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中学几何研究

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例1 P是等边△ABC内一点，PA＝5，PB＝4，PC＝3，求等边三角形的边长。 分析：条件过于分散，设法集中起来以便发现联系，可作变换。

解：(,60)RCAPCBQC，则BQ＝AP＝5，CQ＝3＝CP且60PCQ， 故△PQC为等边三角形，PQ＝3，在三角形BPQ中，由勾股定理得 90,60BPQCPQ，

故150BPC，在△BPC中由余弦定理求得25123BC. ■

例2 在△ABC内有一点P，满足120APBBPCCPA。 求证：P是到三顶点距离之和最小的点（即费马点）。 证明：(,60)RBABPABP，则BPP为正三角形。 又由120APBAPB，60BPP 知A、P、P共线，同理P、P、C共线，即A、P、P、C共线，且ACAPBPCP。 M为△ABC内任一点，作变换(,60)RBABMABM，则 ,MMMBMAMA，MAMBMCAMMMMCAC. ■

例6 P为MON内一点，且40MON，A、B分别在OM和ON上，当ABP的周长最小时，求APB. 解：设1P、2P分别为P关于OM和ON的对称点，直线12PP交OM和ON于点A和点B，则ABP的周长为最小。在ABP中，显然 12BAPP，22ABPP，12140APBPP，

解得 1240PP，从而100APB. 例7 P是锐角△ABC的BC边上一定点，试在AB、AC上分别确定M、N，使△PMN的周长为最小。

解：令()()12,SABSACPPPP，连接12PP交AB、AC于M、N，则M、N为所求。

证：由对称性，PMN的周长等于12PP之长，设M、N是AB、AC上任一点，则PMN的周长等于1212PMMNNPPP. ■ 第II类轨迹命题，明白说出轨迹形状，至于位置和大小，或叙述不全或干脆不说，解决这类问题，分三步： ① 探求轨迹，即预测轨迹的位置和大小，使其完全确定。 ② 证明完备性和纯粹性，并下结论。 ③ 讨论，即研究所给定的条件对轨迹的影响。

例3 和两定点距离之比等于常数（不等于1）的点的轨迹是一个圆周，称为阿氏圆。 设A、B为定点，点M的轨迹使

(1)MAmmMB，m为定常数

探求：若一点M满足此条件，则M关于AB的对称点也满足此条件，即所求轨迹以AB为对称轴，那么就是直径在直线AB上的圆。设内分线段AB于C，外分线段AB于D，使 ACADmCBBD

那么C、D满足条件，轨迹可能是以CD为直径的圆周。 （1）完备性 如下图，设M为符合MAmMB而不在AB上的任一点，由于MAACADMBCBDB，由三角形内外角平分线的性质知MC、MD分别是AMB的内外角平

分线，从而CMMD，故M在以CD为直径的圆周上。 （2）纯粹性 如下图，设M为圆上异于C、D的任一点，过M作CMACMB交DC于A。下证A=A. 由于MC为AMB的内角平分线且CMMD知MD为AMB的外角平分线，则有 ACMAADADACCDCBMBBDBDCBBDCB

（内、外角平分线的性质）

又由假设()ACADADACCDmCBBDBDCBBDCB 从而 ,ACACACACCBCB，又A和A均在C的同侧，故A和A重合。 ∴ MAACmMBCB. ■ 例4 到两定点距离的平方和为常量的点的轨迹（倘若存在）为一圆（可能缩为一点），称为定和幂圆。 设A、B为定点（如下图 ），k为定长，求点M的轨迹，使满足条件

222MAMBk.

探求：若M符合条件，则M关于直线AB的对称点及M关于AB的中垂线l的对称点也都符合条件。可见轨迹以AB和l为对称轴，故可能是以AB的中点为中心的圆。 证明：（1）完备性 设M符合条件，连MO，由斯特瓦尔特定理知

22222122kMAMBMOAB，于是22122MOkABr

即 M在(,)Or上，其中r由上式给出。 （2）纯粹性 反之，设M为(,)Or上任一点，有 222222212()22MAMBAOMOABrk

即M符合所给条件。 （3）讨论 当2ABk时，轨迹为圆；当 2ABk时，轨迹为一孤立点；当2ABk时，轨迹不存在，即没有适合条件的点。 ■ 例5 到两定点距离的平方差为常量的点的轨迹，是垂直于这两点连线的一条直线，称为等差幂线。

