量纲分析法原理

第一节量纲分析方法量纲分析是物理学中常用的一种定性分析方法，也是在物理领域中建立数学模型的一个有力工具。

利用这种方法可以从某些条件出发，对某一物理现象进行推断，可将这个物理现象表示为某些具有量纲的变量的方程，从而可以用此来分析个物理量之间的关系。

1.1量纲当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。

概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。

它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。

在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J。

按照国家标准（GB3101—93），物理量•的量纲记为dim•，国际物理学界沿用的习惯记为[•]。

实际中，有些物理量的量纲是基本的，成为基本量纲。

系统因选定的基本单位不同，而分成绝对系统与工程系统两大类。

工程系统的基本单位：质量、长度、时间、力。

绝对系统的基本单位：质量、长度、时间。

绝对系统以长度(length)、质量(mass)、时间(time)及温度(temperature)为基本量纲，各以符号L 、M 、T 、θ表示其量纲。

其他可由基本量纲推导出的量纲称为导出量纲。

但在工程系统中，除了长度L 、质量M 、时间T 及温度θ等基本量纲外，也将力定义为基本量纲，而以符号F 表示其量纲。

此外在探讨热量 (heat)时，热量亦被定义为基本量纲，而以H 表示。

而其他的物理量的量纲可以由这些基本量纲来表示，比如：速度v = ds/dt 量纲：[]V =1LT - 加速度a = dv/dt 量纲：2[]a LT -= 力F = ma 量纲：22[][][]F M LT MLT --==压强P = F/S 量纲： 22[]P MLTL --= 21MT L --= 实际中，也有些量是无量纲的，比如,e π等，此时记为[][]1e π==。

量纲分析法量纲分析法是求解物理问题的一种常用方法，它是建立在物理量之间存在着量纲关系的基础上的。

我们都知道，物理量是有量纲的，例如长度有米（m）、质量有千克（kg）等等。

物理量之间可能存在着各种复杂的关系，但是它们之间的量纲关系却是简单明了的。

在这个基础上，我们可以通过对物理量之间的量纲关系进行分析，得到大致的物理规律和关系式。

量纲分析法的应用范围广泛，可以用于求解机械、电学、热学等方面的问题。

特别是对于那些难以通过精确计算求得解析解的问题，量纲分析法常常能够给出很好的近似解。

量纲和单位的概念在进一步介绍量纲分析法之前，我们需要先了解一下量纲和单位的概念。

量纲是指物理量所具有的性质或特征。

例如，长度、质量、时间等都是物理量的量纲。

一般来说，我们用中括号表示一个物理量的量纲，例如$[L]$表示长度的量纲，$[M]$表示质量的量纲。

单位是指用来度量某一物理量的标准。

对于同一物理量，不同的国家或文化可能使用不同的单位。

例如，长度可以使用米、英尺、码等作为单位，质量可以使用克、千克、磅等作为单位。

物理量之间的量纲关系物理量之间的量纲关系非常重要，因为它们是建立任何物理公式或关系式的基础。

对于任意一个物理量，我们都可以通过对其进行基本量的组合或者一些次幂等数学运算，得到它的量纲式。

例如，对于单位长度的物理量，我们可以用基本物理量长度$L$表示它，那么它的量纲式为：$$[L]^1$$同理，对于单位速度$v$，由速度的定义可以得到：$$[L]^1\text{T}^{-1}其中，T表示时间的量纲。

