专题神奇的数列(包含等差、等比数列)-讲义 (1)

等差数列与等比数列专题辅导（小编推荐）第一篇：等差数列与等比数列专题辅导（小编推荐）等差数列与等比数列专题辅导(1)在等差数列｛an｝中, a7=9, a13=-2, 则a25=()A-22B-24C60D64(2)在等比数列｛an｝中, 存在正整数m, 有am=3，am+5=24, 则am+15=()A864B1176C1440D1536(3)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列, 则a2=()A–4B–6C–8D–10(4)设数列{an}是等差数列，且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n 项和，则()AS4>S3BS4=S2CS6(5)已知由正数组成的等比数列｛an｝中,公比q=2, a1·a2·a3·…·a30=245, 则a1·a4·a7·…·a28=5101520A 2B2C2D2(6)若{an}是等差数列，首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003.a2004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是：()A．4005B．4006C．4007D．4008(7)在等比数列｛an｝中, a1<0, 若对正整数n都有anAq>1B0a1(3n-1)(8)设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1=__________.2(9)等差数列｛an｝的前m项和为30, 前2m项和为100, 则它的前3m项和为_________.(10)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列, 且a1=2, 公和为5,那么a18的值为_______,这个数列的前21项和S21的值为.(11)已知等差数列｛an｝共2n+1项, 其中奇数项之和为290, 偶数项之和为261,求第n+1项及项数2n+1的值.(12)设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列，它的前10项和S10=110且a1，a2，a4成等比数列.（Ⅰ）证明a1=d；（Ⅱ）求公差d的值和数列{an}的通项公式.(13)已知等比数列｛an｝的各项都是正数, Sn=80, S2n=6560, 且在前n项中, 最大的项为54, 求n的值.(14)ΔOBC的三个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）, 设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n, Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn), an=（Ⅰ）求a1,a2,a3及an;（Ⅱ）证明yn+4=1-(Ⅲ)若记bn=y4n+41yn+yn+1+yn+2.2yn,n∈N*;4-y4n,n∈N*,证明{bn}是等比数列.答案:1-7 BDBDA BB8.29.21010.3, 5211.29, 1912.(2)d=2 an=2n13.n=414.(1)an=2(2)(3)证明略第二篇：等差数列与等比数列等差数列与等比数列⎧>0,递增数列⎪一、等差数列的定义：an+1-an=d（d：公差）（常数）⎨=0，常数列，⎪<0,递减数列⎩1．证明数列{an}为等差数列：（1）定义：an+1-an=d（常数）（2）等差中项：2an+1=an+an+2注：(1)不可用a2-a1=a3-a2=a4-a3=Λ=“常数”证(2)a1=⎨例1．（1）已知数列{an}为等差数列，求证：数列{an+an+1}为等差数列；变式：①已知数列{an}为等差数列，求证：数列{an+t}（t为常数）为等差数列；②已知数列{an}为等差数列，求证：数列{tan}（t为常数）为等差数列；③已知数列{an}、{bn}均为等差数列，求证：数列{an+bn}为等差数列（2）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2，求证：数列{an}为等差数列；变式：①已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+1，求：an②已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an2+bn，求：an ③已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an2+bn+c，求：an（3）已知数列{an}满足：a1=1,an+1=数列；（4）已知数列{an}，a1=1，an+1=为等差数列（5）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：数列{an}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列⎧S1,n=1⎩Sn-Sn-1,n≥2an1,且bn=，求证：数列{bn}为等差an+1ann1an+，且bn=nan，求证：数列{bn}n+1n+1Sn=n(a1+an)22．证明数列{an}为单调数列：an+1-an=f(n)⎨⎧>0,递增数列递减数列⎩<0，注：（1）求数列{an}中an的极值也可采用此方法（2）已知数列{an}为等差数列ⅰ.若a1<0,d>0，则Sn有最小值；解法：①令an≤0{bn}②Snⅱ.若a1>0,d<0，则Sn有最大值；解法：①令an≥0②Sn例2．已知an=(11-2n)2n，求数列{an}的最大项例3．（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且an=10-2n,求Sn的最大值；(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且an=2n-13,求Sn的最小值；3．叠加法：已知a1=a，an+1-an=f(n)，求an例4．（1）已知数列{an}为等差数列，首项为a1，公差为d,求an；（2）已知数列{an}，a1=1,an+1=4．通项公式：an=a1+(n-1)d（1）an=am+(n-m)d（2）an是关于n的一次函数，且n的系数为公差d.例5．已知数列{an}为等差数列，a5=-3，a9=13，求an5．等差中项：若a、b、c成等差数列，则b=（1）若数列{an}为等差数列，则2an+1n+11an+，求an nna+c称为a、c的等差中项2=an+an+2；（2）若已知三个数成等差数列，且其和为定值，则可设这三个数为a-d、a、a+d；（3）若数列{an}为等差数列，且公差d≠0,则am+an=ap+aq⇔m+n=p+q(4)在有穷等差数列{an}中,与首尾两项距离相等的两项的和等于首尾两项的和.即：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=Λ=ak+an-k+1例6．（1）已知：等差数列中连续三项的和为21，平方和为179，求这三项（2）在3与19之间插入3个数后成等差数列，求这三个数（3）已知：a、b、c成等差数列求证：①b+c、a+c、a+b成等差数列；②a(b+c)、b(a+c)、c(a+b)成等差数列；③a-bc、b-ac、c-ab 成等差数列（4）已知：a、b、c成等差数列，求证：2222111成等差数列 b+ca+ca+blg(a-c)、lg(a+c-2b)成等差（5）已知：成等差数列，求证：lg(a+c)、数列（6）若方程a(b-c)xb(c-a)x+c(a-b)=0有相等实根，求证：成等差111abc111abc数列例7．在等差数列{an}中，(1)若a5+a10=12,求S14；(2)若a8=m,求S15；(3)若a4+a6+a15+a17=50,求S20；(4)若a2+a4=18,a3+a5=32,求S6；(5)若a2+a5+a12+a15=36,求S16；(6)若a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8(7)若等差数列{an}的各项都是负数，且a32+a82+2a3⋅a8=9，则其前10项和S10= ____________(8)在等差数列{an}中，若a3+a15=a5+an，则n=_______6．数列{an}的前n项和Sn=注：（1）倒序法求和；（2）等差数列{an}的前n项和Sn是关于自然数n的二次函数，且n的系数为n(a1+an)n(n-1)n(n-1)=na1+d=nan-d 222d，2常数项为零，即：Sn=An2+Bn（当A=0时数列{an}为常数列）；（3）①S2n-1=(2n-1)an（可以将项与和之间进行相互转化）。

