球面覆盖问题

基于贪心算法的离散单位圆盘覆盖问题研究
离散单位圆盘覆盖问题是指给定一个平面上的离散点集，要求用最少数量的单位圆盘将所有的点都覆盖到。

基于贪心算法的离散单位圆盘覆盖问题研究主要包括以下几个方面：
1. 算法思路：贪心算法是一种通过每一步的局部最优选择来达到全局最优的算法。

在离散单位圆盘覆盖问题中，贪心算法的思路是从给定的点集中选择一个点作为圆心，然后选取与该点最近的其他点进行覆盖，再从剩下的未覆盖点中选择一个点作为圆心，重复上述步骤，直到所有点都被覆盖到。

2. 算法步骤：具体实现贪心算法的离散单位圆盘覆盖问题可以按照以下步骤进行：
- 选择一个未被覆盖的点作为圆心；
- 将与该点的距离小于等于1的其他未被覆盖的点标记为已覆盖；
- 继续选择一个未被覆盖的点作为圆心，并重复上述步骤，直到所有点都被覆盖到。

3. 算法分析：贪心算法的离散单位圆盘覆盖问题的时间复杂度取决于选择圆心和标记已覆盖点的过程。

在最坏情况下，对于每个点，都需要遍历所有未覆盖点进行距离计算，总时间复杂度为O(n^2)，其中n为点集的大小。

4. 算法优化：为了提高算法效率，可以通过一些优化策略来减
少计算量，如选择距离最远的点作为圆心，从而减少遍历的点的数量。

总结起来，基于贪心算法的离散单位圆盘覆盖问题主要是通过不断选择离当前圆心最近的点来实现最优解。

然而，贪心策略并不一定能够得到全局最优解，因此在具体问题中，需要根据实际情况来进行算法设计和优化。

棋盘中的覆盖问题—每天10分钟，奥数一点通棋盘中的覆盖问题——每天10分钟，奥数一点通范范数学 2017-06-30 11:51今天，我们就简单介绍关于棋盘中的覆盖问题。

用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。

实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。

棋盘的覆盖问题可以分为两类：一是能不能覆盖的问题，二是有多少种不同的覆盖方法问题。

例题与方法指导例1.要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个下图所示的图形？思路导航：因为图形由3个小方格构成，所以要拼成的正方形内所含的小方格数应是3的倍数，从而正方形的边长应是3的倍数。

经试验，不可能拼成边长为3的正方形。

所以拼成的正方形的边长最少是6（见上图），需要用题目所示的图形36÷3= 12（个）。

思路导航：在五年级学习“奇偶性”时已经讲过类似问题。

左上图共有34个小方格，17个1×2的卡片也有34个小方格，好象能覆盖住。

我们将左上图黑白相间染色，得到右上图。

细心观察会发现，右上图中黑格有16个，白格有18个，而1×2的卡片每次只能盖住一个黑格与一个白格，所以17个1×2的卡片应当盖住黑、白格各17个，不可能盖住左上图。

例3.下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。

现在要用这些图形拼成一个4×7的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多可以用上几种不同的图形？思路导航：先从简单的情形开始考虑。

显然，只用1种图形是可以的，例如用7个（7）；用2种图形也没问题，例如用1个（7），6个（1）。

经试验，用6种图形也可以拼成4×7的长方形（见下图）。

能否将7种图形都用上呢？7个图形共有4×7=28（个）小方格，从小方格的数量看，如果每种图形用1个，那么有可能拼成4×7的长方形。

但事实上却拼不成。

为了说明，我们将4×7的长方形黑、白相间染色（见右图），图中黑、白格各有14个。

染色问题和覆盖问题第一部分。

染色问题例1.已知(2)n n >条直线把平面划分成为若干块，其中的一些区域被染上颜色，使得任何两个染色的区域都没有公共边界，求证：染色区域的数目不超过2.3n n + 解答：不妨假定这些直线有相交直线。

