2017届高三数学二轮复习中档题规范练六文

【20份】2017高考数学（理） 二轮专题复习小题标准练及答案高考小题标准练(一)小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ∈R ，且(a ＋i)2·i 为正实数，则实数a ＝( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 详细分析：(a ＋i)2·i ＝(a 2＋2a i ＋i 2)·i ＝(a 2－1)i －2a .又(a ＋i)2·i 为正实数，所以⎩⎨⎧a 2－1＝02a ＜0，解得a ＝－1.故选D. 答案：D2．已知f (x )是R 上的奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x ＋2，则f (7)＝( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1 详细分析：由题知f (7)＝f (3)＝f (－1)．又因为f (x )是奇函数，所以f (7)＝－f (1)＝－3.故选B.答案：B3．若集合A ＝{x |2＜x ＜3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )＜0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件详细分析：当a ＝1时，B ＝{x |－2＜x ＜1}，所以A ∩B ＝∅，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分条件；当A ∩B ＝∅时，得a ≤2，则“a ＝1”不是“A ∩B ＝∅”的必要条件，故“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件．故选A.答案：A4．对于下列四个命题：( )p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；p 2：∃x ∈(0,1)，log 12x ＞log 13x ；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞log 12x ；p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜log 13x . 其中为真命题的是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4详细分析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＞0，要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＜1，故x ＜0，p 1错误；取x ＝12，则log 12x ＝1，log 13x ＝log 32＜1，p 2正确；取x ＝12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝22，log1212＝1，故⎝⎛⎭⎪⎫12x＜log12x，p3错误；当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13时，⎝⎛⎭⎪⎫12x＜1，而log13x＞1，p4正确．故选D.答案：D5．设a，b是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则a⊥b的充分条件是()A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β详细分析：由b⊥β，α∥β得b⊥α.又a⊂α，因此可证得b⊥a.故选C.答案：C6．某程序框图如下图所示．若输出的S＝0，则判断框中可能的语句是()A．i≤6? B．i≥6? C．i≥5? D．i≤5?详细分析：由于输出的S＝0，显然当i＝4时，S＝1；当i＝5时，S＝0，此时i＝5＋1＝6，所以判断框中可能的语句是“i≥6？”．故选B.答案：B7．某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是()A．甲运动员成绩的极差大于乙运动员成绩的极差B．甲运动员成绩的中位数大于乙运动员成绩的中位数C．甲运动员的成绩平均值大于乙运动员的成绩的平均值D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定详细分析：由茎叶图可知甲运动员成绩的极差为47－18＝29，乙运动员成绩的极差为33－17＝16，故A正确；甲运动员成绩的中位数为35，乙运动员成绩的中位数为27，故B正确；甲运动员成绩的平均数为113×(18＋18＋19＋20＋21＋26＋30＋32＋33＋35＋40＋41＋47)＝38013，乙运动员成绩的平均数为113×(17＋17＋19＋19＋22＋25＋26＋27＋29＋29＋30＋32＋33)＝32513，故C正确，因为甲运动员成绩的极差大，且成绩分布比较广，因而成绩相对乙运动员来说，不稳定．故选D.答案：D8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，在等差数列{b n }中，b 2＝5，公差d ＝2.使a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＞60n 成立的最小正整数n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5详细分析：因为a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，所以当n ≥2时，a n ＝2S n －1＋1，两式作差得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ，即a n ＋1＝3a n ，当n ＝1时，a 2＝2S 1＋1＝2＋1＝3，满足a 2＝3a 1，综上有a n ＋1＝3a n ，即数列{a n }是公比为q ＝3的等比数列，则a n ＝3n －1.在等差数列{b n }中，b 2＝5，公差d ＝2.所以b n ＝b 2＋(n －2)d ＝5＋2(n －2)＝2n ＋1，因为a n ·b n ＝(2n ＋1)·3n －1，令T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，则T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)×3n －2＋(2n ＋1)×3n －1 ①，则3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)×3n －1＋(2n ＋1)×3n ②，①－②得－2T n ＝3×1＋2(3＋32＋…＋3n －1)－(2n ＋1)×3n ，所以T n ＝n ×3n ＞60n ，即3n ＞60，因为33＝27,34＝81，所以满足题意的n 的最小值为4. 故选C.答案：C9．给定区域D ⎩⎨⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ＋y ≥2，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z }，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点最多能确定三角形的个数为( )A ．15B ．25C ．28D ．32详细分析：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，因为直线z ＝x ＋y 与直线x ＋y ＝4，直线x ＋y ＝2平行，所以直线z ＝x ＋y 过直线x ＋y ＝4上的整数点(4,0)，(3,1)，(2,2)，(1,3)，(0,4)时，直线的纵截距最大，即z 最大；直线z ＝x ＋y 过直线x ＋y ＝2上的整数点(0,2)，(1,1)，(2,0)时，直线的纵截距最小，即z 最小．所以满足条件的点共有7个，则T 中的点最多能确定三角形的个数为C 37－C 35＝35－10＝25.故选B.答案：B10．若实数a ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t)d t ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1ax 6的展开式中常数项是( )A ．－18B .18C ．－52D .52详细分析：a ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t)d t ＝(－cos t ＋sin t)π0＝2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 6展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫12r x 6－2r，由题意得6－2r ＝0，所以r ＝3，所以所求常数项为C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝52.故选D . 答案：D二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A|＋|F 2B|＝12，则|AB|＝________.详细分析：|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝|AB|＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a.又由a ＝5可得|AB|＋|BF 2|＋|AF 2|＝20，即|AB|＝8.答案：812．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________.详细分析：解法1 如图1，过点C 分别作OB ，OA 的平行线CD ，CE ，交OA ，OB 的延长线于D ，E 两点，则OC →＝OD →＋OE →＝xOA →＋yOB →.而|OA →|＝|OB →|＝1，故x ＝|OD →|，y ＝|OE →|.设∠AOC ＝α(0°≤α≤120°)，则在△DOC 中，1sin60°＝x sin (120°－α)＝y sin α，即x ＝23sin(120°－α)，y ＝23sin α，从而x ＋y ＝23[sin α＋sin(120°－α)]＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．因为0°≤α≤120°，所以30°≤α＋30°≤150°，故当α＝60°时，x ＋y 取得最大值2.解法2 如图2，以O 为坐标原点，以OA 所在射线为x 轴正半轴，建立直角坐标系．设∠AOC ＝α(0°≤α≤120°)，则点C (cos α，sin α)，A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，由OC →＝xOA →＋yOB →得(cos α，sin α)＝x (1,0)＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，则x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)，下同解法1. 答案：213．在△ABC 中，若AB ＝8 3 cm ，C ＝60°，A ＝90°，则△ABC 的外接圆的半径为________cm.详细分析：设△ABC 的外接圆的半径为r cm ，则2r ＝83sin60°＝16，所以r ＝8.答案：814．设A ，F 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点与右焦点．若在其右准线上存在点P ，使得线段P A 的垂直平分线恰好经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是________．详细分析：由题意知|F A |＝|FP |＝a ＋c ，设右准线与x 轴交于点H (如图)，则|FH |＝a 2c －c ，|FP |≥|FH |，即a ＋c ≥a 2c －c ，解得e ≥12.又0＜e ＜1，故e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，115．设函数f (x )＝x 2k ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，且数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和为S n ，则S n ＝________.详细分析：f ′(x )＝2kx 2k －1＋a ＝2x ＋1，所以k ＝1，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x ，所以1f (n )＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.答案：n n ＋1高考小题标准练(二)小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M ＝{1,3,5,7}，N ＝{5,6,7}，则∁U (M ∪N )＝( )A ．{5,7}B ．{2,4}C ．{2,4,8}D ．{1,3,5,6,7}详细分析：因为M ＝{1,3,5,7}，N ＝{5,6,7}，所以M ∪N ＝{1,3,5,6,7}，又U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U (M ∪N )＝{2,4,8}．故选C.答案：C2．设i 是虚数单位，则复数(2＋i)(1－i)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限详细分析：(2＋i)(1－i)＝3－i ，在复平面内对应的点为(3，－1)，位于第四象限. 