两条平行线被两条直线所截的线段比例关系1.引言平行线和截线是几何学中的基础概念，其在证明数学定理以及建立数学模型中扮演着重要的角色。
本文将介绍两条平行线被两条直线所截的线段比例关系，该关系对于建立三角形相似关系有很大的帮助，同时也可以应用于实际问题的计算。
2.两条平行线的概念两条直线如果在同一平面内且永远不会相交，那么这两条直线被称为平行线。
平行线内角可以相等，而相交线外角也可以相等。
我们可以通过平行线来定义角的大小，并将其用于三角形的计算。
3.截线的概念直线在平面上穿过另一条直线，将这条直线分成两个或更多部分的线段，被称为该直线的截线。
在两条平行线之间任意取一条第三条直线为截线，我们可以根据截线与平行线的位置关系来确定截线所截得的两条平行线之间的线段比例关系。
4.截线分割两条平行线的定理在平面内，如果两条平行线l和m分别被直线AB和CD所截，截线AC和BD相交于点O，那么有：$$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$$该定理是由欧几里得提出的，也被称为欧氏几何学的基本定理之一。
该定理可以被用来构建一些基本比例关系，并通过这些比例关系进行数学推导解题。
5.应用举例下面我们通过一些具体的例子来说明应用截线分割两条平行线的定理进行计算的方法。
假设在一张平行四边形中，两条对角线相交于点O，我们要求出对角线BO与平行线AB之间线段的长度。
解题步骤：- 在对角线AC上任取一点D，使得OD垂直于AC。
- 连接BO、AD，并且让BD相交于平行线CD于点E。
- 根据截线分割两条平行线的定理，可以得到：$$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$$$$\frac{AO}{OC} = \frac{BE}{ED}$$- 根据三角形相似，可以得到：$$\frac{AO}{AC} = \frac{OD}{DC}$$$$\frac{AO}{AC} = \frac{BE}{BC}$$- 代入已知量可以得到：$$\frac{AO}{AC} = \frac{OD}{DC}$$$$\frac{AO}{\sqrt{AC^2-OD^2}} = \frac{BO}{\sqrt{BC^2-DE^2}}$$- 代入已知量计算可得：$$\frac{AO}{7} = \frac{3}{7}$$$$AO = 3$$- 利用解得的AO，通过三角形相似关系可以得到：$$\frac{BO}{7} = \frac{BE}{5}$$$$BO = \frac{49}{5}$$因此，对角线BO与平行线AB之间线段的长度为$\frac{49}{5}$。
平行线的性质一、教与学目标：1、通过实际操作探索“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”的性质，并通过说理，认识“两条平行线条直线所截，内错角相等”和“同旁内角互补”的性质。
2、会运用平行线的性质，解决与“三线八角”有关的计算问题。
3、经历观察、推理、交流等活动，发展空间观念、有条理的思考和语言表达能力。
二、教与学重点难点：会利用平行线的性质解决一些实际问题。
三、教与学方法自主探究、合作交流。
四、教与学过程： （一）情境导入：老师：我在黑板上画两条直线被第三条直线所截，你能找到哪些角，哪些是同位角、内错角、同旁内角？有没有相等的角呢？老师:如果是两条平行线呢？（二）探究新知：1、学生活动学生画图活动:两条平行线a ∥b,再画一条截线c 与直线a 、b 相交,标出所形成的八角ab2、学生测量这些角的度数,把结果填入表内、个性化修改 1、∠1与∠5是角，用量角器量一下，它们相等吗？ 2、其它的几对同位角分别相等吗？3、你发现了什么规律？ (1)找出一对内错角，它们的大小相等吗？为什么？请你验证并与同学交流。
(2)、其它的几对内错角呢？(3)、你发现了什么规律？合作交流学生测量这些角的度数,把结果填入表内、 3、学生根据测量所得数据作出猜想、图中哪些角是同位角?它们具有怎样的数量关系? 图中哪些角是内错角?它们具有怎样的数量关系? 图中哪些角是同旁内角?它们具有怎样的数量关系? 4、生成新知能否将我们发现的结论给予较为准确的文字表述? 平行线具有性质: 性质1 性质2 性质3 5、我们能否使用平行线的性质1说出性质2、3成立的道理呢？ 因为a ∥b,所以∠1=∠4(); 又∠2=(对顶角相等) 所以∠2=∠4、（）。
（三）学以致用：1、判断题(1)、两条直线被第三条直线所截,则同旁内角互补、()(2)、两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么同位角相等、()(3)、两条平行线被第三条直线所截,则一对同旁内角的平分线互相平行、()2、∠1和∠2是直线AB 、CD 被直线EF 所截而成的内错角,那么∠1和∠2的大小关系是()A 、∠1=∠2B 、∠1>∠2;C 、∠1<∠2D 、无法确定 3、已知:如图1,AB ∥CD 、 求证:∠D+∠E+∠B=360°、 （四）达标测评： 1、:如图,BCD 是一条直线,∠A=75°,∠1=53°,∠2=75°,求∠B 的度数、2、如图,已知:∠1=110°,∠2=110°,∠3=70°,求∠4的度数在四边形ABCD 中,已知AB ∥CD,∠B = 600.①求∠C 的度数; ②由已知条件能否求得∠A 的度数?