等差数列、等比数列知识点梳理等差数列和等比数列知识点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()n m a a n m d =+-变形推广：mn a a d mn --= 3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

微专题52 等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既观察了学生证明数列的能力，同时也为后边的问题做好铺垫。

一、基础知识：1、怎样判断一个数列是等差（或等比）数列（1）定义法（递推公式）：a n1a na n1q（等比）d（等差），a n（2）通项公式：an kn m（等差），an kqqn0（等比）（3）前n项和：S n An 2n（等比）Bn（等差），S n qkk（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项2、怎样证明一个数列是等差等比数列：（1）往常利用定义法，找寻到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即nN，均有：2a n1a n a n2（等差）a n21a n a n2（等比）二、典型例题：例1：已知数列a n的首项a13,a n13a n,nN．52a n1求证：数列11为等比数列a n思路一：结构法，依据所给的形式对已知递推公式进行结构，察看发现所证的数列存在1这a n样的倒数，因此考虑递推公式两边同取倒数：3a n12a n1 a n1a n13an2a n1即121，在考虑结构“1”：11211111a n133an a n133an3a n即数列11是公比为1的等比数列a n3思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用b n表示：b n1，则只要证明b n是等1a n比数列即可，那么需要对于b n 的条件（首项，递推公式），因此用b n 将a n 表示出来，并代换到a n 的递推公式中，从而可从 b n 的递推公式出发，进行证明1 1 ，则a n1 解：令b n b n 1a n3递推公式变成：1 b n1 1 3 b n111b n11b n312b n1b n33b n1 3b n11b n3b n 是公比为1的等比数列。

即数列1 1为等比数列3a n小炼有话说：1）结构法：在结构的过程中，要找寻所证数列形式的亮点，并以此为打破对递推公式进行变形，如例1中就是抓住处证数列有一个“倒数”的特色，从而对递推公式作取倒数的变换。

2022年高考数学尖子生强基计划专题9等差、等比数列与数列求和一、真题特点分析：1.【2020复旦大学6】()111lim 14253n n n →+∞⎛⎫+++= ⨯⨯+⎝⎭ _________．2.【2021年清华】有限项等差数列公差为4，第二项起各项的和加首项的平方小于100，则该数列最多可有________项．3．若数列{}n a 满足211441240n n n aa a ++++-⨯=，求limnn a n→+∞．二、知识要点拓展一．等差数列：1.通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；2.前n 项和公式：1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+.二．等比数列：1.通项公式：1*11()n n n aa a q q n N q-==⋅∈；2.前n 项和公式：11(1)111n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩,,或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.三．数列的通项公式与前n 项的和的关系：11,1,2n n n S n a S s n -=⎧=⎨-≥⎩(n S 为数列{}n a 的前n 项的和为).四．常见数列的前n 项和公式：(1)1232n n n +++++=21357(21)n n ++++-= 24682(1)n n n ++++=+ 2222(1)(21)1236n n n n ++++++=33332(1)123[]2n n n +++++= 一．等差数列的主要判定方法：①1n n a a d +-=（d 为常数）；②122n n n a a a ++=+（*n N ∈）；③n a kn b =+（,k b 为常数）；④2n S An Bn =+（,A B 为常数）。

