,且在直线l2:x-y=0上截得的弦长为2√7,求圆C的方程.C在直线l1:x-3y=0上,所以可设圆心为C(3t,t).又因为圆C与y轴相切,所以圆的半径为|3t|.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形,可得(√2)2+(√7) 2=|3t| 2,解得t=±1.所以圆心为(3,1)或(-3,-1),半径为3.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.二、能力提升1.平移直线x-y+1=0,使其与圆(x-2)2+(y-1)2=1相切,则平移的最短距离为()A.√2−1B.2−√2C.√2D.√2+1C(2,1)到直线的距离d=√12+(-1)=√2,又圆的半径r=1,则平移的最短距离为√2−1.2.已知直线ax-by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形()A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在O(0,0)到直线的距离d=√22=1,则a2+b2=c2,即该三角形是直角三角形.★3.垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是()A.x+y−√2=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+√2=0y=-x+b,即x+y-b=0,√2=1.所以b=±√2.又因为直线y=-x+b与圆相切于第一象限,所以b=√2(b=−√2舍去).故所求直线方程为x+y−√2=0.4.经过点(-3,4)且与圆(x-1)2+(y-1)2=25相切的直线方程为.(-3,4)在圆(x-1)2+(y-1)2=25上,所以过圆心(1,1)与点(-3,4)的直线与切线垂直.又因为过圆心(1,1)与点(-3,4)的直线斜率为4-1-3-1=−34,所以切线斜率为43.所以切线方程为y-4=43(x+3),即4x-3y+24=0.x-3y+24=05.已知圆心在x轴上,半径为√2的圆C位于y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆C的方程是_______________.,由图示知圆心坐标为(-2,0),半径为√2.故圆C的方程为(x+2)2+y2=2.x+2)2+y2=26.若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r=.=1.x2+y2=r2的圆心为坐标原点,则圆心到直线3x-4y+5=0√32+(-4)=1,所以r=2.在△AOB中,点O到边AB的距离d=r sin 30°=r27.已知圆经过点A(2,-1),圆心在直线2x+y=0上且与直线x-y-1=0相切,求圆的方程.(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).因为圆心在直线2x+y=0上,所以b=-2a,即圆心为(a,-2a).又因为圆与直线x-y-1=0相切,且过点(2,-1),=r,(2−a)2+(−1+2a)2=r2,√2即(3a-1)2=2[(2-a)2+(-1+2a)2],解得a=1或a=9,所以a=1,b=-2,r=√2或a=9,b=-18,r=13√2.故所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2或(x-9)2+(y+18)2=338.★8.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).(1)证明:直线l恒过一个定点A,并求出点A的坐标;(2)证明:不论m取何值,直线l与圆C都相交于两个不同的点;(3)求直线l被圆C截得的线段的最短长度及此时直线l的方程.l的方程化为m(2x+y-7)+(x+y-4)=0,由{2x +y -7=0,x +y -4=0得交点为A (3,1),即直线l 恒过一个定点A (3,1).|AC|=√(3-1)2+(1-2)2=√5<5,所以点A (3,1)在圆内,所以不论m 取何值,直线l 与圆C 都相交于两个不同的点.,当截得的线段与AC 垂直时其长度最短. 因为点A ,C 所在直线的斜率k AC =−12, 所以直线l 的斜率k l =2.由点斜式知所求直线的方程为y-1=2(x-3),即2x-y-5=0. 这时截得的线段长度为2√25-5=4√5.。