两条平行线被第三条直线所截，则（ ） A 、一对内错角的平分线互相平行 B 、一对同旁内角的平分线互相平行 C 、一对对顶角的平分线互相平行 D 、一对邻补角的平分线互相平行E21DCBAED C A B 图14321DCBA如图，在汶川大地震当中，一辆抗震救灾汽车经过一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平行.第一次拐的角∠B等于1420，第二次拐的角∠C是多少度？为什么？3．如图，直线a／／b，点B在直线b上，且AB⊥BC,∠1=55º，则∠2的度数为()D、A、35ºB、45ºC、55ºD、125º4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（）A、先右转80o，再左转100oB、先左转80o，再右转80oC、先左转80o，再左转100oD、先右转80o，再右转805．如图是一块梯形铁片的线全部分,量得∠A=100°,∠B=115°,梯形另外两个角分别是多少度?个性化修改如图1,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG•平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2=____ ___.让学生演示汽车的行驶状况帮助理解第4题教师注意规范学生的解答过程五、课堂小结：通过本节课的学习,你有哪些收获？还有哪些疑惑？平行线具有的性质：两条平行线线被第三条直线所截，相等相等相等。
小专题（一） 平行线中的“拐点”问题教材母题：如图，如果////AB CD EF ，那么BAC ACE CEF ∠+∠+∠=（ ）A.180︒B.270︒C.360︒D.540︒拓展变式：如图，//AB CD ，则A E F C ∠+∠+∠+∠=_____________.方法指导当两条平行线不是被第三条直线所截，而是被一条折线所截时，则不能直接应用平行线的性质，因此需过折线的“转折点”作一条平行线，利用平行公理的推论得出三条直线互相平行，从而多丰次利用平行线的性质解决问题.变式训练变式1 变“外凸”为“内凹”1.如图，直线//,36,AB CD C E ︒∠=∠为直角，则A ∠等于（ ）A.36︒B.44︒C.54︒D.64︒2.如图，已知//AB CD ，试判断,B BED ∠∠和D ∠之间的关系，并说明理由.变式2 变“平行线间”为“平行线的外部”3.已知//AB CD ，点E 为,AB CD 之外任意一点.（1）如图1，探究BED ∠与,B D ∠∠的数量关系，并说明理由（2）如图2，探究CDE ∠与,B BED ∠∠的数量关系，并说明理由.变式3 变“一次”为“多次” 4.（1）如图1，//AB CD ，则E G ∠+∠与B F D ∠+∠+∠有何关系？（2）如图2，若//AB CD ，又能得到什么结论？请直接写出结论.参考答案教材母题 C拓展变式 540变式训练1.C2.解：BED B D ∠=∠+∠.理由如下：过点E 作//EF AB ，则.//B BEF AB CD ∠=∠，//..EF CD DEF D BED ∴∴∠=∠∠=BEF DEF ∠+∠，BED B D ∴∠=∠+∠.3.解：（1）B BED D ∠=∠+∠.理由如下：过点E 作//EF AB .又//AB CD ， ////.,.EF AB CD BEF B D DEF BEF ∴∴∠=∠∠=∠∠BED DEF =∠+∠， B BED D ∴∠=∠+∠.（2）CDE B ∠=∠+BED ∠.理由如下：过点E 作//EF AB .又//AB CD ，////.180,180EF AB CD B BEF CDE DEF ︒︒∴∴∠+∠=∠+∠=. 又,DEF BEF BED CDE BEF BED B BEF ∠=∠-∠∴∠+∠-∠=∠+∠， 即CDE B BED ∠=∠+∠.4.解：（1）过点E 作//EM AB ，过点F 作//FN AB ，过点G 作//GH CD .//,////////.1,2AB CD AB EM FN GH CD B ∴∴∠=∠∠=3,45,6D ∠∠=∠∠=∠.125634B D ∴∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠，即BEF FGD B EFG D ∠+∠=∠+∠+∠.（2）12112n n B F F F D E E E -∠+∠+∠++∠+∠=∠+∠++∠.。
专题09平行线模型-“骨折”和“抬头”模型学习前面两次课的平行线模型做题方法，相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课学习平行线最后两个模型：平行线模型-“骨折”和“抬头”模型，为以后的学习打好一个坚实的基础。
