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实验8 非线形方程和常微分方程的解法

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实验8 非线性方程和常微分方程的解法一、实验目的求解非线性方程和常微分方程.二、实验内容与要求1. 非线性方程的数值解（1）最小二乘法格式：fsolve(‘fun’, x0)%求方程fun=0在估计值x0附近的近似解.【例】求方程x－e－x=0的解.>>x1=fsolve(fc,0)x1=0.5671f(x)=5x2sin x－e-x图像问题：求解方程5x2sin x－e-x=0，观察知有多解，如何求之？先用命令fplot(‘[5*x^2*sin(x)－exp(－x),0]’,[0,10])）作图 1.13，注意，[5*x^2*sin(x)－exp(－x),0]中的“[…，0]”是作y=0直线，即x轴. 方程在[0,10]区间从图中可看出有4个解，分别在0，3，6，9附近，所以用命令：>> fun=inline('5*x.^2.*sin(x)-exp(-x)')；>> fsolve(fun,[0,3,6,9],1e-6)基于MA TLAB的数学实验48得出结果：ans =0.5018 3.1407 6.2832 9.4248【例】求解方程组x－0.7sin x－0.2cos y=0y－0.7cos x+0.2sin y=0先编制函数文件fu.m：function y=fu(x)y(1)=x(1)-0.7*sin(x(1))-0.2*cos(x(2));y(2)=x(2)-0.7*cos(x(1))+0.2*sin(x(2));y=[y(1), y(2)];在命令窗口调用fu运算：>> x1=fsolve('fu',[0.5,0.5])x1=0.5265 0.5079（2）零点法格式：fzero(‘fun’, x0)%求函数fun在x0附近的零点.说明：估计值x0若为标量时，则在x0附近查找零点，x0=[x1, x2]向量时，则首先要求函数值fun(x1) fun(x2)<0，然后将严格在[x1, x2]区间内寻找零点，若找不到，系统将给出提示.第一章MA TLAB软件操作实验49 【例1.74】求函数f (x)=sin x2/x+x e x－4的零点.>>fn=inline('sin(x^2)/x+x*exp(x)-4');>>x=fzero(fn,[1,2])%这里的fn不要加单引号x =1.0748注意：1.方程解的估计值x0可用fplot作图看出；2.用function建立函数文件fn，求解调用时fn两边要加单引号，而用inline时fn两边不要加单引号；3.这两种方法也可解线性方程组.2. 代数方程的符号解格式：g = solve(eq)%求解方程eq=0，输入参量eq可是符号表达式或字符串表达式.g = solve(eq,var) %对eq中指定的变量var求解方程eq(var)=0.g = solve(eq1,eq2,…,eqn) %求解方程组eq1=0,eq2=0,…,eqn=0.【例】>>solve('a*x^2 + b*x + c')>>solve('a*x^2 + b*x + c','b')>>[x,y]=solve('x + y = 1','x - 11*y = 5')>>[a,u,v] = solve('a*u^2 + v^2', 'u - v = 1', 'a^2 - 5*a +6')基于MA TLAB的数学实验50计算结果为：ans =[ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))][ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]ans =-(a*x^2+c)/xx =4/3y =-1/3a =[ 2][ 2][ 3][ 3]u =[ 1/3+1/3*i*2^(1/2)][ 1/3-1/3*i*2^(1/2)][ 1/4+1/4*i*3^(1/2)]第一章MA TLAB软件操作实验51 [ 1/4-1/4*i*3^(1/2)]v =[ -2/3+1/3*i*2^(1/2)][ -2/3-1/3*i*2^(1/2)][ -3/4+1/4*i*3^(1/2)][ -3/4-1/4*i*3^(1/2)]注意：对于单个的方程或方程组，若不存在符号解，则返回方程（组）的数值解.问题：用符号法求解问题1.28中的方程，结果不对，所以要验根，多用几种方法相互验证. 用符号法解方程3x2－e x=0，解的表达式不易懂，怎么办？>>x=solve（'3*x^2－exp（x）'）x =[ -2*lambertw(-1/6*3^(1/2))][ -2*lambertw(-1,-1/6*3^(1/2))][ -2*lambertw(1/6*3^(1/2))]再用命令：>>vpa(x,3)ans =[ .912][ 3.72]基于MA TLAB的数学实验52[ -.460]3. 常微分方程数值解法（ordinary differential equation）格式：[T,Y ] = solver(odefun,tspan,y0) %在区间tspan=[t0,tf]上，用初始条件y0求解显式微分方程y'=f(t,y).说明：1.solver为命令ode45，ode23，… 之一.2.odefun为显式常微分方程y'=f(t,y).3.tspan积分区间（即求解区间）的向量tspan=[t0,t f ]. 要获得问题在其他指定时间点t0,t1,t2,…上的解，则令tspan=[t0,t1,t2,…,t f ]（要求是单调的）.4.y0包含初始条件的向量.求解具体ODE的基本过程如下所示.1. 