第四章 4.2 4.2.2 圆与圆的位置关系A级基础巩固一、选择题1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是( B )A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[解析] 设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x －5)2＋(y＋1)2＝25.2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为 ( A )A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0[解析] 解法一：线段AB的中垂线即两圆的连心线所在直线l，由圆心C1(1,0)，C2(－1,2)，得l方程为x＋y－1＝0.解法二：直线AB的方程为：4x－4y＋1＝0，因此线段AB的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，故选A．3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是 ( B )A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析] 利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.4．(2016～2017·太原高一检测)已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是 ( A )A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝25[解析] 设动圆圆心为P(x，y)，则x－2＋y＋2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25.故选A．5．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r＝( C )A ．5B ．4C ．3D ．2 2[解析] 设一个交点P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝16，(x 0－4)2＋(y 0＋3)2＝r 2， ∴r 2＝41－8x 0＋6y 0， ∵两切线互相垂直， ∴y 0x 0·y 0＋3x 0－4＝－1，∴3y 0－4x 0＝－16.∴r 2＝41＋2(3y 0－4x 0)＝9，∴r ＝3.6．半径长为6的圆与y 轴相切，且与圆(x －3)2＋y 2＝1内切，则此圆的方程为 ( D ) A ．(x －6)2＋(y －4)2＝6 B ．(x －6)2＋(y ±4)2＝6 C ．(x －6)2＋(y －4)2＝36D ．(x －6)2＋(y ±4)2＝36[解析] 半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则a ＝6，再由b 2＋32＝5可以解得b ＝±4，故所求圆的方程为(x －6)2＋(y ±4)2＝36.二、填空题7．圆x 2＋y 2＋6x －7＝0和圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的位置关系是__相交__.[解析] 圆x 2＋y 2＋6x －7＝0的圆心为O 1(－3,0)，半径r 1＝4，圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝－3－2＋＋2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．8．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝__1__. [解析] 两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y ＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a 的距离d ＝|1a |，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a ＝1. 三、解答题9．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)． ∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为 12＋2＋－6－2＝5.∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－12＋λ，－16λ－2＋λ)． ∵圆心C 在公共弦所在直线上， ∴4·－λ－＋λ＋3·－λ－＋λ－2＝0，解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0. 10．判断下列两圆的位置关系.(1)C 1：x 2＋y 2－2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0； (2)C 1：x 2＋y 2－2y ＝0，C 2：x 2＋y 2－23x －6＝0；(3)C 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0，C 2：x 2＋y 2＋12x ＋6y －19＝0； (4)C 1：x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －6y －3＝0. [解析] (1)∵C 1：(x －1)2＋y 2＝4，C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝2. ∴圆C 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝2， 圆C 2的圆心坐标为(2，－1)，半径r 2＝2，d ＝|C 1C 2|＝2－12＋－12＝ 2.