稳定性分析与分数阶微分方程

东华大学2013~ 2014学年第II 学期研究生期末考试试题考试学院：理学院考试专业：基础数学应用数学考试课程名称：稳定性分析与分数阶微分方程学号姓名得分（考生注意：答案必须写在答题上，写在本试题纸上一律不给分）[试题部分]一、根据所学知识，概述Lyapunov第二方法的核心思想和基本理论。

二、针对某一类问题或某个模型，运用Lyapunov第二方法进行稳定性分析。

三、综述分数阶微积分的三种定义方式及其性质和联系。

四、谈谈你对分数阶微分方程研究的认识和看法。

要求：1. 第二题结合每人曾经报告过的文献来完成；2. 用电子文档打印，并提交电子文件。

一、根据所学知识，概述Lyapunov 第二方法的核心思想和基本理论李雅普诺夫（Lyapunov ）提出了两种方法，分析运动的稳定性:第一方法包含许多步骤，包括最终用微分方程的显式解来对稳定性近行分析，是一个间接的方法。

第二方法不是求解微分方程组，而是通过构造李雅普诺夫函数（标量函数）来直接判断运动的稳定性，因此又称为直接法。

李雅普诺夫直接法（也称第二方法）是整个稳定性理论的核心方法，李雅普诺夫1892年提出的稳定性理论、渐近稳定性定理及两个不稳定性定理，奠定了运动稳定性的基础，被誉为稳定性的基本定理。

目前仍是研究非线性、时变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的基本工具。

李雅普诺夫第二方法的核心思想：以二维自治系统为例，李雅普诺夫直接法借助于一个V 函数，利用方程右端的信息来探测解的稳定性的原始几何思想。

考虑方程⎪⎩⎪⎨⎧==),(),(21222111x x f dtdxx x f dt dx 0)0,0()0,0(21==f f其中21,f f 连续，保证解的唯一性.设),()(21x x V x V =是K 类函数，且],[)(121+∈R R C x V ,此方程的解T t x t x t x ))(),(()(21=的信息是未知的，但它的导数满足)),(),,((),(2122112.1.x x f x x f x x =的信息是已知的，因为21,f f 是已知函数.姑且把任意解)(t x 代入)(x V 得到))((:)(t x V t V =.粗略的说，平凡解的稳定性（包括渐近稳定性、稳定、不稳定）是由解)(t x “走近”原点，“不远离”原点，“远离”原点来决定的，而这些信息分别等价于))((t x V 是t 的下降、不增、上升函数。

由于],[)(121+∈R R C x V ，后者又分别等价于0))((,0))((,0))((>≤<dtt x dV dt t x dV dt t x dV而⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>==><⋅=∂∂=∂∂=∑∑==2,02,02,0),()(212121πθπθπθf gradV x x f x V dt dx x V dt t dV i i i i i i其中θ为向量为f gradV 与的夹角，而最后的表达式已不依赖于方程的解)(t x 的信息，仅依赖于所构造的V 和给定的向量场f ，以上就是 Lyapunov 第二方法（直接法）的原始思想。