故选D.答案：D3．设条件p ：a ＞0；条件q ：a 2＋a ≥0，那么p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件详细分析：由a 2＋a ≥0得a ≥0或a ≤－1，所以p ⇒q ，但是q ⇒/p .故选A. 答案：A4．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的图象与y ＝1的图像的两相邻交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图像，只需把y ＝sin ωx 的图像( )A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度详细分析：依题意，函数y ＝f (x )的最小正周期为π，故ω＝2.因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，所以把函数y ＝sin2x 的图像向左平移5π12个单位长度即可得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像. 故选A.答案：A5．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中存在常数项，则实数n 的值可以是( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．14详细分析：展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r n x 3n －5r 6，要存在常数项，则需3n －5r ＝0，故n 为5的正整数倍．故选A.答案：A6．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的表面积是( )A ．2(1＋6) cm 2B ．4(1＋2) cm 2C ．2(2＋6) cm 2D ．2(3＋6) cm 2详细分析：该几何体是一个底面为等腰三角形的三棱锥，且右侧面和底面垂直，从而表面积为S ＝12×2×2＋12×2×2＋2×12×22＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＋22＝(4＋26) cm 2.故选C.答案：C7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1详细分析：y ＝f (f (x ))＋1＝⎩⎨⎧x ＋3，x ≤－1，log 2(x ＋1)＋1，－1＜x ≤0，log 2x ＋2，0＜x ≤1，log 2(log 2x )＋1，x ＞1，令y ＝0可得x的值分别为－3，－12，14，2，故有4个零点．故选A.答案：A8．若△ABC 内有一点O ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，且OA →·OB →＝OB →·OC →，则△ABC 一定是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形详细分析：由题意OA →·(－OC →－OA →)＝(－OC →－OA →)·OC →⇒|OA →|＝|OC →|.又因为OB →＝－(OA →＋OC →)，所以OB 是AC 的中垂线，点B 在AC 的中垂线上，故AB ＝BC ，所以△ABC 是等腰三角形. 故选D.答案：D9．如图所示，A ，B ，C 是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF ⊥AC 且|BF |＝|CF |，则该双曲线的离心率是( )A.102B.10C.32D ．3详细分析：由题意可得在Rt △ABF 中，OF 为斜边AB 上的中线，即有|AB |＝2|OA |＝2|OF |＝2c ，设A (m ，n )，则m 2＋n 2＝c 2，又m 2a 2－n 2b 2＝1，解得m ＝a c 2＋b 2c，n ＝b 2c ，即有A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋b 2c ，b 2c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a c 2＋b 2c ，－b 2c .又F (c,0)，由于BF ⊥AC 且|BF |＝|CF |，可设C (x ，y )，即有y x －c ·b 2c 2＋a c 2＋b 2＝－1，又⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a c 2＋b 2c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c 2＝(x －c )2＋y 2，可得x ＝b 2＋c 2c ，y ＝－a c 2＋b 2＋c 2c，将C ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2c ，－a c 2＋b 2＋c 2c 代入双曲线方程，可得(b 2＋c 2)2c 2a 2－(a c 2＋b 2＋c 2)2c 2b 2＝1，化简可得c 2＋b 2(b 2－a 2)＝a 3，由b 2＝c 2－a 2，e ＝ca ，可得(2e 2－1)(e 2－2)2＝1，令k ＝e 2，即(2k －1)(k －2)2＝1，故(k 2－4k ＋4)(2k －1)＝1，即2k 3－9k 2＋12k －4－1＝0，即(2k －5)(k －1)2＝0，解得k ＝52或k ＝1. 所以e 2＝52或e 2＝1(舍去)，e ＝102(舍负)．故选A. 答案：A10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S n ＝2n －a ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n (a n ＋a )(a n ＋1＋a )的前100项和为( )A.2101－12101＋1B.2100－12100＋1C.2101－12×(2101＋1)D.2100－12×(2100＋1) 详细分析：由等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －a ，可得a n ＝S n －S n －1＝2n －a－(2n －1－a )＝2n －1，所以a 1＝2－a ，即20＝2－a ，解得a ＝1.又因为a n(a n ＋a )(a n ＋1＋a )＝2n －1(2n －1＋1)(2n ＋1)＝11＋2n －1－11＋2n ，所以S 100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋1－11＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋2－11＋22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋299－11＋2100＝12－11＋2100＝2100－12×(1＋2100).故选D.答案：D二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．设f (x )是定义在R 上的奇函数，在(－∞，0)上有2xf ′(2x )＋f (2x )＜0且f (2)＝0，则不等式xf (2x )＜0的解集为________．详细分析：由2xf ′(2x )＋f (2x )＜0，知(xf (2x ))′＜0，因此y ＝xf (2x )在(－∞，0)上为减函数．因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以y ＝xf (2x )为偶函数．因为f (2)＝0，所以f (－2)＝0. 从而(－|x |)f (－2|x |)＜(－1)f (－2×1)，即0＞－|x |＞－1，解得x ∈(－1,0)∪(0,1)．答案：(－1,0)∪(0,1)12．如图，给出一个算法的程序框图．如果a ＝sin2，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则输出的结果是________(直接写出结果)．详细分析：程序运行的功能是输出a ，b ，c 三个数中最小的一个．由于0＜a ＝sin2＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1，所以b ＜a ＜c ，所以程序输出的结果是log 1.10.9.答案：log 1.10.913．设全集U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}．若∁U A ＝{1,3}，则实数m ＝________.详细分析：因为∁U A ＝{1,3}，所以A ＝{0,2}，故m ＝－2. 答案：－214．甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分情况如下面茎叶图所示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别是________．详细分析：由茎叶图可知甲的中位数为19，乙的中位数为13. 答案：19,1315．若函数f (x )＝13x 3－x 在区间(a,10－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是________．详细分析：令f ′(x )＝x 2－1＝0得x ＝±1，从而f (x )在(－∞，－1)单调递增，在[－1,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，要使函数f (x )＝13x 3－x 在(a,10－a 2)上有最小值，必须a ＜1＜10－a 2，解得－3＜a ＜1.答案：(－3,1)高考小题标准练(八)小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算：(2＋i )(1－i )21－2i＝( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i详细分析：(2＋i )(1－i )21－2i ＝(2＋i )(－2i )1－2i ＝2－4i1－2i＝2.故选A .答案：A2．已知等差数列{a n }的前n 项和为18.若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n 的值为( )A ．9B ．21C ．27D ．36详细分析：联立⎩⎨⎧a n ＋a n －1＋a n －2＝3，a 1＋a 2＋a 3＝1得3(a 1＋a n )＝4，所以a 1＋a n ＝43.又因为S n ＝n (a 1＋a n )2＝18，故n ＝36a 1＋a n＝27.故选C .答案：C3．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形详细分析：由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0得(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，即|AB →|2－|AC →|2＝0，所以|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形．故选A .答案：A4．已知函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )A ．f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f(x)＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4C ．f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4D ．f(x)＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4详细分析：f ′(x)＝Aωcos (ωx ＋φ)，由图象知T ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫－π2＝4π，所以ω＝12，A ＝4，f ′(x)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0代入导函数解析式得φ＝π4.故选B .答案：B5．2015年国庆节某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )A ．504种B ．960种C ．1008种D ．1108种详细分析：分两类：①甲、乙排1,2号或6,7号共有2A 22A 14A 44＝384(种)方法；②甲、乙排中间，丙排7号或不排7号，共有4A 22(A 44＋A 13A 13A 33)＝624(种)方法，故共有384＋624＝1008(种)不同的排法．故选C .答案：C6．某校为了了解学生课外阅读情况，随机抽查了50名学生，得到他们某一天各自课外阅读的时间数据如图所示，根据条形图可得到这50名学生该天每人的平均课外阅读时间为( )A ．0.6 hB ．0.9 hC ．1.0 hD ．1.5 h详细分析：平均课外阅读时间为150×(5×2＋10×1＋10×1.5＋20×0.5)＝0.9(h )．故选B .答案：B 7．已知在抛物线y 2＝2px 上有一个横坐标为4的点到焦点的距离为5，则实数p ＝( )A .12 B ．1 C ．2 D ．4详细分析：由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离，所以4＋p2＝5，解得p ＝2.故选C .