用微分方程与初始条件描述所给问题.F(y,y',y",…,y(n),t) = 0y(0)=y0，y'(0)=y1，…，y(n－1)(0)=y n－1而y=[y;y(1);y(2);…；y(m－1)]，n与m可以不等.2．运用数学中的变量替换：y n=y(n－1)，y n－1=y(n－2)，…，y2=y'，y1=y，把高阶（2阶及以上）的方程（组）写成一阶微分方程组：第一章 MA TLAB 软件操作实验 531122(,)(,)(,)nn f t Y y f t Y y Y f t Y y '⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，102101(0)(0)(0)n n y y y y Y y y -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 3． 根据1与2的结果，编写能计算导数的M 函数文件odefile.4． 将文件odefile 与初始条件传递给求解器Solver 中的一个，运行后就可得到解列向量y因为没有一种算法可以有效地解决所有的ODE 问题，为此，MATLAB 提供了多种求解器Solver ，对于不同的ODE 问题，采用不同的Solver ，具体如表1.11所示.表1.11 不同求解器Solver 的特点基于MA TLAB的数学实验54【例】求解微分方程y'=－2y+2x2+2x，0≤x≤0.5，y(0)=1.>> fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y');>> [x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1);>> x'ans =Columns 1 through 70 0.0400 0.0900 0.1400 0.1900 0.2400 0.2900Columns 8 through 120.3400 0.3900 0.4400 0.4900 0.5000>> y'ans =Columns 1 through 71.0000 0.9247 0.8434 0.7754 0.7199 0.6764 0.6440Columns 8 through 120.6222 0.6105 0.6084 0.6154 0.6179第一章 MA TLAB 软件操作实验 55图形结果如图1.14所示.图1.14 例1.76图形结果 图1.15 例1.77图形结果【例】 求解描述振荡器的经典的Ver der Pol 微分方程222d d (1)0d d y yy y t t μ--+=，y (0)=1，y '(0)=0.分析：令x 1=y ，x 2=d y /d t ，μ=7，则：d x 1/d t = x 2d x 2/d t = 7(1－x 1^2)x 2－x 1 编写函数文件vdp.m ： function fy = vdp(t,x)fy = [x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)]; 再在命令窗口中执行： >>Y0=[1;0];>>[t,x] = ode45(‘v dp ’,[0,40],Y0);10.95 0.90.85 0.8 0.750.70.650.60 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.51510 5 0 -5 -10 -155 10 15 20 25 30 3540基于MA TLAB 的数学实验56 >>y=x(:,1);dy=x(:,2); >>plot(t,y,t,dy) 图形结果如图1.15所示.4. 常微分方程的符号解格式：r = dsolve(‘eq1,eq2,…’,‘cond1,cond2,…’,‘v ’).说明：1.对给定的常微分方程（组）eq 1，eq 2，…中指定的符号自变量v ，与给定的边界条件和初始条件cond 1，cond 2，…求符号解（即解析解）r ； 2.若没有指定变量v ，则缺省变量为t ；在微分方程（组）的表达式eq 中，D y =d y /d x ，D2y =d 2y /d x 2；3.初始和边界条件由字符串表示：y (a )=b ，D y (c )=d ，D2y (e )=f ，等等，分别表示b x y a x ==)(，d x y c x ='=)(，f x y e x ='=)(；4.若边界条件少于方程（组）的阶数，则返回的结果r 中会出现任意常数C 1，C 2. 【例】>>D1 = dsolve('D2y= Dy +exp(x)') >>D2 = dsolve('(Dy)^2 + y^2 = 1','s')>>D3 = dsolve('Dy = a*y', 'y(0) = b') % 带一个初始条件>>D4 = dsolve('D2y = -a^2*y', 'y(0) = 1', 'Dy(pi/a) = 0')% 带两个初始条件 >>[x,y] = dsolve('Dx = y', 'Dy = -x') % 求解线性微分方程组第一章MA TLAB软件操作实验57 计算结果为：D1 =-exp(x)*t+C1+C2*exp(t)D2 =[ -1][ 1][ sin(s-C1)][ -sin(s-C1)]D3 =b*exp(a*t)D4 =cos(a*t)x =cos(t)*C1+sin(t)*C2y =-sin(t)*C1+cos(t)*C2三、练习和思考①求解方程3x2－e x = 0基于MA TLAB的数学实验58②求解方程3x2－ln x = 10③求解方程5x4－sin2x = 0④求解微分方程y"－y'+2y = 5，y(0)=1，y'(0)=2.⑤求解微分方程的特解，并作出解函数曲线图.y"－2(1－y2) y' + y = 0，0≤x ≤30，y(0) =1，y'(0) = 0。