【模型刨析】模型三“抬头”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.【典例分析】【类型一：“骨折”模型】【典例1】（2022春•铜仁市期末）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．【解答】解：方法一：延长AB交直线DE于点G，∵AG∥CD，∴∠CDE＝∠AGE＝60°，∵AF∥DE，∴∠BAF＝∠AGE＝60°；方法二：过点B作BM∥AF，过点C作CN∥ED，∴∠BAF＝∠3，∠CDE＝∠4＝60°，∵AF∥DE，∴BM∥CN，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2，∴∠3＝∠4，∴∠BAF＝∠CDE＝60°．∴∠BAF的度数为60°．【变式1-1】（2017春•如皋市校级期中）如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD 间的一条折线．若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，则∠4的度数为（）A．55°B．50°C．40°D．30°【答案】B【解答】解：如图2，过M作OM∥AB，PN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OM∥PN∥CD，∴∠1＝∠EMO，∠4＝∠PNF，∠OMN＝∠PNM，∴∠EMN﹣∠MNF＝（∠1+∠MNP）﹣（∠MNP+∠4）＝∠1﹣∠4，∴60°﹣70°＝40°﹣∠4，∴∠4＝50°．故选：B．【变式1-2】（2021秋•雅安期末）如图，AB∥EF，∠BCD＝90°，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（）A．α+β+γ＝360°B．α+β＝γ+90°C．α+γ＝βD．α+β+γ＝180°【答案】B【解答】解：过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，∵AB∥EF，∴AB∥CM∥DN∥EF，∴∠BCM＝α，∠DCM＝∠CDN，∠EDN＝γ，∵β＝∠CDN+∠EDN＝∠CDN+γ①，∠BCD＝α+∠CDN＝90°②，由①②得：α+β﹣γ＝90°．故选：B．【变式1-3】（2014春•苏州期末）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠E＝50°，则∠F＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∵∠1＝∠2，∴∠EBC＝∠BCF，∴EB∥CF，∴∠F＝∠E＝50°．故选：B．【类型二：“抬头”模型】【典例2】（2022春•长沙期中）问题情境我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG 中，DE∥GF．问题初探（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE 相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC ＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为，∠EMC的度数为．类比再探（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD 的数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；故答案为：30°，60°；（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：证明：如图，过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，∵DE∥GF，CH∥GF，∴CH∥DE，∴∠EMC＝∠HCM，∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：证明：如图，过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，∵BK∥GF，DE∥GF，∴BK∥DE，∴∠BMD＝∠KBM，∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°【变式2-1】（2020春•乳山市期中）【信息阅读】材料信息：如图①，AB∥DE，点C是直线AB，DE外任意一点，连接BC，DC．方法信息：如图②，在“材料信息”的条件下，∠B＝55°，∠D＝35°，求∠BCD的度数．解：过点C作CF∥AB．∴∠BCF＝∠B＝55°．∵AB∥DE，∴CF∥DE．∴∠DCF＝∠D＝35°．∴∠BCD＝55°﹣35°＝20°．【问题解决】（1）通过【信息阅读】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：；（2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点C的位置，∠B，∠D，∠BCD之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由．【解答】解（1）过C作CF∥ED，∵AB∥ED，∴AB∥CF，∴∠B＝∠BCF，∠D＝∠DCF，∵∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF，∴∠BCD＝∠B﹣∠D，故答案为：∠BCD＝∠B﹣∠D．（2）过点C作CF∥AB，∴∠BCF＝∠B，∵AB∥DE，∴CF∥DE．∴∠DCF＝∠D，∵∠BCD＝∠DCF﹣BCF，∴∠BCD＝∠D﹣∠B．【夯实基础】1．（2022秋•青岛期末）如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．