∵r 1＋r 2＝2＋2，r 1－r 2＝2－2， ∴r 1－r 2<d <r 1＋r 2，两圆相交．(2)∵C 1：x 2＋(y －1)2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9， ∴圆C 1的圆心坐标为(0,1)，r 1＝1， 圆C 2的圆心坐标为(3，0)，r 2＝3，d ＝|C 1C 2|＝3＋1＝2.∵r 2－r 1＝2，∴d ＝r 2－r 1，两圆内切． (3)∵C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝4，C 2：(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝64.∴圆C 1的圆心坐标为(2,3)，半径r 1＝2， 圆C 2的圆心坐标为(－6，－3)，半径r 2＝8，∴|C1C2|＝＋2＋＋2＝10＝r1＋r2，∴两圆外切．(4)C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝＋2＋－2＝13.∵|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．B级素养提升一、选择题1．已知M是圆C：(x－1)2＋y2＝1上的点，N是圆C′：(x－4)2＋(y－4)2＝82上的点，则|MN|的最小值为 ( D )A．4 B．42－1 C．22－2 D．2[解析] ∵|CC′|＝5＜R－r＝7，∴圆C内含于圆C′，则|MN|的最小值为R－|CC′|－r＝2.2．过圆x2＋y2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( A )A．4x－y－4＝0 B．4x＋y－4＝0 C．4x＋y＋4＝0 D．4x－y＋4＝0 [解析] 以线段OM为直径的圆的方程为x2＋y2－4x＋y＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x－y－4＝0，这就是经过两切点的直线方程．3．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m ＋c的值是 ( C )A．－1 B．2 C．3 D．0[解析] 两点A，B关于直线x－y＋c＝0对称，k AB＝－4m－1＝－1.∴m＝5，线段AB的中点(3,1)在直线x－y＋c＝0上，∴c＝－2，∴m＋c＝3.4．(2016·山东文)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是 ( B )A．内切B．相交C．外切D．相离[解析] 由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交．二、填空题5．若点A (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4上，则圆(x －a )2＋y 2＝1与圆x 2＋(y －b )2＝1的位置关系是__外切__.[解析] ∵点A (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4上，∴a 2＋b 2＝4. 又圆x 2＋(y －b )2＝1的圆心C 1(0，b )，半径r 1＝1， 圆(x －a )2＋y 2＝1的圆心C 2(a,0)，半径r 2＝1， 则d ＝|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝4＝2， ∴d ＝r 1＋r 2.∴两圆外切．6．与直线x ＋y －2＝0和圆x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是__(x －2)2＋(y －2)2＝2__.[解析] 已知圆的标准方程为(x －6)2＋(y －6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x ＋y －2＝0垂直的方程为x －y ＝0.方程x －y ＝0分别与直线x ＋y －2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.C 级 能力拔高1．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB 所在的直线方程为2(m ＋1)x ＋2(n ＋1)y －m 2－1＝0，由于A 、B 两点平分圆N 的圆周，所以A 、B 为圆N 直径的两个端点，即直线AB 过圆N 的圆心N ，而N (－1，－1)，所以－2(m ＋1)－2(n ＋1)－m 2－1＝0，即m 2＋2m ＋2n ＋5＝0，即(m ＋1)2＝－2(n ＋2)(n ≤－2)，由于圆M 的圆心M (m ，n )，从而可知圆心M 的轨迹方程为(x ＋1)2＝－2(y ＋2)(y ≤－2)．2．(2016～2017·金华高一检测)已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|PA |成立，如图.(1)求a ，b 间的关系； (2)求|PQ |的最小值． [解析] (1)连接OQ ，OP ，则△OQP 为直角三角形， 又|PQ |＝|PA |， 所以|OP |2＝|OQ |2＋|PQ |2＝1＋|PA |2，所以a 2＋b 2＝1＋(a －2)2＋(b －1)2， 故2a ＋b －3＝0.(2)由(1)知，P 在直线l ：2x ＋y －3＝0上，所以|PQ |min ＝|PA |min ，为A 到直线l 的距离， 所以|PQ |min ＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.。