答案：C8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从“k ”到“k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1详细分析：当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ](2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·(2k ＋1)·2，所以左端应增乘2(2k ＋1)．故选B.答案：B9．已知数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是n (n ≥3，n ∈N *)个江西普通职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z .如果再加上世界首富的年收入x n ＋1，则这n ＋1个数据中，下列说法正确的是( )A ．年收入平均数增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变详细分析：若加上一个最大的数x n ＋1，则平均数增大，方差也会变大，但中位数可能改变也可能不变．故选B.答案：B10．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →，且|OA →|＝|AB→|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( )A ．－32 B.32C ．－12 D.12详细分析：取线段BC 中点M ，则由2AO →＝AB →＋AC →，得AO →＝AM →，即O ，M两点重合．又|OA →|＝|AB →|，则△ABC 是一个直角三角形，且∠B ＝60°，故向量BA→在向量BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝12.故选D.答案：D二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知正数a ，b 分别为回归直线方程y ^＝bx ＋a 的常数项和一次项系数，其中x 与y则4b ＋a ＝__________.详细分析：x ＝4，y ＝92，回归直线y ^＝bx ＋a 通过样本中心点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，92，所以4b ＋a ＝92.答案：9212．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ∈(－∞，1)，log 81x ，x ∈[1，＋∞)，则满足f (x )＝14的x ＝__________.详细分析：令2－x ＝14，得x ＝2∉(－∞，1)，故舍去；令log 81x ＝14，所以x ＝8114＝3∈[1，＋∞)，所以x ＝3.答案：313．已知△ABC 的内角A ，B ，C 对边的长分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝__________.详细分析：由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，即a 2＋2－622a ＝－12，化简得a2＋2a －4＝0，解得a ＝2(负根舍去)．答案： 214．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x x n (n >1)的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于__________．详细分析：展开式的通项T r ＋1＝C r n (x 3)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r nx 3(n －r )－32r ，令3(n －r )－32r ＝0，解得r ＝23n ，故n 必须是3的倍数，所以n 的最小值等于3.答案：315．设实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx 的最大值是__________．详细分析：可行域为以⎝ ⎛⎭⎪⎫83，23，⎝ ⎛⎭⎪⎫72，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32为顶点的三角形内部(含边界)，y x 即为可行域内的点与原点连线直线的斜率，令y x ＝k ，所以所求y x 的最大值即为过原点的直线斜率的最大值，k max ＝32.答案：32高考小题标准练(二十)小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，D 为BC 的中点，若∠BAC ＝π3，AB →·AC →＝1，则|AD →|的最小值是( ) A.32 B.12 C.32 D.62详细分析：因为∠BAC ＝π3，AB →·AC →＝1，所以|AB →|·|AC →|＝2，又AD →＝12(AB →＋AC →)，所以|AD →|2＝14(AB →＋AC →)2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)≥14(2|AB →|·|AC →|＋2)＝32，当且仅当|AB →|＝|AC →|时取等号，所以|AD →|的最小值是62.答案：D2．如图，A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点，过原点O作直线CD 交线段AB 于点M (异于点A ，B )，交椭圆于点C ，D ，若BM →＝MA →，直线OM 的方程是y ＝32x ，则椭圆的离心率为( )A.13B.12C.14D.15详细分析：根据题意可知，A (a,0)，B (0，b )，由于BM →＝MA →，所以M 是线段AB 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，由于点M 在直线OM 上，所以b 2＝32×a 2，所以b ＝32a ，从而c ＝a 2－b 2＝a 2－34a 2＝a 2，所以e ＝c a ＝12.答案：B3．已知(1＋x )(x －a x)5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )A ．2或－32B ．－2或32C ．2或32D ．－2或－32详细分析：(1＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 5＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 5，而⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中，通项T r ＋1＝C r 5(－1)r a r x 52－r ，由52－r ＝32得r ＝1，由52－r ＝12得r ＝2，所以－5a ＋10a 2＝30，解得a ＝2或－32.答案：A4．已知正三角形ABC 的边长为23，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使二面角B －AD －C 的大小为π3，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )A ．8πB ．9πC ．11πD ．13π详细分析：根据题意可知四面体ABCD 中，BD ＝DC ，且BD ⊥AD ，DC ⊥DA ，则∠BDC 为二面角B －AD －C 的平面角，故∠BDC ＝π3，则△BCD 是正三角形，故该四面体的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，其中三棱柱的底面为边长为3的正三角形，高为3，且三棱柱的底面中心连线的中点为球心，中点到顶点的距离就是外接球的半径，设球心为O ，外接球的半径为r ，则球心到底面的距离为32，底面的中心到底面三角形的顶点的距离为23×32×3＝1，∴r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋1＝132，故四面体ABCD 的外接球的表面积为4πr 2＝13π.答案：D5．已知集合A ＝{1,2，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( ) A ．0或 2 B ．0或2 C ．1或 2 D ．1或2详细分析：将m ＝0代入集合A ，B ，满足题意，所以排除C ，D ，将m ＝2代入集合A ，B ，也满足题意，故选B.答案：B6．已知i 是虚数单位，若复数a ＋i2－i为负实数，则实数a ＝( )A ．－2B ．2C ．－12 D.12详细分析：由复数的除法运算法则可得，a ＋i 2－i＝(a ＋i )(2＋i )5＝2a －15＋a ＋25i ，∴a ＋25＝0，即a ＝－2，此时a ＋i 2－i＝－1为负实数，满足要求．答案：A7．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，且a 3＝2，a 9＝12，则a 15＝( )A ．10B ．30C ．40D ．20详细分析：由于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，故2×a 99＝a 33＋a 1515，即a 1515＝2×129－23＝2，故a 15＝30.答案：B8．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ≥－212x ＋y ≥16x ＋3y －21≤0，若z ＝a 2x ＋y (a >0)的最大值为5，则a ＝( )A ．1或62B ．1C ．4或62 D ．2详细分析：先将不等式组化简得⎩⎨⎧x －y ＋1≥0x ＋2y －2≥0.2x ＋y －7≤0作出可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝a 2x ＋y ，∴y ＝－a 2x ＋z ，z 的最大值即直线y ＝－a 2x ＋z 在y 轴上的截距的最大值，显然当直线y ＝－a 2x ＋z 过点A 或点B 时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧ x －y ＋1＝02x ＋y －7＝0解得A (2,3)，由⎩⎨⎧2x ＋y －7＝0x ＋2y －2＝0解得B (4，－1)，由2a 2＋3＝5，可得a ＝±1，∵a >0，∴a ＝1，由4a 2－1＝5，可得a ＝±62，∵a >0，∴a ＝62.代入验证可知只有a＝1符合题意，故选B.答案：B9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为()A ．55B ．－55C ．－66D ．66详细分析：由题意知，当n ＝10时跳出循环，则S ＝(－1)1×12＋(－1)2×22＋(－1)3×32＋…＋(－1)10×102＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋(－92＋102)＝1＋2＋3＋4＋…＋9＋10＝55，故选A.答案：A10．如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P为线段OC 的中点，则AP →·OP →＝( )A ．1 B.116 C.14 D ．－12详细分析：以O 为原点，OB →的方向为x 轴正方向，OA →的方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则A (0,1)，B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，所以OP →＝12OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，AP→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34，故AP →·OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＝116. 答案：B二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若这两组数据的中位数和平均数都相同，则mn ＝__________.详细分析：根据茎叶图中的数据可知，乙组的中位数是32＋342＝33，所以甲组的中位数也是33，故m ＝3，又甲组数据的平均数为27＋33＋393＝33，所以乙组数据的平均数也为33，即20＋n ＋32＋34＋384＝33，解得n ＝8，所以m n ＝38.答案：3812．一个几何体的正视图与俯视图如图所示，其中俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为__________．详细分析：由该几何体的正视图与俯视图可知，该几何体的侧视图由一个长方形和一个等腰三角形组成．长方形的长为3，宽为2，故其面积为2×3＝6；等腰三角形的底边长是21－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3，高为3，故其面积为12×3×3＝32.所以该几何体的侧视图的面积为6＋32＝152.答案：15213．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x －1x －1，又g (x )＝2x 2，则方程f (x )＝g (x )的实根的个数为__________．详细分析：设x >0，则f (－x )＝－2x －1－x －1＝2x ＋1x ＋1，又f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )＝－2x ＋1x ＋1，且f (0)＝0，故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x －1，x <00，x ＝0－2x ＋1x ＋1，x >0.