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复数的四则运算练习题

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1．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于 ( )． A．0 B．2i C．6 D．6－2i 解析 z＝3－i－(i－3)＝6－2i. 答案 D 2．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是 ( )． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

解析 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA→，OB→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形． 答案 B 3．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于 ( )． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析 z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限． 答案 B

4．若z1＝2－i，z2＝－12＋2i，则z1，z2在复平面上所对应的点为Z1、Z2，这两点之间的距离为________．

解析 |Z1Z2→|＝ 2＋122＋－1－22＝612. 答案 612 5．已知z1＝32a＋(a＋1)i，z2＝－33b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝43，则a＋b＝________. 解析 ∵z1－z2＝32a＋(a＋1)i－[－33b＋(b＋2)i]＝32a＋33b＋(a－b－1)i＝43， 由复数相等的条件知 32a＋33b＝43，a－b－1＝0， 解得 a＝2，b＝1. ∴a＋b＝3. 答案 3

6．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝52，求ω. 解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1＋3i)z＝a－3b＋(3a＋b)i，由题意得a＝3b≠0. ∵|ω|＝z2＋i＝52， ∴|z|＝a2＋b2＝510， 将a＝3b代入上式，得 a＝15，b＝5，或 a＝－15，b＝－5. 故ω＝±15＋5i2＋i＝±(7－i)． 综合提高 限时25分钟 7．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为 ( )． A．0 B．1

解析 由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离． 答案 C 8．复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|2＋|z2|2等于 ( )． A．10 B．25 C．100 D．200

解析 根据复数加减法的几何意义，由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以OM1→、OM2→为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M1OM2为直角，M是斜边M1M2的中点，

∵|OM→|＝42＋32＝5， ∴|M1M2|＝10. ∴|z1|2＋|z2|2＝|OM1→|2＋|OM2→|2＝|M1M2→|2＝100. 答案 C

9．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋a2i，zB＝－2a＋3i，zC

＝－b＋ai，则实数a－b为________．

解析 因为OA→＋OC→＝OB→，所以2＋a2i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以

 2－b＝－2a，a2＋a＝3，

得a－b＝－4. 答案 －4 10．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为________． 解析 方程|z－4i|＝|z＋2|表示线段Z1Z2(Z1(0,4)、Z2(－2,0))的中垂线， 易求其方程为x＋2y＝3. ∴2x＋4y＝2x＋22y≥22x·22y＝22x＋2y ＝223＝42. 当且仅当2x＝22y， 即x＝2y且x＋2y＝3，

即x＝32，y＝34时取到最小值42. 答案 42 11．设m∈R，复数z1＝m2＋mm＋2＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围． 解 因为z1＝m2＋mm＋2＋(m－15)i， z2＝－2＋m(m－3)i，

所以z1＋z2＝m2＋mm＋2－2＋[(m－15)＋m(m－3)]i

＝m2－m－4m＋2＋(m2－2m－15)i. 因为z1＋z2是虚数， 所以m2－2m－15≠0且m≠－2， 所以m≠5且m≠－3且m≠－2， 所以m的取值范围是 (－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)． 12．设z1、z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|. 解 法一 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2， 又由(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0. |z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2 ＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2， ∴|z1－z2|＝2. 法二 ∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)， ∴将已知数值代入，可得|z1－z2|2＝2， ∴|z1－z2|＝2.

法三 作出z1、z2对应的向量OZ1→、OZ2→， 使OZ1→＋OZ2→＝OZ→. ∵|z1|＝|z2|＝1，又OZ1→、OZ2→不共线(若OZ1→、OZ2→共线，则|z1＋z2|＝2或0与题设矛盾)， ∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形． 又∵|z1＋z2|＝2， ∴∠Z1OZ2＝90°， 即四边形OZ1ZZ2为正方形， 故|z1－z2|＝2. 1．(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)等于

( )． A．20＋15i B．20－15i C．－20－15i D．－20＋15i 解析 (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(3＋4i－6i＋8)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－22＋11i＋4i＋2＝－20＋15i. 答案 D 2．(1＋i)20－(1－i)20的值是 ( )． A．－1 024 B．1 024 C．0 D．512 解析 (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝ (2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 答案 C

＋－2＋i1＋2i的值是 ( )． A．0 B．1 C．i D．2i

解析 原式＝－1＋3i3[1＋i2]3＋－2＋ii1＋2ii＝2×－1＋3i232i3＋－2＋ii－2＋i＝－1i＋i＝2i，故选D. 答案 D 4．设复数z＝1＋2i，则z2－2z＝________. 解析 ∵z＝1＋2i ∴z2－2z＝z(z－2)＝(1＋2i)(1＋2i－2) ＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案 －3

