第二章《有理数》2.6-2.8学习指导一,知识内容1,有理数的加法;2,有理数的减法;3,有理数的加减混合运算;二,学习目标掌握有理数的加法法则,减法法则及其混合运算;会运用正,负数及有理数加减运算解决生活中的实际问题,培养学生的动态观察,对比,分析生活问题的能力;让学生能综合运用有理数及其加,减法的有关知识灵活地解决简单的实际问题.经历和体验用所学的知识解决实际生活中问题的乐趣,感受到有理数运算的实用性,增强学数学和要数学的意识.三,重难点:重点:有理数的加,减运算法则及运算律.难点:有理数的运算法则,运算律及符号的确定;发现合理的,更多的数学方法解决问题.四,学法指导有理数的运算中,要注重运算法则,运算律,运算顺序和整数幂的运算.有理数的加法法则是十分重要的,同号两数相加,取相同的符号,并把两数的绝对值相加;异号两数相加,取较大的绝对值的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.有理数的减法法则是减去一个数,等于加上这个数的相反数,运算律在运算中要根据题意灵活运用,如加法,乘法的交换律,结合律以及分配律.在有理数的运算中,若能合理利用,可以使计算简化.运算顺序也是尤其要注意的问题之一,在加,减混合运算中,减法可以统一成加减运算.若有括号,先括号内再括号外,先小括号,再中括号,最后大括号.在运算中要先观察,看题中有些什么运算;再思考,想一想,先算什么,后算什么,运算法则是什么等问题,再动手去算.不要急于下手算,否则很容易出现错误,在运算中还要注意符号的问题,一般来说,要先确定符号,再确定绝对值.了解近似数与有效数字的概念,会根据指定的精确度或有效数字的个数用四舍五入法求其近似值;会用科学记数法表示绝对值大于10的数.五,典型例题分析例1.如果两个数的和是正数,那么这两个数一定( )(A)都是正数(B)只有一个正数(C)至少有一个是正数(D)以上答案都不对[分析]:本题主要考查有理数的加法法则,解答此题的关键在于熟练掌握有理数加法法则. [解答]:同号两数相加,取相同的符号,再把绝对值相加,因此两个正数的和仍为正数;异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,再把较大的绝对值减去较小的绝对值,因此两异号的数相加,若正数的绝对值较大,则其和为正.故此题应选(C).[启示]:进行有理数的加法运算,必须严格按照有理数加法法则进行.例2.计算:.[分析]:本题主要考查有理数的加减混合运算.关键是要注意运算顺序及符号运算.[解答1]: [解答2]:[启示]:解法1是将原式看作有理数的加减混合运算,读作:,按照法则从左向右依次运算;解法2是将原式看作几个有理数的和,读作: 的和,所以可用加法交换律和结合律进行运算.例3.计算:[分析]:本题主要考查有理数的加减混合运算及合理运用加法交换律,结合律进行简便运算. [解答]:[启示]:合理运用加法交换律,结合律进行有理数的混合运算,可以帮助我们简便运算,减少计算量,在此,应注意多重符号的化简,如:-(-8),-(+8),+(-8),+(+8),我们将它概括成去括号法则.因a 的相反数为-a,所以-(-8)表示-8的相反数,因此-(-8)=8,同理-(+8)=-8,归纳成如下法则:括号前为负号,去掉括号及前面的负号,括号内的每一项均改变符号;括号前为正号,去掉括号及前面的正号,括号里的每一项均不改变符号.例4.计算:[分析]:本题主要考查利用去括号法则及加法交换律,结合律进行简便运算.学生不一定能想到此题的简便运算,仍按常规思维,进行脱式计算,这样计算量大,而且容易出错,因此,在解答有理数计算时,先应注意观察,分析题目的特点,选择恰当的方法进行解答.的方法进行解答.[解答]:[启示]:进行有理数的混合运算,应充分考虑题目的特点,选择合适的方法,如去括号,加法交换律,结合律等进行简便运算.例5 计算:[分析]:本题主要考查利用去括号法则进行有理数加减混合运算.[解答]:[启示]:对于多个括号的问题,要从小括号到中括号到大括号一层层去掉括号,去括号时要看括号前是正号还是负号,若是负号,去掉括号后,里面各项都要变号.例6 计算:1+2-3-4+5+6-7-8+…-1992+1993+1994[分析]:本题主要考查有理数的加减混合运算.[解答]:1+2-3-4+5+6-7-8+…-1992+1993+1994=(1+2)+(-3-4+5+6)+(-7-8+9+10)+…+(-1991-1992+1993+1994)[启示]:对于这样的题目,要找到一定的规律,而去计算,如本题的特点可看出,-3-4+5+6=4,-7-8+9+10=4,-11-12+13+14=4…,可得出到1994共有498个4,因此再加上前面的3,而得到1995,当然找规律的方法不止一种,还可以有其它找规律的方法.总之,要认真分析,找到有规律的计算方法.对于含有绝对值的加减运算,应充分利用绝对值的性质来简化计算,如:|8-11|=11-8 .有理数混合运算【学法指要】例1.计算: (-1990)×(-84)-48×(-1990)-1990×14-18×1990-149÷(-297) ×(-483) ÷(-149) ×(-297) ÷(-483)乘除混合运算,应首先统一成乘法,再应用乘法交换律及结合律, 找到简捷思路,这是打开乘除混合运算思路的常用方法.第(2)题,我们通过观察习题的特点,应用乘法分配律,避免了通分, 简化计算,没有因循守旧,先运算小括号,再……,总之,要同题而异,灵活运用运算律,快捷,准确,又如第(3)题逆用了乘法分配件,关联逆问思维,又恰到好处.