备战中考初中数学导练学案50讲
第31讲正多边形与圆
【疑难点拨】
1. 转化是“正多边形与圆”中的灵魂
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。在正多边形与圆的计算中，正多边形的边长、半径、边心距和中心角的有关计算问题，一般转化为解直角三角形问题。下面谈谈正多边形与圆中的转化思想。
关于正多边形与圆的计算问题。解决这类问题时，一般应找到由半径、边心距、边长的一半组成的直角三角形，将所求问题转化为直角三角形的问题来解决。正三角形、正六边形和正八边形的有关计算问题，实际上转化为特殊的直角三角形求解，应掌握这种转化思想。
2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主。
【基础篇】
一、选择题：
1.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠AOB的度数是( )
A．72° B．60° C．54° D．36°
2.（2017山东滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）
A．B．2 C．D．1
3.若AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC等于( ) A．120° B．6° C．114° D．114°或6°
4. （2017湖南株洲）
下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）
A．正三角形 B．正方形C．正五边形 D．正六边形
5.（2017·资阳）边长相等的正五边形和正六边形如图24－3－4所示拼接在一起，则∠ABC为（）°.
A． 24° B． 12° C． 45° D．30°
二、填空题：
6.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为．
7.（2017毕节）正六边形的边长为8cm，则它的面积为cm2．
8.（2017•玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是．
三、解答与计算题：
9.如图，在正五边形ABCDE中，点F，G分别是BC，CD的中点．
求证：△ABF≌△BCG.
10.如图所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．
【能力篇】
一、选择题：
11.（2016·四川泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）
A．B．C．D．
12.（2017•黄石）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（）
A．B．C． D．
13.（2018·四川宜宾·3分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S的值是（）．（结果保留根号）
A．2B． C．3 D．4
二、填空题：
14. （2017绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为．
15.（2017湖南岳阳）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值，设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n=6时，π≈==3，那么当n=12时，π≈= ．（结果精确到0.01，参考数据：sin15°=cos75°≈0.259）
三、解答与计算题：
16.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48 3，试求正六边形的周长．
17.如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．
(1)正方形ABCD与正六边形AEFCGH
(2)连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．
18.如图9①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正
n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．
【探究篇】
19.小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).
(2)若△ABC中AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积.
20.如图①②③，等边三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在圆周上逆时针运动，AM，BN相交于点P.
(1)求图①中∠APB的度数．
(2)图②中，∠APB的度数是________，图③中∠APB的度数是________．
(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形的情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
第31讲正多边形与圆
【疑难点拨】
1. 转化是“正多边形与圆”中的灵魂
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。在正多边形与圆的计算中，正多边形的边长、半径、边心距和中心角的有关计算问题，一般转化为解直角三角形问题。下面谈谈正多边形与圆中的转化思想。
关于正多边形与圆的计算问题。解决这类问题时，一般应找到由半径、边心距、边长的一半组成的直角三角形，将所求问题转化为直角三角形的问题来解决。正三角形、正六边形和正八边形的有关计算问题，实际上转化为特殊的直角三角形求解，应掌握这种转化思想。
2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、