5．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1z2为纯虚数，则实数a的值为________．

解析 z1z2＝a＋2i3－4i＝a＋2i3＋4i9＋16＝3a＋4ai＋6i－825 ＝3a－8＋4a＋6i25，∴ 3a－8＝0，4a＋6≠0，∴a＝83. 答案 83 6．计算(1)1＋i1－i6＋2＋3i3－2i； (2)12＋32i4. 解 (1)原式＝i6＋2＋3ii3－2ii＝i2＋2＋3ii2＋3i ＝－1＋i. (2)法一 原式＝12＋32i22＝－12＋32i2 ＝－12－32i. 法二 ∵－12－32i3＝1， ∴原式＝－12－32i4＝－12－32i3－12－32i ＝－12－32i. 综合提高 限时25分钟

7．复数z满足(1＋2i)z－＝4＋3i，那么z＝ ( )． A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i

解析 z－＝4＋3i1＋2i＝4＋3i1－2i1＋2i1－2i＝15(10－5i)＝2－i， ∴z＝2＋i. 答案 A

8．若x＝1－3i2，那么1x2－x＝ ( )． A．－2 B．－1 C．1＋3i D．1

解析 ∵x2－x＝x(x－1)＝1－3i2.1－3i2－1＝1－3i2·－1－3i2＝－14(1－3i)(1＋3i)＝－1， 所以1x2－x＝－1，故选B. 答案 B 9．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________． ①|z－z|＝2y；②z2＝x2＋y2； ③|z－z|≥2x；④|z|≤|x|＋|y|. 解析 ∵z＝x－yi(x，y∈R)，|z－z|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，∴①不正确；对于②，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确；∵|z－z|＝|2y|≥2x不一定成立，∴③不正确；对于④，|z|＝x2＋y2≤|x|＋|y|，故④正确．

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7.2 复数的四则运算(精讲)(原卷版)

7.2 复数的四则运算(精讲)(原卷版)

7.2 复数的四则运算（精讲）考法一复数的加减运算及集合意义【例1-1】（2020·全国高一课时练习）计算：（1）(13)(2)(23)i i i++-++-；（2）(2)(15)(34)i i i---+++；（3）()(34)5(,)a bi a bi i a b+--+∈R.【例1-2】（2020·全国高一课时练习）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，32i+，24i-+，其中i为虚数单位.(1)求AO对应的复数.(2)求CA对应的复数；(3)求OB对应的复数.【一隅三反】1．（2020·东台市创新学校高二月考）复数()(353)4i i ++-=（ ） A ．6i - B ．6i +C ．1i -+D ．16i -+2．（2020·苏州新草桥中学高二期中）(5)(3)5i i i ----等于（ ）． A ．5i B ．25-iC ．25i +D ．23．（2020·全国高一课时练习）设i 为虚数单位，复数113z i =-，232z i =-，则12z z -在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020·全国高一课时练习）复数(1)(2)3i i i --++等于（ ） A ．1i -+B ．1i -C ．iD ．-i考法二 复数的乘除运算【例2】（1）（2020·济南市·山东师范大学附中高一月考）设134z i =-，223z i =-，则12z z ⋅在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限（2）（2021·贵州贵阳市·）若()12z i -=，则z =（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+【一隅三反】1．（2020·北京海淀区·人大附中高三期中）设i 为虚数单位，则11ii-+的虚部为______．2．（2020·全国）在复平面内，复数1112i iz i +-=+-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2020·全国）复数13(1)(12)ii i -=-+（ ）．A ．1-B ．i -C ．3455-i D ．35i -4．（2020·全国）计算：（1）2(12)3(1)2i i i ++-+；（2）2211(1)(1)i i i i -+++-；（3．考法三 复数范围内解方程【例3】（2020·辽宁高一期末）若虚数12i -是关于x 的方程20x ax b +=-(a ，R b ∈)的一个根，则a bi +=（ ）A ．29BCD ．3【一隅三反】1．（2020·重庆北碚区）已知复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +的值为（ ） A ．4B ．2C ．0D ．2-2．（2021·上海杨浦区·复旦附中）设复数z 满足1z =，且使得关于x 的方程2230zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______.3．（2020·全国）关于x 的方程2(2)10x a i x ai +--+=有实根，求实数a 的取值范围.4．（2020·全国高一课时练习）已知关于x 的方程x 2+kx+k 2﹣2k=0有一个模为1的虚根，求实数k 的值．。