设有k 条边的染色区域的数目为(1,2,...,)k m k n =。

注意到2m 就是有两条边的区域，两个射线形成的角域。

至多有2n 个线段。

因为每一段（线段或射线）至多是一个染色区域的边界，所以 22323...n m m nm n +++≤。

因为一条直线上只有两段的射线部分才可能是有两条边的染色区域，所以2m n ≤。

22322323 (333)n n m m nm m n n m m m +++++++≤+≤。

注意：这里有个很关键的不等式2m n ≤需要说明一下。

设12,,...,n L L L 是平面上直线束，那么每一个直线上至多有两个被染色（如题目中定义的染色）的角域；同时每一个被染色的角域值只占有两个直线。

设12,,...,m ΩΩΩ是m 个被染色的角域。

如果某个直线i L 上被染色的角域少于两个，那么根据数学归纳法假设可以直接证明2m n ≤。

否则的话，每一个直线上面恰好有两个被染色的角域。

这样可以得到一个2-正则的二部图()1212,,,{,,...,},{,,...,}.(,)n m i j i j G X Y E X L L L Y L E L ===ΩΩΩΩ∈⇔Ω是的边界这个二部图一定有1-因子。

从而也有2m n ≤成立。

例2. 平面上给定了)2(≥n n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点。

它们将平面划分成为若干个小区域。

试在每一个区域内部填写一个绝对值不大于n 的非负整数，使得任何一条直线的同一侧所有区域中各数之和为零。

解：一个为人们关心的问题是：这个题目是怎样产生的？那个出题人为什么出这个题？它的背景是什么？如果我们将这个问题放在球面上去，让所有的直线对应于一些大圆（从拓扑学的观点看，这是完全允许的），将每一个交点看成一个节点。

最大圆覆盖二维点集合问题(一)最大圆覆盖二维点集合问题及其相关问题问题描述最大圆覆盖二维点集合问题是指给定一个二维平面上的点集合，要求在这个点集合中找到一个圆，使得该圆包含尽可能多的点。

解决方法最大圆覆盖二维点集合问题可以通过以下方法求解： 1. 遍历所有可能的圆心和半径组合，计算每个圆能够覆盖的点数量，从中选取覆盖点最多的圆作为最大圆。

2. 使用分治法对点集合进行划分，递归地找到局部最大圆，并合并不同区域的最大圆。

相关问题1. 最小圆覆盖二维点集合问题最小圆覆盖二维点集合问题与最大圆覆盖问题相反，要求找到一个圆，使得该圆恰好覆盖所有的点，且半径最小。

2. 最近邻点对问题最近邻点对问题是指在一个点集合中，找到距离最近的两个点。

3. 最远点对问题最远点对问题是指在一个点集合中，找到距离最远的两个点。

4. 最小包围矩形问题最小包围矩形问题是指在一个点集合中，找到一个矩形，使得该矩形包含所有的点，且面积最小。

5. 最小凸包问题最小凸包问题是指在一个点集合中，找到一个凸多边形，使得该多边形包含所有的点，且面积最小。

6. 最大矩形覆盖问题最大矩形覆盖问题是指在一个点集合中，找到一个矩形，使得该矩形能够覆盖尽可能多的点。

7. 最大凸多边形覆盖问题最大凸多边形覆盖问题是指在一个点集合中，找到一个凸多边形，使得该多边形能够覆盖尽可能多的点。

8. 最大球覆盖问题最大球覆盖问题是指给定一个三维空间中的点集合，要求在这个点集合中找到一个球，使得该球包含尽可能多的点。

总结最大圆覆盖二维点集合问题是一个求解在二维平面上找到能够覆盖尽可能多点的圆的问题。

通过各种不同的问题变种，我们可以了解到几何中与点集合相关的一系列有趣问题。

这些问题不仅有理论意义，也在实际应用中有一定的价值。

河北科技师范学院本科毕业论文关于球面的有限覆盖问题的讨论院（系、部）名称：数学与信息科技学院专业名称：数学与应用数学目录摘要 (I)Abstract (II)1引言 (1)2对平面有限区域及球面的有限覆盖问题的计算 (1)2.1平面有限区域的有限圆形覆盖问题 (1)2.1.1正方形的有限圆形覆盖问题的计算 (1)2.1.2长方形的有限圆形覆盖问题的计算 (2)2.2球面的有限球冠覆盖问题的计算 (3)2.2.1正多面体的球冠面积和锥角 (3)3 系统访问控制设计与实现 (4)3.1 访问控制需求分析 (4)3.1.1 系统业务功能 (4)3.1.2 系统用户逻辑 (4)3.2 系统访问控制自适应框架 (5)3.2.1 许可和角色管理 (6)3.2.3 数据表关系 (7)3.2.2 审批流程的功能实现 (7)结论 (8)参考文献 (8)致谢 (10)附录Ⅰ足球吊门仿真程序 .................................................................. 错误！未定义书签。