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常微分方程实验报告

常微分方程实验报告

常微分方程实验报告一、实验目的常微分方程是数学分析和实际应用中非常重要的一部分，本次实验的主要目的是通过实际操作和计算，深入理解常微分方程的概念、性质和求解方法，并能够将其应用到实际问题中，提高我们解决数学问题和实际应用问题的能力。

二、实验原理常微分方程是指含有一个自变量和一个未知函数及其导数的等式。

求解常微分方程的方法有很多，常见的有变量分离法、一阶线性方程的求解方法（如常数变易法）、恰当方程的求解方法（通过积分因子）等。

对于一阶常微分方程，形如＼（y' ＋ p(x)y ＝ q(x)＼）的方程，可以使用积分因子＼（e^｛＼int p(x)dx}＼）来求解。

对于可分离变量的方程，形如＼（g(y)dy ＝ f(x)dx\），可以通过分别积分求解。

三、实验内容（一）一阶常微分方程的求解1、求解方程＼（y' ＋ 2xy ＝ 2x\）首先，计算积分因子＼（e^｛＼int 2xdx} ＝ e^｛x^2}＼），然后将方程两边乘以积分因子得到：＼（（ye^｛x^2}）＇＝ 2xe^｛x^2}＼）两边积分可得＼（ye^｛x^2} ＝ e^｛x^2} ＋ C\），解得＼（y ＝1 ＋ Ce^｛x^2}＼）2、求解方程＼（xy' y ＝ x^2\）将方程化为＼（y' ＼frac{y}｛x} ＝ x\），这里＼（p(x) ＝＼frac{1}｛x}＼），积分因子为＼（e^｛＼int ＼frac{1}｛x}dx} ＝＼frac{1}｛x}＼）。

方程两边乘以积分因子得到＼（（＼frac{y}｛x}）＇＝ 1\），积分可得＼（＼frac{y}｛x} ＝ x ＋ C\），即＼（y ＝ x^2 ＋ Cx\）（二）二阶常微分方程的求解1、求解方程＼（y'＇ 2y' ＋ y ＝ 0\）特征方程为＼（r^2 2r ＋ 1 ＝ 0\），解得＼（r ＝ 1\）（二重根），所以通解为＼（y ＝（C_1 ＋ C_2x)e^x\）2、求解方程＼（y'＇＋ 4y ＝ 0\）特征方程为＼（r^2 ＋ 4 ＝ 0\），解得＼（r ＝＼pm 2i\），所以通解为＼（y ＝ C_1\cos(2x) ＋ C_2\sin(2x)＼）（三）应用常微分方程解决实际问题1、考虑一个物体在受到与速度成正比的阻力作用下的运动，其运动方程为＼（m\frac{dv}｛dt} ＝ kv\）（其中＼（m\）为物体质量，＼（k\）为阻力系数），求解速度＼（v\）随时间＼（t\）的变化。

非线性方程的解法

非线性方程的解法

20世纪60年代中期以后，发展了两种求解非线性方程组(1)的新方法。

一种称为区间迭代法或称区间牛顿法，它用区间变量代替点变量进行区间迭代，每迭代一步都可判断在所给区间解的存在惟一性或者是无解。

这是区间迭代法的主要优点，其缺点是计算量大。

另一种方法称为不动点算法或称单纯形法，它对求解域进行单纯形剖分，对剖分的顶点给一种恰当标号，并用一种有规则的搜索方法找到全标号单纯形,从而得到方程(1)的近似解。

这种方法优点是，不要求f(□)的导数存在,也不用求逆，且具有大范围收敛性，缺点是计算量大编辑摘要目录• 1 正文• 2 牛顿法及其变形• 3 割线法• 4 布朗方法• 5 拟牛顿法•非线性方程组数值解法 - 正文n个变量n个方程(n >1)的方程组表示为(1)式中ƒi(x1,x2,…,x n)是定义在n维欧氏空间R n的开域D上的实函数。

若ƒi中至少有一个非线性函数，则称(1)为非线性方程组。

在R n中记ƒ＝则(1)简写为ƒ(尣)=0。

若存在尣*∈D，使ƒ(尣*)＝0，则称尣*为非线性方程组的解。

方程组(1)可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。

对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。

除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。

根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其中最著名的是牛顿法。

非线性方程组数值解法 - 牛顿法及其变形牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序：(2)式中是ƒ(尣k)的雅可比矩阵,尣0是方程(1)的解尣*的初始近似。