80°【答案】B【解答】解：反向延长DE交BC于M，如图：∵AB∥DE，∴∠BMD＝∠ABC＝80°，∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．故选：B．2．（2022秋•东莞市校级期中）如图，AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E为（）A．30°B．40°C．35°D．70°【答案】A【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠A＝70°，∵∠1＝∠E+∠C，∠C＝40°，∴∠E＝30°．故选：A．3．（2022春•林州市期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（）A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°【答案】C【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：C．4．（2020春•恩平市期中）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系是（）A．β+γ﹣α＝90°B．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β＝α+γ【答案】C【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α，∵∠β+∠EDH＝180°，∠2+∠γ+∠EDH＝180°，∴∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：C．5．（2022秋•肇源县期中）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠E＝50°，则∠F 的度数．【答案】50°【解答】解：连接BC，∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∵∠1＝∠2，∴∠EBC＝∠BCF，∴EB∥CF，∴∠F＝∠E＝50°．故答案为：50°．6．（2022春•左权县期中）为了落实“双减”政策，促进学生健康成长，各学校积极推行“5+2”模式，立足学生的认知成长规律，满足学生多样化的需求，打造特色突出、切实可行的体育锻炼内容．晋中市的某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动，如图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小丽把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是．【答案】30°【解答】解：延长DC交AE于点F，∵AB∥CD，∴∠EFC＝∠A＝80°，由外角的性质得，∠DCE＝∠E+∠EFC，∴∠E＝110°﹣80°＝30°．故答案为：30°．7．（2022春•泰兴市校级月考）如图，直线AB∥CD，∠B＝66°，∠D＝37°，则∠E的度数是．【答案】30°【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠B＝66°，∴∠CFE＝∠B＝66°，∵∠CFE是△DEF的外角，∠D＝37°，∴∠E＝∠CFE﹣∠D＝66°﹣37°＝29°．故答案为：29°．8．（2021春•青浦区期中）已知，直线AB∥CD（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，则∠AGC的度数是多少？（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A＝x°，∠C ＝y°，则∠AGC的度数是多少？（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．【解答】（1）过点G作GE∥AB，因为AB∥GE，所以∠A+∠AGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），因为∠A＝140°，所以∠AGE＝40°，因为AB∥GE，AB∥CD，所以GE∥CD（平行的传递性），所以∠C+∠CGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）因为∠C＝150°，所以∠CGE＝30°，所以∠AGC＝∠AGE+∠CGE＝40°+30°＝70°．（2）过点G作GF∥AB，因为AB∥GF，所以∠A＝AGF（两直线平行，内错角相等），因为AB∥GF，AB∥CD，所以GF∥CD（平行的传递性），所以∠C＝∠CGF，所以∠AGC＝∠AGF+∠CGF＝∠A+∠C，因为∠A＝x°，∠C＝y°所以∠AGC＝（x+y）°，（3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD（平行的传递性），∴∠BAE＝∠AEM（两直线平行，内错角相等），∠MEF＝∠EFN（两直线平行，内错角相等），∠NFG＝∠FGQ（两直线平行，内错角相等），∠QGC＝∠GCD（两直线平行，内错角相等），∴∠AEF＝∠BAE+∠EFN，∠FGC＝∠NFG+GCD，而∠EFN+∠NFG＝∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD＝∠AEF+∠FGC．