附录Ⅱ数据表关系图 .......................................................................... 错误！未定义书签。

关于球面的有限覆盖问题的讨论摘要卫星在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的运行过程进行测控是非常重要的。

每一个测控站只能观测到一个有限的圆锥形空间区域，可以称该有限区域被覆盖。

而卫星可以被理想地认为在一个固定的圆上或一个固定的球面上运动。

因此要完成对卫星的全程跟踪的任务，必须联合多个测控站对该圆或该球面进行全覆盖，而各个测控站的测控范围是全等的。

所以本文通过中心投射的思想将正多面体的每个面投射到该圆或该球面会得到有限个相同的小球冠，从而实现用有限个相同的小球冠来覆盖大圆或空球面的目的。

基于此，研究了正多面体与球面的关系，计算了各种正多面体与对应球冠的相关数据，分析了正多面体所对应球冠的锥角，从而得出球面有限覆盖的结论。

顶点覆盖问题的近似算法顶点覆盖问题是计算机科学中一个重要的组合优化问题。

该问题的目标在于找到一个最小的点集，能够覆盖无向图中的所有边。

该问题是NP困难问题，因此在多项式时间内无法得到最优解。

但是，我们可以使用近似算法来求解顶点覆盖问题。

近似算法是一种能够在多项式时间内求解最优解的算法，但其结果不一定是最优的。

顶点覆盖问题的近似算法可以分为两种：贪心近似算法和线性规划近似算法。

贪心近似算法是一种简单的算法，其思想在于每次选择能够覆盖尽可能多的未覆盖边的结点，直到所有的边都被覆盖。

具体实现方法为，从图中任意选择一条边，将其两个端点标记为已覆盖，然后删去这条边及其关联的所有边。

重复这个过程直到所有的边被覆盖。

这个算法的近似比为2，即其结果的规模不超过最优解的两倍。

线性规划近似算法是一种更加复杂的算法，其思想在于将顶点覆盖问题转化为一个线性规划问题，然后求解出一个最优的线性规划解。

具体实现方法为，将每个结点看作一个0-1变量，表示该结点是否被选择。

然后，将每个边看作一个约束条件，要求其两个端点至少有一个被选择。

最后，将目标函数设置为所有结点被选择时的代价。

对于求解出的线性规划解，可以将小于等于0的变量设置为0，大于等于1的变量设置为1，从而得到一个整数解。

该算法的近似比为1.44。

在实际应用中，选择何种近似算法取决于具体问题的规模和要求。

如果需要更加快速地得到一个准确度较低但规模较小的结果，则可以选择贪心近似算法。

如果需要更高的准确度，可以选择线性规划近似算法。

无论使用哪种近似算法，都需要进行正确性分析和性能评估，以确保得到的结果是可靠的。

专题复习二 图形覆盖问题一、扇形覆盖例1. 如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC.那么剪下的扇形ABC （阴影部分）的面积为 ；用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r= .二、单圆覆盖例2. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆．（1）请分别作出下图中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹， 不写作法）；（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）．（3）某地有四个村庄E 、F 、G 、H （其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由。

GF （图2）练习：如图1，Rt △ABC 两直角边的边长为AC ＝1，BC ＝2．（1）如图2，⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ，与边CB 相切于点Y ．请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心O ；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P 是这个Rt △ABC 上和其内部的动点,以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切．设⊙P 的面积为s ，你认为能否确定s 的最大值？若能，请你求出s 的最大值;若不能,请你说明不能确定s 的最大值的理由．三、多圆覆盖例3．一种电讯信号转发装置的发射直径为31km ．现要求：在一边长为30km 的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图1中画出安装点的示意图，并用大写字母M 、N 、P 、Q 表示安装点；（2）能否找到这样的3个安装点，使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图2中画出示意图说明，并用大写字母M 、N 、P 表示安装点，用计算、推理和文字来说明你的理由．练1：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖。

