量纲分析

又因为矩阵 0 2 2 0 1 2 1 0 的秩为3
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1
3个线性独立物理量：m,k,g
0 2 2 1 1 0 0
00 1
寻找剩余物理量对应的无量纲量 lnl x1 lnm x2 lnk x3 lng
这个现象的各个物理量及其关系式 f (q1, q2 ,..., qn ) 0
（2）确定基本变量：从n个物理量中选取m个基本物理量
q x1a1 x2a2 ...xmam lnq a1 lnx1 a2 lnx2 ...am lnxm
可以把它看成是m维空间的正交基矢，则 a1, a2,..., am 就是矢量
规律的影响；
(3)可进行超越函数运算：
由于有量纲量只能做简单的代数运算，做对数、指数、三
角函数等超越函数的运算是没有意义的。只有无量纲化才能
进行超越函数运算。如气体等温压缩计算式：W

p1V1
ln

V2 V1

量纲分析与无量纲化
研概究念方与法意义
量纲分析法
方法一：瑞利法（Rayleigh） ——量纲和谐原理的直接应用
例题一：
如图所示，质点做单摆运动，求摆动周期 t 的表达式
(1)找出同 t有关的物理量：m, l, g ，即 f t, m, l, g 0
(2)写出指数乘积关系式 t m1l2 g3
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(3)写出量纲式 [t] [m]1 [l]2 [g]3

q x1 j 1
q2 x2 j ... qm xmj ( j 1,2,...,n m)
qm j

• （一）c、h、G、e分别为狭义相对论（时空关 系）、量子论（量子力学）、万有引力作用和电 磁作用的特征量； • （二）me、mp 粒子静止质量 • （三）NA和kB是表征粒子热运动的特征量， • NA用于宏观单位与微观单位的换算， 如原子质量单位u的NA倍=uNA～10-3 kg/mol； • kB=R(摩尔气体恒量)/NA =8.31 J mol-1 K-1/(6.02×1023 mol-1) =1.38 J K-1, 则用于温度与能量的换算。
例题2: 常量的量綱分析
定义真空中的光速c、萬有引力常量G、普朗克常量h和 玻耳茲曼常量kB等为基本常量，求它们的量綱：
• l=ct, [c]= LT-1， F=GMm/r2, [G]=[F][r]2[m]-2 =MLT-2L2M-2=M-1L3T-2, • E=hν, [h]=[E][ν] -1= ML2T-2 T= ML2T-1 • E=kBT , [kB]=[E][θ]-1= ML2T-2Θ-1 • 还有4个常用的基本常量：e、me、mp和NA， 总共8个常见基本量，可分为三类。
• 其中包含一個尚未確定的係數b，它在量綱式中 指數為0[稱為“量綱1”]，其大小不能用這種方法 確定，在只需瞭解結果的數量級時，可不必寫出。 • 由于，[h]=L, [g]= LT-2, [t]=T, 唯一满足的構造 或组合為{L/(LT-2)}1/2=T, 即 [t]={ [h] / [g] }1/2。 • 因此，可得t= (h / g)1/2。 • 這種推導物理量關係的方法叫做量綱分析 量綱分析。 量綱分析
例题1：利用量纲分析ห้องสมุดไป่ตู้出勾股定理
• 直角三角形的面积A决定于斜边c和一个锐 角α的函数，该函数量纲为1。 • A=c2 f(α) 从直角顶向斜边作垂线，则分 得的两个小直角三角形与原来的相似，即 • A1+A2=A， 其中 A1=a2 f(α)， A2= b2 f(α)。 • a2 f(α)+b2 f(α) =c2 f(α) ， 从而导 出 a2 +b2 =c2 。

解得a3=0, b3=0,c3=-1, 故 l 3 d
4 M 0 L0t 0 (ML3 )a 4 (Lt 1 )b4 (L)c4 (L)
解得a4=0, b4=0,c4=-1, 故
4

d
7
5.1 量纲分析 （5）所解问题用无量纲数表示的方程为
p l F , , , 0 2 V Vd d d l p F , , 上述公式还可以写成 1 2 V Vd d d
V2 p z const 2g g
方程左边各项的量纲依次为
V 2 L2T 2 dim L 2 2 g LT
dim z L
p ML1T 2 dim L 3 2 g ML LT
对于量纲齐次的方程用方程中的任一项去除其它项，可以使方 程无量纲化，从而减少方程的变量个数。 3
(b)
17
5.2 相似原理与模型实验 由相似准则必然有
x ' Cl x, y ' Cl y, z ' Cl z
Cl t ' Ct t , CV
u ' CV u
(c)
' C ,
f x ' Cg f x
' C ,
p ' Cp p,
Vl
CV Cl 1 C


V 'l ' '
，即 Re Re'
不可压定常流相似，他们的弗劳德数、欧拉数、雷诺数必相等
这些无量纲数组称为相似准则或相似判据
相似原理可表述为：两种流动现象相似的充分必要条件是：能 够用同一微分方程描述同一种类的现象；并且满足单值条件相

若 rank A r
量纲矩阵记作 A { a ij } n m ,
线性齐次方程组 Ay 0 有 m-r 个基本解，记作
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r
则 s qj
j 1 m y sj
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定.
x
x xc
,t
t tc
xc, tc的不同构造
dx dt x v
2
x x ( t ; r , v , g ) 的不同简化结果
1）令 x c r , t c r / v
xv vx
2
x x / r , t vt / r
1 v , x 2 ( x 1) rg x (0) 0, x (0) 1
2
无量纲 化方法
1) 2) 3) 的共同点
解 x x ( t ; ) 只含1个参数——无量纲量 2 v 1) 2) 3) 的重要差别 考察无量纲量 rg 3 rg 6370 10 9 . 8 8000 ( m / s ) v 1
在1) 2) 3) 中能否忽略以为因子的项？
3
F=0
v gl ,2
3 ( 1 , 2 )
s l
2
1
未定
量纲分析法的评注
• 物理量的选取 (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的. • 基本量纲的选取
基本量纲个数n; 选哪些基本量纲.
• 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解. • 方法的普适性 • 结果的局限性 不需要特定的专业知识. 函数F和无量纲量未定.