可见,因循守旧,生搬硬套是束缚人们发散思维的桎梏,必须敏锐观察,善于捕捉习题特点,联想发散,逆向,类比,便可找到满意解法,打破束缚发散思维的桎梏,对于第(4)题采取一分为二和凑整法,再结合乘法分配律一举获胜.这也是打开此类问题常用的思想方法,进一步品尝标新立异的甜头.有理数的混合运算,解题时应先观察,审题,发现题中有哪几级运算,有几种括号,计算时先确定运算顺序:先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的,正确选择运算途径和运算律,可简化计算,在运算的过程中要注意符号的变化,避免错误的产生.例3.已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值为5,试求x2-(a+b+cd)x+(a+b)1998+(-cd)1999的值揭示思路:∵a, b互为相反数∴a+b=0 ∴∵c, d互为倒数∴cd=1 ∴-cd=-1, (-cd)1999=(-1)1999=-1∵|x|=5, ∴x=5或x=-5 ∴x2=25当x=5时x2-(a+b+cd)x+(a+b)1998+(-cd)=25-(0+1)×5+0+(-1)=25-5+0-1=19当x=-5时x2-(a+b+cd)x+(a+b)1998+(-cd)=25-(0+1) ×(-5)+0+(-1)=25+5+0-1+(-1)=29对此类问题,必须弄清楚相反数,倒数,绝对值的概念,才易于入手.例4.球体积= 查表计算直径是2.35m的球的体积( 结果保留两个有效数字,π取3.14揭示思路球体积答:直径为2.35m的球体积约为6.对应用题要正确使用公式,然后再按有理数的法则进行运算,再按精确度进行取值.【思维体操】例1.计算:揭示思路:本例按常规运算顺序,应先算小括号里的减法,运算较繁,观察算式中的数字特征,可发现首尾两数互为倒数,根据这一迹像,抓住算式的结构特点及数与数之间的关系,利用运算定律,适当改变运算顺序,可得如下新颖解法:原式=8-3 =5由上运算可知,把原算式根据运算法则统一为乘法,又把括号里的数字为一个数,再次运用乘法交换律,利用倒数关系,使问题进一步简化,最后又根据数学特征,运用乘法分配律,顺利达到目的,本例在求解过程中,不断创新,寻求新的解法,这样既把所学知识用活,用巧,又培养自己的创新能力,提高数学素养,必须有这种学习精神,才能在素质教育的大道上不断进取例2.计算揭示思路:本例应首先进行幂的运算,再进行乘除运算,并将分子分母同时进行运算,可将原式变形为此时若把视为分子,视为分母,应用分数的基本性质,原式又可转化为再应用乘法分配律又可得:由上分析知:原式由上分析,我们既用到传统的运算方法,又探索新的路子,大胆采用分数的基本性质,避免了通分,简化运算,找到简捷品格,使小学学得的知识在中学也派上用场,总之,在求解过程中,新旧知识要互相交融,渗透,便可由量变到质变,产生新的飞跃,找到创新的解法.【动脑动手】计算.2.【创新园地】简便计算:(写出简单过程). (1.3)÷(-0.125)2.3.4. 33300÷(-37)5.6. (-1990)×(-84)-48×(-1990)-1990×14-18×19907. 999+(-999) ×(-999)+999-9999998.9. -149÷(-297) ×(-483) ÷(-149) ×(-297) ÷(-483)10.专题检测一,填空题1.x为有理数,若x3=-8,则x= .2.把0.30996四舍五入到千分位,这时有个有效数字.3.abc0,则bc 0.4.一个数的9次方和它的10次方相等,那么这个数是.5.如果(a+2)2+|b-3|=0,那么ab= .6.查立方表得5.193=139.8,则0.5193= .7.a0,且|a|>|b|,则a+b 0.8.如果用科学记数法表示的数是3.32×106,那么原来的数是.9.一个数加上x与这个数减去x是互为相反数,那么这个数是.10.1≤a<10,某数的科学记数法记为a×1015,则该数的整数位数是.选择题11.若0<A1,其中正确的个数是.(A)1 (B)2 (C)3 (D)412.如果|a|+b2=0,则a1999+b1999等于.(A)1 (B)0 (C)-1 (D)199913.若n为正整数且a=-1,则-(-a2)2n+1等于.(A)-1 (B)1 (C)0 (D)1或-115.0.1÷(-0.01) ×(-0.1)2÷(-0.1)3等于.(A)10 (B)100 (C)-100 (D)100016.下面有四种说法,其中正确的是.一个有理数奇次幂为负,偶次幂为正三数之积为正,则三数一定都是正数两个有理数的加,减,乘,除(除数不为零),乘方结果仍是有理数一个数倒数的相反数,与它相反数的倒数不相等17.下列代数式,叙述正确的是.a与b的2倍的和是2(a+b) ( C) x的平方与y的和是x2+y两数m,n的立方和是(m+n)3 (D) 两数x,y和的平方是x2+y218.甲数为x,乙数比甲数的2倍多2,丙数比乙数的一半少2,那么丙数为.(A)2x+2 (B)x-1 (C)x+1 (D)4x-220.若a+b>0,a·b>0,则必有.(A)a>0;b>0 (B)a<0;b<0(C)a,b同号(D)a,b中一个为正,且绝对值较大计算题21.22.23.24.(-3)2-(-3)3-22+(-2)225.26.27.28.解答题31.当时,求的值.34.若|a+1|+|b-3|+|c|=0,求(a-b)2-(b-c)2-(c-a)2和值.出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