设A、B为两定点（如下图 ），k为常数（正、负或零），求满足条件 22MAMBk

的点的轨迹。 探求：点M满足条件，则M关于AB的对称点也满足条件，故若轨迹是直线，就一定对称于AB，因而与AB垂直，只须知道这直线l和AB的交点N，轨迹就完全定了。

由 222222()()kMAMBANMNBNMN

22()()(2)ANBNANBNANBNABANAB

故22ABkANAB 由上式定一点N，及通过N垂直于AB的直线l. 证明：（1）由探求过程知，符合条件的点M在过N且垂直于AB的直线l上。

（2）反之，在l上任取一点M，有2222MAMBANBNk，即点M满足条件。 （3）讨论 当0k时，l是AB的中垂线；当0k时，可看作满足条件的轨迹是l关于AB中垂线的对称线。 ■

二、三角形奠基法 作图题中，往往可先作图形的一个三角形，从而奠定全部图形的基础，进而作出其它图形，这种三角形称为基础三角形。该方法称为三角形奠基法。

例3 已知△ABC的三中线,,abcmmm的长度，求作该三角形。 分析：设△ABC已作出，G为重心，图中无奠基的三角形。延长GL到k, 使LK＝GL，则△BGK三边已知，各为中线长的2/3。

作法：作BGK，使(2/3)aGKm，(2/3)bGBm，(2/3)cBKm，作GK的中点L，并延长BL到C使LC＝BL。延长LG至A使GA＝2LG，则ABC即所求者。 证明：由作法，L是BC的中点，因而AL是ABC的中线。由于GA＝2LG，G是ABC的

重心，并且 3(3/2)aALLGGKm，以M、N表CA、AB的中点，由于G是重心，

则(3/2)bBMBGm，(3/2)(3/2)cCNCGBKm，所以ABC合于条件。 讨论：本题有无解，取决于△BGK是否存在，存在的条件是： abcmmm，bcammm，cabmmm.

故所给三中线能构成三角形时，有一解，否则无解。 例4 已知△ABC的,,aaahtm，求作该三角形。 分析：△ABC若已作成，高aAHh，角平分线aATt，中线aAMm. RtAHT和AMH都可作出，取AMH为基础三角形，设AT交外接圆于P，则P为BC

的中点，P可由AT及MH在M点的垂线相交决定。然后定圆心O，O在PM上，也在AP的中垂线上，故外接圆可作出，从而可定出B、C。

作法：作直角AHM，使90AHM，aAHh，aAMm.

在射线HM上作T点使 aATt，过M作HM的垂线与直线AT相交于P。作AP的中垂线交PM于O。以O为中心，以OA为半径作圆，设其交直线HM于B及C，则ABC即所求。

证明：因O在AP的中垂线上，则OP＝OA，从而P是BC的中点，从而AM是ABC的中线，而AP是BAC的平分线。可见ABC中，有高aAHh，中线aAMm，平分角线aATt，即ABC合于所设条件。 讨论： ① 当,,aaahtm三者有两个相等时，△ABC为等腰三角形，这时若三者不都相等无解，若都相等便成不定问题，有无穷多解。 ② 当,,aaahtm互不相等时，解要存在，则△AMH存在且P存在，并且P和A落在HM

的异侧（若aamt，则P与A落在MH同侧），才能保证B、C存在，要保证这些事项，则必有T介于H和M之间，有解的条件是：aaahtm. 例2 P为正方形ABCD内一点，BMNP、APEF都是与ABCD有相同转向的正方形。 求证：AM∥FC且AM＝FC.

证明：设P为复平面的原点，由,,BMiBPAPiAFBCiBA知

(1),(1),(1)MiBFiACiBiA 故(1)AMMABiA，(1)(1)(1)FCCFiBiAiAiBA 即AMFC，故AM∥FC且AM＝FC. ■

例3 以四边形ABCD的各边为斜边向外作等腰直角三角形ABP、BCQ、CDR、DAS. 求证：RP⊥QS且RP＝QS.