①当x <0时，由f (x )＝g (x )可得2x －1x －1＝2x 2，即2x 3－2x 2－2x ＋1＝0，令F (x )＝2x 3－2x 2－2x ＋1，由F ′(x )＝6x 2－4x －2＝0可得x ＝－13(舍正根)，故F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13上单调递增，所以F (x )的极大值为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13>0，而F (－1)＝－1<0，且当x 无限接近于0时，F (x )无限接近于1，故F (x )＝0在(－∞，0)上恰有1个根；②当x ＝0时，f (x )＝g (x )显然成立；③当x >0时，由f (x )＝g (x )可得－2x ＋1x ＋1＝2x 2，即2x 3＋2x 2＋2x ＋1＝0，由x >0易得2x 3＋2x 2＋2x ＋1＝0无实根．综上可知，f (x )＝g (x )恰有2个实数根．答案：214．设f (x )＝⎩⎨⎧log 4x －1，x >0x 2＋2x ＋∫a 0t 2d t ，x ≤0，若f(f(4))＝13，则a ＝__________. 详细分析：由题意知，f(4)＝log 44－1＝0，所以f(f(4))＝f(0)＝∫a 0t 2d t ＝13a 3＝13，所以a ＝1.答案：115．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，底面△ABC 是边长为1的正三角形，棱SC 是球O 的直径，且SC ＝2，则此三棱锥的体积为__________．详细分析：过点B 作BD ⊥SC 于点D ，连接AD ，易知△SBC ≌△SAC ，所以AD⊥SC，又BD∩AD＝D，所以SC⊥平面ABD.因为SB⊥BC，SC＝2，BC＝1，所以BD＝AD＝32，又AB＝1，所以S△ABD＝12×1×⎝⎛⎭⎪⎫322－⎝⎛⎭⎪⎫122＝24，所以V S－ABC ＝13×S△ABD×SC＝13×24×2＝26.答案：26高考小题标准练(九)小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！姓名：________班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．满足条件A⊆{1,2,3,4}，且A∩{x|x2<2x，x∈N}≠∅，则这样的集合A的个数是()A．6B．7C．8D．9详细分析：因为{x|x2<2x，x∈N}＝{1}，故A∩{1}＝∅，所以1∈A，所以集合A有23个．故选C.答案：C2．已知两条不同的直线a，b，三个不同平面α，β，γ，则下列条件中能推出α∥β的是()A．a∥α，b∥β，a∥bB．a⊥γ，b⊥γ，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b⊥β，a∥bD．a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α详细分析：对于A，B，可推出α∥β或α与β相交；对于C，因为a⊥α，b ⊥β，a∥b，所以a，b方向相同．而直线与平面垂直，则α与β平行或为同一个平面．又由题意α与β为不同平面，所以由C可推出α∥β；对于D，可推出α∥β或α与β相交．故选C.答案：C3．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝()A．－43 B.54C．－34 D.45详细分析：sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45.故选D.答案：D4．在△ABC 中，若AC →·AB →|AB →|＝1，BC →·BA→|BA →|＝2，则AB ＝( )A ．1B ．3C ．5D ．9详细分析：由AC →·AB →|AB →|＝1得|AC →|cos A ＝1.由BC →·BA→|BA →|＝2得|BC →|cos B ＝2，所以AB＝|AC →|cos A ＋|BC →|cos B ＝3.故选B.答案：B5．对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图．由图可知寿命在100～300 h 的电子元件的数量与寿命在300～600 h 的电子元件的数量的比是( )A.12B.13C.14D.16详细分析：由图可知100～300 h 与300～600 h 所占阴影面积之比即为数量之比，又面积之比为⎝ ⎛⎭⎪⎫100×12 000＋100×32 000 ⎝ ⎛⎭⎪⎫100×1400＋100×1250＋100×32 000＝1 4，故数量之比是14.故选C. 答案：C6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 详细分析：令f (a )＝t ，则f (t )＝2t ，当t <1时，3t －1＝2t ，由g (t )＝3t －1－2t 的导数为g ′(t )＝3－2t ln2，在t <1时，g ′(t )>0，g (t )在(－∞，1)递增，即有g (t )<g (1)＝0，则方程3t －1＝2t 无解；当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1，即3a －1≥1，解得a ≥23，且a <1；或a ≥1,2a ≥1，解得a ≥0，即为a ≥1.综上可得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.故选C.答案：C7．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1ax 9(a ∈R )展开式中x 9的系数是－212，则∫a0sin x d x ＝( )A ．1－cos 2B ．2－cos 1C ．cos 2－1D ．1＋cos 2详细分析：由题意得T r ＋1＝C r 9(x 2)9－r (－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax r ＝(－1)r C r 9x 18－3r 1a r ，令18－3r ＝9得r ＝3，所以－C 391a 3＝－212，解得a ＝2，所以∫20sin x d x ＝(－cos x)|20＝－cos 2＋cos 0＝1－cos 2.故选A .答案：A8．一个多面体的直观图和三视图如图，则多面体AB －CDEF 外接球的表面积是( )A ．3πB ．43πC ．12πD ．48π详细分析：易得该多面体为正方体的一部分，所以其外接球的一条直径为正方体的体对角线，由三视图易求得外接球半径为3，故S ＝4πR 2＝12π.故选C .答案：C9．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字且比20 000大的五位偶数的个数为( )A ．48B ．24C ．36D ．18详细分析：分类讨论：①形如“2？？？4”形式时，情况有A 33＝6(种)；②形如“3？？？X ”形式时，情况有C 12A 33＝12(种)；③形如“4？？？2”形式时，情况有A 33＝6(种)；④形如“5？？？X ”形式时，情况有C 12A 33＝12(种)，共36种情况．故选C .答案：C10．若在区间[1,4]上任取实数a ，在区间[0,3]上任取实数b ，则关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实根的概率为( )A .38B .516C .ln 29D .2ln 29 详细分析：由题意知，关于x 的方程有实根，所以Δ＝4－4ab ≥0，即ab ≤1，所求概率即平面区域⎩⎨⎧1≤a ≤4，0≤b ≤3，ab ≤1的面积S 1与平面区域⎩⎨⎧1≤a ≤4，0≤b ≤3的面积S 2的比值．又S 1＝∫411a d a ＝ln 4－ln 1＝2ln 2，S 2＝9，所以S 1S 2＝2ln 29.故选D .答案：D二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．给出定义：若函数f(x)在D 上可导，即f ′(x)存在，且导函数f ′(x)在D 上也可导，则称f(x)在D 上存在二阶导函数，记f ″(x)＝(f ′(x))′.若f ″(x)<0在D 上恒成立，则称f(x)在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是______．①f(x)＝sin x ＋cos x ②f(x)＝ln x －2x ③f(x)＝－x 3＋2x －1 ④f(x)＝－x e －x详细分析：若f(x)＝sin x ＋cos x ，则f ″(x)＝－sin x －cos x ，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x)<0，故选项①为凸函数；若f(x)＝ln x －2x ，则f ″(x)＝－1x 2，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x)<0，故选项②为凸函数；若f(x)＝－x 3＋2x －1，则f ″(x)＝－6x ，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x)<0，故选项③为凸函数；若f(x)＝－x e －x ，则f ″(x)＝2e －x －x e －x ＝(2－x)e －x ，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x)>0，故选项④不为凸函数．答案：④12．若函数f(x)＝ln (－x)－ax 的减区间是(－1,0)，则实数a ＝__________.详细分析：f ′(x)＝1x －a ，则由题意知x<0且f ′(x)<0的解集为(－1,0)，又由1x －a<0得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0，故a ＝－1.答案：－113．下列关于棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的叙述，叙述正确的是__________(填序号)．①任取四个顶点，共面的情况有8种；②任取四个顶点顺次连结总共可构成10个正三棱锥； ③任取六个表面中的两个，两个平面平行的情况有5种；④如图把正方体展开，正方体原下底面A 1B 1C 1D 1与标号4对应；⑤在原正方体中任取两个顶点，这两点间的距离在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤102，3上的情况有4种．详细分析：任取四个顶点，共面的情况有12种，故①错误；任取四个顶点顺次连结总共可构成以每个顶点为顶点的8个正三棱锥，相对面异面的两条对角线的四个顶点可构成2个正四面体，故可构成10个正三棱锥，故②正确；任取六个表面中的两个，两面平行的情况有3种，故③错误；④明显正确；两顶点间的距离在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤102，3上，则这两顶点的连线为正方体的体对角线，共有4种情况，故⑤正确．答案：②④⑤14．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥32，lg (3－x )，x<32.若方程f(x)＝k 无实数根，则实数k的取值范围是__________．详细分析：在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝f(x)与y ＝k 的图象，如图所示．若两函数图象无交点，则k<lg 32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，lg 3215．已知P(x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px(p>0)上的一点，过点P 的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝p y ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法，求得双曲线x 2－y 22＝1在点P(2，2)处的切线方程为__________________．详细分析：对x 2－y 22＝1两边求导，得2x －yy ′＝0，则y ′＝2x y ，从而k＝2x 0y 0＝2，故切线方程为y －2＝2(x －2)，即2x －y －2＝0.答案：2x －y －2＝0高考小题标准练(六)小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若z ＝cos θ－isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( )A ．0 B.π2 C ．π D ．2π详细分析：特殊值验证θ＝π2，z ＝－i ，则z 2＝－1. 故选B. 答案：B2．设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)＜1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则下图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |x ≤1}详细分析：A ＝(0,2)，B ＝(－∞，1)，图中阴影部分表示的为A ∩(∁U B )＝(0,2)∩[1，＋∞)＝[1,2)．故选B.答案：B3．若沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )详细分析：由侧视图的定义得之．故选B. 答案：B4．