通常情况下，我们将同一物理量的所有单位转化为相同的标准单位后，再进行量纲关系的分析。

例如，对于长度这一物理量，我们选用标准单位米（m）作为计量单位，则长度的量纲为$[L]$，而英尺的长度则可以表示为$0.3048\text{m}$。

量纲分析的基本原理和步骤量纲分析的基本原理是“对等量纲式进行运算时，只能加减，不能乘除”。

量纲分析量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。

为了能够应用数学来描述物理对象，我们需要对其定量化。

物理对象的定量化需要有单位和数值，单位是作为度量标准的某个物理量。

被测物理量的数值大小不仅取决于其本身，而且取决于所选用的单位。

例如为了描述一块地的范围，需要确定其面积的单位和数值的大小。

我们可以说这是块大小为1平方公里的地，也可以说这是块大小为1000000平方米的地。

离开了单位，仅根据数值我们无法判断一块地的大小。

单位的选取往往带有任意性，比如说度量长短可以选用米为单位，也可以选用厘米、分米、公里甚至光年为单位。

然而这些单位都是用来度量同一个物理量—长度的，它们之间可以相互换算，具有某种统一性。

我们把这种统一性称为量纲。

单位：物理量的大小；量刚：物理单位的种类。

m 、cm、mm 长度类用L表示分、小时、秒时间类用T表示公斤、克质量用M表示一般来说，测量同一个物理量可以有不同的单位，但是它的量纲是唯一的。

例如，测量长度可以用厘米、分米、公里甚至光年为单位，量刚只能用L来表示。

通常用［量］来表示物理量的量纲，不同的物理量往往有不同的量纲：长度的量纲记为L，时间的量纲记为T，质量的量纲记为M，无单位的物理量的量纲记为1。

一个具体的物理对象往往要有许多不同的物理量来描述其不同的特性，我们可以把其中的一些看成是基本量，其他的是导出量。

基本量的量纲称为基本量纲，互不依赖，互相独立的，不能从其他量纲推导出来量纲。

在国际单位制中有7个基本量纲：质量[M]、长度[L]、时间[T] 、电流[I]、热力学温度[Θ]、物质的量[N]、发光强度[J]其他量的量纲可以由基本量纲导出。

导出量纲：可用基本量纲推导出来的量纲例如，我们取基本的量纲为L、T和M，那么面积的量纲为L2，速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为LT-2。

量纲分析法2篇量纲分析法是一种常用于理论计算、实验设计和模型推导的方法，可用于确定物理量之间的关系和理论公式中未知参数的数量和单位。

本文将从量纲的基本概念、量纲分析的原理和步骤、应用和局限性等方面进行介绍。

一、量纲的基本概念物理量是指可测量和可表示的物理现象或性质。

测量物理量需要确定其数量和单位，量纲是指物理量的单位所表示的测量属性或特征。

量纲可分为基本量纲和导出量纲两类。

基本量纲是指用于表示国际单位制或其它量制基本单位的物理量，如长度、质量、时间、温度等；导出量纲是指通过基本量纲和其它导出量纲经过一定的运算和组合所得到的物理量，如速度、加速度、密度、功率等。

二、量纲分析的原理和步骤量纲分析的原理是基于物理量之间的数量关系和单位关系。

在同一物理学体系中，物理量之间的关系可以通过数量式和等式表达，单位关系可以用换算式表示。

在分析物理问题时，可以通过量纲分析确定物理量之间的关系和未知参数的数量和单位。

量纲分析的步骤如下：（1）选择适当的基本量纲：根据具体问题选择基本量纲。

（2）列出问题中的物理量：根据问题陈述列出涉及的物理量。

（3）建立物理量的数量关系：根据问题陈述以及物理学原理建立物理量的数量关系。

（4）建立物理量的单位关系：根据国际单位制或其他量制建立物理量的单位关系。

（5）将物理量的数量关系和单位关系进行联立，消去公式中多余的量纲（基本量纲和导出量纲），并利用未知参数的量纲关系，求出未知参数的数量和单位。

三、应用和局限性量纲分析法广泛应用于理论分析、实验设计和模型推导等领域。

其主要优点是简单实用，能够快速确定物理量之间的关系和未知参数的数量和单位，为进一步研究和分析提供了重要的基础。

但是，量纲分析法也存在一些局限性，如物理量的表达式必须是线性的或近似线性的，未知参数的数量必须较少，物理量之间的数量关系和单位关系必须明确，不能处理非线性关系和复杂的物理问题等。

综上所述，量纲分析法是一种常用的物理方法，它通过建立物理量的数量关系和单位关系，能够快速确定物理量之间的关系和未知参数的数量和单位，为物理研究提供了重要的基础。

量纲分析方法的基本原理是定理量纲分析方法的基本原理是Π定理。

设所选取的单位制中基本量的数目为m，它们是，物理量Q的量纲式为（1）对上式取对数，则有（2）若是m维空间的“正交基矢”，则就是“矢量”ln[Q]在基矢量上的投影，或者说是它的“分量”。

于是，量纲式可以简写为。

所谓几个物理量的量纲独立，是指无法用它们幂次的乘积组成无量纲量。

用矢量语言表达，就是代表它们量纲的“矢量”线性无关。

在m维的空间内最多有m个彼此线性无关的矢量。

m个矢量（i =1,2, …,m）线性无关的条件是它们组成的行列式不等于0：（3）P定理表述为设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量,而我们所选取的单位制中有m个基本量（n>m），则由此可组成（n-m ）个无量纲的量，在物理量之间存在的函数关系式（4）可表示成相应的无量纲形式（5）或者把解出来：（6）n=m的情况下，有两种可能：若的量纲彼此独立，则不能由它们组成无量纲的量；若不独硫还可能组成无量纲的量。

运用P定理作量纲分析示范如下：在力学问题中，选取质量（M）、长度（L）、和时间（T）作为基本物理量，故m=3。

例1:设一均匀细棒，长度为l，质量为m。

求绕过中点O的转轴的转动惯量 J(如右图)。

解：转动惯量的量纲式为,任意形状的转动惯量可写为, 代表一组能确定其几何形状的无量纲参量，如长方形的两边长之比；三角形的底与高之比，对于几何形状相似的物体，函数是等同的，对于那些只用一个特征长度即可完全确定的几何形体，如正方体，长方体，立方体，圆，球……等，退化为一个未知常数，用k表示。

