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参数通过测量和最小二乘法计算可以得到。
原理分析
t ml g 1 2 3
为什么假设这种形式？
设p= f(x,y,z) 对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2，
p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
x,y,z的量纲单
位缩小a,b,c倍 p 1 f( a 1 ,b 1 x ,c 1 y )p z 2 , f( a 2 ,b 2 x ,c 2 y )
n
[qj] Xiaij, j1,2,,m i1
量纲矩阵记作 A{aij}nm, 若ranAkr
即线性齐次方程组 Ay0 有 m-r 个基本解，记作
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r
m
则 q ysj
s
j
j 1
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
第一讲 关于量纲分析法
量纲分析法是二十世纪初，一些物理学家提出的一种 在物理领域建立数学模型的办法。
所谓量纲分析法，即在经验和实验的基础上，利用物 理量的量纲所提供的信息，根据量纲齐次原则来确定 物理量之间的关系。
量纲，即物理量的单位，如速度的量纲就是 m/s
一、量纲齐次原则
物理量的量纲
物 长度 l 的量纲记 L=[l] 理 质量 m的量纲记 M=[m] 量 时力；
2、忽略地球自转对单摆运动的影响；
m
3、摆线是刚体，在摆动中无形变；
4、摆轴部分没有摩擦。
mg
在这样的假设条件下，与单摆运动有关的物理量分别有：
t、m、l、g、
单摆运动的规律由公式 F(t, l, m, g, ) = 0 给出。
假设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
的 速度 v 的量纲 [v]=LT-1
量 纲
加速度 a 的量纲 [a]=LT-2
力 f 的量纲 [f]=LMT-2
动力学中 基本量纲 L, M, T
导出量纲
国际单位制SI制的基本量
• 长度 l • 质量 m • 时间 t • 电流强度 I
• 温度
文K • 光强 J
拉cd
• 物质的量
米L 公斤M
秒T 安培A
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1,0,0)T y2 ( 0, 2, 0, 0,1,0)T y3 ( 1, 3, 1, 0,0,1)T
m
q ysj
s
j
j 1
而且存在一个未定的函数关系：
(1,2,3)0
1 2
1 1
g 2l 2v l 2s
3
g l f 1 3 1
航船阻力模型
注意3中含有 f ，为了得到 f 的 关系式，不妨设
1 2
1 1
g 2l 2v l 2s
3
g
l 1 3
f 1
3 12 2
则
由 (1,2,3)0得 3(1,2) 及
至此我们已经建立了阻力 f 与其他各物理量之间的关系式。 仍是未知的函数关系，看起来似乎没什么用，其实不然。
A{aij}nm
A 0 0 1 0 0 1 (M) 2 0 0 1 0 2 (T)
m=6, n=3
(g) (l) () (v) (s) (f )
f(q1,q2,,qm)0
(g,l, ,v,s,f)0
rank A = r
Ay = 0 有m-r个基本解
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
0
y
2
0
y 1 2 y 4 0
基本解 y ( y1, y2 , y3, y4 )T (2, 0, 1, 1)T
t2l1g F()0
(t l/g)
Pi定理 (Buckingham) 设 f(q1, q2, , qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量 纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为
Pi定理的意义
Pi定理实际上给出了一个量纲分析法建 模的方法和理论支持，即这个定理证明 了：量纲分析法是可行的，没有任何理 论上的疑点。
下面就利用Pi定理中给出的步骤和方法来解决一个 新的建模问题。
二、波浪对航船的阻力
与航船阻力有关的物理量：
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s,
t m1l2g3 (1)
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量 (1)的量纲表达式
[t][m ]1[l]2[g]3 T M LT 1 2 3 2 3
1 0 2 3 0 2 3 1
1 0 2 1 / 2 3 1 / 2
t l g
对比
t 2 l g
对比这里计算出的公式和实际公式
开尔
堪德
摩尔N
其他所有物理量的单位都由这7个基本量复合得到。
量纲齐次原则
引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
对无量纲量，[]=1(=L0M 0T 0)
量纲齐次原则 等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
单摆运动示例
例:单摆运动 求摆动周期 t 的表达式
海水密度, 重力加速度g。
f(q1,q2,,qm)0 (g,l, ,v,s,f)0
n
[q ] j
X ,aij i
i 1
[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M,
[v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
j 1,2, , m
1 1 3 1 2 1 (L)
[ t ] L 0 M T0 1
[
m
]
L0M
1T
0
[
l
]
L1M
0T
0
[ g ] L 1 M 0 T 2
(L0M0T1)y1(L0M1T0)y2(L1M0T0)y3 (L1M0T2)y4 L0M0T0
LM T L M T y 3 y 4 y 2 y 1 2 y 4
0 00
y3
y 4
p1
p
1
p2
p
2
f(x1,y1,z1)f(a1x,b1y,c1z) f(x2,y2,z2) f(a2x,b2y,c2z)
p= f(x,y,z)的形式为 f(x,y,z)xyz
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式 f(t,m ,l,g)0
t ml g y1 y2 y3 y4 y1~y4 为待定常数, Δ为无量纲量