考虑一般的n 维非自治微分方程组),(x t f dtdx= （1） ],[),,,(),,,,(2121n H n n R G C f f f col f x x x col x ∈== ，H G 保证（1）式解的唯一性，且0)0,(≡t f .其中}{),,[},{:0H x x t I I G H H H ≤=Ω+∞=Ω⨯=.李雅普诺夫第二方法的基本理论：Lyapunov 稳定性定理：若在某区域H G 上存在正定函数),(x t V ，使0),(1)1(≤∂∂+∂∂=∑=x t f x V t V dt dVi n i i则（1）式的平凡解0=x 是稳定的.Lyapunov 渐进稳定性定理：若在某H G 上存在具有无穷小上界的正定函数],[),(1+∈R G C x t V H ,使得)1(dtdV负定，则（1）的平凡解渐进稳定.（皮尔西德斯基（Persidskii ）改进了此定理，结论是平凡解一致渐进稳定）Lyapunov 不稳定性定理：定理1、若存在定义在H x t t ≤≥,0上的连续可微函数0)0,(),,(=t V x t V ，使得 ①原点的任何领域内有点0x ，使0),(>x t V ； ②V 具有无穷小上界；③)1(dtdV正定 则（1）式平凡解不稳定.定理2、若存在定义在H x t t ≤≥,0内的可微函数),(x t V ，使得 ①在原点的任何领域内有0),(>x t V 的区域； ②V 在H x t t ≤≥,0内有界；③.0)1(,0),(,0),,(t t x t W x t W V dtdV≥≥>+=λλ其中 则（1）式平凡解不稳定.(切塔耶夫推广并改进了Lyapunov 不稳定性定理）二、针对某一类问题或某个模型， 运用Lyapunov 第二方法进行稳定性分析所选文献《An improved robust stability result for uncertainneural networks with multiple time delays 》 作者：Sabri Arik本文提出了一个新的选择性充分条件，是关于神经网络参数的平衡点的渐近稳定性，该充分条件就是指稳定性的存在性、独特性和全局性。

同态映射定理已经证明了平衡点的存在性和唯一性。

运用Lyapunov 第二方法证明平衡点的渐进稳定性，获得的鲁棒稳定性条件建立一个关于网络系统参数间的新的关系。

关于具有时滞的神经网络的方程组：n i u t x f b t x f a t x c dt t dx i ij j j nj ij j j n j ij i i i ,,2,1))(())(()()(,11 =+-++-=∑∑==τ (1)严格的说，一个系统的系数是绝对的常数只不过是理想的假设，实际上系统总是多少有些随时间而变化的。

考虑时变系统更有实际意义，但强有力的Lyapunov 第二方法和函数法，特别是线性矩阵不等式的工具受到了限制，不得不加强条件，或者是限定系数是缓变的或是限定系数满足更强的假设。

方程组（1）满足以下情形：y x R y x n i y x l y f x f j i ≠∈∀=-≤-,,,,,2,1,)()(},,2,1,,:)({],[},,2,1,,:)({],[},,2,1,0:)({],[n j i b b b b B B B B n j i a a a a A A A A n i c c c c diag C C C C ij ij ijn n ij I ij ij ijn n ij I i i ii I =≤≤====≤≤====≤≤<===--⨯----⨯------神经网络系统模型（1）的唯一平衡点T n x x x x ),,,(*2*1** =关于所有I I I B B A A C C ∈∈∈,,是渐进稳定的。

在分析此模型时，第一步先利用了一些引理，以及同态映射定理证明了平衡点的存在性和唯一性。

第二步再证明全局渐近稳定性，首先系统满足))(())(()()(11ij j j nj ij j j nj ij i i i t z g b t z g a t z c t z τ-++-=∑∑==⋅，其中n i x f x z f z g i i i i i i i ,,2,1),())(())(( =-+⋅=⋅**，当0)(→t z 时，有*→x t x )(。

为此 定义一个Lyapunov 函数ξξαγτd z b l t z t z V tt j ij j ni nj ni i ij)()1()())((21112⎰∑∑∑-∧===++=，最后结合Lyapunov 直接法系统的全局渐进稳定。