最小圆覆盖算法最小圆覆盖算法是一种用于求解一组点集的最小封闭圆的算法。

该算法的目标是找到一个圆，使得该圆的直径最小，并且包含所有的点。

在实际问题中，最小圆覆盖算法有着广泛的应用。

例如，在计算几何中，最小圆覆盖算法可以用于解决最近点对问题，即找到一组点集中距离最近的两个点。

此外，最小圆覆盖算法还可以应用于图形处理、数据挖掘等领域。

最小圆覆盖算法的基本思想是通过不断地将点添加到圆中，来逐步扩大圆的半径，直至覆盖所有的点。

具体实现时，可以采用贪心策略，即每次选择离当前圆最远的点，并将其添加到圆中。

这样，不断地更新圆的半径和圆心，直到所有的点都被覆盖。

下面，我们来详细介绍最小圆覆盖算法的具体步骤。

步骤一：初始化圆选择任意一个点作为初始圆心，并将其添加到圆中。

然后，选择离该点最远的点，并将其添加到圆中。

此时，圆的半径就是这两个点之间的距离的一半，圆心位于这两个点的中点。

步骤二：添加点到圆中接下来，对于剩余的点，依次计算它们到圆心的距离。

选择距离最远的点，并将其添加到圆中。

如果该点已经在圆内，则跳过该点。

否则，更新圆的半径和圆心。

步骤三：终止条件重复步骤二，直到所有的点都被覆盖。

如果此时圆已经包含了所有的点，则算法终止；否则，返回步骤一。

通过以上步骤，最小圆覆盖算法能够找到一个直径最小的圆，并且该圆能够覆盖所有的点。

最小圆覆盖算法的时间复杂度为O(n)，其中n为点的个数。

这是因为算法需要对每个点进行一次距离计算，并且每个点最多被添加到圆中一次。

最小圆覆盖算法的应用非常广泛。

例如，在计算几何中，最小圆覆盖算法可以用于求解最近点对问题。

该问题的目标是在一组点中找到距离最近的两个点。

通过最小圆覆盖算法，我们可以找到一个包含这两个点的最小圆，从而得到最近点对的距离。

最小圆覆盖算法还可以应用于图形处理中。

例如，在图像处理中，最小圆覆盖算法可以用于求解图像中的最小包围圆，从而实现图像的裁剪和缩放。

总结起来，最小圆覆盖算法是一种用于求解一组点集的最小封闭圆的算法。

数学竞赛讲座之覆盖问题一个半径为1的单位圆显然是可以盖住一个半径为的圆的．反过来则不然，一个半径为的圆无法盖住单位圆．那么两个半径为的圆能否盖住呢？不妨动手实验一下，不行．为什么不行？需几个这样的小圆方能盖住大圆？……，这里我们讨论的就是覆盖问题，它是我们经常遇到的一类有趣而又困难的问题．定义设Ｇ和Ｆ是两个平面图形．如果图形Ｆ或由图形Ｆ经过有限次的平移、旋转、对称等变换扣得到的大小形状不变的图形Ｆ′上的每一点都在图形Ｇ上．我们就说图形Ｇ覆盖图形Ｆ；反之，如果图形Ｆ或Ｆ′上至少存在一点不在Ｇ上，我们就说图形Ｇ不能覆盖图形Ｆ．关于图形覆盖，下述性质是十分明显的：（１）图形Ｇ覆盖自身；（２）图形Ｇ覆盖图形Ｅ，图形Ｅ覆盖图形Ｆ，则图形Ｇ覆盖图形Ｆ．１．最简单情形――用一个圆覆盖一个图形．首先根据覆盖和圆的定义及性质即可得到：定理１如果能在图形Ｆ所在平面上找到一点Ｏ，使得图形Ｆ中的每一点与Ｏ的距离都不大于定长ｒ，则Ｆ可被一半径为ｒ的圆所覆盖．定理２对于二定点Ａ、Ｂ及定角α若图形Ｆ中的每点都在ＡＢ同侧，且对Ａ、Ｂ视角不小于α，则图形Ｆ被以ＡＢ为弦，对ＡＢ视角等于α的弓形Ｇ所覆盖．在用圆去覆盖图形的有关问题的研究中，上述二定理应用十分广泛．例１求证：（１）周长为２ｌ的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．（２）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是２ｌ，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．分析（１）关键在于圆心位置，考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．（２）＂曲＂化＂直＂．对比（１），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．证明（１）如图４５－１，设ＡＢＣＤ的周长为２ｌ，ＢＤ≤ＡＣ，ＡＣ、ＢＤ交于Ｏ，Ｐ为周界上任意一点，不妨设在ＡＢ上，则∠１≤∠２≤∠３，有ＯＰ≤ＯＡ．