证明：由 PBiPA 知 22ABABPi 同理可得 22CDCDRi，22BCBCQi，22DADASi， 计算 22ABCDABCDRPPRi

22DABCDABCQSSQi

∴QSiRP，故RP⊥QS且RP＝QS. ■

例4（87年全国MO） 如图，ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，90BD，现固定ABC，而将ADE绕A点在平面上旋转。试证：不论ADE旋

转到什么位置，线段EC上必存在点M，使得BMD为等腰直角三角形。

分析：在RtADB中，222BDABAD，在RtBDM 中，222BDBM，在BMC中，45C＝，用余弦定理求出BM，从而定出2()2MABAD＝。 证明：把ABC置放在复平面中，使得,,ABC所对应的复数分别为0，4ie，2（其中令

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我国20世纪30年代初中实验几何教科书考察

我国20世纪30年代初中实验几何教科书考察


合数学课程，中学几何教科书打破了传统的编制
方法，与代数、三角等内容混合编制，几何部分内 容的编写中，出现了用度量的方法发现一些几何 结论，可以说是开了实验几何的先河，但与完全意 义上的实验几何相比还相差甚远．直到１９２９年８ 月《初级中学算学暂行课程标准》的颁布，提出实 验几何的教学要求，“几何事项本为直观教材，故 应从实验几何人手，俾易于引起学生兴趣而输入 明确基本观念．教授实验几何，应使学生自动作图 度量．无论平面或立体，凡关于度量之简单公式， 应用实验方法验明．，，［４］１９３２年１１月公布的《初 级中学算学课程标准》，明确列出初中第二学年的 第一学期开设实验几何，随后每一学期开设论证 几何． 自此，我国初中把几何分为实验几何与论证
８
数学通报
２０１４年
第５３卷
第１期
我国２０世纪３０年代初中实验几何教科书考察①
陈 婷
７３００７０）
（兰州城市学院教育学院
１实验几何的由来 所谓实验几何（Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ）或 称直观几何（Ｉｎｔｕｉｔｉｖｅ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ）、作图几何
（Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｖｅ
几何部分还是分实验几何与论证几何两部分．但 从《初中几何精简纲要（草案）》对几何教学的要求 来看，已经没有了实验几何的要求，在我国初中开 设将近二十多年的实验几何，随着新中国的成立 暂时退出了历史舞台．２０世纪３０年代我国首次 在初中开设实验几何课程的尝试，既有成功经验， 也有失败教训，对当时及后来我国的数学教育产 生了深远影响．因此，考察分析这一时期所编写的 实验几何教科书，有利于深化对初中几何课程改 革的认识，为目前我国进行的基础教育数学课程 改革提供一定的借鉴，从而促进中学几何教科书 的建设与发展． ２初中实验几何教科书案例分析 这一时期，因初中几何课程设置的变化，既出 现了单独编写的实验几何教科书，如汪桂荣编写 的《实验几何学》（１９３５年７月南京正中书局出 版）．该教科书在编写过程中大量参阅了各种关于 实验几何的资料，同时又根据英美实验几何教科 书，例如由戈弗雷（Ｇｏｄｆｒｅｙ）和西登斯（Ｓｉｄｄｏｎｓ） 合编，剑桥大学出版社出版的《初等几何：实验与 论证》（１９０３）、《简明几何｝（１９１２）、《实验与论证几 何》（１９２０）等，以及初中混合数学教科书等十多种 教科书中的材料，再加之作者的教学经验加以整 理而成，是这一时期编写比较成功的实验几何教 科书．陈伯琴在《实验几何教学问题之商榷》一文 中，称该教科书在当时所有的实验几何教科书中 “堪称完善者”．［５］这一时期也有将实验几何与论 证几何分成前后两部分合编的初中几何教科书， 即所谓“两段式”处理的教科书，如余介石、徐子豪 编写的《复兴初级中学教科书几何》（上、下册， １９３３年中华书局出版）．这套教科书是按正式课
浅谈初中数学几何问题解题方法