5.2.1复数的四则运算

5.2.1复数的四则运算

2
3
13 3 1 3 2 1 3 3 i ) ( 证明：（1 ） 1 1 ( i) （ 2 ） ( 2 i2 ) 2 2 2 2 1 3 1 2 3 1 3 3 3 2 1 2 i ( ) 2 i ) ( i ( i ) i ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 3 3 1 3 1 3 1 i )( i) i ( 2 i 2 2 4 2 2 4 2 2 1 2 3 2 1 3 ( ) ( i ) 1 0; 2 2 4 4
类似于多项式的乘法
3、复数的乘方 (复数的乘方是相同复数的积)
C 对任何 z, z1 , z2 及
m n
m n
m , n N ，有
(z ) z n n n ( z1 z2 ) z1 z2 特殊的有：i 1 i i 2 1
mn
z z z
mn
一般地，如果 n N ，有 i 幂的周期性：
2
例6求 i i i i i 解：根据 i 的性质，
0 1 2 3
2006
的值等于______
i i i i 0 0 1 2 3 2004 2005 2006 则有i i i i i i i 0 1 2 3 2004 2005 2006 i (i i i i ) i i 0 1 2 1 0 i 1 i i 0 i i
1.复数加减法的运算法则 2、复数的乘法法则 3、复数的乘法运算律 4、复数的除法法则
5、一些常用的计算结果:
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
复数的四则运算

复数的四则运算


1 i 100 50 3. 已知 z , 求 z z 1 的值。 2
【探究】
a bi 其共轭复数 z =_______
若 z a bi , 则
性质：① z + z = 2a ② z – z = 2bi (纯虚数或 0) ③ ( z ) = z ④ z 1+ z2 = z 1+ z2 ⑤ z 1z 2 = z 1 z 2 ⑥ zn = z
2 3 4
i __ , i __ , i __ , i __
5 6 7 8
你能发现规律吗？有怎样的规律？
i
4n
1 , i
4 n1
i , i
4n2
1 , i
4 n 3
i
【例2】求值：i i
2
i i
3
2006
f (n) i n i n (n N ) 【练习】求
【练习】 1. 设复数 z1 2 i , z2 1 3i , 则复数 1 z2 的虚部 ______ . z1 5
2. 复数 z 满足 (1 2i ) z 4 3i 求z
【探究】 i 的指数变化规律
i i , i 1 , i i , i 1
n
【探究】 怎样判断一个复数是实数？ ① z的虚部为0
② z = z
【探究】
设 z1 , z2 C
问 z z1 z2 z1 z2 是实数吗？
【例1】已知复数 z=1+i ,求实数a,b 使
a z 2b z (a 2 z)
2
【思路分析】 将 z=1+i 代入等式
然后利用复数的相等解决。
的值域。
复数的四则运算

复数的四则运算

2 2
例6: 当n∈N*,计算in+(-i)n所有可能的取值 计算i +(-
复数的四则运算
例1：计算 (1) (1+3i)+(-4+2i) (2) (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) (1+3i)+((5-6i)+(- i)实部、 实部、虚部对应相加减 例２：计算 (2(2)(1+2i)(3+4i)((1) (2-3i)(4+2i) (2)(1+2i)(3+4i)(-2+i) (a+bi)(a(3) (a+bi)(a-bi) (4) (1+2i)2 按多项式相乘法则进行， 按多项式相乘法则进行，以前的乘法公式 都可能使用。遇到i 化为都可能使用。遇到i2化为-1
z = a − bi
= (a + bi )(a − bi ) 2 2 = a − (bi )
=a +b
2
2
一个复数与它共轭复数之积等于模的平方

例 、 1 若 1 = −3+ i, Z2 = 4i −1, Z1 + Z = Z2,求 3 （ ） Z Z (2)设 (Z) = Z, Z1 = 3+ 4i, Z2 = i − 2,则 f(Z1 − Z2 ) f 求 (3)已 Z∈C 且 Z− 3Z = 1−5i,求 数 . 知 , 2 复 Z
练习: 练习 (A) 1
1+i1+i2+i3+…+i 2004的值为 A ) 的值为( (B) -1 (C) 0 (D) i
计算： 计算：1） i20.i50= -1
共轭复数 如果两个复数的实部相等， 如果两个复数的实部相等，虚部互为相 反数，这两个复数叫做互为共轭复数。复数z 反数，这两个复数叫做互为共轭复数。复数z 的共轭复数记为 z 即：z=a+bi 显然有： 显然有： z ⋅ z 则