如图所示，曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，则其面积是( )A ．1 B.12 C.13 D.22详细分析：由图可知，阴影部分面积为S ＝2⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x d x －⎠⎛01x 2d x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2210－x 3310＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＝13.故选C .答案：C5．阅读所给的程序，程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为( )INPUT N i ＝1S ＝1WHILE i ＜＝N S ＝S*i i ＝i ＋1WEND PRINT S ENDA ．6B ．720C ．120D ．1详细分析：程序在i ＞6时结束，依次执行的结果是：S ＝1，i ＝2；S ＝2，i ＝3；S ＝6，i ＝4；S ＝24，i ＝5，S ＝120，i ＝6；S ＝720，i ＝7，输出720，结束程序. 故选B .答案：B6．已知向量p ＝a |a |＋b|b |，a ，b 均为非零向量，则|p |的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．[－2,2] D ．[0,2]详细分析：a ，b 均为非零向量，所以a |a |，b|b |都是单位向量，所以|p |的取值范围是[0,2]. 故选D.答案：D7．已知数列{a n }共有m 项，定义{a n }的所有项的和为S (1)，第二项及以后所有项的和为S (2)，第三项及以后所有项的和为S (3)，……，第n 项及以后所有项的和为S (n )．若S (n )是首项为2，公比为12的等比数列的前n 项和，则当n ＜m 时，a n ＝( )A ．－12n －2 B.12n －2 C ．－12n －1 D.12n －1详细分析：因为n ＜m ，所以m ≥n ＋1. 又S (n )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝4－12n －2，所以S (n＋1)＝4－12n －1，故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝12n －1－12n －2＝－12n －1.故选C答案：C8．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称详细分析：由题意知T ＝2πω＝π，解得ω＝2. 将x ＝π3代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3可知y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝0，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0是函数y ＝sin(2x ＋π3)的对称中心点．故选A.答案：A9．如果点P 在平面区域⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( )A.5－1B.455－1 C ．22－1 D.2－1详细分析：作出可行域(如图所示)可知曲线上的点Q 到直线x －2y ＋1＝0上的点P 之间的距离满足条件．而直线斜率为12，直线x －2y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)与圆心(0，－2)连线的斜率为0－(－2)－1－0＝－2，故连结点(－1,0)与圆心(0，－2)交圆于点Q ，此时|PQ |最小，|PQ |min ＝22＋12－r ＝5－1.故选A.答案：A10．已知函数y ＝f (x )(x ∈R 且x ≠2n ，n ∈Z )是周期为4的函数，其部分图像如下图，给出下列命题：①f (x )是奇函数②|f (x )|的值域是[1,2)③关于x 的方程f 2(x )－(a ＋2)f (x )＋2a ＝0(a ∈R )必有实根④关于x 的不等式f (x )＋kx ＋b ≥0(k ，b ∈R 且k ≠0)的解集非空． 其中正确命题的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1详细分析：命题①②显然正确；命题③的方程可化为[f (x )－2][f (x )－a ]＝0，故f (x )＝2或f (x )＝a .而f (x )＝2无解；当x ∉[1,2)或(－2，－1]时，f (x )＝a 无解，故命题③错误；由于k ≠0，所以kx ＋b ≥2必有解，故f (x )＋kx ＋b ＞－2＋kx ＋b ≥0的解集非空，故命题④正确. 正确命题有3个，故选B.答案：B二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5项的系数是__________． 详细分析：由于(1＋x )10的展开式的二次项、五次项系数分别为C 210＝45，C 510＝252，所以(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数为252－45＝207.答案：20712．如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且AB ∥CD .若双曲线C 1以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为________．详细分析：设∠DAB ＝α，梯形周长为l . 连接BD .因为∠ADB ＝π2，所以AD ＝BC ＝2R cos α，故DC ＝2R －2AD cos α＝2R －4R cos 2α，从而l ＝2R ＋4R cos α＋2R－4R cos 2α＝－4R ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－122＋5R ，故当cos α＝12时，l 取得最大值，此时AD ＝R ，BD ＝3R ，所以e ＝2c 2a ＝2R3R －R＝3＋1.答案：3＋113．阅读下边的程序框图，若输入m ＝4，n ＝6，则输出的结果是________．详细分析：因为m ＝4，n ＝6，当i ＝3时，a ＝m ×i ＝4×3＝12，此时6整除12，故输出的结果是(12,3)．答案：(12,3)14．若随机变量X ～N (2，σ2)，且P (ξ≥5)＝0.2，则P (ξ≤－1)＝________. 详细分析：由正态分布的对称性知P (ξ≤－1)＝P (ξ≥5)＝0.2. 答案：0.215．若长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中有三个面的面积分别为2,6,3，则其外接球球面上的点到面ABCD 的距离的最大值为________．详细分析：设从长方体同一顶点出发的三条棱长分别为x ，y ，z ，不妨设xy。

二、中档题专练(一)1.[2016·长春监测]已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x － 3. (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝7，若锐角A 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＝3，且sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积．解 (1)f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因此f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.f (x )的单调递减区间为2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＋π3＝2sin A ＝3，又A 为锐角，所以A ＝π3.由正弦定理可得2R ＝a sin A ＝732＝143，sin B ＋sin C ＝b ＋c 2R ＝13314，则b ＋c ＝13314×143＝13，由余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(b ＋c )2－2bc －a 22bc＝12，可求得bc ＝40， 故S △ABC ＝12bc sin A ＝10 3.2．[2016·重庆测试] 如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，∠BAD ＝π3，AB ＝2，CD ＝3，M 为PC 上一点，PM ＝2MC .(1)证明：BM ∥平面P AD ；(2)若AD ＝2，PD ＝3，求二面角D －MB －C 的正弦值． 解 (1)证明：如图，过点M 作ME ∥CD 交PD 于E ，连接AE . 又PM ＝2MC ，故EM CD ＝PM PC ＝23，因为CD ＝3，所以EM ＝2. 因为AB ∥CD ，故AB ∥EM .而AB ＝2，所以AB 綊EM ，故四边形ABME 为平行四边形，从而BM ∥AE ，又AE ⊂平面P AD ，BM ⊄平面P AD ，所以BM ∥平面P AD .(2)以D 为坐标原点，DC ，DP 所在射线分别为y ，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .由已知AD ＝AB ＝2，∠BAD ＝π3，故△ABD 为等边三角形，所以DB ＝2，∠ABD ＝π3.因为AB ∥CD ，故∠BDC ＝π3.记B 点的坐标为(x B ，y B,0)，则x B ＝DB ·sin ∠BDC ＝3，y B ＝DB ·cos ∠BDC ＝1，即B (3，1,0)．由已知PD ＝DC ＝3，故D (0,0,0，)，P (0,0,3)，C (0,3,0)，DP →＝(0,0,3)，PC →＝(0,3，－3)．由PM ＝2MC ，故PM →＝23PC →＝(0,2，－2)，DM →＝DP →＋PM →＝(0,2,1)，即M (0,2,1)．所以DB →＝(3，1,0)，MC →＝(0,1，－1)，BC →＝(－3，2,0)，设平面BDM 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面BCM 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由n 1·DM →＝0，n 1·DB →＝0，得{ 2y 1＋z 1＝0，3x 1＋y 1＝0，故可取n 1＝(－1，3，－23)，由n 2·MC →＝0，n 2·BC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2－z 2＝0，－3x 2＋2y 2＝0，故可取n 2＝(2，3，3)，从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－108，故所求二面角D －MB －C 的正弦值为368.3．[2016·贵阳监测]在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图．(1)若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；(2)若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个，记选出的成绩中超过87分的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．解(1)学生甲的平均成绩x甲＝68＋76＋79＋86＋88＋956＝82，学生乙的平均成绩x乙＝71＋75＋82＋84＋86＋946＝82，又s2甲＝16×[(68－82)2＋(76－82)2＋(79－82)2＋(86－82)2＋(88－82)2＋(95－82)2]＝77，s2乙＝16×[(71－82)2＋(75－82)2＋(82－82)2＋(84－82)2＋(86－82)2＋(94－82)2]＝167 3，则x甲＝x乙，s2甲>s2乙，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛．(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2，且P(ξ＝0)＝C24C26＝25，P(ξ＝1)＝C14C12C26＝815，P(ξ＝2)＝C22C26＝115，则ξ的分布列为：所以数学期望E (ξ )＝0×25＋1×815＋2×115＝23. (二)1.[2016·云南统检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n,3a n －2S n ＝2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n ＋2S n <S 2n ＋1.解 (1)∵对任意正整数n,3a n －2S n ＝2，∴3a n ＋1－2S n ＋1＝2， ∴3a n ＋1－3a n －2S n ＋1＋2S n ＝0，即3a n ＋1－3a n －2(S n ＋1－S n )＝0， ∴3a n ＋1－3a n －2a n ＋1＝0，解得a n ＋1＝3a n . 当n ＝1时，3a 1－2S 1＝2，即a 1＝2， ∴a n ＝2×3n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1. (2)证明：由(1)可得S n ＝2×(1－3n )1－3＝3n －1，∴S n ＋1＝3n ＋1－1，S n ＋2＝3n ＋2－1，∴S n ＋2S n －S 2n ＋1＝－4×3n<0， ∴S n ＋2S n <S 2n ＋1.2.