又ＡＣ＜ＡＢ＋ＢＣ＝ｌ，故ＯＡ＜．因此周长为２ｌ的平行四边形ＡＢＣＤ可被以Ｏ为圆心；半径为的圆所覆盖，命题得证．（2）如图45-2,在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l.又设RQ中点为G，M为线圈耻任意一点，连MR、MQ，则因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．例２△ABC的最大边长是ａ，则这个三角形可被一半径为的圆所覆盖．分析ａ为最大边，所对角A满足６０°≤A＜１８０°．证明不妨设BC＝ａ，以BC为弦，在A点所在一侧作含60°角的弓形弧（图４５－３）．因６０°≤A≤180°，故根据定理２，△ABC可被该弓形所覆盖．由正弦定理，弓形相应半径ｒ＝，所以△ABC可被半径为的圆所覆盖．显然覆盖△ABC的圆有无穷多个，那么半径为的圆是否是最小的覆盖圆呢？事实并不尽然．例３△ＡＢＣ的最大边BC等于ａ，试求出覆盖△ABC的最小圆．解分三种情形进行讨论：（１）∠Ａ为钝角，以ＢＣ为直径作圆即可覆盖△ＡBC．（２）∠Ａ是直角，同样以ＢＣ为直径作圆即可覆盖△ABC；（３）∠Ａ是锐角．假若⊙O覆盖△ABC，我们可在⊙O内平移△ABC，使一个顶点B 落到圆周上，再经过适当旋转，使另一个顶点落在圆周上，此时第三个顶点A在⊙O内或其圆周上，设BC所对圆周角为α，那么∠BAC≥α，设⊙O直径ｄ，△ABC外接圆直径ｄ０，那么所以对于锐角三角形ABC，最小覆盖圆是它的外接圆．今后我们称覆盖图形F的圆中最小的一个为F的最小覆盖圆．最小覆盖圆的半径叫做图形F的覆盖半径．综合例２、例３，即知△ABC中，若ａ为最大边，则△ABC的覆盖半径ｒ满足２．一个图形Ｆ能否被覆盖，与图形中任意两点间的距离最大值ｄ密切相关．以下我们称图形Ｆ中任意两点间的距离最大值ｄ为图形Ｆ的直径．我们继续研究多个圆覆盖一个图形问题．定义对于图形Ｇ１，Ｇ２，…，Ｇｎ，若图形Ｆ中的每一点都被这组图形中的某个所覆盖，则称这几个图形覆盖图形Ｆ．图形Ｇ１，Ｇ２，…，Ｇｎ为ｎ个圆是一特殊情形．例４以ＡＢＣＤ的边为直径向平行四边形内作四个半圆，证明这四个半圆一定覆盖整个平行四边形．分析１ＡＢＣＤ的每一点至少被某个半圆所盖住．证明１用反证法．如图４５－４设存在一点Ｐ在以ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ为直径的圆外，根据定理二，∠ＡＰＢ，∠ＢＰＣ，∠ＣＰＤ∠ＤＰＡ均小于９０°，从而∠ＡＰＢ＋∠ＢＰＣ＋∠ＣＰＤ＋∠ＤＰＡ＜３６０°．与四角和应为周角相矛盾．故Ｐ应被其中一半圆盖住，即所作四个半圆覆盖ＡＢＣＤ．分析２划片包干，如图４５－５，将ＡＢＣＤ分为若干部分，使每一部分分别都被上述四个半圆所覆盖．证明２在ＡＢＣＤ中，如图４５－５，设ＡＣ≥ＢＤ．分别过Ｂ、Ｄ引垂线ＢＥ、ＤＦ垂直ＡＣ，交ＡＣ于Ｅ、Ｆ，将ＡＢＣＤ分成四个直角三角形，△ＡＢＥ、△ＢＣＥ、△ＣＤＦ、△ＤＡＦ．每一个直角三角形恰好被一半圆所覆盖，从而整个四边形被四个半圆所覆盖．上述结论可推广到任意四边形，留给读者考虑．例５求证：一个直径为１的圆不能被两个直径小于１的圆所覆盖．证明如图４５－６，先考虑其中一个小圆即⊙Ｏ１去覆盖大圆Ｏ，连Ｏ１、Ｏ过Ｏ作ＡＢ⊥Ｏ１Ｏ，ＡＢ为⊙Ｏ的直径（若Ｏ１、Ｏ重合，那么ＡＢ为任意直径）此时故Ａ、Ｂ两点都不能被⊙Ｏ１盖住．至于另一小圆⊙Ｏ２无疑不能同时盖住Ａ、Ｂ两点，故⊙Ｏ１、⊙Ｏ２不能覆盖⊙Ｏ．事实上，我们还可以从另一角度给予证明．那就是一个小圆无法覆盖半个大圆，因此两个小圆也就不可能覆盖住整个大圆了．现在，我们着手研究本文一开始就提出的问题．例６给定一个半径为１的圆，若用半径为的圆去覆盖它，问至少要几个才能盖住．问题需要我们在二个方面给予回答：一是所确定数目的小圆足以覆盖大圆；二是少于确定的数目，则全部小圆不能覆盖大圆．对于不能覆盖的推断，以下两个原则是常用的：原则１若图形Ｆ的面积大于图形Ｇ的面积，则图形Ｇ不能覆盖图形Ｆ．原则２直径为ｄ的图形Ｆ不能被直径小于ｄ的图形Ｇ所覆盖．两原则十分显然，不再证明．