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一元二次方程与二次函数的关系

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一元二次方程与二次函数的关系这节课是我们学校给我排上的公开课，所以我格外重视，课前进行了扎实的长时间准备，课后又进行了组内范围的评课。

我通过认真研读课程标准，查阅资料，集思广益，遵照学生特点，有步骤、有层次的对本节课做了精心设计。

课堂在引导学生回顾旧知，引起认知冲突中抛出问题，学生一下子急于知道答案，表现出极大的求知热情。

解疑提升提升环节曾一度出现争论高潮。

教学中始终如一贯彻数学思想。

函数图象的应用必须数形结合，引导学生反复练习二次函数的作图是中考必考点，针对考点我在例题讲解和学生练习中都重点强调图象的作图，在动手中过手知识点。

让学生体验函数y=x +bx+c=0的解的探索过程，掌握用函数y=x +bx+c图象交点的方法求方程ax +bx+c=0的解。

通过渗透数形结合的思想，提高学生综合解题能力。

对不足之处，改进环节的反思。

(1)放手不够，包办还是过多，学生思考时间有时显得不足。

(2)当堂过手检查环节显得匆忙，师生互动没能彻底带动学生跟随学习思路，气氛活跃但是没在规定5分钟内完成互查任务。

(3)学生回答时没做好鼓励和点评，提问回答环节没能完全落实，有1处提问指向不明确。

(4)函数与X轴交点同方程的根的关系可适当做逆向分析，点到为止，因时间关系不做过多展开。

6.本堂课课后评课优点。

(1)课件使用非常有特色，并且结合课程讲解学习分步呈现，动画设置到位，板书书写、格式位置也很好，是一大亮点。

(2)目标层次分明，知识能力情感三大目标定位准确，内容实效性可操作性强。

(3)教师感染力强，课堂生动有趣，始终关注学生，并带动学生积极参与进课堂每个环节。

(4)教学过程非常注重学生练习及反馈矫正，是一堂有效的落实过手的公开课，并且对习题选择也由浅入深，贴近中考目标，具有针对性。

(5)教师对教材分析和大纲考点分析到位，教学中渗透考点分析和数学思想应用，显示了教师扎实业务素质和基本功，尤其教学语言丰富，知识全面分析讲解准确也是本节课一大特色。

(6)教师应变能力不错，善于根据学生实际即时调整课堂进度，驾驭课堂能力好，教学显得成熟。

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二次函数与一元二次方程的关系

二次函数与一元二次方程的关系


（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以 a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。 当x=1时，y>0,则a+b+c>0 当x=1时，y<0，则a+b+c<0 当x=1时，y=0，则a+b+c=0 (6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c 的符号由x=-1时，对应的y值决定。 当x=-1，y>0,则a-b+c>0 当x=-1，y<0,则a-b+c<0 当x=-1，y=0,则a-b+c=0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
x
b 2、＞0 2a
3、△=b² -4ac＝0 4、C＞0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
b 2、＝0 2a
x
3、△=b² -4ac＝0 4、C＝0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个 1 相等的实数根,则m=＿＿＿＿ ,此时抛物线 y=x21 2x+m与x轴有 8x +c的顶点在 x轴 16 上,则c=＿＿＿＿ .
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
二次函数与一元二次方程的关系

二次函数与一元二次方程的关系


(2)取3和4的中间数3.5代入表达式 中试值．
当x＝3.5时，y＝3.52－2×3.5－ 6＝－0.75＜0；
当x＝4时，y＞0，在3.5＜x＜4 范围内，
y随x的增大而增大，∴3.5＜x2 ＜4.
• (3)取3.5和4的中间数3.75代入表达式 中试值．
• 当x＝3.75时，y＝3.752－2×3.75－6 ＝0.562 5＞0； • 当x＝3.5时，y＜0.在3.5＜x＜3.75范 围内，
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是 方程ax2+bx+c=0的根。
1 (中考·柳州)小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象 如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( D ) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
• 2．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A （﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n ＞ax2+bx+c的解集是 x<-1或x>4 ．
• 3．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直 线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0 （t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取
知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
浅谈二次函数与一元二次方程的联系

浅谈二次函数与一元二次方程的联系

浅谈二次函数与一元二次方程的联系摘要：二次函数与一元二次方程的解答方法都需要学生进行独立的分析和总结，才能有效地加深学生对方程的学习和理解。

函数与方程是初中数学中两个最基本的概念，形式虽然不同，但它们之间有着密切的关系。

探索二次函数的图象的作法和性质的过程，能够利用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数的性质。

通过学生之间的交流互动，进行图象与图象之间的比较，表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系。

一元二次方程与二次函数之间的密切关系还有很多巧妙的用处，更多的地方需要在实践中去慢慢体会，并理解函数的意义,记住函数的几个表达形式，注意区分。

关于一元二次方程的学习任务，并要求学生们独立完成，从而让学生有针对性地进行课程学习，最终提高学生的学习效率和质量。

完善初中数学课程评价标准，从而提高数学课堂的教学质量，老师要根据每一位学生的心理特点、学习能力以及成果进行综合评价，并根据最终的评价结果给予学生适当的鼓励和支持，以增强学生的学习自信心。

关键词：动手实践自主探索合作交流自身思维营造高效一元二次方程与二次函数它们在形式上几乎相同，差别只是一元二次方程的表达式等于0，而二次函数的表达式等于y。

这种形式上的类似使得它们之间的关系格外密切，方程中的很多知识点可以运用在函数中。

函数与方程是初中数学中两个最基本的概念，形式虽然不同，但它们之间有着密切的关系。

它们在形式上几乎相同，二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。

二次函数与一元二次方程的解答方法都需要学生进行独立的分析和总结，才能有效地加深学生对方程的学习和理解。

初中数学课程标准指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。

内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。

有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。

二次函数与一元二次方程的关系

二次函数与一元二次方程的关系


从以上可以看出, 已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的 值，就是求相应一元二次方程的解.
例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变 量x的值. 就是求方程3=-X2+4x的解, 例如,解方程X2-4x+3=0 就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量 x的值. 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则 抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是 (x1,0),(x2,0)
y=x 2 -3x-4
答案： （1）A（-1，0），B（4，0）； （2）x=-1或4； （3） x=-1或4； （4）方程的解就是二次函数的交点的横坐标。
变式训练
观察下列图象，分别说出一元二次方程x2 6 x 9 0, x2 x 3 0的根的情况。
y=x 6 x 9
（4）球从飞出到落地需要用多少时间？
y （m ）
20· 5
20
15
（2，20）
0
1
2
3
4
x t） （
解：（1）解方程 （3）解方程 h 15=20t-5t² 20.5=20t-5t² t² -4t+3=0 t² -4t+4.1=0 t 1 =1， t 2 =3. ∵（-4）² -4*4.1＜0， 当球飞行1s和2s时， ∴方程无实数根 它的高度为15m。 （4）解方程 （2）解方程 0=20t-5t² 20=20t-5t² t² -4t=0 t² -4t+4=0 t 1 =0， t2 =4. t 1 = t 2 =2. 当球飞行0s和4s时， 当球飞行2s时， 它的高度为20m。 它的高度为0m，即0s飞 出，4s时落回地面。