这个程序至少具有2阶收敛速度。

由尣k算到尣k+的步骤为:①由尣k算出ƒ(尣k)及;②用直接法求线性方程组的解Δ尣k；③求。

由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。

推导微分方程的常系数非齐次线性微分方程与二阶线性微分方程的解法与微分方程的应用的综合应用

推导微分方程的常系数非齐次线性微分方程与二阶线性微分方程的解法与微分方程的应用的综合应用

推导微分方程的常系数非齐次线性微分方程与二阶线性微分方程的解法与微分方程的应用的综合应用微分方程是数学中重要的研究对象，它在各个科学领域以及实际问题的建模与求解中发挥着重要作用。

本文将探讨推导微分方程的常系数非齐次线性微分方程与二阶线性微分方程的解法以及它们在实际问题中的应用。

一、常系数非齐次线性微分方程的推导与解法常系数非齐次线性微分方程的一般形式为：$$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y = r(x)$$其中$a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0$为常数，$y^{(n)}$表示$y$对$x$的$n$阶导数，$r(x)$为已知函数。

为了求解该微分方程，首先需要找到它的特解。

令$y^*=c_1y_1^*+c_2y_2^*+...+c_ny_n^*$为方程的一个特解，其中$y_1^*,y_2^*,...,y_n^*$为线性无关的函数，$c_1,c_2,...,c_n$为待定常数。

将$y^*$代入微分方程中，可得：$$a_n(y_1^*)^{(n)}+a_{n-1}(y_1^*)^{(n-1)}+...+a_1(y_1^*)'+a_0y_1^*+a_n(y_2^*)^{(n)}+a_{n-1}(y_2^*)^{(n-1)}+...+a_1(y_2^*)'+a_0y_2^*+...+a_n(y_n^*)^{(n)}+a_{n-1}(y_n^*)^{(n-1)}+...+a_1(y_n^*)'+a_0y_n^* = r(x)$$由于$y_1^*,y_2^*,...,y_n^*$为线性无关的函数，因此以上方程等价于：$$a_n(y_1^*)^{(n)}+a_{n-1}(y_1^*)^{(n-1)}+...+a_1(y_1^*)'+a_0y_1^* = 0$$$$a_n(y_2^*)^{(n)}+a_{n-1}(y_2^*)^{(n-1)}+...+a_1(y_2^*)'+a_0y_2^* = 0$$$$...$$$$a_n(y_n^*)^{(n)}+a_{n-1}(y_n^*)^{(n-1)}+...+a_1(y_n^*)'+a_0y_n^* = r(x)$$由于$y_1^*,y_2^*,...,y_n^*$为方程的特解，因此上述方程组的解为零。

科学计算与数学建模实验报告牛顿法求解非线性方程

科学计算与数学建模实验报告牛顿法求解非线性方程

科学计算与数学建模实验报告牛顿法求解非线性方程一、引言非线性方程是数学中的一个重要研究内容，其求解方法有很多，其中之一就是牛顿法。

牛顿法是一种迭代方法，通过不断逼近函数的零点来求解非线性方程。

在本实验中，我们将使用牛顿法来求解给定的非线性方程，并验证其有效性。

二、实验方法1.确定问题：给定非线性方程f(x)=0，需要求解方程的根。

2.初始化：选择一个初始解x_0，并给定停止准则，如迭代次数、函数误差等。

3.迭代计算：a)计算函数f(x)在x_i处的导数f'(x_i)。

b)利用牛顿迭代公式进行迭代计算：x_{i+1}=x_i-f(x_i)/f'(x_i)。

c)检查迭代终止条件，若满足条件则停止迭代，否则返回步骤a)继续迭代。

4.输出结果：输出迭代过程中的迭代次数和解x。

三、实验结果我们选择一个较为简单的非线性方程f(x)=x^2-2来进行牛顿法求解。

初始解选取为x_0=1，停止准则为函数误差小于等于0.0001根据上述计算方法，我们进行迭代计算，并记录迭代次数和解x的变化情况。

具体结果如下表所示：迭代次数解x-----------------11.521.416731.414241.4142(收敛)从表中可以看出，当迭代4次时，解x已经收敛于1.4142，符合停止准则，因此我们可以认为此时已经找到了方程的根。

四、实验讨论通过上述实验可以发现，牛顿法是一种有效的求解非线性方程的方法。

它利用了函数在特定点处的导数的信息来逼近函数的零点，从而实现了迭代计算。

同时，牛顿法的收敛速度比较快，迭代次数较少，可以在较短的时间内找到方程的根。

然而，牛顿法也存在一些不足之处。

首先，它对初始解的选择较为敏感，不同的初始解可能导致迭代结果的差异。

其次，牛顿法可能出现发散现象，即迭代过程无法收敛到方程的根。

因此，对于一些复杂的非线性方程，我们需要选择合适的方法来求解。

五、总结通过本次实验，我们了解了牛顿法求解非线性方程的基本过程，并验证了其有效性。