四个半径为的小圆面积和为π，恰等于大圆面积，而四小圆间若不重迭，则覆盖其它图形时，还须排除中间所夹的不属于四圆的部分，换句话说，四小圆所覆盖大圆部分面积必小于大圆自身面积，根据法则１，不可能覆盖大圆，少于四个小圆更不可能．若有五个小圆，我们改变角度考虑，可将大圆周分为六等分．因小圆直径为１，五个小圆无法盖住大圆周，而六个圆周恰好盖住．还需考虑大圆圆心没有被盖住，再添加一个小圆，符合要求！这说明：至少七个以为半径的小圆方能覆覆盖半径为1的一个大圆.事实上这样的六个小圆若盖住大圆周，则大圆心不能被覆盖．若其中一小圆盖住大圆圆心，那么该圆又至多盖住大圆周上一点也就是六个小圆无法覆盖大圆，而我们作大圆的内接正六边形，分别将小圆圆心与各边中点重合，再将第七个小圆圆心与大圆圆心重合即可盖住大圆，如图４５－７，以下给出证明：对于正△ＯＡＢ，设ＯＡ、ＯＢ中点Ａ１、Ｂ１，那么∠ＡＡ１Ｂ＝∠ＡＢ１Ｂ＝９０°，故四边形ＡＡ１Ｂ１Ｂ被以ＡＢ为直径的圆覆盖．另外，△ＯＡ１Ｂ１被小圆⊙Ｏ所覆盖．类似地可推得七个小圆覆盖整个大圆．３．直线形图形覆盖别的图形的问题解决直线形图形覆盖别的图形的问题，常须较高的智巧，一般的处理方法是通过构造过渡图形，逐步调整，最终获得问题的解决．例７证明直径为１的图形Ｆ可被单位正方形覆盖．分析先后用互相垂直的两对平行线将图形夹在中间，再向内收缩．证明取位于水平方向和铅直方向的两对平行直线将图形Ｆ夹在中间，再将位于下方的直线ｌ２向上平移，直至遇到图形Ｆ上点为止，中图４５－８中ｌ２′处．接着又将ｌ１向下平移至与ｌ２′相距为１的ｌ１′处止．因图形Ｆ直径为１．故图形Ｆ仍被二直线ｌ１′，ｌ２′所夹．同样采用先左后右的顺序，将沿直线ｍ１、ｍ２平移至ｍ１′、ｍ２′处，ｍ１′、ｍ２′相距为１，而图形Ｆ依然夹在直线ｍ１′，ｍ２′中间，从而直线ｌ１′、ｌ２′、ｍ１′、ｍ２′所围成单位正方形即可覆盖图形Ｆ．运用上述方法，我们可进一步解决以下问题：例８直径为１的图形Ｆ可被一个边长为的正三角形覆盖，试证明之．证明作三对相距为１的平行直线ｍ１、ｍ２、ｎ１、ｎ２，ｌ１、ｌ２，相交直线所成角为６０°，围成可覆盖图形Ｆ的六边形及正△Ａ１Ｂ１Ｃ１，正△Ａ２Ｂ２Ｃ２（具体作法可参照例７）．如图４５－９．设Ｐ为Ｆ中任意一点，它到六边形各边距离依次为ｘ、ａ、ｙ、ｂ、ｚ、ｃ．又设正△Ａ１Ｂ１Ｃ１的高为ｈ１，正△Ａ2Ｂ２Ｃ２的高为ｈ２．因正三角形内一点到三边距离和等于正三角形的高，得ａ＋ｂ＋ｃ＝ｈ１，ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｈ２．相加,得（ｘ＋ｂ）＋（ｙ＋ｃ）＋（ｚ＋ａ）＝ｈ１＋ｈ２，又ｘ＋ｂ＝１，ｙ＋ｃ＝１，ｚ＋ａ＝１，∴ｈ１＋ｈ２＝３．根据抽屉原则,ｈ１、ｈ２中有一不大于,不妨设,即正△A１B１C１的高不大于,那么它的边长因此图形Ｆ可被边长不大于的正三角形即正△Ａ1Ｂ１Ｃ１所覆盖.4.图形的嵌入是覆盖问题的一种重要变化形式所谓图形Ｆ能嵌入图形Ｇ,其本质就是图形Ｇ能覆盖图形F.例9试证面积为S、周长为P的四边形一定可嵌入一个半径为的圆.分析四边形内存在到各边距离不小于的点.证明如图45-10,设四边形ABCD面积为Ｓ,周长为Ｐ.各边长分别为ａ1、ａ２、ａ３、ａ４.现以ａ１、ａ２、ａ３、ａ４为长,为宽,向四边形内侧作矩形,则这些矩形总面积是即四个矩形面积总和等于四边形面积.由于这四个矩形有重迭部分,所以四边形内部存在点O没有被矩形覆盖,那么以点O为圆心,为半径的圆可嵌入四边形ABCD中.例10 在一个半径等于18的圆中已嵌入16个半径为3的圆.证明在余下的部分中还能嵌入9个半径为1的圆.证明首先证明大圆中还能嵌入1个半径为1的小圆.先将大圆的半径收缩为17,而将半径为3的圆膨胀成半径为4的圆,此时大圆面积变为π×172＝289π.16个半径为4的圆的面积是π×42×16=256π.289π-256π=33π.这说明大圆中嵌入16个半径为3的圆外,还能嵌入半径为1的一个小圆,如图45-11所示.再将大圆的半径收缩为17,半径为3的圆的半径膨胀为4,半径为1的圆膨胀为2,由于289π-256π-4π=29π,所以大圆中除嵌入16个半径为3的圆外,还能嵌入两个半径为1的圆.依此类推,由于289π-256π-4π×8=π＞0,故大圆还可嵌入九个半径为1的小圆.将图形收缩、膨胀是解嵌入问题一种重要方法.。