三、综述分数阶微积分的三种定义方式及其性质和联系1、Grunwald-Letnikow 分数阶微积分：定义：① 任意阶积分定义：令P<0,若)(x f 是m+1阶连续可导，⎰∑∑++-=+=-=→--++Γ+++Γ-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=tam m p mk kp k nr at nh h a d f t k p k p a t a frh t f r p x f D τττ)()()1(1)1())(()(h lim )()1(0)(00pp t② 任意阶微分定义：设p>0,若在[a,t]上，)()(t f k ,(k=1,2,…，m+1)是连续的，且m>p-1，对于m 来说，p 的最小值取决于m<p<m+1，⎰∑++-=+--=→-++-Γ+++-Γ-==tam m p mk kp k p h at nh h ad f t k p k p a t a ft f x f D τττ)()()1(1)1())(()(lim )()1(0)(0p t性质：① 整数阶微分：性质1：对)(x f 先求p 阶分数阶导数，再求n 阶整数阶导数，)())((np t p t x f D x f D dtd a a n n +=. 性质2：对)(x f 先求n 阶整数阶导数，再求p 阶分数阶导数，∑-=+--++--Γ--=10pt p t1))(())(())((m k k n p k a n n nn a k n p a t a f x f D dt d dt t f d D ）（ 当且仅当0)(=a f k ,(k=0,1…，n-1)时，)())(())((q p tq t p t p t q t t f D t f D D t f D D a a a a a +==.② 分数阶微分：性质1：当p<0,对于任意的实数q,)())((qp tp t q t t f D t f D D a a a += 性质2：当1+m p m 0<<≤，当且仅当0)(=a f k ,(k=0,1…，m-1)成立时，)())((q p t p t q t t f D t f D D a a a+=性质3： 当0≤m<p<m+1, 0≤n<q<n+1,且满足0)(=a f k ,(k=0,1…，r-1)时，其中r=max （n ，m ），那么分数阶微分算子q t D a 和p t D a 有如下关系：)())(())((q p t q t p t p t q t t f D t f D D t f D D a a a a a+==2、Riemann-Liouville 分数阶微积分： 定义：① 任意阶积分的定义：设p 是实数且p>0, 当t>a 时，)(-p t t f D a 存在，)t (f 可积且可导m+1次，⎰--Γ=t ap a d f t p t f D τττ)()()(1)(1p-t ,且有)()(0t t f t f D a=.② 任意阶微分的定义: 设k 为整数，p 为实数，⎰----Γ=tap k kka d f t dt d p k t f D τττ)()()(1)(1p t，(k p 1-k <≤). 即()))(()(t p tt f D dtd t f D p k a k ka --=，(k p 1-k <≤).性质：① 整数阶微分：求n 阶整数阶导数时，其性质和Grunwald-Letnikow 定义的分数阶微分的性质相同 ② 分数阶微分：性质1：对同阶p 来说，分数阶微分算子是其积分算子的一个左逆算子，即)())((-p t p t t f t f D D a a=.一般地，若)(q -p t t f D a 存在，)(x f 连续，p q 0≤≤，)())((q -p t -q t p t t f D t f D D a a a=.性质2：若)(p t t f D a 可积，且k p 1-k <≤，[])1()()()())((1j-p tptp -t +-Γ--=-==∑j p a t t f Dt f t f D D jp at kj a aa一般地，[])1()()()())((1j -q tp -q tqt p -t +-Γ--=-==∑j p a t t f D t f Dt f D D jp at kj a a a a，(k q 10<≤-≤k ).性质3：当n q 10<≤-≤n ,m p 10<≤-≤m , [])1()()()())((1j -q tp q tq tp t +--Γ--=--==+∑j p a t t f D t f Dt f D D jp a t nj a a aa ，[])1()()()())((1j -p tp q tp t q t +--Γ--=--==+∑j q a t t f D t f Dt f D D jq at mj a a a a当0)(=a f j ,(j=0,1…，r-1)时，r =max （n ，m ）那么分数阶微分算子q t D a 和p t D a 有如下关系：)())(())((q p t q t p t p t q t t f D t f D D t f D D a a a a a+==.3、C aputo’s 分数阶微积分：定义：任意阶微积分：n 是整数，α为任意一个实数，那么有⎰-+--Γ=t a nn C at d f n t f D 1)(t )()()(1)(αατττα,(n n <<-α1). 性质:对)(x f 先求m 阶整数阶导数，再求α阶分数阶导数，)())(())((mtt m t m t t t f D t f D D t f D D C a C a C a C a C a+==ααα, 0)0()(=s f ,m n n s ，，⋯+=1,(m=0,1,…;n -1<α<n) 这条性质与R-L 定义下的性质恰好相反。