9.（2022春•宜春期末）问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．（1）端点A、C同向：如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝度；如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝度；（2）端点A、C反向：如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝度．【解答】解：（1）如图：过点P作PE∥AB，∴∠A＝∠APE，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠C＝∠EPC，∵∠APC＝∠APE+∠EPC，∴∠APC＝∠A+∠C，∴∠APC﹣（∠A+∠C）＝0度，故答案为：0；如图：过点P作PE∥AB，∴∠A+∠APE＝180°，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠C+∠EPC＝180°，∴∠A+∠APE+∠C+∠EPC＝360°，∴∠APC+∠A+∠C＝360°，∴∠APC+（∠A+∠C）＝360度，故答案为：360；（2）∠APC+∠A﹣∠C＝180°，证明：过点P作PE∥CD，∴∠C＝∠EPC，∵AB∥CD，∴PE∥AB，∴∠A+∠APE＝180°，∴∠A+∠APC﹣∠EPC＝180°，∴∠A+∠APC﹣∠C＝180°，∴∠APC+∠A﹣∠C＝180°；如图：过点P作PE∥AB，∴∠A＝∠APE，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠C+∠EPC＝180°，∴∠C+∠APC﹣∠APE＝180°，∴∠C+∠APC﹣∠A＝180°，∴∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°，故答案为：180．【能力提升】10．（2019春•全南县期末）（1）如图1已知：∠B＝25°，∠BED＝80°，∠D ＝55°．探究AB与CD有怎样的位置关系．（2）如图2已知AB∥EF，试猜想∠B，∠F，∠BCF之间的关系，写出这种关系，并加以证明．（3）如图3已知AB∥CD，试猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明．【解答】解：（1）过点E作EF∥AB∵∠B＝25°∴∠BEF＝∠B＝25°∵∠BED＝80°∴∠DEF＝∠BED﹣∠BEF＝55°∵∠D＝55°∴∠D＝∠DEF∴EF∥CD∴AB∥CD（2）过点C作CD∥AB∴∠B＝∠BCD∵AB∥EF∴CD∥EF∴∠F＝∠DCF∵∠BCF＝∠BCD+∠DCF∴∠BCF＝∠B+∠F（3）∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．由（1）（2）可得：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠411．（2022春•凤泉区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为；②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．【解答】解：（1）①如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，∴∠BEG＝∠EGN，∵AB∥CD，∴∠NGF＝∠GFD，∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，∵EG⊥FG，∴∠EGF＝90°，∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG；∴∠BEP＝BEG，∠PFD＝GFD，∴∠EPF＝（∠BEG+∠GFD）＝EGF＝45°，故答案为：45°；②如图，过点Q作QR∥CD，∵∠BEG＝40°，∵EG恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，设∠GFD＝∠QFD＝α，∵QR∥CD，AB∥CD，∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，∵CD∥QR，∴∠DFQ+∠FQR＝180°，∴α+∠FQR＝180°，∴α+∠FQE＝80°，∴∠FQE＝80°﹣α，由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；（2）结论：∠OEA+2∠PFC＝160°．理由：∵在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的延长线上一点，∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，∴∠EOF＝β﹣2α，∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，∵∠EOF+∠EGF＝100°，∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，∴α+β＝80°，∴∠OEA+∠OFC＝80°，∴∠OEA+2∠PFC＝160°．。