[2016·武昌调研]某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数(AQI)的监测数据，结果统计如下：重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？(2)已知某企业每天的经济损失y (单位：元)与空气质量指数x 的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x ≤100，400，100<x ≤300，2000，x >300，试估计该企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )K 2＝100×(22×7－8×63)230×70×85×15≈4.575.因为4.575>3.841，所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”．(2)任选一天，设该天的经济损失为X 元，则 P (X ＝0)＝P (0≤x ≤100)＝20100＝15， P (X ＝400)＝P (100<x ≤300)＝65100＝1320，P (X ＝2000)＝P (x >300)＝15100＝320，所以E (X )＝0×15＋400×1320＋2000×320＝560.故该企业一个月的经济损失的数学期望为30E (X )＝16800(元)． 3．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，EF ∥AB ，CE ∶EB ＝5∶3，将三角形△EFC 折起，使C 在平面ABEF 的射影落在B 点上．(1)若M 是BC 的中点，在线段AC 上找一点H ，使MH ∥平面ABEF ，试确定H 点的位置．(2)求点B 到平面AEC 的距离．(3)若BM →＝λBC →(0<λ<1)，是否存在λ，使得平面MAE 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值为1415？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)取AC 中点H ，连接MH ，则MH ∥AB ，因为AB ⊂平面ABEF ，MH ⊄平面ABEF ，所以MH ∥平面ABEF ，即H 为AC 中点．(2)△EFC ∽△BAC ， ∴EF BA ＝EC BC ＝58＝EF 6，∴EF ＝154，CE ＝5，BE ＝3.以B 为原点，直线BE 为x 轴，BA 直线为y 轴，BC 直线为z 轴建立空间直角坐标系，BC ＝CE 2－BE 2＝4，所以E (3,0,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，0，C (0,0,4)，B (0,0,0)，A (0,6,0)，CE →＝(3,0，－4)，AC →＝(0，－6,4)，BC →＝(0,0,4)，设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有n ⊥CE →，n ⊥AC →，⎩⎪⎨⎪⎧3x －4z ＝0，－6y ＋4z ＝0.令y ＝2，则n ＝(4,2,3)，则d ＝BC →·n |n |＝1229＝122929.(3)设M (0,0，m )，∵BM →＝λBC →，∴m ＝4λ，AM →＝(0，－6，m )，AE →＝(3，－6,0)，设平面AEM 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则n 1⊥AM →，n 1⊥AE →，则⎩⎪⎨⎪⎧－6y 1＋mz 1＝03x 1－6y 1＝0，令y 1＝1，则n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，6m ，CE →＝(3,0，－4)，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，154，0，设平面CEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2⊥CE →，n 2⊥EF →，则⎩⎨⎧3x 2－4z 2＝0，154y 2＝0，令z 2＝3，则n 2＝(4,0,3)，cos θ＝2×4＋18m22＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6m 2·42＋32＝1415，解得m ＝3，∴λ＝34，∴存在λ使得平面MAE 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值为1415.(三)1.[2016·重庆测试]设数列{a n }的各项均为正数，且a 1,22，a 2,24，…，a n,22n ，…成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S k ≥30(2k ＋1)，求正整数k 的最小值．解 (1)设等比数列的公比为q ，则q 2＝2422＝22，又由题意q >0，故q ＝2，从而a n ＝22nq ＝22n －1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由(1)知a 1＝2，数列{a n }是以22为公比的等比数列， 故S n ＝2[1－(22)n ]1－2＝23(22n－1)．因此不等式S k ≥30(2k＋1)可化为23(22k－1)≥30(2k ＋1)，即23(2k－1)(2k ＋1)≥30(2k ＋1)，因为2k ＋1>0，所以2k ≥46，即k ≥log 246. 又5<log 246<6，所以正整数k 的最小值为6.2．[2016·广西质检]某技术公司新开发了A ，B 两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：(2)生产1件产品A ，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产1件产品B ，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元，在(1)的前提下，记X 为生产1件产品A 和1件产品B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望．解 (1)产品A 为正品的概率约为40＋32＋8100＝45. 产品B 为正品的概率约为40＋29＋6100＝34. (2)随机变量X 的所有取值为180,90,60，－30. P (X ＝180)＝45×34＝35； P (X ＝90)＝15×34＝320； P (X ＝60)＝45×14＝15； P (X ＝－30)＝15×14＝120. 所以随机变量X 的分布列为：E (X )＝180×35＋90×320＋60×15＋(－30)×120＝132.3. [2015·长春质监]如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝AD ＝2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD 且BC ＝4，点M 为PC 的中点，点E 为BC 边上的动点，且BEEC ＝λ.(1)求证：平面ADM ⊥平面PBC ；(2)是否存在实数λ，使得二面角P －DE －B 的余弦值为23？若存在，试求出实数λ的值；若不存在，说明理由．解 (1)证明：取PB 的中点N ，连接MN 、AN ， ∵M 是PC 的中点，N 是PB 的中点， ∴MN ∥BC ，MN ＝12BC ＝2，又∵BC ∥AD ，∴MN ∥AD ，MN ＝AD ， ∴四边形ADMN 为平行四边形．∵AP ⊥AD ，AB ⊥AD ，∴AD ⊥平面P AB ，∴AD ⊥AN ，∴AN ⊥MN .∵AP ＝AB ，∴AN ⊥PB ，∴AN ⊥平面PBC . ∵AN ⊂平面ADM ，∴平面ADM ⊥平面PBC . (2)存在符合条件的λ.以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则P (0,0,2)，D (0,2,0)，B (2,0,0)，设E (2，t,0)，从而PD →＝(0,2，－2)，DE →＝(2，t －2,0)，则平面PDE 的一个法向量为n 1＝(2－t,2,2)，又平面DEB 即为平面xAy ，其一个法向量为n 2＝(0,0,1)，则cos 〈n 1·n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2(2－t )2＋4＋4＝23， 解得t ＝3或t ＝1，故λ＝3或λ＝13.(四)1.[2015·贵州八校联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设BC 中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积．解 (1)因为m ∥n ，故有(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0 由正弦定理可得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac ， 由余弦定理可知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中， 由B ＝π3可知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，由正弦定理及AD ＝3有BD sin θ＝AB sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝ADsin π3＝2；所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3cos θ＋sin θ， 所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ， 从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3可知θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2， 即θ＝π3时，a ＋2c 的最大值为43；此时a ＝23，c ＝3，所以S ＝12ac sin B ＝332.2．[2016·湖北七市联考]某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2015年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]．购物金额的频率分布直方图如下：电商决定给抽取的购物者发放优惠券，购物金额在[0.3,0.6)内的购物者发放100元的优惠券，购物金额在[0.6,0.9]内的购物者发放200元的优惠券．现采用分层抽样的方式从获得100元和200元优惠券的两类购物者中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得优惠券总金额X (单位：元)的分布列和均值．解 利用分层抽样从1000人中抽取10人，发放100元优惠券的购物者有：10×(1.5＋2.5＋3)×0.1＝7(人)， 发放200元优惠券的购物者有：10×(2＋0.8＋0.2)×0.1＝3(人)． 则此3人所获优惠券的总金额X 的可能取值有：300,400,500,600，且P (X ＝300)＝C 37C 03C 310＝35120，P (X ＝400)＝C 27C 13C 310＝63120，P (X ＝500)＝C 17C 23C 310＝21120，P (X ＝600)＝C 07C 33C 310＝1120.于是，X 的分布列为：均值为E(X)＝300×35120＋400×63120＋500×21120＋600×1120＝390.3．[2016·武昌调研]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD 为矩形，E为PB的中点，AD⊥AE，且P A＝AB＝2，AD＝AE＝1.(1)证明：P A⊥平面ABCD；(2)求二面角B－EC－D的正弦值．解(1)证明：∵P A＝AB，E为PB的中点，∴AE⊥PB.在Rt△PEA中，PE＝P A2－AE2＝(2)2－12＝1，∴PB＝2PE＝2.又P A＝AB＝2，∴P A2＋AB2＝PB2，∴P A⊥AB.又AD⊥AE，AD⊥AB，∴AD⊥平面P AB，∴AD⊥P A，∴P A⊥平面ABCD.(2)以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题设知P(0,0，2)，B(2，0,0)，C(2，1,0)，D(0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22，则AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22，DC →＝(2，0,0)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－1，22.∵AD ⊥AE ，AD ∥BC ，∴AE ⊥BC .由(1)知，AE ⊥PB ，∴AE ⊥平面PBC .故AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22为平面BEC 的一个法向量．设平面DEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·DC →＝0n ·DE →＝0，即⎩⎨⎧2x ＝022x －y ＋22z ＝0，可取n ＝(0,1，2)．从而cos 〈n ，AE →〉＝n ·AE →|n ||AE →|＝2×223×1＝33.故二面角B －EC －D 的正弦值为63.。