浅谈初中数学几何问题解题方法


《数理化解题研究》创刊于 １９９７年 １２月，是由国家科委和 国家新 闻出版广电总局正式批准（文件批 号为 国科 发信 字【１９９７】６０９号文件），面向国内外公开发行 的教 育类学术期刊。国内统一刊号 ：ＣＮ２３—１４１３／Ｇ４，国际标准 出版 物 号 ＩＳＳＮ：１００８—０３３３。期 刊在 国 家新 闻 出版 总署 、中 国版 本 图 书馆 、国 家 图书馆 都 有 收 藏 和备 案 ，中 国知 网、万 方、维普 、博 看 网全 文收 录 。
《数理 化 解题研 究》是基 于 国家对教 学 改革 的创新 要 求 ，针 对我 国基 础教 育及 高等教 育 的教 学研 究 性 杂志 ，突 出创新性 ，探索性 ，思想性和方法性。既 能帮助教师在教 学过 程 中遇到的常见 问题或者难点起 到教 学指导的作 用 ，提 升 教 师 的整体教 育 水平 和 素质 ，同 时还 能 帮助 学 生拓展 思路 ，解放 思想 ，脱 离题 海 战 术 ，提 高 学 习成 绩 。
希 望 对 此 领 域 的研 究作 出一 定 贡 献 ．
关键 词 ：初 中；数学 ；几何 问题 ；解题 办法
中图分类号 ：Ｃ，６３２
文献标识码 ：Ａ
文章编 号 ：１００８—０３３３（２０１８）０５—００３７—０２
一 、 打好初 中几何学 习的理论基础
初 中几何学 习 ，由于 是一 门相 对 比较 连贯 的基 础 性 学科 ，在学 习的过程 中要 理清整 个几何 学 习的理论基 础． 由于几何学 习的原理 和定理 比较多 ，因此 ，在整 个初 中几 何学习 的过程 中做好 学 习的理 论准 备 ，夯 实全 过程 的几 何学习基础．就 比如说 ，在 几何 学 习 的过程 中，如果 想让 学生理解射线 这 一抽 象 的几何 概念 ，在黑 板上 画 出等 额 的射线 ，然后 围绕射线讲 解有关 于几何 线段 、射 线 以及 由 线条所组成 的各个 图形之 间 的关 系，从而将 理 论知 识 点 趣味性 的引出 ，加深初 中生学 习几何 知识 的印象．
2022年全国高中数学联赛几何专题(平面几何解析几何)

2022年全国高中数学联赛几何专题(平面几何解析几何)