所以,对细棒,转动惯量J可以写成（7）已知平行轴定理（8）(这里是物体对通过其质心的某个特定轴的转动惯量，d是将此转轴平行移动距离。

)设式（7）中的J代表细棒的，即过质心o并垂直于棒的转轴的转动惯量。

将转轴移至端点，则, 按（8）式（9）设想棒平均分成两段，每段质量为，长度为 ,按（9）式, 两段绕同一转轴的转动惯量之和应等于总转动惯量,即: ,∴∴ 由（7）式得, 由（9）式得例2.; 由开普勒第三定律推论万有引力的性质。

最纲分析法量纲分析法在流体力学和模型试验等领域被广泛应用，成为一种有效的研究手段。

量纲分析常用于：（1）物理量量纲的推导；（2）根据量纲和谐原理，校核由理论分析推导出的代数形式方程各项因次是否正确；（3）量纲分析基于表达自然现象的物理规律，不取决于所用量纲的单位，因而，在表达这些规律的公式中，可用无量纲组合的形式来表示，从而使方程形式简化；（4）用于确定模型实验的相似条件，指导整理实验资料、把无量纲数组合整理成含有待定系数的函数式，这个函数式可将模型参数换算、推广至原型，其中待定系数由实验确定。

在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法有两种：一种称瑞利（Rayleigh）法，适用于比较简单的问题；另一种称定理，是一种具有普遍性的方法。

一、瑞利法瑞利法的基本原理是某一物理过程同n个物理量有关其中的某个物理量可表示为其它物理量的指数乘积（9-3）写出量纲式为=K·dim()dimqi将量纲式中各物理量按式（9-1）表示为基本量纲的指数乘积形式，并根据量纲和谐原理，确定指数，就可得出表达该物理过程的方程式。

用瑞利法求力学方程，在有关物理不超过4 个，待求的量纲指数不超过3个时，可直接根据量纲和谐条件，求出量纲指数，建立方程。

二、定理定理是量纲分析更为普遍的原理，由美国物理学家布金汉（Buckingham）1915年提出，又称为布金汉定理。

定理指出，若某一物理过程包含n个物理量，即其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由n个物理量构成的（n-m）个无量纲项所表达的关系式来描述，即（9-4）由于无量纲项用表示，定理由此得名。

定理可用数学方法证明。

定理的应用步骤：（1）找出物理过程有关的物理量（2）从n个物理量中选取m个基本量，不可压缩流体运动通常选取速度以及密度、特征长度三个基本量。

（3）基本量依次与其余物理量组成项………（4）满足为无量纲项，定出各项基本量的指数a、b、c。

量纲和谐原理我们经常遇到许多物理量，如长度、时间、质量、力、速度、密度及动量等。

它们的名称、记号和量纲如表所示。

表1 流体力学中常见物理量的量纲速度v 表示单位时间内所经历的距离，它的单位是[米/秒]。

距离是长度l ，它的量纲是[L ]，而时间t 的量纲是[T ]，故速度v 的量纲是[1LT -]。

动量是质量m 和速度v 之积。

质量的量纲是[M ]，故动量的量纲是[1MLT -]。

如果我们选定三个相对对立的，例如长度l 的量纲[L ]、时间t 的量纲[T ]、质量m 的量纲[M ]为基本量纲，那么其他物理量的量纲都可用这三个基本量纲来表示。

如表5-1中所示，例如，加速度a 的量纲可表示为[2LT -]，力F 的量纲可表示为[2LMT -]。

当我们把一些物理量进行组合、分析或作比较时，用量纲表示就比较便利。

如果我们要写出一个流体微团的运动方程F ma =∑式子左边是作用在微团的各力和，它可以包括：重力W 、压力P 、粘滞τ、力弹性力E等；右边是微团的惯性力ma。

于是得到+++W P E ma t =（5-1）上式中的每项都是力，所以各项的量纲都是[2LMT -]。

又如，关于理想流体的伯努利方程2++=2v p z H g gr 表示流管中三项能头之和保持常数，即等于总能头H 。

每项的单位都是米，故它们的量纲都是[L]。

不仅如此，在力学上任何有物理意义的方程或关系式，每一项的量纲必定相同。

这称为力学方程的量纲和谐性原理，又称为“量纲齐次性规律”。

量纲和谐原理是由傅里叶1822年提出来的，它是量纲分析法中具有基本重要性的一个概念，也是量纲分析法的理论基础，并可具体表达成：只有相同类型的物理量才能相加减，也就是相同量纲的物理量才可以相加减或比较大小；不同类型的物理量相加减没有任何意义。

例如，速度可以和速度相加减，但绝不可以加上粘性系数或压力。

当然，相同量纲和不同单位的物理量之间是可以相互加减和比较大小的，因为只要将其单位稍加换算即可完成。