二、中档题专练(一)1．[2016·长春监测]已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x － 3. (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝7，若锐角A 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＝3，且sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积．解 (1)f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因此f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.f (x )的单调递减区间为2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＋π3＝2sin A ＝3，又A 为锐角，所以A ＝π3.由正弦定理可得2R ＝a sin A ＝732＝143，sin B ＋sin C ＝b ＋c 2R ＝13314，则b ＋c ＝13314×143＝13，由余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(b ＋c )2－2bc －a 22bc＝12，可求得bc ＝40， 故S △ABC ＝12bc sin A ＝10 3.2．[2016·开封一模]如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：AD ⊥平面BCD ； (2)求三棱锥C －ABD 的高．解 (1)证明：∵平面ADC ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ， ∴BC ⊥平面ACD ，即AD ⊥BC ，又AD ⊥CD ， ∴AD ⊥平面BCD . (2)由(1)得AD ⊥BD ，∴S △ADB ＝23，∵三棱锥B －ACD 的高BC ＝22，S △ACD ＝2，∴13×23h ＝13×2×22，∴可解得h ＝263.3．[2016·河南质检]某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位：厘米)作为样本(样本容量为n )进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60)，[90,100]的数据)．(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；(2)在选取的样本中，从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率．解(1)由题意可知，样本容量n＝80.016×10＝50，y＝250×10＝0.004，x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.(2)由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，记这5株分别为a1，a2，a3，a4，a5，高度在[90,100]内的株数为2，记这2株分别为b1，b2.抽取2株的所有情况有21种，分别为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)．其中2株的高度都不在[90,100]内的情况有10种，分别为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)．∴所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率P＝1－10 21＝1121.(二)1．[2016·云南统检]设数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n,3a n－2S n＝2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：S n＋2S n<S2n＋1.解(1)∵对任意正整数n,3a n－2S n＝2，∴3a n＋1－2S n＋1＝2，∴3a n＋1－3a n－2S n＋1＋2S n＝0，即3a n＋1－3a n－2(S n＋1－S n)＝0，∴3a n＋1－3a n－2a n＋1＝0，解得a n＋1＝3a n.当n＝1时，3a1－2S1＝2，即a1＝2，∴a n＝2×3n－1.∴数列{a n}的通项公式为a n＝2×3n－1.(2)证明：由(1)可得S n＝2×(1－3n)1－3＝3n－1，∴S n＋1＝3n＋1－1，S n＋2＝3n＋2－1，∴S n＋2S n－S2n＋1＝－4×3n<0，∴S n＋2S n<S2n＋1.2．[2016·山西联考]某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t ＝x －2010，z ＝y －5得到下表2：(1)(2)通过(1)中的方程，求出y 关于x 的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：对于线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑n i ＝1x i y i －n x ·y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ^＝y －b^x 解 (1)t ＝3，z ＝2.2，∑5i ＝1t i z i ＝45，∑5i ＝1t 2i＝55， b ^＝45－5×3×2.255－5×9＝1.2，a^＝z －b ^t ＝2.2－3×1.2＝－1.4， ∴z ＝1.2t －1.4.(2)将t ＝x －2010，z ＝y －5，代入z ＝1.2t －1.4， 得y －5＝1.2(x －2010)－1.4，即y ＝1.2x －2408.4. (3)∵y ＝1.2×2020－2408.4＝15.6，∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元． 3. [2016·贵州七校联考]如图，几何体EF －ABCD 中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD ＝2，AB ＝4，∠ADF ＝90°.(1)求证：AC ⊥FB ；(2)求几何体EF －ABCD 的体积．解 (1)证明：由题意得，AD ⊥DC ，AD ⊥DF ，且DC ∩DF ＝D ， ∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD ⊥FC . ∵四边形CDEF 为正方形，∴DC ⊥FC ， ∵DC ∩AD ＝D ，∴FC ⊥平面ABCD ，∴FC ⊥AC .又∵四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD ＝2，AB ＝4，∴AC ＝22，BC ＝22，则有AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴AC ⊥BC ，又BC ∩FC ＝C ，∴AC ⊥平面FCB ，∴AC ⊥FB .(2)连接EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ， 易知BN ⊥平面CDEF ，且BN ＝2.∵V EF －ABCD ＝V E －ABCD ＋V B －ECF ＝13S 梯形ABCD ·DE ＋13S △EFC ·BN ＝163， ∴几何体EF －ABCD 的体积为163.(三)1．[2016·重庆测试]设数列{a n }的各项均为正数，且a 1,22，a 2,24，…，a n,22n ，…成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S k ≥30(2k ＋1)，求正整数k 的最小值．解 (1)设等比数列的公比为q ，则q 2＝2422＝22，又由题意q >0，故q ＝2，从而a n ＝22nq ＝22n －1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由(1)知a 1＝2，数列{a n }是以22为公比的等比数列， 故S n ＝2[1－(22)n ]1－22＝23(22n－1)． 因此不等式S k ≥30(2k＋1)可化为23(22k－1)≥30(2k ＋1)，即23(2k －1)(2k ＋1)≥30(2k ＋1)，因为2k ＋1>0，所以2k ≥46，即k ≥log 246. 又5<log 246<6，所以正整数k 的最小值为6.2．某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级800名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的有60人，数学优秀但物理不优秀的有140人，物理优秀但数学不优秀的有100人．(1)能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？(2)4名成员随机分两组，每组2人，一组负责收集成绩，另一组负责数据处理，求学生甲分到负责收集成绩组且学生乙分到负责数据处理组的概率．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d解因为K2＝160×640×200×600≈16.667>10.828，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关．(2)设其他学生为丙和丁，4人分组的情况如下表：处理占2种，所以学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理的概率P＝2 6＝13.3．[2016·广州模拟]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是C1C上一点．(1)当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF；(2)若FD⊥B1D，求三棱锥B1－ADF的体积．解(1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD ⊥BC .在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，因为B 1B ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ， 所以AD ⊥B 1B . 因为BC ∩B 1B ＝B ， 所以AD ⊥平面B 1BCC 1. 因为B 1F ⊂平面B 1BCC 1， 所以AD ⊥B 1F .在矩形B 1BCC 1中，因为C 1F ＝CD ＝1，B 1C 1＝CF ＝2， 所以Rt △DCF ≌Rt △FC 1B 1，所以∠CFD ＝∠C 1B 1F ，所以∠B 1FD ＝90°.(或通过计算FD ＝B 1F ＝5，B 1D ＝10，得到△B 1FD 为直角三角形)所以B 1F ⊥FD . 因为AD ∩FD ＝D ， 所以B 1F ⊥平面ADF .(2)由(1)可得AD ⊥平面B 1DF ，AD ＝22， 因为D 是BC 的中点，所以CD ＝1. 在Rt △B 1BD 中，BD ＝CD ＝1，BB 1＝3， 所以B 1D ＝BD 2＋BB 21＝10.因为FD ⊥B 1D ，所以Rt △CDF ∽Rt △BB 1D ， 所以DF B 1D ＝CD BB 1，所以DF ＝13×10＝103，所以V B 1－ADF ＝13S △B 1DF ·AD ＝13×12×103×10×22＝1029.(四)1．[2016·贵州八校联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设BC 中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积．解 (1)因为m ∥n ，故有(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0 由正弦定理可得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac ， 由余弦定理可知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中， 由B ＝π3可知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，由正弦定理及AD ＝3有BD sin θ＝AB sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝ADsin π3＝2；所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3cos θ＋sin θ， 所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ， 从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6， 由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3可知θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，a ＋2c 的最大值为43；此时a ＝23，c ＝3，所以S ＝12ac sin B ＝332.2．如图，已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，∠DAB ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝AF ＝CD ＝2，AB ＝4.(1)求证：AC⊥平面BCE；(2)求三棱锥E－BCF的体积．