二圆内接四边形的性质与判定定理一、基础达标1.如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BC 到E ，已知∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，那么∠BOD 等于()A.120°B.136°C.144°D.150°解析∵∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，∴∠ECD ＝72°，∴∠BOD ＝2∠A ＝2∠ECD ＝144°.答案 C2.在圆内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可以是()A.4∶2∶3∶1B.4∶3∶1∶2C.4∶1∶3∶2D.以上都不对解析 四边形ABCD 内接于圆，故∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ，所以只有B 适合.答案 B3.如图所示，已知在圆内接四边形ABCD 中，BA 的延长线和CD 的延长线交于点P ，AC 和BD 相交于点E ，则图中共有相似三角形()A.5对B.4对C.3对D.2对解析 由圆内接四边形的性质和圆周角定理可以判定：△ABE ∽△DCE ，△ADE ∽△BCE ，△PAC ∽△PDB ，△PAD ∽△PCB 共4对.答案 B4.如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝110°，那么∠BCD 的度数为________.解析∵∠A ＝12∠BOD ＝12×110°＝55°，∴∠BCD ＝180°－55°＝125°.答案125°5.如图，两圆相交于点A ，B ，过点A 的直线交两圆于点C ，D ，过点B 的直线交两圆于点E ，F ，连接CE ，DF ，若∠C ＝115°，则∠D ＝________.解析 如图，连接AB ，∵∠C ＝115°，∴∠ABE ＝65°，∴∠D ＝∠ABE ＝65°.答案65°6.如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .(1)求证：BE ＝2AD ；(2)当AC ＝1，EC ＝2时，求AD 的长.(1)证明 连接DE ，∵ACED 是圆的内接四边形，∴∠BDE ＝∠BCA .又∠DBE ＝∠CBA ，∴△BDE ∽△BCA ，即有BE BA ＝DE CA ，而AB ＝2AC ，∴BE ＝2DE .又CD 是∠ACB 的平分线，∴AD ＝DE ，从而BE ＝2AD .(2)解 由条件得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t ，根据割线定理得BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )， ∴(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，即AD ＝12.二、能力提升7.如图，AB 是⊙O 的弦，过A ，O 两点的圆交BA 的延长线于C ，交⊙O 于D ，若CD ＝5 cm ，则CB 等于()A.25 cmB.15 cmC.5 cmD.52cm解析 连接OA ，OB ，OD ，∵OA ＝OB ＝OD ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∠ODB ＝∠OBD .∵C ，D ，O ，A 四点共圆，∴∠OAB ＝∠CDO ，∠CDO ＝∠OBA ，∴∠CDO ＋∠ODB ＝∠OBA ＋∠OBD ，即∠CDB ＝∠CBD ，∴CD ＝CB ，∵CD ＝5 cm ，∴CB ＝5 cm.答案 C8.(2014·陕西高考)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________.解析∵∠A ＝∠A ，∠AEF ＝∠ACB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AC AE ＝BC EF ，∴2＝BC EF，∴EF ＝3. 答案39.如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，AC ＝a ，则四边形ABCD 的面积为※精品试卷※________.解析 如图，连接BD ，易知∠BAD ＝∠ABD ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ACD ＝60°.设∠CAD ＝θ，AB ＝AD ＝b ，则∠BAC ＝60°－θ，S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD＝12ab sin(60°－θ)＋12ab sin θ＝12ab sin(60°＋θ)＝12ab sin ∠ABC ，在△ABC 中，由正弦定理可知a sin∠ABC ＝b sin∠ACB ＝bsin 60°，∴b sin ∠ABC ＝a sin 60°.∴S 四边形ABCD ＝12·a ·a ·sin 60°＝34a 2.答案 34a 210.四边形ABCD 是圆内接四边形，过点C 作DB 的平行线交AB 的延长线于E 点.求证：BE ·AD＝BC ·CD .证明 如图，连接AC .∵四边形ABCD 为圆内接四边形，∴∠ADC ＝∠EBC .又BD ∥EC ，∴∠CEB ＝∠DBA ，且∠ACD ＝∠DBA ，∴∠CEB ＝∠ACD .∴△ADC ∽△CBE .∴AD DC ＝BCBE ，即BE ·AD ＝BC ·CD .11.如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，D 是AC 的中点，DE 平分∠ADB 交AB 于E ，过A ，D ，E 的圆交BD 于N .求证：BN ＝2AE .证明 连接EN .∵四边形AEND 是圆内接四边形，∴∠BNE ＝∠A ，又∵∠ABD ＝∠ABD ，∴△BNE ∽△BAD ，∴BN EN ＝ABAD ，∵AB ＝AC ，AC ＝2AD ，∴AB ＝2AD ，BN ＝2EN ，又∵∠ADE ＝∠NDE ，∴AE ︵＝EN ︵，∴AE ＝EN ，∴BN ＝2AE .※精品试卷※三、探究与创新12.如图所示，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足.求证：E，B，C，F四点共圆.证明法一连接EF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＋∠AFD＝90°＋90°＝180°，∴A，E，D，F四点共圆，∴∠1＝∠2.∴∠BEF＋∠C＝∠BED＋∠1＋∠C＝90°＋∠2＋∠C＝90°＋90°＝180°，∴E，B，C，F四点共圆.法二连接EF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＋∠AFD＝90°＋90°＝180°，∴A，E，D，F四点共圆，∴∠3＝∠4.∴∠CFE＋∠B＝∠CFD＋∠4＋∠B＝90°＋∠3＋∠B＝90°＋90°＝180°，∴E，B，C，F四点共圆.法三连接EF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＋∠AFD＝90°＋90°＝180°，∴A，E，D，F四点共圆，∴∠1＝∠2.∵∠AEF＝90°－∠1＝90°－∠2，∠C＝90°－∠2，∴∠AEF＝∠C，∴E，B，C，F四点共圆.法四连接EF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＋∠AFD＝90°＋90°＝180°，∴A，E，D，F四点共圆，∴∠3＝∠4.∵∠AFE＝90°－∠4＝90°－∠3，∠B＝90°－∠3，∴∠AFE＝∠B，∴E，B，C，F四点共圆.。