小圆覆盖大圆数学建模
问题描述：
我们需要对小圆覆盖大圆的问题进行数学建模。

假设我们有一个半径
为R的大圆和一个半径为r的小圆，小圆的中心必须位于大圆的内部。

我们的目标是确定小圆的最大数量，使得这些小圆能够覆盖大圆的整
个表面。

数学建模：
我们可以将这个问题转化为一个离散优化问题，即在大圆内部放置最
多的小圆。

我们需要找到最佳的放置方案，使得小圆与大圆之间的距
离尽可能接近小圆半径的二倍。

设小圆的数量为N，小圆的半径为r，则每个小圆的圆心到大圆
圆心的距离为d，满足d ≤ R-r。

考虑到小圆之间不能相互重叠，我
们可以通过计算小圆的最大密度来确定最佳的放置方案。

最大密度可以定义为小圆的总面积与大圆的表面积的比值，即：
密度= N * π * (r^2) / (π * (R^2)) = N * (r^2) / (R^2)将条件d ≤ R-r带入上式，我们得到：
密度≤ (R-r)^2 / (R^2)
为了使得小圆的密度最大化，我们可以通过枚举小圆的数量N，
并计算对应的密度。

然后选择最大的密度对应的小圆数量N作为最佳
方案。

总结：
通过以上的数学建模，我们可以确定在给定的大圆半径R和小圆半径r 下，最佳放置小圆的方案。

具体步骤包括计算根据最大密度条件枚举
小圆数量N，并选择最大密度对应的小圆数量N。