解(1)证明：过点C作CM⊥AB，垂足为M，因为AD⊥DC，所以四边形ADCM为矩形，所以AM＝MB＝2，又AD＝2，AB＝4，所以AC＝22，CM＝2，BC＝22，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，且BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.(2)因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CM，又CM⊥AB，AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以CM⊥平面ABEF.V E－BCF＝V C－BEF＝13×12×BE×EF×CM＝16×2×4×2＝83.3．电影《功夫熊猫3》预计在2016年1月29日上映．某地电影院为了了解当地影迷对票价的看法，进行了一次调研，得到了票价x(单位：元)与渴望观影人数y(单位：万人)的结果如下表：(1)若y与是负相关；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；(3)根据(2)中求出的线性回归方程，预测票价定为多少元时，能获得最大票房收入．参考公式：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i ＝n x 2，a ^＝y －b ^x . 解 (1)由表中数据易知，y 随x 的增大而减小，故y 与x 之间是负相关．(2)由表中数据可得x ＝45，y ＝3.5，∑4i ＝1x i y i －4x y ＝－35，∑4i ＝1x 2i －4x 2＝500，则b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x y ∑4i ＝1x 2i －4x 2＝－0.07，a ^＝3.5＋0.07×45＝6.65， 所以，所求线性回归方程为y ^＝－0.07x ＋6.65.(3)根据(2)中的线性回归方程，若票价为x 元，则渴望观影人数为(－0.07x ＋6.65)万人，可预测票房收入为z ＝x (－0.07x ＋6.65)＝－0.07x 2＋6.65x ，易得，当x ＝47.5时，z 取得最大值，即票价定为47.5元时，能获得最大票房收入．。

中档大题规范练2 立体几何与空间向量1.如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，P A ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 的中点.(1)求证：PO ⊥平面ABCD ； (2)求B 点到平面PCD 的距离；(3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q —AC —D 的余弦值为63？若存在，求出PQ QD的值；若不存在，请说明理由.(1)证明 因为P A ＝PD ＝2，O 为AD 的中点， 所以PO ⊥AD ，因为侧面P AD ⊥底面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD .(2)解 以O 为原点，OC ，OD ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则B (1，－1，0)，C (1，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1).PB →＝(1，－1，－1)，设平面PDC 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，CP →＝(－1，0，1)，PD →＝(0，1，－1).则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CP ，→＝－x ＋z ＝0，u ·PD ，→＝y －z ＝0，取z ＝1，得u ＝(1，1，1)，B 点到平面PDC 的距离 d ＝|BP ，→·u ||u |＝33.(3)解 假设存在，则设PQ →＝λPD →(0<λ<1)， 因为PD →＝(0，1，－1)，所以Q (0，λ，1－λ)，设平面CAQ 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC ，→＝0，m ·AQ ，→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，(λ＋1)b ＋(1－λ)c ＝0，所以取m ＝(1－λ，λ－1，λ＋1)， 平面CAD 的法向量n ＝(0，0，1)， 因为二面角Q —AC —D 的余弦值为63， 所以|m·n||m||n |＝63，所以3λ2－10λ＋3＝0，所以λ＝13或λ＝3(舍去)，所以PQ QD ＝12.2.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE .(1)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ； (2)求二面角A —DF —C 的大小.(1)证明 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，D 1(0，0，2). ∵E 为AB 的中点， ∴E 点坐标为(1，1，0)， ∵D 1F ＝2FE ，∴D 1F →＝23D 1E →＝23 (1，1，－2)＝(23，23，－43)，DF →＝DD 1→＋D 1F →＝(0，0，2)＋(23，23，－43)＝(23，23，23).设n ＝(x ，y ，z )是平面DFC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF →＝0，n ·DC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，2y ＝0，取x ＝1得平面FDC 的一个法向量n ＝(1，0，－1). 设p ＝(x ，y ，z )是平面ED 1C 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ p ·D 1F →＝0，p ·D 1C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y －43z ＝0，2y －2z ＝0，取y ＝1得平面D 1EC 的一个法向量p ＝(1，1，1). ∵n·p ＝(1，0，－1)·(1，1，1)＝0， ∴平面DFC ⊥平面D 1EC .(2)解 设q ＝(x ，y ，z )是平面ADF 的法向量， 则q ·DF →＝0，q ·DA →＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，x ＝0，取y ＝1得平面ADF 的一个法向量q ＝(0，1，－1)， 设二面角A —DF —C 的平面角为θ， 由题中条件可知θ∈(π2，π)，则cos θ＝－|n·q|n|·|q ||＝－0＋0＋12×2＝－12，∴二面角A —DF —C 的大小为120°.3.如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点.(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值.解 (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4).因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B ，→·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 因为AD →＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)， 所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0， 即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0， 取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量. 取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)， 设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ. 由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23， 得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53. 4.如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，P A ＝AB ＝BC ＝CD ＝2，PD ＝23，P A ⊥PD ，Q 为PD 的中点.(1)证明：CQ ∥平面P AB ； (2)求二面角D —AQ —C 的余弦值.(1)证明 如图所示，取P A 的中点N ，连接QN ，BN .在△P AD 中，PN ＝NA ，PQ ＝QD ， 所以QN ∥AD ，且QN ＝12AD .在△APD 中，P A ＝2，PD ＝23，P A ⊥PD ， 所以AD ＝P A 2＋PD 2＝22＋(23)2＝4， 而BC ＝2，所以BC ＝12AD .又BC ∥AD ，所以QN ∥BC ，且QN ＝BC ， 故四边形BCQN 为平行四边形，所以BN ∥CQ . 又CQ ⊄平面P AB ，BN ⊂平面P AB ，所以CQ ∥平面P AB .(2)解 如图，在平面P AD 内，过点P 作PO ⊥AD 于点O ，连接OB .因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD . 又PO ⊥AD ，AP ⊥PD ，所以PO ＝AP ×PD AD ＝2×234＝3，故AO ＝AP 2－PO 2＝22－(3)2＝1.在等腰梯形ABCD 中，取AD 的中点M ，连接BM ，又BC ＝2，AD ＝4，AD ∥BC ，所以DM ＝BC ＝2，DM ∥BC ，故四边形BCDM 为平行四边形. 所以BM ＝CD ＝AB ＝2.在△ABM 中，AB ＝AM ＝BM ＝2，AO ＝OM ＝1，所以BO ⊥AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以BO ⊥平面P AD .如图，以O 为坐标原点，分别以OB ，OD ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，D (0，3，0)，A (0，－1，0)，B (3，0，0)，P (0，0，3)，C (3，2，0)，则AC →＝(3，3，0).因为Q 为DP 的中点，故Q ⎝⎛⎭⎫0，32，32，所以AQ →＝⎝⎛⎭⎫0，52，32.设平面AQC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥AC →，m ⊥AQ →，可得⎩⎨⎧m ·AC →＝3x ＋3y ＝0，m ·AQ →＝52y ＋32z ＝0，令y ＝－3，则x ＝3，z ＝5.故平面AQC 的一个法向量为m ＝(3，－3，5). 因为BO ⊥平面P AD ，所以OB →＝(3，0，0)是平面ADQ 的一个法向量.故cos 〈OB →，m 〉＝OB →·m |OB →|·|m |＝333·32＋(－3)2＋52＝337＝33737. 从而可知二面角D —AQ —C 的余弦值为33737.5.在四棱锥P —ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2.(1)求证：BC ⊥平面PBD ；(2)在线段PC 上是否存在一点Q ，使得二面角Q —BD —P 为45°？若存在，求PQPC的值；若不存在，请说明理由.(1)证明 平面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ， 所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD . 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，P (0，0，1)， DB →＝(1，1，0)，BC →＝(－1，1，0)， 所以BC →·DB →＝0，BC ⊥DB ，又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥BC ， 因为PD ∩BD ＝D ， 所以BC ⊥平面PBD .(2)解 平面PBD 的法向量为BC →＝(－1，1，0)， PC →＝(0，2，－1)，设PQ →＝λPC →，λ∈(0，1)， 所以Q (0，2λ，1－λ)，设平面QBD 的法向量为n ＝(a ，b ，c )， DB →＝(1，1，0)，DQ →＝(0，2λ，1－λ)， 由n ·DB →＝0，n ·DQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，2λb ＋(1－λ)c ＝0， 令b ＝1，所以n ＝(－1，1，2λλ－1)， 所以cos45°＝|n ·BC →||n ||BC →|＝222＋(2λλ－1)2＝22， 注意到λ∈(0，1)，得λ＝2－1，所以在线段PC 上存在一点Q ，使得二面角Q —BD —P 为45°，此时PQPC＝2－1.2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x }，若M ∪N={0，1，2，3}，则x 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（ ）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。