必修II系列训练12： 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、 选择题： 1、直线4x-3y-2=0与圆0114222yxyx的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上都不对 2、经过点)1,2(M作圆522yx的切线，则切线的方程为（ ）

A. 52yx B. 052yx C. 052yx D. 052yx 3、平行于直线012yx且与圆522yx相切的直线的方程是（ ） A. 052yx B. 052yx C. 052052yxyx或 D. 052052yxyx或 4、圆9)2()(:221ymxC与圆4)()1(:222myxC外切， 则m的值为（ ） A. 2 B. -5 C. 2或-5 D. 不确定

5、圆0222xyx和0422yyx的公共弦所在直线方程为（ ） A. x-2y=0 B. x+2y=0 C. 2x-y=0 D. 2x+y=0

二、填空题： 6、若圆822yx和圆04422yxyx关于直线l对称，则直线l的方程 为_______________________ 7、集合22222)4()3(,,4,ryxyxByxyxA，其中r>0，若BA 中有且仅有一个元素，则r的值是____________ 8、已知圆4)2()1(:22yxC及直线l：x-y+3=0，则直线l被圆C截得的

弦长为________________ 9、若经过两点)2,0(),0,1(BA的直线l与圆1)()1(22ayx相切，则a=________ 三、解答题： 10、求与圆014222yxyx同心，且与直线012yx相切的圆的方程。

11、求直线0323yx截圆422yx得的劣弧所对的圆心角。 12、一直线过点)23,3(P，被圆2522yx截得的弦长为8， 求此弦所在的直线方程。

高中数学人教新课标A版必修2 第四章圆与方程 4.2.1直线与圆的位置关系选择题直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是（）A.相离B.相交C.相切D.不确定【答案】B【解析】当a＝0时，直线y＝0显然与该圆相交；当a≠0时，圆心（0,0）到直线ax－y＋2a＝0的距离d＝（半径），也与该圆相交．故答案为：B。

分a为零和a不为零两种情况来讨论。

选择题已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（）A.x2＋y2－2x－3＝0B.x2＋y2＋4x＝0C.x2＋y2＋2x－3＝0D.x2＋y2－4x＝0【答案】D【解析】设圆心为（a,0）（a＞0），则即a＝2，∴圆C的方程为（x－2）2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故答案为：D。

由直线与圆相切的性质可以求出圆的方程。

选择题圆心坐标为（2，－1）的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为，那么这个圆的方程为（）A.（x－2）2＋（y＋1）2＝4B.（x－2）2＋（y＋1）2＝2C.（x－2）2＋（y＋1）2＝8D.（x－2）2＋（y＋1）2＝16【答案】A【解析】圆心到直线的距离，圆的半径，∴圆的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝4.所以答案是：A。

选择题已知点A是圆C：x2＋y2＋ax＋4y＋10＝0上任意一点，点A关于直线x＋2y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a的值为（）A.10B.－10C.－4D.4【答案】B【解析】通过配方可得圆C的标准方程为（x＋）2＋（y＋2）2＝，由题意，可知直线x＋2y－1＝0过圆心C（－，－2），∴－－4－1＝0，∴a＝－10.又a＝－10时，＞0，∴a的值为－10，所以答案是：B.【考点精析】解答此题的关键在于理解圆的标准方程的相关知识，掌握圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，以及对圆的一般方程的理解，了解圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项；(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了；(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显．选择题已知直线x＋7y＝10把圆x2＋y2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（）A.B.C.πD.2π【答案】D【解析】圆x2＋y2＝4的圆心为O（0,0），半径r＝2，设直线x ＋7y＝10与圆x2＋y2＝4交于M，N两点，圆心O到直线x＋7y＝10的距离d＝，过点O作OP⊥MN于P，则|MN|＝2 .在△MNO中，|OM|2＋|ON|2＝2r2＝8＝|MN|2 ，则∠MON＝90°，这两段弧长之差的绝对值等于.所以答案是：D。