2022年全国高中数学联赛几何专题（平面几何解析几何）数学竞赛中的平面几何一、引言1．国际数学竞赛中出现的几何问题，包括平面几何与立体几何，但以平面几何为主体．国际数学竞赛中的平面几何题数量较多、难度适中、方法多样（综合几何法、代数计算法、几何变换法等），从内容上看可以分成三个层次：第一层次，中学几何问题．这是与中学教材结合比较紧密的常规几何题，虽然也有轨迹与作图，但主要是以全等法、相似法为基础的证明题，重点是与圆有关的命题，因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也强，是编拟竞赛试题的优质素材．第二层次，中学几何的拓展．第三层次，组合几何——几何与组合的交叉．这是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质．所涉及的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质．这类问题在第六届IMO（1964）就出现了，但近30年，无论内容、形式和难度都上了新的台阶，成为一类极有竞赛味、也极具挑战性的新颖题目．组合几何的异军突起是数学竞赛的三大热点之一．2．在中国的数学竞赛大纲中，对平面几何内容除了教材内容外有如下的补充．初中竞赛大纲：四种命题及其关系；三角形的不等关系；同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系;面积及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质．高中竞赛大纲:几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形中的几个特殊点:旁心、费马点，欧拉线；几何不等式；几何极值问题；几何中的变换：对称、平移、旋转；圆的幂和根轴；面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法．二、基本内容全等三角形的判别与性质，相似三角形的判别与性质，等腰三角形的判别与性质，“三线八角”基本图形，中位线定理，平行线截割定理，圆中角（圆心角、圆周角、弦切角）定理等大家都已经非常熟悉，此外，竞赛中还经常用到以下基本内容．定义1点集的直径是指两个端点都属于这个集合且长度达到最大值的线段（一个点集可能有多条直径，也可能没有直径）．定义2如果对点集A中的任意两点，以这两点为端点的线段包含在A 里，则集合A称为是凸的．定义3设M1,M2,,Mn是多边形，如果MM1M2Mn并且当ij时，Mi与Mj 没有公共的内点，则称多边形M剖分为多边形M1,M2,,Mn．定义4如果凸边形N的所有顶点都在凸多边形M的边上，则称多边形N内接于多边性M．定理1两点之间直线距离最短．推论三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．定理2三角形的内角之等于180．凸n边形（n3）的n个内角和等于(n2)外角和为180180；（每一个顶点处只计算一个外角）．702022年全国高中数学联赛集训暨2022年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用证明如图1，过C作CE//AB，则有ECAA，（两直线平行，内错角相等）得ABCACB（结合律）ECBB（等量代换）180．（两直线平行，同旁内角互补图1推论三角形的一个外角等于两个不相邻内角之和．定理3三角形中大边对大角、小边对小角．证明（1）如图2，在ABC中，已知ABAC，可在AB上截取ADAC，则在等腰ACD中有12．（等腰三角形的性质定理）又在BCD中，2B，（外角定理）更有C12B．（传递性）说明由上面的证明知ABACBC,ABACBC,ABACBC,这样的分断式命题，其逆命题必定成立．证明如下：图2（2）反之，在ABC中，若CB，这时AB,AC有且只有三种关系ABAC，ABAC，ABAC．若ABAC，由上证得CB，与已知CB矛盾．若ABAC，由等腰三角形性质定理得CB，与已知CB矛盾．所以ABAC．定理4在ABC与A1B1C1中，若ABA1B1,ACAC11，则AA1BCB1C1．定理5凸四边形ABCD内接于圆的充分必要条件是：ABCCDA180（或BADDCB180）．证明当四边形ABCD内接于圆时，由圆周角定理有ABCCDA1111ADCABCADCABC180．2222同理可证BADDCB180．反之，当ABCCDA180时，首先过不共线的三点A,B,C作O，若点D不在O上，则有两种可能：（1）D在O的外部（如图3（1））．记AD与O相交于S，连CS，在CDS中有ASCCDA．又由上证，有ABCASC180，得180ABCCDAABCASC180，矛盾．712022年全国高中数学联赛集训暨2022年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用图3（2）D在O的内部（如图3（2））．记AD的延长线与O相交于S，连CS，在CDS中有ASCCDA．又由上证，有ABCASC180，得180ABCCDAABCASC180，矛盾．定理6凸四边形ABCD外切于圆的充分必要条件是ABCDBCAD．证明当凸四边形ABCD外切于圆时，设各边的切点分别为P,Q,R,S （如图4），根据圆外一点到圆的两切线长相等，有APAS,PBBQ,CRQC,DRDS.相加APPBCRDRASBQQCDS，得ABCDBCAD．图4反之，若ABCDBCAD，我们引B,C的平分线，因为BC360，所以，两条角平分线必定相交于四边形内部一点，记为N，则N到三边AB,BC,CD的距离相等，可以以N为圆心作N与AB,BC,CD同时相切，这时AD与N的关系有且只有三种可能：相离、相切、相交．（1）若AD与N相离（如图5（1））．过A作切线与CD相交于D，在ADD中，有//DDADAD．①//但由上证，有ABCDBCAD，又由已知，有ABCDBCAD相减得CDCDADAD，////DD/ADAD/，与①矛盾．图5722022年全国高中数学联赛集训暨2022年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用（2）若AD与N相交（如图5（2））．过A作切线与CD的延长线相交于D，在ADD中，有①//DDADAD．//但由上证，有ABCDBCAD，//又由已知，有ABCDBCAD相减得CDCDADAD，//即DDADAD，与①矛盾．综上得AD与N的相切，即凸四边形ABCD外切于圆．定理7（相交弦定理）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．定理8（切割线定理）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．定义5从一点A作O的割线交O于B,C，则点A到两交点B,C的线段长度之积ABAC称为点A对O的羃．对于两个已知圆有等羃的点的轨迹，称为两圆的根轴（或等羃轴）．定理9若两圆相交，其根轴在两圆公共弦所在的直线上；若两圆相切，其根轴在过两圆切点的公切线上；若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点在根轴上．定理10（三角形面积公式）在ABC中，记a,b,c为三边长，p//1(abc)为半周长，R是2外接圆半径，r为内切圆半径，ha是边BC上的高，ra是与边BC及AB,AC的延长线相切的旁切圆的半径，则ABC的面积S为：(1)S111ahabhbchc；222111(2)SabinCacinBbcinA；222(3)Sp(pa)(pb)(pc)；(4)Sabc2R2inAinBinC；4R(5)Srp；1ra(bca)；21(7)SR2(in2Ain2Bin2C)．2定理11在RtABC中，有(6)S（1）abc，（勾股定理的逆定理也成立）（2）r2221c(abc),R．22732022年全国高中数学联赛集训暨2022年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用定理12（角平分线定理）设AD是ABC中A的平分线，则．ABBD．ACDC此定理有10多种证法，下面是有辅助线与无辅助线的两种代表性证法．证明1（相似法）如图6，延长BA到E，使AEAC，连CE，则BAD1A（已知）21AECACE（外角定理）2AEC，（等腰三角形的两个底角相等）有AD//CE，BDABAB得．（平行线截割定理）图6DCAEAC11ABADinABCSABD2AB2证明2（面积法）．DCSACD1ACADin1AAC22定理13（正弦定理、余弦定理）在ABC中，有（1）abcoBccoC，bacoAccoC，cacoAbcoB．abC2R；（2）inAinBinC222（3）abc2bccoA，b2a2c22accoB，c2a2b22abcoC．（4）inAinBinC2inBinCcoA．222abC2R；inAinBinC证明1（1）当ABC为直角三角形时，命题显然成立．（2）当ABC为锐角三角形时，如图7（1），作ABC外接圆O，则圆心O在ABC的内部，（2）连BO交O于D，连结DC．因为BD是O的直径，所以BCD90，在直角BCD中有aabc2R，但AD，故得2R．同理可证2R,2R．inDinAinBinCabC2R．得inAinBinC（1）（2）图7（3）当ABC为钝角三角形时，记A为钝角，则圆心O在ABC的外部，过A作直径，仿上证74。