二．等差数列的主要性质：①()n m a a n m d =+-或n ma a d n m-=-（d 是公差）；②若,,,*m n k l N ∈，且m n k l +=+，则m n k l a a a a +=+。

专题:数列求与(一)主要知识:1.直接法:即直接用等差、等比数列得求与公式求与。

(1)等差数列得求与公式:d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=(2)等比数列得求与公式S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝1a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n)1－q q ≠1、(切记:公比含字母时一定要讨论)2.公式法:如果一个数列就是等差、等比数列或者就是可以转化为等差、等比数列得数列,我们可以运用等差、等比数列得前n 项与得公式来求与、对于一些特殊得数列(正整数数列、正整数得平方与立方数列等)也可以直接使用公式求与、222221(1)(21)1236nk n n n k n =++=++++=∑2333331(1)1232nk n n kn =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑3.倒序相加法:类似于等差数列得前n 项与得公式得推导方法,如果一个数列{}n a 得前n 项中首末两端等“距离”得两项得与相等或等于同一个常数,那么求这个数列得前n 项与即可用倒序相加法,如等差数列得前n 项与公式即就是用此法推导得.4.错位相减法:如果一个数列得各项就是由一个等差数列与一个等比数列得对应项之积构成得,那么这个数列得前n 项与即可用此法来求,如等比数列得前n 项与公式就就是用此法推导得.若n n n a b c =•,其中{}n b 就是等差数列,{}n c 就是公比为q 等比数列,令 112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++,则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++两式错位相减并整理即得、5.裂项相消法:把数列得通项拆成两项之差,即数列得每一项都可按此法拆成两项之差,在求与时一些正负项相互抵消,于就是前n 项得与变成首尾若干少数项之与,这一求与方法称为裂项相消法、适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 就是各项不为零得等差数列,c 为常数)得数列、部分无理数列等、用裂项相消法求与,需要掌握一些常见得裂项方法(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭,特别地当1k =时,()11111n n n n =-++;(2)()1n k n kn k n =+-++,特别地当1k =时,11n n n n=+-++;(3)()()221111212122121n n a n n n n ⎛⎫==+- ⎪-+-+⎝⎭(4)()()()()()1111122112n a n n n n n n n ⎛⎫==- ⎪ ⎪+++++⎝⎭(5))()11(11q p q p p q pq <--= 6.分组转化求与法:有一类数列{}n n a b +,它既不就是等差数列,也不就是等比数列,但就是数列{},{}n n a b 就是等差数列或等比数列或常见特殊数列,则可以将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比数列或常见得特殊数列,然后分别求与,再将其合并即可、7.并项求与法:一个数列得前n 项与中,可两两结合求解,则称之为并项求与.形如()()1nn a f n =-类型,可采用两项合并求解.例如,22222210099989721n S =-+-++-()()()100999897215050=++++++=、、 [易错提示] 利用裂项相消法解决数列求与问题,容易出现得错误有两个方面:(1)裂项过程中易忽视常数,如)211(21)2(1+-=+n n n n 容易误裂为112n n -+,漏掉前面得系数12;(2)裂项之后相消得过程中容易出现丢项或添项得问题,导致计算结果错误.应用错位相减法求与时需注意:①给数列与S n 得等式两边所乘得常数应不为零,否则需讨论; ②在转化为等比数列得与后,求其与时需瞧准项数,不一定为n 、 主要方法:1.求数列得与注意方法得选取:关键就是瞧数列得通项公式;2.求与过程中注意分类讨论思想得运用;3.转化思想得运用;分组转化法求与得常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ,且{b n },{c n }为等差或等比数列,可采用分组求与法求{a n }得前n 项与.(2)通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧b nn 为奇数c nn 为偶数得数列,其中数列{b n},{c n}就是等比数列或等差数列,可采用分组求与法求与.利例1、【2016北京文15】已知{}n a 就是等差数列,{}n b 就是等比数列,且23b =,39b =,11a b =,144a b =、(1)求{}n a 得通项公式;(2)设n n n c a b =+ ,求数列{}n c 得前n 项与、【答案】(1)()211,2,3,n a n n =-=⋅⋅⋅;(2)2312n n -+、(2)由(1)知,21n a n =-,13n n b -=、因此1213n n n n c a b n -=+=-+、从而数列{}n c 得前n 项与()113521133n n S n -=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=()12113213n n n +--+=-2312n n -+、已知数列{a n }得前n 项与S n ＝n 2＋n 2,n ∈N *、(1)求数列{a n }得通项公式;(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ,求数列{b n }得前2n 项与. 解:(1)当n ＝1时,a 1＝S 1＝1;当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n ,故数列{a n }得通项公式为a n ＝n 、(2)由(1)知a n ＝n ,故b n ＝2n ＋(－1)n n ,记数列{b n }得前2n 项与为T 2n , 则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n ). 记A ＝21＋22＋…＋22n ,B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n , 则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2,B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n , 故数列{b n }得前2n 项与T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2、,练习.求与:①个n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1(n n n xx x x x x S ++++++= 思路分析:通过分组,直接用公式求与。