4.2.1 直线与圆的位置关系【课时目标】 1．能根据给定直线和圆的方程，判断直线和圆的位置关系．2．能根据直线与圆的位置关系解决有关问题．222代数法：由 ⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0x －a2＋y －b 2＝r2消元得到一元二次方程的判别式Δ一、选择题1．直线3x ＋4y ＋12＝0与⊙C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9的位置关系是( )A ．相交并且过圆心B ．相交不过圆心C ．相切D ．相离2．已知圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与y 轴切于原点，那么( ) A ．D ＝0，E ＝0，F ≠0 B ．D ＝0，E ≠0，F ＝0 C ．D ≠0，E ＝0，F ＝0 D ．D ≠0，E ≠0，F ＝03．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得弦长等于( )A ． 6B ．522C ．1D ．54．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线l ：x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0(abc ≠0)与圆x 2＋y 2＝1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不存在6．与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0相切，在x ，y 轴上的截距相等的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条二、填空题7．已知P ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝2}，那么P ∩Q 为________．8．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为______________．9．P (3,0)为圆C ：x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0内一点，过P 点的最短弦所在的直线方程是______________．三、解答题10．求过点P (－1,5)的圆(x －1)2＋(y －2)2＝4的切线方程．11．直线l 经过点P (5,5)，且和圆C ：x 2＋y 2＝25相交，截得的弦长为45，求l 的方程．能力提升12．已知点M(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内一点，直线g是以M为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax＋by＋r2＝0，则( )A．l∥g且与圆相离 B．l⊥g且与圆相切C．l∥g且与圆相交 D．l⊥g且与圆相离13．已知直线x＋2y－3＝0与圆x2＋y2＋x－2cy＋c＝0的两个交点为A、B，O为坐标原点，且OA⊥OB，求实数c的值．1．判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．2．一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形．还可以联立方程组，消去x 或y ，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l ＝k 2＋1·x 1＋x 22－4x 1x 2＝k 2＋1|x 1－x 2|．3．研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在．过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上．当点在圆上，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条．§4．2 直线、圆的位置关系 4．2．1 直线与圆的位置关系答案知识梳理2 1 0 < ＝ > > ＝ < 作业设计1．D [圆心到直线距离d >r ．]2．C [与y 轴切于原点，则圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，0，得E ＝0，圆过原点得F ＝0，故选C ．]3．A [分别求出半径r 及弦心距d (圆心到直线距离)再由弦长为2r 2－d 2，求得．] 4．C [通过画图可知有三个点到直线x ＋y ＋1＝0距离为2．]5．B [由题意|c |a 2＋b 2＝1⇒|c |＝a 2＋b 2⇒c 2＝a 2＋b 2，故为直角三角形．]6．C [需画图探索，注意直线经过原点的情形．设y ＝kx 或x a ＋ya＝1，由d ＝r 求得k ＝±1，a ＝4．]7．{(1,1)}解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x ＋y ＝2，得x ＝y ＝1．8．x －3y ＋2＝0解析 先由半径与切线的垂直关系求得切线斜率为33，则过(1，3)切线方程为x －3y ＋2＝0．9．x ＋y －3＝0解析 过P 点最短的弦，应为与PC 垂直的弦，先求斜率为－1，则可得直线方程为 x ＋y －3＝0．10．解 ①当斜率k 存在时， 设切线方程为y －5＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＋5＝0．由圆心到切线的距离等于半径得|k －2＋k ＋5|k 2＋1＝2，解得k ＝－512，∴切线方程为5x ＋12y －55＝0．②当斜率k 不存在时，切线方程为x ＝－1，此时与圆正好相切． 综上，所求圆的切线方程为x ＝－1或5x ＋12y －55＝0． 11．解 圆心到l 的距离d ＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫4522＝5，显然l 存在斜率． 设l ：y －5＝k (x －5)，即kx －y ＋5－5k ＝0，d ＝|5－5k |k 2＋1．∴|5－5k |k 2＋1＝5，∴k ＝12或2． ∴l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0．12．A [∵M 在圆内，∴a 2＋b 2<r 2．∴(0,0)到l 的距离d ＝r 2a 2＋b2>r 即直线l 与圆相离，又直线g 的方程为y －b ＝－a b(x －a )，即ax ＋by －a 2－b 2＝0，∴l ∥g ．]13．解 设点A 、B 的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 由OA ⊥OB ，知k OA ·k OB ＝－1， 即y 1x 1·y 2x 2＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0 ① 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0x 2＋y 2＋x －2cy ＋c ＝0，得5y 2－(2c ＋14)y ＋c ＋12＝0，则y 1＋y 2＝15(2c ＋14)，y 1y 2＝15(c ＋12) ②又x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2)＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，代入①得9－6(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0③ 由②、③得，c ＝3．。