江苏省苏州实验中学解析几何专题系列1

江苏省苏州实验中学解析几何专题系列1

解析几何专题系列（一）------------特殊值法在过定点问题中的应用问题：（2011届南京二模17）如图, 椭圆C ：162x+42y=1的右顶点是A ，上下两个顶点分别为B 、D ，四边形DAMB 是矩形（O 为坐标原点），点E 、P 分别是线段OA 、AM 的中点。

（1） 求证：直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上.（2） 过点B 的直线l 1、l 2与椭圆C 分别交于R 、S （不同于B 点），且它们的斜率k 1、k 2满足4121-=⋅k k ，求证：直线RS 过定点，并求出此定点的坐标。

变式：（2）”4121-=⋅k k ”改为“121-=⋅k k ”，求证：直线RS 必过y 轴上一定点，并求出此定点的坐标。

例1：以)1,0(),1,0(21F F -为焦点的椭圆C 过点)1,22(P（1）求椭圆C 的方程； （2）过点)0,31(-S 的动直线l 交椭圆C 于B A ,两点，试问：在直角坐标平面内是否存在一个定点T ，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，则说明理由。

解答：（1）1222=+yx ；（2）)0,1(T反馈练习（2010年无锡市期末）：已知椭圆2214xy +=的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点．（1） 当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；（2） 当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由． 解．（1）直线AM 的斜率为1时，直线AM ：2y x =+， ……………………………………………1分代入椭圆方程并化简得：2516120x x ++=， ……………………………………………2分解之得1262,5x x =-=-，∴64(,)55M -． ……………………………………………………4分（2）设直线AM 的斜率为k ，则AM ：(2)y k x =+，则22(2),1,4y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得：2222(14)161640k x k x k +++-=．……………………………6分 ∵此方程有一根为2-，∴222814M k x k-=+， ………………………………………………………7分同理可得22284N k x k -=+．……………………………………………………………………………8分由（1）知若存在定点，则此点必为6(,0)5P -．…………………………………………………9分∵2222228(2)5146286445145M M P M kk y k kk kkx k -++===--+++，…………………………………………………11分同理可计算得2544P N kk k=-．……………………………………………………………………13分∴直线MN 过x 轴上的一定点6(,0)5P -． …………………………………………………………16分高考体验：（2010年江苏高考）18、在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+yx的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。